Derivada de Ordem Superior – Achando Padrão

Resumo Completo

Derivação de ordem superior

Vamos dar uma lembrada de como se faz a derivada de ordem superior

Bom, a segunda derivada de uma função é a derivada de sua derivada:

f ' ' x = f ' x '

Para a derivada terceira o mesmo:

f ' ' ' x = f ' ' x ' = f ' x ' '

Para as próximas ordens é só continuar derivando.

Existe uma série de funções que tem padrões de acordo com a ordem das suas derivadas, e é isso que veremos aqui!

Padrão de derivação: seno

Derivamos o seno:

sen x ' = cos x

Suas derivadas segunda, terceira e quarta podem ser achadas:

sen x ' ' = cos x ' = - sen x

sen x ' ' ' = - sen x ' = - cos x

sen x 4 = - cos x ' = sen x

Quer dizer então que a derivada quarta do seno é ele mesmo? Então, isso significa que haverá um padrão de 4 em 4 derivadas. Para calcular a derivada de grau N , teremos:

sen x k = - sen x ,               s e   k = 4 n + 2   p a r a   n N - cos x ,                 s e   k = 4 n + 3   p a r a   n N sen x ,                         s e   k = 4 n   p a r a   n N cos x ,                                         s e   k = 4 n + 1   p a r a   n N

Onde N é o conjunto dos números naturais 0,1 , 2,3 , .

Essa fórmula estranha diz que as derivadas vão “andando” em blocos de 4 derivadas sequenciais. O primeiro de cada bloco será cos x , depois - sen x e assim por diante!

Padrão de derivação: cosseno

A definição vai ser muito parecida com a do seno aqui, vamos em blocos de 4 também nas derivadas:

cos x ' = - sen x

Suas derivadas segunda, terceira e quarta podem ser achadas:

cos x ' ' = - sen x ' = - cos x

cos x ' ' ' = - cos x ' = sen x

cos x 4 = sen x ' = cos x

Para calcular a derivada de grau N do cosseno, teremos:

cos x k = - sen x             ,   s e   k = 4 n + 1   p a r a   n N - cos x             ,   s e   k = 4 n + 2   p a r a   n N sen x                     ,   s e   k = 4 n + 3   p a r a   n N cos x                                     ,   s e   k = 4 n   p a r a   n N

Padrão de derivação: logaritmo

Vamos derivando o ln x até encontrarmos algum padrão:

f x = ln x

f ' x = ln x ' = 1 x = x - 1

f ' ' x = x - 1 ' = - 1 x - 2

f ' ' ' x = - 1 x - 2 ' = - 1 - 2 x - 3

f 4 x = - 1 - 2 x - 3 ' = - 1 - 2 - 3 x - 4

Primeiro, vamos olhar na potência de x : Aparecia um expoente igual a sua ordem mas com um - , certo?

Segundo, repara que vai aparecendo uma multiplicação de todos os termos anteriores ao grau da derivada? Quer dizer, é como se tivéssemos um fatorial até o número anterior a ordem da derivada.

n - 1 !

Por fim, temos que pensar no padrão dos sinais de menos ali. Na derivada segunda tínhamos um - , na terceira tínhamos dois, na quarta três. Ou seja, é como se fosse:

- 1 n - 1

Faz sentido? Agora, a n -ésima derivada do logaritmo vai ser dada pela junção desses três padrões que achamos:

ln x n = - 1 n - 1 n - 1 ! x - n

Padrão de derivação: exponencial

Rapaz, qual é a derivada de e x ?

f ' x = e x ' = e x

Ué, se a derivada dele é ele mesmo, então sempre teremos ele como resultado! Sua n -ésima derivada será:

e x n = e x

O que pode complicar? Se tiver uma constante dentro da exponencial!

e k x ' = k e k x

k e k x ' = k 2 e k x

k 2 e k x ' = k 3 e k x

Repara que a cada grau de derivada apareceria mais um k , ou seja:

e k x n = k n e k x

OBS: Para bases diferente de e , a derivada é dada por,

a x ' = ln a a x

Nesse caso, a n -ésima derivada seria:

a x n = ln a n a x

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Elaboração Própria

Determine f n x sendo que f x = sen x + cos x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Aqui ele quer a derivada de ordem n , isso é aquele exercício de achar o padrão da derivada.

A forma de achar o padrão é ir derivando até entender o padrão mesmo, não tem muito que fazer aqui. Temos uma soma de seno com cosseno, então vamos dar uma arrumada nessa função para ficar mais fácil de achar os padrões

f x = u x + y x

Com

u x = sen x

e

y x = cos x

Passo 2

Vamos começar com u x

u ' x = cos x

u ' ' x = - sen x

u ' ' ' x = - cos x

u 4 x = sen x

Repara que eu fui derivando, e quando cheguei na 4 ª derivada ela foi igual a função, se eu continuar derivando esse ciclo vai se repetir, isso porque a função seno fica indo para a cosseno e vice versa só variando as vezes o sinal. Então vamos ter

u n x = sen x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4 cos x s e n   é   m ú t i p l o   d e   4   m a i s   1 - sen x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   2 - cos x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   3

O primeiro, com n = 0 é sen x somando 4 passamos a ter n = 4 e a função volta a ser sen x , então sempre que n for múltiplo de 4 u n vai ser sen x . Usando esse mesmo raciocínio podemos ir somando 1 , 2 ou 3 para achar as outras possíveis u n , assim a nossa u n é como está escrito ali em cima.

Passo 3

Vamos agora para y x

y ' x = - sen x

y ' ' x = - cos x

y ' ' ' x = sen x

y 4 x = cos x

Repara que eu fui derivando, e quando cheguei na 4 ª derivada ela foi igual a função de novo.

Se eu continuar derivando esse ciclo vai se repetir, isso porque a função cosseno fica indo para a seno e vice versa só variando as vezes o sinal. Então vamos ter

y n x = cos x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4 - sen x s e n   é   m ú t i p l o   d e   4   m a i s   1 - cos x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   2 sen x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   3

O primeiro, com n = 0 é cos x somando 4 passamos a ter n = 4 e a função volta a ser cos x , então sempre que n for múltiplo de 4 y n vai ser cos x . Usando esse mesmo raciocínio podemos ir somando 1 , 2 ou 3 para achar as outras possíveis y n , assim a nossa y n é como está escrito ali em cima.

Aqui aconteceu algo que vale a pena ser falado, sempre que você tiver um seno ou um cosseno numa questão dessa de achar padrão da derivada não esqueça dividir de 4 em 4 derivadas a sua análise, então fica ligado nesse detalhe.

Passo 4

Opa, agora temos u n e y n , vamos para o que ele pediu

f n x = u n x + y n x

Então nossa função f n vai ser

f n x = sen x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4 cos x s e n   é   m ú t i p l o   d e   4   m a i s   1 - sen x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   2 - cos x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   3 + cos x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4 - sen x s e n   é   m ú t i p l o   d e   4   m a i s   1 - cos x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   2 sen x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   3

Opa, os pedaços acontecem nos mesmos valores de n , então podemos juntar essa parada

f n x = sen x + cos x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4 cos x - sen x s e n   é   m ú t i p l o   d e   4   m a i s   1 - sen x - cos x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   2 - cos x + sen x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   3

Resposta

f n x = sen x + cos x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4 cos x - sen x s e n   é   m ú t i p l o   d e   4   m a i s   1 - sen x - cos x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   2 - cos x + sen x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   3

Exercício Resolvido #2

Enunciado

James Stewart, Cálculo Vol. 1, 5ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006, pg 248 exercício 49

Encontre uma fórmula para f n x se f x = ln x - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Aqui ele quer a derivada de ordem n , isso é aquele exercício de achar o padrão da derivada.

A forma de achar o padrão é ir derivando até entender o padrão mesmo, não tem muito que fazer aqui.

Passo 2

Então, vamos derivar

f ' x = 1 x - 1 = x - 1 - 1

f ' ' x = - 1 x - 1 - 2

f ' ' ' x = - 1 - 2 x - 1 - 3

f 4 x = - 1 - 2 - 3 x - 1 - 4

Passo 3

Opa está surgindo um padrão nessa parada, sempre vamos “descer” o número seguinte negativo, vamos ignorar o sinal por enquanto, consegue perceber que aquele produto vai ser um fatorial? Assim oh

f ' x = 1 0 ! x - 1 - 1

f ' ' x = - 1 1 ! x - 1 - 2

f ' ' ' x = 1 2 ! x - 1 - 3

f 4 x = - 1 3 ! x - 1 - 4

Passo 4

Além disso, os sinais vão trocando em cada derivada. Para as derivadas de ordem par a derivada vai ser negativa e para as derivadas de ordem ímpar a derivada vai ser positiva. Podemos escrever isso assim

f ' x = - 1 1 + 1 0 ! x - 1 - 1

f ' ' x = - 1 2 + 1 1 ! x - 1 - 2

f ' ' ' x = - 1 3 + 1 2 ! x - 1 - 3

f 4 x = - 1 4 + 1 3 ! x - 1 - 4

Sacou? Sempre que ele for mudando o sinal é só colocar - 1 elevado a ordem da derivada mais 1 .

Passo 5

Falta só ver que o expoente é sempre a ordem com um sinal negativo na frente e que o fatorial é sempre a ordem da derivada menos 1 , assim a nossa derivada vai ser

f n x = - 1 n + 1 n - 1 ! x - 1 - n

Passo 6

Vamos agora fazer algumas análises dessa parada que achamos, a primeira coisa é ver que se n = 0 a nossa função não tem nada a ver com essa f n que escrevemos ali.

Assim vamos ter f n na verdade sendo

f n x = ln x - 1 s e n = 0 - 1 n + 1 n - 1 ! x - 1 - n s e n 1

Passo 7

A próxima parada importante para olharmos é se as derivadas estão definidas em todos os pontos que a própria função está definida.

A função é definida em

x - 1 > 0

Assim

x > 1

E o ponto que as derivadas tem problemas é quando aquele x - 1 for 0 , mas isso acontece em x = 1 , que não está definido na função, então temos tudo tranquilo.

Resposta

f n x = ln x - 1 s e n = 0 - 1 n + 1 n - 1 ! x - 1 - n s e n 1

Exercício Resolvido #3

Enunciado

George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp.186-49

Determine

d 999 cos x d x 999

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Da nossa definição na teoria, tínhamos achado

cos x ' N = - sen x             ,   s e   N = 4 n + 1   p a r a   n N - cos x             ,   s e   N = 4 n + 2   p a r a   n N sen x                     ,   s e   N = 4 n + 3   p a r a   n N cos x                                     ,   s e   N = 4 n   p a r a   n N

A questão aqui é só de enquadrar a derivada do cosseno em um desses 4 casos. Qual deles?

Passo 2

Repara, que a divisão de 999 por 4 gera quociente 249 e resto 3. Portanto, podemos escrever

999 = 4.249 + 3

Passo 3

Se olharmos na nossa tabelinha vemos que 999 se enquadra no caso N = 4 n + 3 , basta fazer n = 249 .

Passo 4

Portanto:

d 999 cos x d x 999 = sen x ,           p o i s   999 = 4 . ( 249 ) + 3   p a r a   n N

Resposta

d 999 cos x d x 999 = sen x

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Elaboração Própria

Determine f n x sendo que f x = sinh ln x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Fazer a primeira derivada

Aqui ele quer a derivada de ordem n , isso é aquele exercício de achar o padrão da derivada.

A forma de achar o padrão é ir derivando até entender o padrão mesmo, não tem muito que fazer aqui. E pra gente começar a derivar, precisamos olhar bem fundo nos olhos da função e descobrir o que ela é, então vou deixar aqui pra vocês se olharem:

f x = sinh ln x

Bem, ela não é nem sinh x e nem ln x e sim uma mistura dos dois! Quando temos uma mistura assim, onde uma função tá dentro da outra, a gente já taca logo uma regra da cadeia. Só pra lembrar, se:

f x = g h x

Então a derivada vai ser:

f ' x = g ' h x h ' x

Olhando no fundo dos olhos da nossa função ela vira pra gente e mostra que, no modelo acima, g x e h x vão ser:

g x = sinh x

h x = ln x

E suas derivadas:

g ' x = cosh x

h ' x = 1 x

Show, então a primeira derivada fica:

f ' x = cosh ln x x

Passo 2

Fazer as próximas derivadas

Ok, temos a primeira derivada. Mas e agora? Como achar o padrão? Tem jeito não, temos que derivar várias vezes até achar um. Mas olha só uma macete na hora achar o padrão:

f ' x = cosh ln x x

Quando derivarmos isso várias vezes, vamos acabar usando a regra do quociente. Pra lembrar também, a regra do quociente vai ser:

u x v x ' = u ' x   v x - u x v ' x v x 2

Se u x = cosh ln x e v x = x , dá uma olhada em como fica a segunda derivada:

f ' ' x = x cosh ln x ' - x ' cosh ln x   x 2

f ' ' x = x sinh ln x x - cosh ln x   x 2

f ' ' x = sinh ln x - cosh ln x   x 2

Viu que o denominador foi ao quadrado? Então da primeira pra segunda derivada a gente já viu que a ordem do polinômio no denominador subiu em uma unidade. Se a gente derivar de novo e acontecer a mesma coisa então, vai ser show porque estaremos bem encaminhados!

Perceba que tivemos que usar a regra da cadeia de novo pra derivar cosh ln x . Tem jeito não, nessa questão vamos misturar regra do quociente e da cadeia algumas vezes

Vamos derivar mais três vezes só, beleza? A próxima derivada:

f 3 x = sinh ln x - cosh ln x   x 2 '

f 3 x = x 2 sinh ln x - cosh ln x ' - x 2 ' sinh ln x - cosh ln x x 4

f 3 x = x 2 cosh ln x x - sinh ln x x - 2 x sinh ln x - cosh ln x x 4

f 3 x = x cosh ln x - x sinh ln x - 2 x sinh ln x + 2 x cosh ln x x 4

f 3 x = cosh ln x - sinh ln x - 2 sinh ln x + 2 cosh ln x x 3

f 3 x = 3 cosh ln x - 3 sinh ln x x 3

f 3 x = 3 cosh ln x - sinh ln x x 3

E a próxima:

f 4 x = 3 cosh ln x - sinh ln x x 3 '

f 4 x = 3 x 3 cosh ln x - sinh ln x ' - x 3 ' cosh ln x - sinh ln x x 6

f 4 x = 3 x 3 sinh ln x x - cosh ln x x - 3 x 2 cosh ln x - sinh ln x x 6

f 4 x = 3 x 2 sinh ln x - x 2 cosh ln x - 3 x 2 cosh ln x + 3 x 2 sinh ln x x 6

f 4 x = 3 sinh ln x - cosh ln x - 3 cosh ln x + 3 sinh ln x x 4

f 4 x = 3 - 4 cosh ln x + 4 sinh ln x x 4

f 4 x = 3 4 - cosh ln x + sinh ln x x 4

f 4 x = 12 - cosh ln x + sinh ln x x 4

E a última:

f 5 x = 12 - cosh ln x + sinh ln x x 4 '

f 5 x = 12 x 4 - cosh ln x + sinh ln x ' - x 4 ' - cosh ln x + sinh ln x x 8

f 5 x = 12 x 4 - sinh ln x x + cosh ln x x - 4 x 3 - cosh ln x + sinh ln x x 8

f 5 x = 12 x 3 - sinh ln x + cosh ln x - 4 x 3 - cosh ln x + sinh ln x x 8

f 5 x = 12 - sinh ln x + cosh ln x - 4 - cosh ln x + sinh ln x x 5

f 5 x = 12 - sinh ln x + cosh ln x + 4 cosh ln x - 4 sinh ln x x 5

f 5 x = 12 5 cosh ln x - 5 sinh ln x x 5

f 5 x = 12 5 cosh ln x - sinh ln x x 5

f 5 x = 60 cosh ln x - sinh ln x x 5

Passo 3

Analisar o padrão obtido pelo resultado anterior

Show de bola, vamos reunir tudo que achamos:

f x = sinh ln x

f 1 x = cosh ln x x

f 2 x = - cosh ln x + sinh ln x x 2

f 3 x = 3 cosh ln x - sinh ln x x 3

f 4 x = 12 - cosh ln x + sinh ln x x 4

f 5 x = 60 cosh ln x - sinh ln x x 5

A primeira coisa que temos que perceber aqui é que f n x pra n = 1 não encaixa em nenhum padrão. Afinal, essa é a única derivada que tem em lugar nenhum um termo sinh ln x ! Então vamos achar um padrão para n 2 .

Se olharmos as derivadas, vamos ver que:

  • Todas as derivadas possuem um termo sinh ln x e um termo cosh ln x
  • O termo sinh ln x é negativo toda vez que a ordem de derivação é ímpar e positivo toda vez que a ordem de derivação é par
  • O termo cosh ln x é negativo toda vez que a ordem de derivação é par e positivo toda vez que a ordem de derivação é ímpar
  • Todas as derivadas possuem uma potência de x dividindo de ordem igual à ordem de derivação
  • As constantes multiplicando as derivadas seguem a ordem fatorial em relação à ordem da derivada, porém dividido por 2 :
    • 2 ! 2 = 2 1 2 = 1 Constante que multiplica f 2 x
    • 3 ! 2 = 3 2 1 2 = 3 Constante que multiplica f 3 x
    • 4 ! 2 = 4 3 2 1 2 = 12 Constante que multiplica f 4 x
    • 5 ! 2 = 5 4 3 2 1 2 = 60 Constante que multiplica f 5 x

Juntando todas essas informações, podemos concluir que:

f n x = cosh ln x x   ;                         s e   n = 1 n ! 2 - 1 n - 1 cosh ln x + - 1 n sinh ln x x n   ;             s e   n 2

Resposta

f x = sinh ln x

f n x = cosh ln x x   ;                         s e   n = 1 n ! 2 - 1 n - 1 cosh ln x + - 1 n sinh ln x x n   ;             s e   n 2

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Elaboração Própria

Determine f n x sendo que f x = ln x x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Fazer a primeira derivada

Aqui ele quer a derivada de ordem n , isso é aquele exercício de achar o padrão da derivada.

A forma de achar o padrão é ir derivando até entender o padrão mesmo, não tem muito que fazer aqui. E pra gente começar a derivar, precisamos olhar bem fundo nos olhos da função e descobrir o que ela é, então vou deixar aqui pra vocês se olharem:

f x = ln x x

Bem, ela não é nem ln x e nem x e sim uma mistura dos dois! Quando temos uma mistura assim, onde uma função tá multiplicada pela outra, a gente já taca logo uma regra do produto. Só pra lembrar, se:

f x = g x h x

Então a derivada vai ser:

f ' x = g ' x h x + g x h ' x

Olhando no fundo dos olhos da nossa função ela vira pra gente e mostra que, no modelo acima, g x e h x vão ser:

g x = ln x

h x = x = x 2

E suas derivadas vão ser:

g ' x = 1 x

E pra h x , derivar pode ser um pouco mais enrolado. Mas se olharmos a função dessa forma:

h x = x = x 2

Podemos usar a regra da cadeia pra derivar:

h ' x = 1 2 x 2 x 2 '

h ' x = 1 2 x 2 x

h ' x = x x

A primeira derivada fica:

f ' x = x x + ln x x x

Saca só o que vamos fazer agora: colocar tudo no mesmo denominador. Pra que? Bem, aquele x não casa muito bem com o denominador da outra parcela. Então bora lá mudar isso:

x x = x x x x = x x x x =

= x x x 2 x 2 = x x x 2 = x x  

Opa, quer dizer então que x x = x x ? Certíssimo! A primeira derivada fica:

f ' x = x x + ln x x x

f ' x = x + ln x x x

Passo 2

Fazer as próximas derivadas

Ok, temos a primeira derivada. Mas e agora? Como achar o padrão? Tem jeito não, temos que derivar várias vezes até achar um. Mas olha de novo porque escrevemos a primeira derivada daquela forma:

f ' x = x + ln x x x

Quando derivarmos isso várias vezes, vamos acabar usando a regra do quociente. Pra lembrar também, a regra do quociente vai ser:

u x v x ' = u ' x   v x - u x v ' x v x 2

Se u x = x + ln x x e v x = x , dá uma olhada em como fica a segunda derivada:

f ' ' x = x x + ln x x ' - x + ln x x x 2

f ' ' x = x x x + ln x x ' - x - ln x x x 2

Sendo ln x x ' exatamente o mesmo valor da primeira derivada, ficamos com:

f ' ' x = x x x + x + ln x x x - x - ln x x x 2

f ' ' x = x + x + ln x x - x - ln x x x 2

f ' ' x = x x 2

Viu que o denominador foi ao quadrado? Então da primeira pra segunda derivada a gente já viu que a ordem do polinômio no denominador subiu em uma unidade. Se a gente derivar de novo e acontecer a mesma coisa então, vai ser show porque estaremos bem encaminhados!

E outra coisa muito importante: o termo ln x sumiu! Agora que ele sumiu as coisas vão ficar mais fáceis de derivar! E mais fácil de achar o padrão também.

Trabalho braçal agora, infelizmente. A terceira derivada então vai ser:

f 3 x = x x 2 '

f 3 x = x 2 x ' - x 2 ' x x 4

f 3 x = x 2 x x - 2 x x x 4

f 3 x = x x - 2 x x x 4 = x - 2 x x 3

f 3 x = - x x 3

Vamos derivar mais três vezes só, beleza? A próxima derivada:

f 4 x = - x x 3 ' = - 1 x 3 x ' - x 3 ' x x 6

f 4 x = - 1 x 3 x x - 3 x 2 x x 6 = - 1 x 2 x - 3 x 2 x x 6

f 4 x = - 1 x - 3 x x 4 = - 1 - 2 x x 4 = 2 x x 4

E a próxima:

f 5 x = 2 x x 4 ' = 2 x 4 x ' - x 4 ' x x 8

f 5 x = 2 x 4 x x - 4 x 3 x x 8 = 2 x 3 x - 4 x 3 x x 8

f 5 x = 2 x - 4 x x 5 = 2 - 3 x x 5 =   - 6 x x 5

E a última:

f 6 x = - 6 x x 5 ' = - 6 x 5 x ' - x 5 ' x x 10

f 6 x = - 6 x 5 x x - 5 x 4 x x 10 = - 6 x 4 x - 5 x 4 x x 10  

f 6 x = - 6 x - 5 x x 6 = - 6 - 4   x x 6 = 24 x x 6

Passo 3

Analisar o padrão obtido pelo resultado anterior

Show de bola, vamos reunir tudo que achamos:

f x = ln x x

f 1 x = x + ln x x x

f 2 x = x x 2

f 3 x = - x x 3

f 4 x = 2 x x 4

f 5 x =   - 6 x x 5

f 6 x = 24 x x 6

A primeira coisa que temos que perceber aqui é que f n x pra n = 1 não encaixa em nenhum padrão. Afinal, essa é a única derivada que tem um ln x em algum lugar! Então vamos achar um padrão para n 2 .

Se olharmos as derivadas, vamos ver que:

  • Todos eles tem um x intocado!
  • Todos eles tem o x dividido por uma potência de x de ordem igual à quantidade de vezes que o f x foi derivado!
  • Todas as derivadas de ordem par são positivas, e todas as derivadas de ordem ímpar são negativas
  • As constantes (em módulo) multiplicando x x n seguem a ordem fatorial com duas unidades de atraso em relação à ordem da derivada.
    • 0 ! = 1 Constante que multiplica, em módulo, f 2 x
    • 1 ! = 1 Constante que multiplica, em módulo, f 3 x
    • 2 ! = 2 1 = 2 Constante que multiplica, em módulo, f 4 x
    • 3 ! = 3 2 1 = 6 Constante que multiplica, em módulo, f 5 x
    • 4 ! = 4 3 2 1 = 24 Constante que multiplica, em módulo, f 6 x

Juntando todas essas informações, podemos concluir que:

f n x = x + ln x x x   ;                         s e   n = 1 - 1 n n - 2 ! x x n   ;             s e   n 2

Resposta

f x = ln x x

f n x = x + ln x x x   ;                         s e   n = 1 - 1 n n - 2 ! x x n   ;             s e   n 2

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