Derivada de Ordem Superior – Achando Padrão

Teoria Completa

Derivação de ordem superior

Vamos dar uma lembrada de como se faz a derivada de ordem superior

Bom, a segunda derivada de uma função é a derivada de sua derivada:

f ' ' x = f ' x '

Para a derivada terceira o mesmo:

f ' ' ' x = f ' ' x ' = f ' x ' '

Para as próximas ordens é só continuar derivando.

Existe uma série de funções que tem padrões de acordo com a ordem das suas derivadas, e é isso que veremos aqui!

Padrão de derivação: seno

Derivamos o seno:

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

Suas derivadas segunda, terceira e quarta podem ser achadas:

sen ⁡ x ' ' = cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

sen ⁡ x ' ' ' = - sen ⁡ x ' = - cos ⁡ x

sen ⁡ x 4 = - cos ⁡ x ' = sen ⁡ x

Quer dizer então que a derivada quarta do seno é ele mesmo? Então, isso significa que haverá um padrão de 4 em 4 derivadas. Para calcular a derivada de grau N , teremos:

sen ⁡ x k = - sen ⁡ x ,               s e   k = 4 n + 2   p a r a   n ∈ N - cos ⁡ x ,                 s e   k = 4 n + 3   p a r a   n ∈ N sen ⁡ x ,                         s e   k = 4 n   p a r a   n ∈ N cos ⁡ x ,                                         s e   k = 4 n + 1   p a r a   n ∈ N

Onde N é o conjunto dos números naturais 0,1 , 2,3 , … .

Essa fórmula estranha diz que as derivadas vão “andando” em blocos de 4 derivadas sequenciais. O primeiro de cada bloco será cos ⁡ x , depois - sen ⁡ x e assim por diante!

Padrão de derivação: cosseno

A definição vai ser muito parecida com a do seno aqui, vamos em blocos de 4 também nas derivadas:

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

Suas derivadas segunda, terceira e quarta podem ser achadas:

cos ⁡ x ' ' = - sen ⁡ x ' = - cos ⁡ x

cos ⁡ x ' ' ' = - cos ⁡ x ' = sen ⁡ x

cos ⁡ x 4 = sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

Para calcular a derivada de grau N do cosseno, teremos:

cos ⁡ x k = - sen ⁡ x             ,   s e   k = 4 n + 1   p a r a   n ∈ N - cos ⁡ x             ,   s e   k = 4 n + 2   p a r a   n ∈ N sen ⁡ x                     ,   s e   k = 4 n + 3   p a r a   n ∈ N cos ⁡ x                                     ,   s e   k = 4 n   p a r a   n ∈ N

Padrão de derivação: logaritmo

Vamos derivando o ln ⁡ x até encontrarmos algum padrão:

f x = ln ⁡ x

f ' x = ln ⁡ x ' = 1 x = x - 1

f ' ' x = x - 1 ' = - 1 x - 2

f ' ' ' x = - 1 x - 2 ' = - 1 - 2 x - 3

f 4 x = - 1 - 2 x - 3 ' = - 1 - 2 - 3 x - 4

Primeiro, vamos olhar na potência de x : Aparecia um expoente igual a sua ordem mas com um - , certo?

Segundo, repara que vai aparecendo uma multiplicação de todos os termos anteriores ao grau da derivada? Quer dizer, é como se tivéssemos um fatorial até o número anterior a ordem da derivada.

n - 1 !

Por fim, temos que pensar no padrão dos sinais de menos ali. Na derivada segunda tínhamos um - , na terceira tínhamos dois, na quarta três. Ou seja, é como se fosse:

- 1 n - 1

Faz sentido? Agora, a n -ésima derivada do logaritmo vai ser dada pela junção desses três padrões que achamos:

ln ⁡ x n = - 1 n - 1 n - 1 ! x - n

Padrão de derivação: exponencial

Rapaz, qual é a derivada de e x ?

f ' x = e x ' = e x

Ué, se a derivada dele é ele mesmo, então sempre teremos ele como resultado! Sua n -ésima derivada será:

e x n = e x

O que pode complicar? Se tiver uma constante dentro da exponencial!

e k x ' = k e k x

k e k x ' = k 2 e k x

k 2 e k x ' = k 3 e k x

Repara que a cada grau de derivada apareceria mais um k , ou seja:

e k x n = k n e k x

OBS: Para bases diferente de e , a derivada é dada por,

a x ' = ln ⁡ a a x

Nesse caso, a n -ésima derivada seria:

a x n = ln ⁡ a n a x

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Determine f n x sendo que f x = sen ⁡ x + cos ⁡ x

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Passo 1

Aqui ele quer a derivada de ordem n , isso é aquele exercício de achar o padrão da derivada.

A forma de achar o padrão é ir derivando até entender o padrão mesmo, não tem muito que fazer aqui. Temos uma soma de seno com cosseno, então vamos dar uma arrumada nessa função para ficar mais fácil de achar os padrões

f x = u x + y x

Com

u x = sen ⁡ x

e

y x = cos ⁡ x

Passo 2

Vamos começar com u x

u ' x = cos ⁡ x

u ' ' x = - sen ⁡ x

u ' ' ' x = - cos ⁡ x

u 4 x = sen ⁡ x

Repara que eu fui derivando, e quando cheguei na 4 ª derivada ela foi igual a função, se eu continuar derivando esse ciclo vai se repetir, isso porque a função seno fica indo para a cosseno e vice versa só variando as vezes o sinal. Então vamos ter

u n x = sen ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4 cos ⁡ x s e n   é   m ú t i p l o   d e   4   m a i s   1 - sen ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   2 - cos ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   3

O primeiro, com n = 0 é sen ⁡ x somando 4 passamos a ter n = 4 e a função volta a ser sen ⁡ x , então sempre que n for múltiplo de 4 u n vai ser sen ⁡ x . Usando esse mesmo raciocínio podemos ir somando 1 , 2 ou 3 para achar as outras possíveis u n , assim a nossa u n é como está escrito ali em cima.

Passo 3

Vamos agora para y x

y ' x = - sen ⁡ x

y ' ' x = - cos ⁡ x

y ' ' ' x = sen ⁡ x

y 4 x = cos ⁡ x

Repara que eu fui derivando, e quando cheguei na 4 ª derivada ela foi igual a função de novo.

Se eu continuar derivando esse ciclo vai se repetir, isso porque a função cosseno fica indo para a seno e vice versa só variando as vezes o sinal. Então vamos ter

y n x = cos ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4 - sen ⁡ x s e n   é   m ú t i p l o   d e   4   m a i s   1 - cos ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   2 sen ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   3

O primeiro, com n = 0 é cos ⁡ x somando 4 passamos a ter n = 4 e a função volta a ser cos ⁡ x , então sempre que n for múltiplo de 4 y n vai ser cos ⁡ x . Usando esse mesmo raciocínio podemos ir somando 1 , 2 ou 3 para achar as outras possíveis y n , assim a nossa y n é como está escrito ali em cima.

Aqui aconteceu algo que vale a pena ser falado, sempre que você tiver um seno ou um cosseno numa questão dessa de achar padrão da derivada não esqueça dividir de 4 em 4 derivadas a sua análise, então fica ligado nesse detalhe.

Passo 4

Opa, agora temos u n e y n , vamos para o que ele pediu

f n x = u n x + y n x

Então nossa função f n vai ser

f n x = sen ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4 cos ⁡ x s e n   é   m ú t i p l o   d e   4   m a i s   1 - sen ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   2 - cos ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   3 + cos ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4 - sen ⁡ x s e n   é   m ú t i p l o   d e   4   m a i s   1 - cos ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   2 sen ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   3

Opa, os pedaços acontecem nos mesmos valores de n , então podemos juntar essa parada

f n x = sen ⁡ x + cos ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4 cos ⁡ x - sen ⁡ x s e n   é   m ú t i p l o   d e   4   m a i s   1 - sen ⁡ x - cos ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   2 - cos ⁡ x + sen ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   3

Resposta

f n x = sen ⁡ x + cos ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4 cos ⁡ x - sen ⁡ x s e n   é   m ú t i p l o   d e   4   m a i s   1 - sen ⁡ x - cos ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   2 - cos ⁡ x + sen ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   3

Exercício Resolvido #2

James Stewart, Cálculo Vol. 1, 5ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006, pg 248 exercício 49

Encontre uma fórmula para f n x se f x = ln ⁡ x - 1

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Passo 1

Aqui ele quer a derivada de ordem n , isso é aquele exercício de achar o padrão da derivada.

A forma de achar o padrão é ir derivando até entender o padrão mesmo, não tem muito que fazer aqui.

Passo 2

Então, vamos derivar

f ' x = 1 x - 1 = x - 1 - 1

f ' ' x = - 1 x - 1 - 2

f ' ' ' x = - 1 - 2 x - 1 - 3

f 4 x = - 1 - 2 - 3 x - 1 - 4

Passo 3

Opa está surgindo um padrão nessa parada, sempre vamos “descer” o número seguinte negativo, vamos ignorar o sinal por enquanto, consegue perceber que aquele produto vai ser um fatorial? Assim oh

f ' x = 1 ∙ 0 ! x - 1 - 1

f ' ' x = - 1 ∙ 1 ! x - 1 - 2

f ' ' ' x = 1 ∙ 2 ! x - 1 - 3

f 4 x = - 1 ∙ 3 ! x - 1 - 4

Passo 4

Além disso, os sinais vão trocando em cada derivada. Para as derivadas de ordem par a derivada vai ser negativa e para as derivadas de ordem ímpar a derivada vai ser positiva. Podemos escrever isso assim

f ' x = - 1 1 + 1 ∙ 0 ! x - 1 - 1

f ' ' x = - 1 2 + 1 ∙ 1 ! x - 1 - 2

f ' ' ' x = - 1 3 + 1 ∙ 2 ! x - 1 - 3

f 4 x = - 1 4 + 1 ∙ 3 ! x - 1 - 4

Sacou? Sempre que ele for mudando o sinal é só colocar - 1 elevado a ordem da derivada mais 1 .

Passo 5

Falta só ver que o expoente é sempre a ordem com um sinal negativo na frente e que o fatorial é sempre a ordem da derivada menos 1 , assim a nossa derivada vai ser

f n x = - 1 n + 1 ∙ n - 1 ! ∙ x - 1 - n

Passo 6

Vamos agora fazer algumas análises dessa parada que achamos, a primeira coisa é ver que se n = 0 a nossa função não tem nada a ver com essa f n que escrevemos ali.

Assim vamos ter f n na verdade sendo

f n x = ln ⁡ x - 1 s e n = 0 - 1 n + 1 ∙ n - 1 ! ∙ x - 1 - n s e n ≥ 1

Passo 7

A próxima parada importante para olharmos é se as derivadas estão definidas em todos os pontos que a própria função está definida.

A função é definida em

x - 1 > 0

Assim

x > 1

E o ponto que as derivadas tem problemas é quando aquele x - 1 for 0 , mas isso acontece em x = 1 , que não está definido na função, então temos tudo tranquilo.

Resposta

f n x = ln ⁡ x - 1 s e n = 0 - 1 n + 1 ∙ n - 1 ! ∙ x - 1 - n s e n ≥ 1

Exercício Resolvido #3

George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp.186-49

Determine

d 999 cos ⁡ x d x 999

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Passo 1

Da nossa definição na teoria, tínhamos achado

cos ⁡ x ' N = - sen ⁡ x             ,   s e   N = 4 n + 1   p a r a   n ∈ N - cos ⁡ x             ,   s e   N = 4 n + 2   p a r a   n ∈ N sen ⁡ x                     ,   s e   N = 4 n + 3   p a r a   n ∈ N cos ⁡ x                                     ,   s e   N = 4 n   p a r a   n ∈ N

A questão aqui é só de enquadrar a derivada do cosseno em um desses 4 casos. Qual deles?

Passo 2

Repara, que a divisão de 999 por 4 gera quociente 249 e resto 3. Portanto, podemos escrever

999 = 4.249 + 3

Passo 3

Se olharmos na nossa tabelinha vemos que 999 se enquadra no caso N = 4 n + 3 , basta fazer n = 249 .

Passo 4

Portanto:

d 999 cos ⁡ x d x 999 = sen ⁡ x ,           p o i s   999 = 4 . ( 249 ) + 3   p a r a   n ∈ N

Resposta

d 999 cos ⁡ x d x 999 = sen ⁡ x

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Determine f n x sendo que f x = sinh ⁡ ln ⁡ x

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Passo 1

Fazer a primeira derivada

Aqui ele quer a derivada de ordem n , isso é aquele exercício de achar o padrão da derivada.

A forma de achar o padrão é ir derivando até entender o padrão mesmo, não tem muito que fazer aqui. E pra gente começar a derivar, precisamos olhar bem fundo nos olhos da função e descobrir o que ela é, então vou deixar aqui pra vocês se olharem:

f x = sinh ⁡ ln ⁡ x

Bem, ela não é nem sinh ⁡ x e nem ln ⁡ x e sim uma mistura dos dois! Quando temos uma mistura assim, onde uma função tá dentro da outra, a gente já taca logo uma regra da cadeia. Só pra lembrar, se:

f x = g h x

Então a derivada vai ser:

f ' x = g ' h x h ' x

Olhando no fundo dos olhos da nossa função ela vira pra gente e mostra que, no modelo acima, g x e h x vão ser:

g x = sinh ⁡ x

h x = ln ⁡ x

E suas derivadas:

g ' x = cosh ⁡ x

h ' x = 1 x

Show, então a primeira derivada fica:

f ' x = cosh ⁡ ln ⁡ x x

Passo 2

Fazer as próximas derivadas

Ok, temos a primeira derivada. Mas e agora? Como achar o padrão? Tem jeito não, temos que derivar várias vezes até achar um. Mas olha só uma macete na hora achar o padrão:

f ' x = cosh ⁡ ln ⁡ x x

Quando derivarmos isso várias vezes, vamos acabar usando a regra do quociente. Pra lembrar também, a regra do quociente vai ser:

u x v x ' = u ' x   v x - u x v ' x v x 2

Se u x = cosh ⁡ ln ⁡ x e v x = x , dá uma olhada em como fica a segunda derivada:

f ' ' x = x cosh ⁡ ln ⁡ x ' - x ' cosh ⁡ ln ⁡ x   x 2

f ' ' x = x sinh ⁡ ln ⁡ x x - cosh ⁡ ln ⁡ x   x 2

f ' ' x = sinh ⁡ ln ⁡ x - cosh ⁡ ln ⁡ x   x 2

Viu que o denominador foi ao quadrado? Então da primeira pra segunda derivada a gente já viu que a ordem do polinômio no denominador subiu em uma unidade. Se a gente derivar de novo e acontecer a mesma coisa então, vai ser show porque estaremos bem encaminhados!

Perceba que tivemos que usar a regra da cadeia de novo pra derivar cosh ⁡ ln ⁡ x . Tem jeito não, nessa questão vamos misturar regra do quociente e da cadeia algumas vezes

Vamos derivar mais três vezes só, beleza? A próxima derivada:

f 3 x = sinh ⁡ ln ⁡ x - cosh ⁡ ln ⁡ x   x 2 '

f 3 x = x 2 sinh ⁡ ln ⁡ x - cosh ⁡ ln ⁡ x ' - x 2 ' sinh ⁡ ln ⁡ x - cosh ⁡ ln ⁡ x x 4

f 3 x = x 2 cosh ⁡ ln ⁡ x x - sinh ⁡ ln ⁡ x x - 2 x sinh ⁡ ln ⁡ x - cosh ⁡ ln ⁡ x x 4

f 3 x = x cosh ⁡ ln ⁡ x - x sinh ⁡ ln ⁡ x - 2 x sinh ⁡ ln ⁡ x + 2 x cosh ⁡ ln ⁡ x x 4

f 3 x = cosh ⁡ ln ⁡ x - sinh ⁡ ln ⁡ x - 2 sinh ⁡ ln ⁡ x + 2 cosh ⁡ ln ⁡ x x 3

f 3 x = 3 cosh ⁡ ln ⁡ x - 3 sinh ⁡ ln ⁡ x x 3

f 3 x = 3 cosh ⁡ ln ⁡ x - sinh ⁡ ln ⁡ x x 3

E a próxima:

f 4 x = 3 cosh ⁡ ln ⁡ x - sinh ⁡ ln ⁡ x x 3 '

f 4 x = 3 x 3 cosh ⁡ ln ⁡ x - sinh ⁡ ln ⁡ x ' - x 3 ' cosh ⁡ ln ⁡ x - sinh ⁡ ln ⁡ x x 6

f 4 x = 3 x 3 sinh ⁡ ln ⁡ x x - cosh ⁡ ln ⁡ x x - 3 x 2 cosh ⁡ ln ⁡ x - sinh ⁡ ln ⁡ x x 6

f 4 x = 3 x 2 sinh ⁡ ln ⁡ x - x 2 cosh ⁡ ln ⁡ x - 3 x 2 cosh ⁡ ln ⁡ x + 3 x 2 sinh ⁡ ln ⁡ x x 6

f 4 x = 3 sinh ⁡ ln ⁡ x - cosh ⁡ ln ⁡ x - 3 cosh ⁡ ln ⁡ x + 3 sinh ⁡ ln ⁡ x x 4

f 4 x = 3 - 4 cosh ⁡ ln ⁡ x + 4 sinh ⁡ ln ⁡ x x 4

f 4 x = 3 4 - cosh ⁡ ln ⁡ x + sinh ⁡ ln ⁡ x x 4

f 4 x = 12 - cosh ⁡ ln ⁡ x + sinh ⁡ ln ⁡ x x 4

E a última:

f 5 x = 12 - cosh ⁡ ln ⁡ x + sinh ⁡ ln ⁡ x x 4 '

f 5 x = 12 x 4 - cosh ⁡ ln ⁡ x + sinh ⁡ ln ⁡ x ' - x 4 ' - cosh ⁡ ln ⁡ x + sinh ⁡ ln ⁡ x x 8