Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

Teoria Completa

Funções que mudam sua lei de formação: São contínuas? Como derivá-las? Onde habitam? De que se alimentam? Hoje, no Globo Repórter.

Saque o exemplo que motiva essa teoria:

f x = x 2 + 6 x + 5 ,                           x < - 2 x - 1 ,                             1 > x ≥ - 2 x 2 - 1 2 ,                                                   x ≥ 1

Para derivar as funções, precisamos que elas sejam diferenciáveis. Aqui está o cerne da questão!

Se as funções dadas são contínuas dentro dos seus domínios, podemos derivar expressão por expressão, mas faltará analisar os pontos em que a função muda de lei de formação. No exemplo, isso acontece em x = - 2 e x = 1 .

Se você aplicar a definição de continuidade, verá que a função do exemplo é sempre contínua. Assim sendo, podemos usar as derivadas laterais. Derivando primeiro:

x 2 + 6 x + 5 ' = 2 x + 6 ; x - 1 ' = 1 ; x 2 - 1 2 ' = x

Agora verificamos as derivadas laterais:

f ' - 2 - = 2 - 2 + 6 = 2

f ' - 2 + = 1

As derivadas não bateram! Então, a função não é derivável aí em x = - 2 ! Pegando agora x = 1 :

f ' 1 - = 1

f ' 1 + = x = 1

Boa, em x = 1 , as derivadas bateram, logo será diferenciável aqui, valendo f ' 1 = 1 .

Juntando tudo que concluímos, teremos:

f ' x = 2 x + 6 , x < - 2 N ã o   E x i s t e , x = - 2 1 , 1 > x > - 2 1 , x = 1 x , x > 1

Repare que os e foram substituídos por > e < e descrevemos pontualmente a derivada onde a f muda a sua formação.

Derivando o módulo

Pessoal, esse é um momento único na vida de qualquer aluno de engenharia. Vocês vão ver a derivada da função módulo, tipo essa aqui:

f x = x 2 - 4

Tá, forcei um pouco? Não é tão emocionante assim! Mas, como fazemos para derivar essa criança ai?

Cara, primeiro precisamos retirar esse módulo para podermos trabalhar com funções que sabemos derivar.

Como que tira essas barrinhas dos infernos? Basta lembrar da definição de módulo. Ou seja, ele vale ele mesmo quando for maior que zero e vale seu oposto quando for menor que zero.

f x = x 2 - 4 = x 2 - 4 ,     x < - 2   ; x ≥ 2 - x 2 - 4 ,     - 2 ≤ x < 2

Não lembrava onde o argumento do módulo era maior que zero? Basta acompanhar o desenho aqui

Nos pontos onde há mudança de função, x = - 2 e x = 2 , temos as raízes de f x . Dessa maneira, podemos derivar a função chaveada nos dois domínios (em x < - 2   ; x ≥ 2 e em - 2 ≤ x < 2 ), tendo o cuidado de usar a definição da derivada para observá-la nos pontos de mudança na lei de formação de f .

Começando nesses pontos, procuramos:

lim x → - 2 ⁡ f x - f - 2 x - - 2   ;   lim x → 2 ⁡ f x - f 2 x - 2

Calculando os dois, acharemos que seus limites laterais não batem.

lim x → - 2 - ⁡ f x - f - 2 x - - 2 = - 4     ;     lim x → - 2 + ⁡ f x - f - 2 x - - 2 = 4

lim x → 2 - ⁡ f x - f 2 x - 2 = - 4     ;     lim x → 2 + ⁡ f x - f 2 x - 2 = 4

Vemos que nesses “bicos” que a função modular gera no seu gráfico (olha de novo como a função fica no gráfico ali de cima) ela não tem derivada.

Importantíssimo: Sempre que tivermos um ponto de mudança da lei de formação da função modular gerando esse “bico”, ou seja, com derivadas laterais diferentes de 0 , a derivada não existirá nesse ponto.

Funções definidas no ponto

Cara, as vezes o enunciado te dá uma função que é desse tipo aqui:

f x = sen ⁡ 2 x ,     x ≠ 0 0 ,     x = 0

Que muda de expressão em x = 0 .

Quando você estiver com um caso desse, basta testar a continuidade da função no ponto em que ela muda de expressão. Se ela for continua nesse ponto, será derivável ali e como a outra expressão é derivável sempre a f será derivável em todo o lugar.

Partiu exercícios!

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria.

Derive a função abaixo:

f x = e x 2 s e n x                       x ≠ 0 0                                                       x = 0      

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Passo 1

Bom, como a função tem expressões diferentes para x = 0 e x ≠ 0 , precisamos analisar separadamente a sua derivada para cada um desses valores.

Começando com x ≠ 0 . Para esses pontos, temos:

f x = e x 2 s e n x

Vamos aplicar então, as regras de derivação nisso aí.

Passo 2

Aplicando a regra do produto:

f ' x = d ( e x 2 ) d x s e n x + e x 2 d ( s e n ( x ) ) d x

f ' x = d ( e x 2 ) d x s e n x + e x 2 cos ⁡ ( x )

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da cadeia em e x 2 :

f ' x = d ( x 2 ) d x e x 2 s e n x + e x 2 cos ⁡ ( x )

f ' x = 2 x   e x 2 s e n x + e x 2 cos ⁡ ( x )

Para x ≠ 0 .

Passo 4

Temos que calcular as derivadas laterais em x = 0 para ver se elas são iguais e diferentes de ± ∞ aí nesse ponto. Vou pelo método 1 . Começamos verificando se ela é contínua no ponto:

lim x → 0 ⁡ f ( x ) = f 0

Temos

lim x → 0 ⁡ f ( x ) = e 0 2 s e n 0 = 0

f 0 = 0

Logo, sim, a função é contínua!

Falta ver se é derivável.

Passo 5

Derivando, teremos a mesma função dos dois lados, que já achamos no Passo 3 :

f ' x - = f ' x + = 2 x   e x 2 s e n x + e x 2 cos ⁡ ( x )

Substituindo x = 0 , temos:

f ' 0 - = f ' 0 + = 2 0   e 0 s e n 0 + e 0 cos ⁡ 0

= 0 + 1 = 1

Isso nos dá que:

f ' x = 2 x   e x 2 s e n x + e x 2 cos ⁡ ( x )                       x ≠ 0 1                                                     x = 0      

Resposta

f ' x = 2 x   e x 2 s e n x + e x 2 cos ⁡ ( x )                       x ≠ 0 1                                                     x = 0      

Exercício Resolvido #2

UFF - Cálculo IA – GMA – 2008.2 – Lista 6 – 16

Derive cada função (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função).

f x = x 3 sen ⁡ 1 x     ,       x ≠ 0   0                                     ,   x = 0

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Passo 1

A derivada desse cara vai ser a derivada da função, feita pelos métodos de derivação convencionais, para x ≠ 0 , somada à análise de sua possível derivada em x = 0 .

Passo 2

Assim, começamos calculando essa derivada para valores fora de x ≠ 0 (com a Regra do Produto e da Cadeia):

x 3 sen ⁡ 1 x ' = x 3 ' sen ⁡ 1 x + x 3 sen ⁡ 1 x '

= 3 x 2 sen ⁡ 1 x + x 3 cos ⁡ 1 x 1 x '

= 3 x 2 sen ⁡ 1 x + x 3 cos ⁡ 1 x - 1 x 2

= 3 x 2 sen ⁡ 1 x - x cos ⁡ 1 x

Passo 3

Olhamos agora para x = 0 . Vamos ver se a função é contínua e derivável nesse ponto, fazendo as derivadas laterais pelo método 1 .

Começamos com a continuidade:

lim x → 0 ⁡ x 3 sen ⁡ 1 x = 0 3 sen ⁡ ± ∞

Indeterminação dentro do seno? Vamos usar o Teorema do Confronto!

- 1 ≤ sen ⁡ x ≤ 1

lim x → 0 ⁡ x 3 - 1 ≤ lim x → 0 ⁡ x 3 sen ⁡ 1 x ≤ lim x → 0 ⁡ x 3 1

lim x → 0 ⁡ x 3 - 1 = lim x → 0 ⁡ x 3 1 = 0

Logo,

lim x → 0 ⁡ x 3 sen ⁡ 1 x = 0

Do enunciado temos que:

f 0 = 0

É contínua! Ótimo, falta provar só se podemos derivá-la

Passo 4

Vamos na derivação agora. Do passo 1 tínhamos:

x 3 sen ⁡ 1 x ' = 3 x 2 sen ⁡ 1 x - x cos ⁡ 1 x

Em x = 0 a função não está definida, pois 1 x dá ruim. Porém, podemos aplicar o teorema do confronto, vem comigo!

Para a primeira parcela, temos

lim x → 0 ⁡ 3 x 2 - 1 ≤ lim x → 0 ⁡ 3 x 2 sen ⁡ 1 x ≤ lim x → 0 ⁡ 3 x 2 1

lim x → 0 ⁡ 3 x 2 - 1 = lim x → 0 ⁡ 3 x 2 1 = 0     →     lim x → 0 ⁡ 3 x 2 sen ⁡ 1 x = 0

Já para a segunda parcela,

lim x → 0 ⁡ x - 1 ≤ lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ 1 x ≤ lim x → 0 ⁡ x 1

lim x → 0 ⁡ x - 1 = lim x → 0 ⁡ x 1 = 0     →     lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ 1 x = 0

Assim,

lim x → 0 ⁡ 3 x 2 sen ⁡ 1 x - x cos ⁡ 1 x = 0