Derivadas Laterais

Teoria Completa

Assim como temos limites laterais, as funções também possuem derivadas laterais. No exemplo abaixo, observe:

Essa função é dada por:

f x = x 2 ,     x < 0 sen ⁡ x ,     x ≥ 0

Como derivamos f em x = 0 ? Precisamos de uma análise lateral dessa derivada, que pode ser feita de duas formas!

1 Continuidade + Derivação de funções:

Uma vez que você saiba que a função é contínua no ponto estudado, (tem que mostrar isso na questão, hein?!) você pode derivar os termos dos dois lados e ver se batem no mesmo valor.

Assim, calculamos as derivadas laterais derivando as funções de cada um dos lados.

Começando para esquerda de 0 :

f ' x - = x 2 ' = 2 x ⟹ f ' 0 - = 2 0 = 0

Agora fazemos pela direita de 0 :

f ' x + = sen ⁡ x ' = cos ⁡ x ⟹ f ' 0 + = cos ⁡ 0 = 1

2 Definição da derivada no ponto:

Aplicamos a definição da derivada no ponto, por limite, e calculamos lateralmente os limites. Por exemplo, pela esquerda temos:

lim x → 0 - ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 - ⁡ x 2 - 0 x - 0 = 0

Pela direita, temos:

lim x → 0 + ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x - 0 x - 0 = 1

Repara que a derivada lateral é a derivada analisada por cada lado em que aproximamos de um ponto.

Como calcular a derivada usando limite pode não ser tão simples, sempre opte pelo primeiro método, a não ser que a questão peça pela definição.

Agora vamos praticar!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Calcule as derivadas laterais de f ( x ) no ponto x = 0 .

f x = - x 2           x ≤ 0 x 2             x > 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Repara, a função é contínua em x = 0 , como vemos no gráfico. Portanto, para achar as derivadas laterais dessa função nesse ponto basta derivá-las de primeira, pelo método 1 da teoria.

Passo 2

A derivada pela esquerda, em relação ao ponto x = 0 , vai ter como fórmula o seguinte:

f ' x - = - x 2 ' = - 2 x

Como x = 0 :

f ' 0 - = - 2 0 = 0

Passo 3

A derivada pela direita, em relação ao ponto x = 0 , vai ter como fórmula o seguinte:

f ' x + = x 2 ' = 2 x

Como x = 0 :

f ' 0 + = 2 0 = 0

Resposta

f ' 0 - = f ' 0 + = 0

Exercício Resolvido #2

Elaboração prória

Sendo f ( x ) a função

f x = x   s e n ( x )           x ≤ π cos ⁡ x + 1         x > π

Calcule as derivadas laterais de f ( x ) no ponto x = π .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos ver se esse cara é contínuo em x = π . Se for, derivamos lateralmente, ou seja, precisamos verificar se:

lim x → π - ⁡ f x = lim x → π + ⁡ f x = f π

Passo 2

Primeiro vamos calcular o limite pela esquerda

lim x → π - ⁡ x sen ⁡ x = π sen ⁡ π = 0

Observa que x = π é definida pela mesma expressão x sen ⁡ x , ou seja, f π = 0 .

Passo 3

Agora vamos calcular o limite pela direita

lim x → π + ⁡ f x = cos ⁡ π + 1 = 0

Portanto, contínua em x = π ! Vamos derivá-lo lateralmente agora.

Passo 4

A derivada pela esquerda, em relação ao ponto x = π , vai ter como fórmula o seguinte:

d ( x   s e n x ) d x = s e n   x + x cos ⁡ ( x )

Como x = π :

f ' π - = 0 + π - 1 = - π

Passo 5

A derivada pela direita, em relação ao ponto x = π , vai ter como fórmula o seguinte:

d ( cos ⁡ x + 1 ) d x = - s e n ( x )

Como x = π :

f ' π + = - 0 = 0

Resposta

f ' π - = - π

f ' π + = 0

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Sendo h ( x ) a função

h x = x 2 ,     x < 2 a x + b ,   x ≥ 2

Determine a , b para que as derivadas laterais de h x sejam iguais

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos ver se esse cara é contínuo em x = 2 . Se for, derivamos lateralmente, ou seja, precisamos verificar se:

lim x → 2 - ⁡ h x = lim x → 2 + ⁡ h x = f 2

Passo 2

Primeiro vamos calcular o limite pela esquerda

lim x → 2 - ⁡ x 2 = 4

E depois, pela direita:

lim x → 2 + ⁡ a x + b = 2 a + b

Observa que x = 2 é definida pela mesma expressão a x + b , ou seja, h 2 = 2 a + b

Sendo assim:

lim x → 2 - ⁡ h x = lim x → 2 + ⁡ h x = h 2

2 a + b = 4

Passo 3

A derivada pela esquerda, em relação ao ponto x = 2 , vai ter como fórmula o seguinte:

d ( x 2 ) d x = 2 x

Como x = 2 :

h ' 2 - = 2.2 = 4

A derivada pela direita, em relação ao ponto x = 2 , vai ter como fórmula o seguinte:

d ( a x + b ) d x = a

Como x = 2 :

h ' 2 + = a

Passo 4

Pras derivadas laterais então serem iguais, fazemos:

h ' 2 - = h ' 2 +

4 = a

Opa, então conseguimos achar b !

2 a + b = 4

2.4 + b = 4

b = - 4

Resposta

h x = x 2 ,     x < 2 4 x - 4 ,   x ≥ 2

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

Sendo f ( x ) a função

f x = 3 x 3 + e x ,     x ≤ 0 tanh ⁡ x + 1 ,                                             x > 0

Calcule as derivadas laterais de f ( x ) no ponto x = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos ver se esse cara é contínuo em x = π . Se for, derivamos lateralmente, ou seja, precisamos verificar se:

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ f x = f π

Passo 2

Primeiro vamos calcular o limite pela esquerda

lim x → 0 - ⁡ 3 x 3 + e x = 3 . 0 3 + e 0 = 1

Observa que x = 0 é definida pela mesma expressão 3 x 3 + e x , ou seja, f 0 = 1 .

Passo 3

Agora vamos calcular o limite pela direita

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ tanh ⁡ x + 1

E aí pra gente calcular esse limite vai depender da gente lembrar quem é a tangente hiperbólica. Pra dar uma refrescada na memória:

tanh ⁡ x = sinh ⁡ x cosh ⁡ x = e x - e - x 2 e x + e - x 2 = e x - e - x e x + e - x

Sendo assim, o limite fica:

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ e x - e - x e x + e - x + 1

lim x → 0 + ⁡ f x = e 0 - e - 0 e 0 + e - 0 + 1 = 1 - 1 1 + 1 + 1 = 1

Portanto, contínua em x = 0 ! Vamos derivá-lo lateralmente agora.

Passo 4

A derivada pela esquerda, em relação ao ponto x = 0 , vai ter como fórmula o seguinte:

d ( 3 x 3 + e x ) d x = 9 x 2 + e x

Como x = 0 :

f ' 0 - = 9 . 0 2 + e 0 = 1

Passo 5

A derivada pela direita, em relação ao ponto x = 0 , vai ter como fórmula o seguinte:

d tanh ⁡ x + 1 d x = d sinh ⁡ x cosh ⁡ x + 1 d x = d d x sinh ⁡ x cosh ⁡ x

d d x sinh ⁡ x cosh ⁡ x = sinh ⁡ x ' cosh ⁡ x - sinh ⁡ x cosh ⁡ x ' cosh ⁡ x 2