Diferenciabilidade

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Teoria

E aí? Bora falar de diferenciabilidade?

A diferenciabilidade nada mais é que o estudo da função para saber em quais pontos ela é diferenciável, ou seja, em quais pontos ela pode ser derivada.

Usamos alguns critérios para avaliar:

1° CRITÉRIO - Se a função é NÃO CONTÍNUA em um determinado ponto então ela NÃO É diferenciável nesse ponto.

2° CRITÉRIO - Se a função é CONTÍNUA em uma determinado ponto então ela será diferenciável SE as derivadas laterais nesse ponto são iguais e diferentes de . Resumidamente, uma função contínua em é diferenciável nesse ponto se:

E aí, para saber se uma função contínua é diferenciável num ponto qualquer, é só você achar as derivadas laterais nesse ponto e analisar 😉

Um ALERTA 📢 bem importante: Sempre que você tiver uma função que é subtração, multiplicação e composição de funções deriváveis, nem precisa se preocupar, a função também será derivável.

Bem tranquilo não é?

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Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Seja

f x = x + 1 ,     s e   x ≥ 1 2 x ,                     s e   x < 1

( I ) Calcule, se existir, lim x → 1 ⁡ f x - f 1 x - 1 . Justifique sua resposta.

( I I ) A função f é diferenciável em x = 1 ?

Passo 1

( I ) Para resolver essa letra temos que lembrar que um limite qualquer num ponto só existe se os limites laterais nesse ponto existirem e forem iguais.

Passo 2

Então vamos lá, façamos um pela esquerda e depois o outro pela direita desse que ele pediu:

lim x → 1 - ⁡ f x - f 1 x - 1

Aqui, como o limite é pela esquerda, usaremos para f ( x ) a função dada para valores abaixo de x = 1 :

f x = 2 x

E a função em f ( 1 ) é dada para o valor da função quando x = 1 , que é:

f 1 = 1 + 1 = 2

Com isso, teremos:

lim x → 1 - ⁡ f x - f 1 x - 1 = lim x → 1 - ⁡ 2 x - 2 x - 1

lim x → 1 - ⁡ 2 ( x - 1 ) x - 1 = 2

Agora para o limite pela direita teremos:

lim x → 1 + ⁡ f x - f 1 x - 1

E usaremos para f ( x ) a função para valores acima de x = 1 :

f x = x + 1

E a função em f ( 1 ) continua a mesma:

f 1 = 1 + 1 = 2

Com isso, teremos:

lim x → 1 + ⁡ f x - f 1 x - 1 = lim x → 1 + ⁡ x + 1 - 2 x - 1

lim x → 1 + ⁡ ( x - 1 ) x - 1 = 1

Os limites deram diferentes. Podemos concluir que o limite pedido não existe em 1 .

Passo 3

( I I ) Pera aí, você reparou que limite é esse que ele pediu no item I ? É a definição de derivada!

lim x → 1 ⁡ f x - f 1 x - 1 = f ' ( 1 )

No caso, ele usou em 1 , por isso derivada em 1 . Daí surge a pergunta, a função é derivável em 1 ?

Bom, se o limite que define a derivada nesse ponto não existe, como vimos na última letra que os limites laterais não batem, a função não é diferenciável em 1 .

Resposta

I L i m i t e   n ã o   e x i s t e .

I I N ã o   é   d i f e r e n c i á v e l .

Exercício Resolvido #2

No exercício, cada figura mostra o gráfico de uma função em um intervalo fechado D . Em que pontos do domínio a função parece ser

a derivável?

b contínua, mas não derivável?

c nem contínua nem derivável?

Justifique sua resposta.

Passo 1

a Para que a função seja derivável é preciso que ela seja contínua e que sua derivada exista.

Aparentemente, pelo desenho, o único ponto que não será derivável, por não ser contínuo, é x = 0 ! Então a função é derivável em

D - 0

onde D é seu domínio de - 3 até 3 .

Passo 2

b Para que seja contínua e não-derivável a função deve ser, no ponto, contínua sem que a derivada exista. Como fora da descontinuidade de x = 0 nós não temos nenhum ponto onde a derivada aparenta lateralmente divergir ou explodir para ± ∞ , temos que o único ponto não derivável é o x = 0 , onde a função é descontínua.

Sendo assim, não há pontos onde f é contínua mas não derivável.

Passo 3

c Como, comentado na letra b , o único ponto não derivável é x = 0 , por ser descontínuo. Essa é nossa resposta!

Resposta

a   x ∈ D - 0

b   N ã o   e x i s t e

c   x = 0

Exercício Resolvido #3

Considere

f x = 1 - 2 sen ⁡ x ,     x ∈ - ∞ ,   0 x - 1 2 ,                           x ∈ 0 ,   1 x 2 ln ⁡ x ,                             x ∈ 1 ,   ∞

Determine os pontos onde f não é derivável.

Passo 1

a Observando a lei de definição de f percebemos que exceto nos pontos x = 0 e x = 1 , f é composta por funções deriváveis em seus domínios. A saber, sen ⁡ x , x 2 , ln ⁡ x (para x > 0 ) e constantes ( 1 e 2 ). E sabemos que a subtração, multiplicação e composição de funções deriváveis é derivável.

Então, os únicos candidatos a ponto onde a função é não derivável são x = 0 e x = 1 . Portanto, temos que analisá-los.

Passo 2

Vamos ver se são contínuas nos dois pontos. Primeiro x = 0 :

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ f x = f 0

lim x → 0 - ⁡ 1 - 2 sen ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ x - 1 2 = 0 - 1 2

1 - 2 0 = - 1 2 = 1

1 = 1 = 1

Agora vamos fazer em x = 1 :

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ f x = f 1

lim x → 1 - ⁡ x - 1 2 = lim x → 1 + ⁡ x 2 ln ⁡ x = 1 2 ln ⁡ 1

1 - 1 2 = 1 2 ln ⁡ 1 = 0

0 = 0 = 0

Os dois pontos são contínuos! Ainda não podemos afirmar se a função é diferenciável, mas podemos derivá-la e comparar suas derivadas laterais nesses pontos.

Passo 3

Para isso, vamos usar a definição de diferenciabilidade no ponto.

Calculando a derivada pela esquerda no ponto x = 0 .

f x - = 1 - 2 sen ⁡ x ' = - 2 cos ⁡ x

f 0 - = - 2 cos ⁡ 0 = - 2

Para a direita de x = 0 , teremos:

f x + = x - 1 2 ' = 2 x - 1

f 0 + = 2 0 - 1 = - 2

Bateram no mesmo valor! Portanto, f é derivável em x = 0 .

Passo 4

Calculando a derivada pela esquerda no ponto x = 1 .

f x - = x - 1 2 ' = 2 x - 1

f 1 - = 2 1 - 1 = 0

Para a direita de x = 0 , teremos:

f x + = x 2 ln ⁡ x ' = 2 x ln ⁡ x + x 2 1 x

= 2 x ln ⁡ x + x

f 1 + = 2 1 ln ⁡ 1 + 1 = 0 + 1 = 1

A conclusão é que f não é derivável em x = 1 .

Resposta

A   f u n ç ã o   f   n ã o   é   d e r i v á v e l   e m   x = 1 ,   p o i s   s u a s   d e r i v a d a s   l a t e r a i s   s ã o   d i f e r e n t e s .

Exercício Resolvido #4

Considere a função definida por:

f x = x 2 - 3 x + a s e   x < 5 2 s e   x = 5 x 2 - 6 x + 5 x - 5 + b s e   x > 5

a Dê um exemplo de valores para a e b tal que exista lim x → 5 ⁡ f x , porém f não seja contínua em x = 5

b Determine a e b de forma que f seja contínua em x = 5

c Para os valores de a e b obtidos no item b anterior, existe f ' 5 ?

Passo 1

( a ) Ele quer que exista o limite. Temos, então, que achar esse limite primeiro. A função tem uma forma antes de 5 e uma forma depois de 5 , temos que calcular os limites laterais então, começando com x → 5 -

lim x → 5 - ⁡ f x = lim x → 5 - ⁡ x 2 - 3 x + a = 5 2 - 3.5 + a = 25 - 15 + a = 10 + a

Agora, temos que achar o limite pela direita, ou seja, x → 5 +

lim x → 5 + ⁡ f x = lim x → 5 + ⁡ x 2 - 6 x + 5 x - 5 + b = lim x → 5 + ⁡ x 2 - 6 x + 5 x - 5 + lim x → 5 + ⁡ b = lim x → 5 + ⁡ x 2 - 6 x + 5 x - 5 + b

Tudo se resume a achar

lim x → 5 + ⁡ x 2 - 6 x + 5 x - 5

Se substituirmos os valores vamos ter

lim x → 5 + ⁡ x 2 - 6 x + 5 x - 5 = 5 2 - 6.5 + 5 5 - 5 = 25 - 30 + 5 0 = 0 0

Que é uma indeterminação, temos que dar uma arrumada nisso

Passo 2

Vamos fatorar aquele polinômio de segundo grau que está no numerador da fração

x 2 - 6 x + 5

Lembra como fatora um polinômio de 2 º grau? Ele tem a forma a x 2 + b x + c , temos que achar suas raízes, e depois ele fatorado vai ficar a x - x 1 x - x 2 com x 1 e x 2 sendo suas raízes.

Vamos as raízes de x 2 - 6 x + 5 , usando a fórmula da equação quadrática vamos ter

x 1 = - - 6 + - 6 2 - 4.5 . 1 2.1 = 6 + 36 - 20 2 = 6 + 16 2 = 6 + 4 2 = 10 2 = 5

x 2 = - - 6 - - 6 2 - 4.5 . 1 2.1 = 6 - 36 - 20 2 = 6 - 16 2 = 6 - 4 2 = 2 2 = 1

A fatoração vai ficar

x - 5 x - 1

Passo 3

Voltando ao limite

lim x → 5 + ⁡ x 2 - 6 x + 5 x - 5 = lim x → 5 + ⁡ x - 5 x - 1 x - 5 = lim x → 5 + ⁡ x - 1 = 5 - 1 = 4

E o limite de f x vai ficar

lim x → 5 + ⁡ f x = lim x → 5 + ⁡ x 2 - 6 x + 5 x - 5 + b = lim x → 5 + ⁡ x 2 - 6 x + 5 x - 5 + lim x → 5 + ⁡ b =

⇒ lim x → 5 + ⁡ x 2 - 6 x + 5 x - 5 + b = 4 + b

Passo 4

Para o limite existir os limites laterais devem ser iguais então devemos ter

10 + a = 4 + b

Ele quer que a função não seja contínua, então devemos ter esse valor diferentes de 2 , que é o valor da função no ponto, assim temos

10 + a ≠ 2

E

4 + b ≠ 2

Arrumando essas duas “equações”

a ≠ - 8

E

b ≠ - 2

Basta pegarmos um valor de b diferente de - 2 e a diferente de 8 , vamos fazer

a = 0

Assim vamos ter

b + 4 = a + 10 → b + 4 = 0 + 10

b + 4 = 10

b = 6

Então temos a = 0 e b = 6 .

Passo 5

b Agora ele quer que seja contínuo, basta tirar aquele diferente e colocar um igual

6 + a = b = - 2

Isso nos diz que

b = - 2

6 + a = - 2

a = - 8

E vamos ter a = - 8 e b = - 2 para a função ser contínua

Passo 6

( c ) Antes de qualquer coisa vamos dar uma arrumada na função f , na verdade já arrumamos, só quero escrever o que achamos

f x = x 2 - 3 x + a s e   x < 5 2 s e   x = 5 x - 5 x - 1 x - 5 - 2 s e   x > 5

f x = x 2 - 3 x - 8 s e   x < 5 2 s e   x = 5 x - 1 - 2 s e   x > 5

f x = x 2 - 3 x - 8 s e   x < 5 2 s e   x = 5 x - 3 s e   x > 5

Beleza, agora ele quer saber se a função tem derivada no ponto x = 5 , para isso temos que achar a derivada antes de 5 e depois de 5 .

Passo 7

Como são contínuas, podemos derivá-las normalmente pelos lados.

Vamos lá, começando com a função para x < 5

f ' x - = x 2 - 3 x - 8 ' = 2 x - 3

f ' 5 - = 2 x - 3 = 2 5 - 3

= 7

Vamos agora para x > 5

f ' x + = x - 3 ' = 1

f ' 5 + = 1

Como os valores das derivadas são diferentes pela direita e pela esquerda, ele não tem derivada nesse ponto.

f ' 5 - = 7 ≠ 1 = f ' 5 +

f ' 5 - ≠ f ' 5 +

Resposta

( a )     a = 0   e   b = 6

( b )     a = - 8   e   b = - 2   p a r a   a   f u n ç ã o   s e r   c o n t í n u a

( c )   N ã o   e x i s t e

Exercício Resolvido #5

Seja f tal que f x ≤ x ² , ∀ x   ∈   R . Mostre que f   é diferenciável em x = 0 .

Passo 1

Para provar que f é derivável nesse ponto, temos que garantir que f seja contínua e que o limite de sua derivada exista. Ou seja, em termos matemáticos, precisamos que:

lim x → 0 ⁡ f x

lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0

Sabendo que f x ≤ x ² , ou seja

- x 2 ≤ f x ≤ x 2

Vamos calcular agora!

Passo 2

O limite da continuidade:

lim x → 0 ⁡ f x

Como calculamos usando aquela relação:

- x 2 ≤ f x ≤ x 2

Um velho conhecido: Teorema do Confronto! Repara nisso

- x 2 ≤ f x ≤ x 2

lim x → 0 ⁡ - x 2 ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ lim x → 0 ⁡ x 2

Se os limites em volta convergirem para o mesmo valor, esse é o limite de f x

lim x → 0 ⁡ - x 2 = - 0 2 = 0

lim x → 0 ⁡ x 2 = 0 2 = 0

Então

lim x → 0 ⁡ f x = 0

OK, ela é contínua. Para garantir se será diferenciável temos que olhar para os limites das derivadas laterais.

Passo 3

O limite da derivada:

lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0

Mesma coisa! Vamos usar o Teorema do Confronto!

- x 2 ≤ f x ≤ x 2

lim x → 0 ⁡ - x 2 - - 0 2 x - 0 ≤ lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 - 0 2 x - 0

Calculamos os dois limites dos lados:

lim x → 0 ⁡ - x 2 - - 0 2 x - 0 = lim x → 0 ⁡ - x 2 x

= lim x → 0 ⁡ - x = 0

lim x → 0 ⁡ x 2 - 0 2 x - 0 = lim x → 0 ⁡ x 2 x

= lim x → 0 ⁡ x = 0

Boa! Os limites bateram e vemos que, com isso, o limite da derivada de f também existe.

Se f é contínua e derivável em x = 0 , provamos sua diferenciabilidade nesse ponto!

Resposta

f   é   d i f e r e n c i á v e l   e m   x = 0

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