Primitivas

Teoria Completa

E aii, dá uma olhada nessa belezinha:

f ' x = 3 x 2

Aqui eu estou te mostrando que uma função foi derivada, e chegou ao resultado de 3 x 2 .

Mas e se eu te perguntar, que função f ( x ) , é essa?

Complicado né, se eu te dou uma função você já sabe o que fazer para encontrar sua derivada, mas como fazer a operação contrária?

É aai que entra a ideia de primitivas e para achá-la, basta seguir o caminho oposto da derivada.

Então, vamos pensar:

Quando queremos derivar um polinômio, reduzimos um grau no numerador. Então, para fazer o sentido inverso, vamos adicionar:

3 x 2 + 1 = 3 x 3

Além disso, ao derivar multiplicamos pelo denominador, agora, para a primitiva, vamos dividir:

3 x 3 3 = x 3 + C

Pronto! Esse C sempre aparece nas primitivas e representa uma constante qualquer.

Isso se deve ao fato que, quando derivamos, toda constante é perdida e quando tentamos voltar através para primitiva, não tem que como saber qual é a constante, então representamos por um C geral e bonito.

Primitivas mais comuns

  • Funções constantes f x = k :
  • Quando temos uma função constante, para fazermos a primitiva basta apenas colocarmos a variável que foi derivada x junto com a constante.

    Primitiva:

    k → k x + C

    Ex:

    f x = 1 2

    Uma primitiva é:

    1 2 x + C

  • Função polinomial:
  • Quando derivamos, derrubamos o expoente multiplicando a varável e reduzimos um grau, assim na primitiva aumentamos um grau e dividimos pelo expoente.

    Primitiva:

    x n → x n + 1 n + 1 + C

    Ex:

    f x = 3 x 2

    Uma primitiva é:

    3 x 2 + 1 2 + 1 + C → x 3 + C  

  • Funções trigonométricas:
  • Primitiva de f x = s e n x :

    - cos ⁡ x + C

    Primitiva de f x = cos ⁡ x :

    sen ⁡ x + C

    Primitiva de f x = tg ⁡ x sec ⁡ x :

    sec ⁡ x + C

    Primitiva de f x = cotg ⁡ x csc ⁡ x :

    - csc ⁡ x + C

    Primitiva de f x = cosh ⁡ x :

    senh ⁡ x + C

    Primitiva de f x = sec 2 ⁡ x :

    tg ⁡ x + C

  • Outras funções especiais:

Primitiva de f x = 1 x

ln ⁡ x + C

Primitiva de f x = e k x

e k x k + C

E com derivadas de ordem superior?

Essa doidera de primitiva pode ter para derivadas de ordens maiores, por exemplo, queremos f x onde

f ' ' x = 2

Lembre-se que a derivada de ordem 2 vai ser:

f ' ' x = f ' x '

Então vamos pensar de novo na primitiva, qual função tem derivada 2 ? Vai ser 2 x , pelo nosso método, não esquecendo a constante. Então aquela função dentro da derivada vai ser 2 x mais a constante

f ' x = 2 x + C

Opa, voltando para derivada de novo, vamos pensar a mesma coisa. A primitiva de 2 x será x 2 . A da constante vai ser C x , pelo método. Temos que colocar mais uma constante hein!

f x = x 2 + C x + D

E essa é a nossa função que tem a segunda derivada sendo 2 . Sacou? É só ir repetindo o processo de antes. Fique atento, que aqui vão aparecer várias constantes que podem ser diferentes, então uma letra para cada uma, ok?

Problema de Valor Inicial

Show, vimos o que é essa história de primitiva. No título tem essa parada de Valor Inicial.

WTF? Calma jovem!

Basicamente, lembra que achávamos as funções primitivas e colocávamos uma constante C aleatória no resultado, certo? O barato agora é, através de um valor dado pelo exercício, descobrir essa constante! Esse é o Problema de valor inicial, ou PVI.

Vamos ver isso num exemplo.

Ex: Determine a função f x onde f ' x = 2 x e f 2 = 3 .

Qual função cuja derivada é 2 x ? Esse é o exemplo inicial. A primitiva vai ser

f x = x 2 + C

Não podemos deixar de colocar a constante. Repara que dessa vez ele quer que f 2 = 3 . O que isso significa? Aquela função que achamos precisa obedecer isso.

Então vamos ter

f 2 = 2 2 + C = 3

4 + C = 3

C = - 1

Opaaa!! A constante agora é alguém, ele é um valor específico!

Pegou? Então vamos destruir nos exercícios de fixação, vem comigo!

Expandir

Exercício Resolvido #1

sGeorge B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg , 32a

Encontre as possíveis funções com as derivadas dadas.

y ' = sec 2 ⁡ θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, vamos tentar achar a primitiva da nossa função, ou seja, o cara que quando a gente deriva dá sec 2 ⁡ θ .

Pra isso precisamos lembrar de algumas derivadas de funções trigonométricas, mais especificamente da função tg ⁡ θ , porque:

( tg ⁡ θ ) ' = sec 2 ⁡ θ

Ooopa exatamente o que a gente queria, mas a questão ainda não acabou! Repara que o enunciado diz “possíveis funções”, então buscar outras funções.

Passo 2

Então, galerinha, lembra que a derivada de constante é igual a zero? Então se a gente tivesse uma constante C somada a função tangente, teríamos

y = tg ⁡ θ + C

Derivando isso y ,

y ' = sec 2 ⁡ θ + 0

Opa! Realmente, chegamos na derivada que o problema pediu. Deste modo, a forma correta de representar as possíveis funções com a derivada dada seguirá essa equação,

y = tg ⁡ θ + C

Onde C é uma constante qualquer.

Resposta

y = tg ⁡ θ + C

Exercício Resolvido #2

George B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg 285, 28c

Encontre as possíveis funções com as derivadas dadas.

y ' = 3 x 2 + 2 x - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Na derivada nós temos polinômios de grau zero, um e dois. Ora, pela nossa tabela, escrevemos a função referente a isso:

x 2 + 1 + x 3     ;     x 1 + 1 = x 2     ;     x 0 + 1 = x

A função será basicamente essas função multiplicadas por constantes, cada uma:

y = a x 3 + b x 2 + c x

Passo 2

Então derivamos esse cara:

y ' = a x 3 + b x 2 + c x ' = 3 a x 2 + 2 b x + c

Comparamos com isso aqui:

y ' = 3 x 2 + 2 x - 1

Nesse caso, notamos as seguintes igualdades:

3 a = 3 → a = 1     ;     2 b = 2 → b = 1     ;     c = - 1

Assim, a função final será:

y = x 3 + x 2 - x + C

Onde C é uma constante qualquer.

Resposta

y = x 3 + x 2 - x + C

Exercício Resolvido #3

George B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg 346, 21

Demonstre que

d d x x x + 1 = d d x - 1 x + 1

Mesmo que

x x + 1 ≠ - 1 x + 1

Justifique sua resposta.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Repara que as duas expressões que a questão dá pra gente são super parecidas, vamos tentar achar uma relação entre elas. A primeira é essa aqui:

x x + 1

Vamos ao mesmo tempo somar e subtrair 1 no numerador desse cara, vê se você concorda que não estamos mudando o valor da expressão:

x + 1 - 1 x + 1

Organizando pra aparecer um termo igual ao denominador:

x + 1 - 1 x + 1

Vamos quebrar isso em duas frações:

x + 1 x + 1 - 1 x + 1

⟹ 1 - 1 x + 1

Ué, apareceu a outra expressão do enunciado, só que somada de 1 . Chegamos então nessa relação maneiríssima entre as duas expressões do enunciado:

x x + 1 = 1 - 1 x + 1

Passo 2

Vamos agora pegar essa relação em que chegamos e derivar dos dois lados:

d d x x x + 1 = d d x 1 - 1 x + 1

Abrindo a derivada do lado direito:

d d x x x + 1 = d ( 1 ) d x + d d x - 1 x + 1

Como derivada de constante é 0 :

d d x x x + 1 = d d x - 1 x + 1

Opaaa reparou aonde nós chegamos? Ah e em momento nenhum usamos que x x + 1 = - 1 x + 1 , ou seja, essa relação entre as derivadas vale seeempre, mesmo quando essas expressões assumem valores diferentes. Então acabamos de demonstrar o que o enunciado nos pede.

Resposta

d d x x x + 1 = d d x - 1 x + 1

d e m o n s t r a ç ã o   a c i m a

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Encontre as possíveis funções com as derivadas dadas.

y ' = e x + 2 tg ⁡ x sec ⁡ x + 14 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para achar a primitiva dessa função, vamos na tabela e escrevemos o termo referente a cada um. Para e x , escrevemos o próprio e x . Para tg ⁡ x sec ⁡ x , colocamos sec ⁡ x . Já para o 1 x , teremos ln ⁡ x . Assim,

e x     ;   sec ⁡ x     ;   ln ⁡ x

Multiplicando cada termo por uma constante e somando-os, teremos:

y = a   e x + b sec ⁡ x + c ln ⁡ x

Passo 2

Derivando y vamos obter:

y ' = a   e x + b tg ⁡ x sec ⁡ x + c x

Nesse caso, comparando com a derivada dada no enunciado, as constantes serão:

y ' = e x + 2 tg ⁡ x sec ⁡ x + 14 x

a = 1       ;       b = 2       ;       c = 14

Por fim, a função é:

y =   e x + 2 sec ⁡ x + 14 ln ⁡ x + C

Onde C é uma constante qualquer.

Resposta

y =   e x + 2 sec ⁡ x + 14 ln ⁡ x + C

Exercício Resolvido #5

George B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pp. 285-24.

Suponha que f 0 = 5 e que f ' x = 2 para qualquer x . Obrigatoriamente, f x = 2 x + 5 para qualquer x ? Justifique sua resposta.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Se temos f ' x = 2 , para calcular f ( x ) , devemos determinar a primitiva de f ' x .

Nesse caso, temos uma constante na derivada, ou seja, é como se tivéssemos um número vezes x 0 , de onde tiramos que escreveremos a função com x 0 + 1 = x :

f x = a x

Derivamos e comparamos com a derivada dada:

f ' x = a x ' = a

f ' x = 2

Logo, temos a = 2 . Somando a constante C na resposta, teremos:

f x = 2 x + C

Passo 2

O problema nos falou, porém, que:

f 0 = 5

Substituindo no f ( x ) geral que achamos:

f 0 = 5 = 2 ⋅ 0 + C ∴ C = 5  

Para as condições dadas, o único valor possível para C é 5. Então a resposta é sim, obrigatoriamente f x = 2 x + 5 para todo x .

Resposta

Sim

Exercício Resolvido #6

UFF - Cálculo IA - P3 Javier 2013.2 – 4

Uma função tem derivada de segunda ordem

f ' ' x = sen ⁡ x 2 + 6 x

Encontre a expressão da f , sabendo que seu gráfico contém o ponto 0,1 e que em tal ponto a reta tangente é paralela à reta y = 3 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

De início, a gente já vê que trabalhamos com uma derivada de segunda ordem, de onde tiramos que esse é um problema com dois PVI’s. Vamos organizar isso tudo, se f contém o ponto 0,1 , significa que f x vale 1 quando x vale 0 , ou seja:

f 0 = 1

Da mesma forma, se quando x = 0 a reta tangente ao gráfico é paralela a 3 x , temos que a derivada nesse ponto valerá o mesmo que o coeficiente angular dessa reta, ou seja:

f ' 0 = 3

Esse é o problema que temos que resolver, por fim:

f ' ' x = sen ⁡ x 2 + 6 x

f ' 0 = 3

f 0 = 1

Passo 2

Assim, vamos pensar na função f ' x que quando derivada vai gerar essa f ' ' x . Nesse caso, temos um seno (cuidado com o fato de que ele tem um x 2 dentro, não só x ) e um polinômio do primeiro grau.

Com isso, vamos escrever a função que geraria isso com um cosseno de mesmo argumento x 2 e um polinômio um grau acima, segundo grau:

f ' x = a cos ⁡ x 2 + b x 2

Derivando:

f ' ' x = - a 2 sen ⁡ x 2 + 2 b x

Comparando com a derivada..

f ' ' x = sen ⁡ x 2 + 6 x

Teremos

a = - 2     ;     b = 3

f ' x = - 2 cos ⁡ x 2 + 3 x 2 + C

Onde C é uma constante qualquer.

Passo 3

Usando a condição da derivada em x = 0 :

f ' 0 = 3

Teremos

f ' x = - 2 cos ⁡ x 2 + 3 x 2 + C

f ' 0 = - 2 cos ⁡ 0 2 + 3 0 2 + C = 3

- 2 cos ⁡ 0 + 0 + C = 3

- 2 1 + C = 3

C = 3 + 2 = 5

Assim,

f ' x = - 2 cos ⁡ x 2 + 3 x 2 + 5

Passo 4

Assim, vamos pensar na função f x que quando derivada vai gerar essa f ' x . Nesse caso, temos um cosseno (cuidado, novamente, com o fato de que ele tem um x 2 dentro), um polinômio do segundo grau e um de grau zero (a constante 5 ).

Com isso, vamos escrever a função que geraria isso com um seno de mesmo argumento x 2 e um polinômio um grau acima para cada um deles, terceiro e primeiro grau, respectivamente:

f x = d sen ⁡ x 2 + e   x 3 + f x

Derivando:

f ' x = d 2 sen ⁡ x 2 + 3 e x 2 + f

Comparamos com a f ' x :

f ' x = - 2 cos ⁡ x 2 + 3 x 2 + 5

Assim, as constantes e a função serão:

d = - 4     ;     e = 1     ;     f = 5

f x = - 4 sen ⁡ x 2 + x 3 + 5 x + D

Onde D é uma constante qualquer.

Passo 5

Usando a condição da derivada em x = 0 :

f 0 = 1

Teremos

f x = - 4 sen ⁡ x 2 + x 3 + 5 x + D

f 0 = - 4 sen ⁡ 0 2 + 0 3 + 5 0 + D = 1

- 4 0 + 0 + 0 + D = 1

D = 1

Assim, teremos finalmente:

f x = - 4 sen ⁡ x 2 + x 3 + 5 x + 1

Resposta

f x = - 4 sen ⁡ x 2 + x 3 + 5 x + 1

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas