Derivação Logarítmica
Teoria
Derivação logarítmica
Conhecendo a derivada implícita, podemos utilizar um artifício para derivar determinadas funções que nos ajuda a não precisar usar a Regra do Produto e do Quociente em muitos dos casos, bem como nos ajuda para derivar caras como esse aqui.
Ex: Derive:
Passo 1: Usar o logaritmo de base dos dois lados (o famoso );
Passo : Usar propriedades de log para simplificar a função de ;
Nesse caso, temos três propriedades importantes:
Nesse exemplo, usaremos a terceira propriedade listada.
Passo : Derivamos os dois lados. Para derivar o vamos precisar usar a derivada implícita. Caso você não lembre, devemos derivar com relação a normalmente e depois multiplicar o resultado por .
Para derivar vamos precisar usar a regra da cadeia, segue aqui comigo
Portanto,
Passo : Isole e substitua na equação pela função original;
Repara, temos que . Isolando teremos:
Eis a derivada!
Nesse caso, foi bom usar a derivada logarítmica por que daria muito trabalho derivar esse carinha.
Ex: Derive:
Passo : Logaritmos;
Passo : Propriedades;
Usando a segunda propriedade ali listada no Passo do primeiro exemplo, temos
Agora usando a primeira propriedade do passo 2 do exemplo anterior, temos
Passo : Deriva!
Passo : “Des-substituir” ;
Daí, se preferir, é só fazer a distributiva, mas o resultado já tá aí.
Usar a derivação logarítmica aqui é uma boa pois não precisamos derivar esse cara com a Regra do Produto e do Quociente, que provavelmente, dariam em contas maiores e mais trabalhosas.
Derivação pela propriedade exponencial
Existe ainda um outro jeito, que não requer derivada implícita, para derivar funções como a do exemplo inicial. Deixamos para comentar aqui nesse capítulo por semelhanças nos dois métodos.
Usaremos só a Regra da Cadeia nele!
Existe uma propriedade de exponenciais e logaritmos de mesma base que diz:
Ou seja, qualquer coisa é igual à exponencial do log dela. No exemplo dado no início do capítulo, faríamos desse jeito:
Passo : Usar que ;
Passo : Use a propriedade do exponete do (a terceira que listamos);
Passo : Derivamos pela Regra da Cadeia;
Derivamos usando regra do produto e da cadeia, obtendo
Passo : Reverter a substituição da exponencial;
Assim como , podemos voltar dizendo que:
Assim, ficaremos com:
Mais trabalhoso esse aqui né? Ou o outro tem que ter mais cuidado?
Aí é questão de opinião, derivar com um ou com o outro depende da sua preferência. Nos exercícios trabalharemos os dois, veja qual você acha melhor!
Derivação pela propriedade exponencial
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp.221-89
No exercício, utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de em relação à variável independente dada:
Passo 1
Como o enunciado nos pediu, vamos usar a derivada logarítmica. Então, primeiro vamos aplicar o logaritmo dos dois lados
Passo 2
Pela propriedade do logaritmo, temos:
Passo 3
Então queremos achar a derivada:
Derivamos pela Regra do Produto a função de e usamos a derivada implícita na função de :
Usando a regra da cadeia para o termo , temos
Passo 4
Substituindo o de volta:
Resposta
Exercício Resolvido #2
George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp.220-47
No exercício, utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de em relação à variável independente dada:
Passo 1
O enunciado pediu para usar derivação logarítmica. Então, aplicando o logaritmo em ambos os lados, teremos:
Passo 2
Pela propriedade do logaritmo, teremos:
Passo 3
Derivaremos agora,
Derivamos pela Regra da cadeia os termos e , obtendo:
Passo 4
Substituindo o de volta:
Se quiser pode fazer a distributiva
Resposta
Exercício Resolvido #3
UNICAMP - Cálculo 1 - P2 2013.1 – 3
Use a diferenciação logarítmica para determinar a derivada da função:
Passo 1
Vamos lá, seguimos o que ele pediu: diferenciação logarítmica. É um processo que não tem nada demais, basta lançar o logaritmo na igualdade:
Passo 2
Vamos usar as propriedades do logaritmo:
Passo 3
Agora fazemos uma derivação implícita do lado esquerdo e usamos a Regra do Produto e a Regra da Cadeia do lado direito.
Passo 4
Repara que se passarmos para o outro lado teremos a derivada, que é o que o foi pedido lá em cima. Então, sabendo que , passamos ele multiplicando:
É esse troço feio aí o resultado!
Resposta
Exercício Resolvido #4
UNICAMP - Cálculo 1 - Exame 2012 Diurno - 1 b
Seja . Determine:
Passo 1
Vamos derivar esse cara com o auxílio da derivação implícita. Então, vamos usar o seguinte:
Para o nosso caso vamos ficar com:
Passo 2
As propriedades vão simplificar o cara aqui:
Passo 3
Nessa situação, podemos derivar a função exponencial, sabendo que ela pede, pela Regra da Cadeia, a derivada do seu expoente. Para derivar esse expoente, por sua vez, a gente precisa chamar a Regra do produto.
Fazendo então:
E é essa a derivada. Pequena, né?
Passo 4
Agora, ainda não acabou. Falta substituir em :
Resposta
Exercício Resolvido #5
George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp.221-89
No exercício, utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de em relação à variável independente dada:
Passo 1
Como o enunciado nos pediu, vamos usar a derivada logarítmica. Então, primeiro vamos aplicar o logaritmo dos dois lados
Passo 2
Pela propriedade do logaritmo, temos:
Passo 3
Então queremos achar a derivada:
Derivamos pela Regra do Produto a função de e usamos a derivada implícita na função de :
Usando a regra da cadeia para o termo , temos
Passo 4
Substituindo o de volta:
Resposta
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