Primitivas

Resumo Completo

Até aqui, a gente tá muito acostumado a pensar em um sentido, o da derivada, como “qual é a derivada da função f x = 3 x 2 ?”. Já agora, com as primitivas, o nosso objetivo é te fazer outra pergunta:

Qual é a função f x QUE A DERIVADA VALE f x = 3 x 2 ?

Wait, what? A resposta para essa pergunta é justamente a primitiva de 3 x 2 e para achá-la, basta seguir o caminho oposto da derivada.

Para derivar um polinômio, temos que reduzir um grau no numerador. Então, para fazer o sentido inverso, vamos adicionar:

3 x 2 + 1 = 3 x 3

Além disso, ao derivar multiplicamos pelo denominador, agora, para a primitiva, vamos dividir:

3 x 3 3 = x 3 + C

Pronto! Esse C sempre aparece e representa uma constante qualquer.

Isso se deve ao fato que, quando derivamos, toda constante é perdida e quando tentamos voltar através para primitiva, não tem que como saber qual é a constante, então representamos por um C geral e bonito.

A seguir temos as primitivas mais recorrentes:

x n x n + 1 + C sen x - cos x + C cos x sen x + C

1 x ln x + C e x e x + C sec 2 x tg x + C

tg x sec x sec x + C cotg x csc x - csc x + C cosh x senh x + C

E com derivadas de ordem superior?

Essa doidera de primitiva pode ter para derivadas de ordens maiores, por exemplo, queremos f x onde

f ' ' x = 2

Lembre-se que a derivada de ordem 2 vai ser:

f ' ' x = f ' x '

Então vamos pensar de novo na primitiva, qual função tem derivada 2 ? Vai ser 2 x , pelo nosso método, não esquecendo a constante. Então aquela função dentro da derivada vai ser 2 x mais a constante

f ' x = 2 x + C

Opa, voltando para derivada de novo, vamos pensar a mesma coisa. A primitiva de 2 x será x 2 . A da constante vai ser C x , pelo método. Temos que colocar mais uma constante hein!

f x = x 2 + C x + D

E essa é a nossa função que tem a segunda derivada sendo 2 . Sacou? É só ir repetindo o processo de antes. Fique atento, que aqui vão aparecer várias constantes que podem ser diferentes, então uma letra para cada uma, ok?

Problema de Valor Inicial

Show, vimos o que é essa história de primitiva. No título tem essa parada de Valor Inicial.

WTF? Calma jovem!

Basicamente, lembra que achávamos as funções primitivas e colocávamos uma constante C aleatória no resultado, certo? O barato agora é, através de um valor dado pelo exercício, descobrir essa constante! Esse é o Problema de valor inicial, ou PVI.

Vamos ver isso num exemplo.

Ex: Determine a função f x onde f ' x = 2 x e f 2 = 3 .

Qual função cuja derivada é 2 x ? Esse é o exemplo inicial. A primitiva vai ser

f x = x 2 + C

Não podemos deixar de colocar a constante. Repara que dessa vez ele quer que f 2 = 3 . O que isso significa? Aquela função que achamos precisa obedecer isso.

Então vamos ter

f 2 = 2 2 + C = 3

4 + C = 3

C = - 1

Opaaa!! A constante agora é alguém, ele é um valor específico!

Pegou? Então vamos destruir nos exercícios de fixação, vem comigo!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

George B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg , 32a

Encontre as possíveis funções com as derivadas dadas.

y ' = sec 2 θ

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Na derivada nós temos sec 2 θ . Ora, pela nossa tabela, escrevemos a função referente a isso:

tg θ

Como esse é o único termo, a função será basicamente só essa função, multiplicada por uma constante:

y = a tg θ

Passo 2

Então derivamos esse cara e comparamos ao termo do enunciado:

y ' = a tg θ ' = a sec 2 θ

Comparamos com isso aqui:

y ' = sec 2 θ

Nesse caso, notamos que a deve ser igual a 1 . Assim, a função final será:

y = tg θ + C

Onde C é uma constante qualquer.

Resposta

y = tg θ + C

Exercício Resolvido #2

Enunciado

George B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg 285, 28c

Encontre as possíveis funções com as derivadas dadas.

y ' = 3 x 2 + 2 x - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Na derivada nós temos polinômios de grau zero, um e dois. Ora, pela nossa tabela, escrevemos a função referente a isso:

x 2 + 1 + x 3     ;     x 1 + 1 = x 2     ;     x 0 + 1 = x

A função será basicamente essas função multiplicadas por constantes, cada uma:

y = a x 3 + b x 2 + c x

Passo 2

Então derivamos esse cara:

y ' = a x 3 + b x 2 + c x ' = 3 a x 2 + 2 b x + c

Comparamos com isso aqui:

y ' = 3 x 2 + 2 x - 1

Nesse caso, notamos as seguintes igualdades:

3 a = 3 a = 1     ;     2 b = 2 b = 1     ;     c = - 1

Assim, a função final será:

y = x 3 + x 2 - x + C

Onde C é uma constante qualquer.

Resposta

y = x 3 + x 2 - x + C

Exercício Resolvido #3

Enunciado

George B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg 346, 21

Demonstre que

d d x x x + 1 = d d x - 1 x + 1

Mesmo que

x x + 1 - 1 x + 1

Justifique sua resposta.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Repara uma coisa aqui, olha a primeira função:

x x + 1

Vou ao mesmo tempo somar e subtrair 1 nesse cara:

x + ( 1 - 1 ) x + 1 = x + 1 - 1 x + 1 = 1 - 1 x + 1

Ué, é igual à segunda função ali no enunciado, só que somada de 1 !

x x + 1 = 1 - 1 x + 1       ;     - 1 x + 1

Passo 2

Repara o seguinte, se eu achar a derivada de cada uma eu terei o seguinte:

d d x x x + 1 = 1 ' - 1 x + 1 '

d d x - 1 x + 1 = - 1 x + 1 '

Repara, a única diferença entre as suas derivadas será esse 1 ' que aparece na primeira derivada. Só que tem um detalhe: a derivada de uma constante é sempre 0 !

Com isso, vamos ter o seguinte:

d d x x x + 1 = 1 ' - 1 x + 1 ' = d d x - 1 x + 1

Onde teremos

d d x x x + 1 = d d x - 1 x + 1

Resposta

d d x x x + 1 = d d x - 1 x + 1

d e m o n s t r a ç ã o   a c i m a

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Elaboração Própria

Encontre as possíveis funções com as derivadas dadas.

y ' = e x + 2 tg x sec x + 14 x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para achar a primitiva dessa função, vamos na tabela e escrevemos o termo referente a cada um. Para e x , escrevemos o próprio e x . Para tg x sec x , colocamos sec x . Já para o 1 x , teremos ln x . Assim,

e x     ;   sec x     ;   ln x

Multiplicando cada termo por uma constante e somando-os, teremos:

y = a   e x + b sec x + c ln x

Passo 2

Derivando y vamos obter:

y ' = a   e x + b tg x sec x + c x

Nesse caso, comparando com a derivada dada no enunciado, as constantes serão:

y ' = e x + 2 tg x sec x + 14 x

a = 1       ;       b = 2       ;       c = 14

Por fim, a função é:

y =   e x + 2 sec x + 14 ln x + C

Onde C é uma constante qualquer.

Resposta

y =   e x + 2 sec x + 14 ln x + C

Exercício Resolvido #5

Enunciado

George B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pp. 285-24.

Suponha que f 0 = 5 e que f ' x = 2 para qualquer x . Obrigatoriamente, f x = 2 x + 5 para qualquer x ? Justifique sua resposta.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Se temos f ' x = 2 , para calcular f ( x ) , devemos determinar a primitiva de f ' x .

Nesse caso, temos uma constante na derivada, ou seja, é como se tivéssemos um número vezes x 0 , de onde tiramos que escreveremos a função com x 0 + 1 = x :

f x = a x

Derivamos e comparamos com a derivada dada:

f ' x = a x ' = a

f ' x = 2

Logo, temos a = 2 . Somando a constante C na resposta, teremos:

f x = 2 x + C

Passo 2

O problema nos falou, porém, que:

f 0 = 5

Substituindo no f ( x ) geral que achamos:

f 0 = 5 = 2 0 + C C = 5  

Para as condições dadas, o único valor possível para C é 5. Então a resposta é sim, obrigatoriamente f x = 2 x + 5 para todo x .

Resposta

Sim

Exercício Resolvido #6

Enunciado

UFF - Cálculo IA - P3 Javier 2013.2 – 4

Uma função tem derivada de segunda ordem

f ' ' x = sen x 2 + 6 x

Encontre a expressão da f , sabendo que seu gráfico contém o ponto 0,1 e que em tal ponto a reta tangente é paralela à reta y = 3 x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

De início, a gente já vê que trabalhamos com uma derivada de segunda ordem, de onde tiramos que esse é um problema com dois PVI’s. Vamos organizar isso tudo, se f contém o ponto 0,1 , significa que f x vale 1 quando x vale 0 , ou seja:

f 0 = 1

Da mesma forma, se quando x = 0 a reta tangente ao gráfico é paralela a 3 x , temos que a derivada nesse ponto valerá o mesmo que o coeficiente angular dessa reta, ou seja:

f ' 0 = 3

Esse é o problema que temos que resolver, por fim:

f ' ' x = sen x 2 + 6 x

f ' 0 = 3

f 0 = 1

Passo 2

Assim, vamos pensar na função f ' x que quando derivada vai gerar essa f ' ' x . Nesse caso, temos um seno (cuidado com o fato de que ele tem um x 2 dentro, não só x ) e um polinômio do primeiro grau.

Com isso, vamos escrever a função que geraria isso com um cosseno de mesmo argumento x 2 e um polinômio um grau acima, segundo grau:

f ' x = a cos x 2 + b x 2

Derivando:

f ' ' x = - a 2 sen x 2 + 2 b x

Comparando com a derivada..

f ' ' x = sen x 2 + 6 x

Teremos

a = - 2     ;     b = 3

f ' x = - 2 cos x 2 + 3 x 2 + C

Onde C é uma constante qualquer.

Passo 3

Usando a condição da derivada em x = 0 :

f ' 0 = 3

Teremos

f ' x = - 2 cos x 2 + 3 x 2 + C

f ' 0 = - 2 cos 0 2 + 3 0 2 + C = 3

- 2 cos 0 + 0 + C = 3

- 2 1 + C = 3

C = 3 + 2 = 5

Assim,

f ' x = - 2 cos x 2 + 3 x 2 + 5

Passo 4

Assim, vamos pensar na função f x que quando derivada vai gerar essa f ' x . Nesse caso, temos um cosseno (cuidado, novamente, com o fato de que ele tem um x 2 dentro), um polinômio do segundo grau e um de grau zero (a constante 5 ).

Com isso, vamos escrever a função que geraria isso com um seno de mesmo argumento x 2 e um polinômio um grau acima para cada um deles, terceiro e primeiro grau, respectivamente:

f x = d sen x 2 + e   x 3 + f x

Derivando:

f ' x = d 2 sen x 2 + 3 e x 2 + f

Comparamos com a f ' x :

f ' x = - 2 cos x 2 + 3 x 2 + 5

Assim, as constantes e a função serão:

d = - 4     ;     e = 1     ;     f = 5

f x = - 4 sen x 2 + x 3 + 5 x + D

Onde D é uma constante qualquer.

Passo 5

Usando a condição da derivada em x = 0 :

f 0 = 1

Teremos

f x = - 4 sen x 2 + x 3 + 5 x + D

f 0 = - 4 sen 0 2 + 0 3 + 5 0 + D = 1

- 4 0 + 0 + 0 + D = 1

D = 1

Assim, teremos finalmente:

f x = - 4 sen x 2 + x 3 + 5 x + 1

Resposta

f x = - 4 sen x 2 + x 3 + 5 x + 1

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