Derivação Logarítmica

Teoria Completa

Derivação logarítmica

Conhecendo a derivada implícita, podemos utilizar um artifício para derivar determinadas funções que nos ajuda a não precisar usar a Regra do Produto e do Quociente em muitos dos casos, bem como nos ajuda para derivar caras como esse aqui.

Ex: Derive:

y = sen ⁡ x x

Passo 1: Usar o logaritmo de base e dos dois lados (o famoso l n );

ln ⁡ y = ln ⁡ sen ⁡ x x

Passo 2 : Usar propriedades de log para simplificar a função de x ;

Nesse caso, temos três propriedades importantes:

ln ⁡ a . b = ln ⁡ a + ln ⁡ b

ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b

ln ⁡ a b = b . ln ⁡ a

Nesse exemplo, usaremos a terceira propriedade listada.

ln ⁡ y = x . ln ⁡ sen ⁡ x

Passo 3 : Derivamos os dois lados. Para derivar o ln ⁡ y vamos precisar usar a derivada implícita. Caso você não lembre, devemos derivar com relação a y normalmente e depois multiplicar o resultado por y ' .

1 y y ' = x ' ln ⁡ sen ⁡ x + x ln ⁡ sen ⁡ x '

Para derivar ( ln ⁡ ( sen ⁡ x ) ) vamos precisar usar a regra da cadeia, segue aqui comigo

f x = sen ⁡ x g x = ln ⁡ x → ln ⁡ ( sen ⁡ x ) = g ( f x ) ∴ ( ln ⁡ sen ⁡ x ) ' = g ' f x f ' x

( ln ⁡ sen ⁡ x ) ' = cos ⁡ x sen ⁡ x

Portanto,

y ' y = ln ⁡ sen ⁡ x + x cos ⁡ x sen ⁡ x

Passo 4 : Isole y ' e substitua y na equação pela função original;

Repara, temos que y = sen ⁡ x x . Isolando y ' teremos:

y ' = sen ⁡ x x ln ⁡ sen ⁡ x + x cos ⁡ x sen ⁡ x

Eis a derivada!

Nesse caso, foi bom usar a derivada logarítmica por que daria muito trabalho derivar esse carinha.

Ex: Derive:

y = x x + 2 x - 3

Passo 1 : Logaritmos;

ln ⁡ y = ln ⁡ x x + 2 x - 3

Passo 2 : Propriedades;

Usando a segunda propriedade ali listada no Passo 2 do primeiro exemplo, temos

ln ⁡ y = ln ⁡ x x + 2 x - 3 = ln ⁡ x x + 2 - ln ⁡ x - 3

Agora usando a primeira propriedade do passo 2 do exemplo anterior, temos

ln ⁡ y = ln ⁡ x + ln ⁡ x + 2 - ln ⁡ x - 3

Passo 3 : Deriva!

ln ⁡ y ' = ln ⁡ x + ln ⁡ x + 2 - ln ⁡ x - 3 '

1 y y ' = ln ⁡ x ' + ln ⁡ x + 2 ' - ln ⁡ x - 3 '

y ' y = 1 x + 1 x + 2 - 1 x - 3

Passo 4 : “Des-substituir” y ;

y ' = x x + 2 x - 3 1 x + 1 x + 2 - 1 x - 3

Daí, se preferir, é só fazer a distributiva, mas o resultado já tá aí.

Usar a derivação logarítmica aqui é uma boa pois não precisamos derivar esse cara com a Regra do Produto e do Quociente, que provavelmente, dariam em contas maiores e mais trabalhosas.

Derivação pela propriedade exponencial

Existe ainda um outro jeito, que não requer derivada implícita, para derivar funções como a do exemplo inicial. Deixamos para comentar aqui nesse capítulo por semelhanças nos dois métodos.

Usaremos só a Regra da Cadeia nele!

Existe uma propriedade de exponenciais e logaritmos de mesma base que diz:

a = e ln ⁡ a

Ou seja, qualquer coisa é igual à exponencial do log dela. No exemplo dado no início do capítulo, faríamos desse jeito:

Passo 1 : Usar que f x = e ln ⁡ f x ;

y = sen ⁡ x x = e ln ⁡ sen ⁡ x x

Passo 2 : Use a propriedade do exponete do l n (a terceira que listamos);

y = e ln ⁡ sen ⁡ x x = e x ln ⁡ sen ⁡ x

Passo 3 : Derivamos pela Regra da Cadeia;

y ' = e x ln ⁡ sen ⁡ x '

= e x ln ⁡ sen ⁡ x x ln ⁡ sen ⁡ x '

Derivamos usando regra do produto e da cadeia, obtendo

= e x ln ⁡ sen ⁡ x ln ⁡ sen ⁡ x + x cos ⁡ x sen ⁡ x

Passo 4 : Reverter a substituição da exponencial;

Assim como sen ⁡ x x = e ln ⁡ sen ⁡ x x , podemos voltar dizendo que:

e x ln ⁡ sen ⁡ x = sen ⁡ x x

Assim, ficaremos com:

y ' = e x ln ⁡ sen ⁡ x ln ⁡ sen ⁡ x + x cos ⁡ x sen ⁡ x

= sen ⁡ x x ln ⁡ sen ⁡ x + x cos ⁡ x sen ⁡ x

Mais trabalhoso esse aqui né? Ou o outro tem que ter mais cuidado?

Aí é questão de opinião, derivar com um ou com o outro depende da sua preferência. Nos exercícios trabalharemos os dois, veja qual você acha melhor!

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Exercício Resolvido #1

George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp.221-89

No exercício, utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada:

y = x + 1 x

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Passo 1

Como o enunciado nos pediu, vamos usar a derivada logarítmica. Então, primeiro vamos aplicar o logaritmo dos dois lados

ln ⁡ y = ln ⁡ x + 1 x

Passo 2

Pela propriedade do logaritmo, temos:

ln ⁡ x + 1 x = x ln ⁡ x + 1

Passo 3

Então queremos achar a derivada:

ln ⁡ y ' = x ln ⁡ x + 1 '

Derivamos pela Regra do Produto a função de x e usamos a derivada implícita na função de y :

y ' y = x ' ln ⁡ x + 1 + x ln ⁡ x + 1 '

Usando a regra da cadeia para o termo ln ⁡ ( x + 1 ) , temos

y ' = y 1 ln ⁡ x + 1 + x x + 1 ' x + 1

= y ln ⁡ x + 1 + x x + 1

Passo 4

Substituindo o y de volta:

y = x + 1 x

y ' = x + 1 x ln ⁡ x + 1 + x x + 1

Resposta

y ' = x + 1 x ln ⁡ x + 1 + x x + 1

Exercício Resolvido #2

George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp.220-47

No exercício, utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada:

y = t t + 1 t + 2

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Passo 1

O enunciado pediu para usar derivação logarítmica. Então, aplicando o logaritmo em ambos os lados, teremos:

ln ⁡ y = ln ⁡ t t + 1 t + 2

Passo 2

Pela propriedade do logaritmo, teremos:

ln ⁡ t t + 1 t + 2 = ln ⁡ t + ln ⁡ t + 1 + ln ⁡ t + 2

Passo 3

Derivaremos agora,

ln ⁡ y ' = ln ⁡ t + ln ⁡ t + 1 + ln ⁡ t + 2 '

Derivamos pela Regra da cadeia os termos ln ⁡ ( t + 1 ) e ln ⁡ ( t + 2 ) , obtendo:

y ' y = t ' t + t + 1 ' t + 1 + t + 2 ' t + 2

y ' = y 1 t + 1 t + 1 + 1 t + 2

Passo 4

Substituindo o y de volta:

y = t t + 1 t + 2

y ' = t t + 1 t + 2 1 t + 1 t + 1 + 1 t + 2

Se quiser pode fazer a distributiva

y ' = t + 1 t + 2 + t t + 2 + t t + 1

Resposta

y ' = t + 1 t + 2 + t t + 2 + t t + 1

Exercício Resolvido #3

UNICAMP - Cálculo 1 - P2 2013.1 – 3

Use a diferenciação logarítmica para determinar a derivada da função:

y = y x = cos ⁡ x sen ⁡ x   ,             0 < x < π 2

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Passo 1

Vamos lá, seguimos o que ele pediu: diferenciação logarítmica. É um processo que não tem nada demais, basta lançar o logaritmo na igualdade:

ln ⁡ y x = ln ⁡ cos ⁡ x sen ⁡ x

Passo 2

Vamos usar as propriedades do logaritmo:

ln ⁡ y x = sen ⁡ x ln ⁡ ( cos ⁡ x )

Passo 3

Agora fazemos uma derivação implícita do lado esquerdo e usamos a Regra do Produto e a Regra da Cadeia do lado direito.

ln ⁡ y x ' = sen ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x '

1 y x y ' x = cos ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ x 1 cos ⁡ x ( - sen ⁡ x )

Passo 4

Repara que se passarmos y ( x ) para o outro lado teremos a derivada, que é o que o foi pedido lá em cima. Então, sabendo que y x = cos ⁡ x sen ⁡ x , passamos ele multiplicando:

y ' x = cos ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ x 1 cos ⁡ x - sen ⁡ x