Derivadas Laterais

Resumo Completo

Assim como temos limites laterais, as funções também possuem derivadas laterais. No exemplo abaixo, observe:

Essa função é dada por:

f x = x 2 ,     x < 0 sen x ,     x 0

Como derivamos f em x = 0 ? Precisamos de uma análise lateral dessa derivada, que pode ser feita de duas formas!

1 Continuidade + Derivação de funções:

Uma vez que você saiba que a função é contínua no ponto estudado, (tem que mostrar isso na questão, hein?!) você pode derivar os termos dos dois lados e ver se batem no mesmo valor.

Assim, calculamos as derivadas laterais derivando as funções de cada um dos lados.

Começando para esquerda de 0 :

f ' x - = x 2 ' = 2 x f ' 0 - = 2 0 = 0

Agora fazemos pela direita de 0 :

f ' x + = sen x ' = cos x f ' 0 + = cos 0 = 1

2 Definição da derivada no ponto:

Aplicamos a definição da derivada no ponto, por limite, e calculamos lateralmente os limites. Por exemplo, pela esquerda temos:

lim x 0 - f x - f 0 x - 0 = lim x 0 - x 2 - 0 x - 0 = 0

Pela direita, temos:

lim x 0 + f x - f 0 x - 0 = lim x 0 + sen x - 0 x - 0 = 1

Repara que a derivada lateral é a derivada analisada por cada lado em que aproximamos de um ponto.

Como calcular a derivada usando limite pode não ser tão simples, sempre opte pelo primeiro método, a não ser que a questão peça pela definição.

Agora vamos praticar!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Elaboração própria

Calcule as derivadas laterais de f ( x ) no ponto x = 0 .

f x = - x 2           x 0 x 2             x > 0

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Repara, a função é contínua em x = 0 , como vemos no gráfico. Portanto, para achar as derivadas laterais dessa função nesse ponto basta derivá-las de primeira, pelo método 1 da teoria.

Passo 2

A derivada pela esquerda, em relação ao ponto x = 0 , vai ter como fórmula o seguinte:

f ' x - = - x 2 ' = - 2 x

Como x = 0 :

f ' 0 - = - 2 0 = 0

Passo 3

A derivada pela direita, em relação ao ponto x = 0 , vai ter como fórmula o seguinte:

f ' x + = x 2 ' = 2 x

Como x = 0 :

f ' 0 + = 2 0 = 0

Resposta

f ' 0 - = f ' 0 + = 0

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Elaboração prória

Sendo f ( x ) a função

f x = x   s e n ( x )           x π cos x + 1         x > π

Calcule as derivadas laterais de f ( x ) no ponto x = π .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos ver se esse cara é contínuo em x = π . Se for, derivamos lateralmente, ou seja, precisamos verificar se:

lim x π - f x = lim x π + f x = f π

Passo 2

Primeiro vamos calcular o limite pela esquerda

lim x π - x sen x = π sen π = 0

Observa que x = π é definida pela mesma expressão x sen x , ou seja, f π = 0 .

Passo 3

Agora vamos calcular o limite pela direita

lim x π + f x = cos π + 1 = 0

Portanto, contínua em x = π ! Vamos derivá-lo lateralmente agora.

Passo 4

A derivada pela esquerda, em relação ao ponto x = π , vai ter como fórmula o seguinte:

d ( x   s e n x ) d x = s e n   x + x cos ( x )

Como x = π :

f ' π - = 0 + π - 1 = - π

Passo 5

A derivada pela direita, em relação ao ponto x = π , vai ter como fórmula o seguinte:

d ( cos x + 1 ) d x = - s e n ( x )

Como x = π :

f ' π + = - 0 = 0

Resposta

f ' π - = - π

f ' π + = 0

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Elaboração própria

Sendo h ( x ) a função

h x = x 2 ,     x < 2 a x + b ,   x 2

Determine a , b para que as derivadas laterais de h x sejam iguais

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos ver se esse cara é contínuo em x = 2 . Se for, derivamos lateralmente, ou seja, precisamos verificar se:

lim x 2 - h x = lim x 2 + h x = f 2

Passo 2

Primeiro vamos calcular o limite pela esquerda

lim x 2 - x 2 = 4

E depois, pela direita:

lim x 2 + a x + b = 2 a + b

Observa que x = 2 é definida pela mesma expressão a x + b , ou seja, h 2 = 2 a + b

Sendo assim:

lim x 2 - h x = lim x 2 + h x = h 2

2 a + b = 4

Passo 3

A derivada pela esquerda, em relação ao ponto x = 2 , vai ter como fórmula o seguinte:

d ( x 2 ) d x = 2 x

Como x = 2 :

h ' 2 - = 2.2 = 4

A derivada pela direita, em relação ao ponto x = 2 , vai ter como fórmula o seguinte:

d ( a x + b ) d x = a

Como x = 2 :

h ' 2 + = a

Passo 4

Pras derivadas laterais então serem iguais, fazemos:

h ' 2 - = h ' 2 +

4 = a

Opa, então conseguimos achar b !

2 a + b = 4

2.4 + b = 4

b = - 4

Resposta

h x = x 2 ,     x < 2 4 x - 4 ,   x 2

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Elaboração própria

Sendo f ( x ) a função

f x = 3 x 3 + e x ,     x 0 tanh x + 1 ,                                             x > 0

Calcule as derivadas laterais de f ( x ) no ponto x = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos ver se esse cara é contínuo em x = π . Se for, derivamos lateralmente, ou seja, precisamos verificar se:

lim x 0 - f x = lim x 0 + f x = f π

Passo 2

Primeiro vamos calcular o limite pela esquerda

lim x 0 - 3 x 3 + e x = 3 . 0 3 + e 0 = 1

Observa que x = 0 é definida pela mesma expressão 3 x 3 + e x , ou seja, f 0 = 1 .

Passo 3

Agora vamos calcular o limite pela direita

lim x 0 + f x = lim x 0 + tanh x + 1

E aí pra gente calcular esse limite vai depender da gente lembrar quem é a tangente hiperbólica. Pra dar uma refrescada na memória:

tanh x = sinh x cosh x = e x - e - x 2 e x + e - x 2 = e x - e - x e x + e - x

Sendo assim, o limite fica:

lim x 0 + f x = lim x 0 + e x - e - x e x + e - x + 1

lim x 0 + f x = e 0 - e - 0 e 0 + e - 0 + 1 = 1 - 1 1 + 1 + 1 = 1

Portanto, contínua em x = 0 ! Vamos derivá-lo lateralmente agora.

Passo 4

A derivada pela esquerda, em relação ao ponto x = 0 , vai ter como fórmula o seguinte:

d ( 3 x 3 + e x ) d x = 9 x 2 + e x

Como x = 0 :

f ' 0 - = 9 . 0 2 + e 0 = 1

Passo 5

A derivada pela direita, em relação ao ponto x = 0 , vai ter como fórmula o seguinte:

d tanh x + 1 d x = d sinh x cosh x + 1 d x = d d x sinh x cosh x

d d x sinh x cosh x = sinh x ' cosh x - sinh x cosh x ' cosh x 2

d d x sinh x cosh x = cosh x cosh x - sinh x sinh x cosh x 2 = cosh x 2 - s in h x 2 cosh x 2

d d x sinh x cosh x = 1 - tanh x 2

E como vimos, com x = 0 , a tangente hiperbólica tem valor 0 . Logo:

f ' 0 + = 1 - tanh 0 2 = 1 - 0 2 = 1

Resposta

f ' 0 - = 1

f ' 0 + = 1

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Elaboração própria

Sendo f x = ln x , calcule as derivadas laterais de f ( x ) no ponto x = 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Ué, perai, essa função não é definida por partes, as derivadas laterais vão ser com certeza iguais.

Pêêêêêêê

Não tão rápido meus caros. Isso ai não vai ser necessariamente verdade. O jeito da gente descobrir se é ou não e fazer a questão direito é lembrar da definição de módulo e aplicar nessa função. Veja bem:

x = x ,                           s e   x 0 - x ,     s e   x < 0

Então pra nossa função, vamos ter:

ln x = ln x ,                           s e   ln x 0 - ln x ,     s e   ln x < 0

Ou ainda:

f x = ln x ,                           s e   x 1 - ln x ,     s e   x < 1

E ai sim conseguimos trabalhar. Então partiu!

Passo 2

Vamos ver se esse cara é contínuo em x = 1 . Se for, derivamos lateralmente, ou seja, precisamos verificar se:

lim x 1 - f x = lim x 1 + f x = f 1

Primeiro vamos calcular o limite pela esquerda

lim x 1 - - ln x = 0

Observa que x = 1 é definida pela mesma expressão ln x , ou seja, f 1 = 0 . E, agora, vamos calcular o limite pela direita:

lim x 1 + ln x = 0

Portanto, contínua em x = 1 ! Vamos derivá-lo lateralmente agora.

Passo 3

A derivada pela esquerda, em relação ao ponto x = π , vai ter como fórmula o seguinte:

d ( - ln x ) d x = - 1 x

Como x = 1 :

f ' 1 - = - 1 1 = - 1

Já a derivada pela direita, em relação ao ponto x = 1 , vai ter como fórmula o seguinte:

d ( ln x ) d x = 1 x

Como x = 1 :

f ' 1 + = 1 x = 1

Ou seja, a nossa função até era contínua, mas não possuía derivadas laterais iguais em x = 1

Resposta

f ' 1 - = - 1

f ' 1 + = 1

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