Primitivas

Teoria Completa

E aii, dá uma olhada nessa belezinha:

f ' x = 3 x 2

Aqui eu estou te mostrando que uma função foi derivada, e chegou ao resultado de 3 x 2 .

Mas e se eu te perguntar, que função f ( x ) , é essa?

Complicado né, se eu te dou uma função você já sabe o que fazer para encontrar sua derivada, mas como fazer a operação contrária?

É aai que entra a ideia de primitivas e para achá-la, basta seguir o caminho oposto da derivada.

Então, vamos pensar:

Quando queremos derivar um polinômio, reduzimos um grau no numerador. Então, para fazer o sentido inverso, vamos adicionar:

3 x 2 + 1 = 3 x 3

Além disso, ao derivar multiplicamos pelo denominador, agora, para a primitiva, vamos dividir:

3 x 3 3 = x 3 + C

Pronto! Esse C sempre aparece nas primitivas e representa uma constante qualquer.

Isso se deve ao fato que, quando derivamos, toda constante é perdida e quando tentamos voltar através para primitiva, não tem que como saber qual é a constante, então representamos por um C geral e bonito.

Primitivas mais comuns

  • Funções constantes f x = k :
  • Quando temos uma função constante, para fazermos a primitiva basta apenas colocarmos a variável que foi derivada x junto com a constante.

    Primitiva:

    k → k x + C

    Ex:

    f x = 1 2

    Uma primitiva é:

    1 2 x + C

  • Função polinomial:
  • Quando derivamos, derrubamos o expoente multiplicando a varável e reduzimos um grau, assim na primitiva aumentamos um grau e dividimos pelo expoente.

    Primitiva:

    x n → x n + 1 n + 1 + C

    Ex:

    f x = 3 x 2

    Uma primitiva é:

    3 x 2 + 1 2 + 1 + C → x 3 + C  

  • Funções trigonométricas:
  • Primitiva de f x = s e n x :

    - cos ⁡ x + C

    Primitiva de f x = cos ⁡ x :

    sen ⁡ x + C

    Primitiva de f x = tg ⁡ x sec ⁡ x :

    sec ⁡ x + C

    Primitiva de f x = cotg ⁡ x csc ⁡ x :

    - csc ⁡ x + C

    Primitiva de f x = cosh ⁡ x :

    senh ⁡ x + C

    Primitiva de f x = sec 2 ⁡ x :

    tg ⁡ x + C

  • Outras funções especiais:

Primitiva de f x = 1 x

ln ⁡ x + C

Primitiva de f x = e k x

e k x k + C

E com derivadas de ordem superior?

Essa doidera de primitiva pode ter para derivadas de ordens maiores, por exemplo, queremos f x onde

f ' ' x = 2

Lembre-se que a derivada de ordem 2 vai ser:

f ' ' x = f ' x '

Então vamos pensar de novo na primitiva, qual função tem derivada 2 ? Vai ser 2 x , pelo nosso método, não esquecendo a constante. Então aquela função dentro da derivada vai ser 2 x mais a constante

f ' x = 2 x + C

Opa, voltando para derivada de novo, vamos pensar a mesma coisa. A primitiva de 2 x será x 2 . A da constante vai ser C x , pelo método. Temos que colocar mais uma constante hein!

f x = x 2 + C x + D

E essa é a nossa função que tem a segunda derivada sendo 2 . Sacou? É só ir repetindo o processo de antes. Fique atento, que aqui vão aparecer várias constantes que podem ser diferentes, então uma letra para cada uma, ok?

Problema de Valor Inicial

Show, vimos o que é essa história de primitiva. No título tem essa parada de Valor Inicial.

WTF? Calma jovem!

Basicamente, lembra que achávamos as funções primitivas e colocávamos uma constante C aleatória no resultado, certo? O barato agora é, através de um valor dado pelo exercício, descobrir essa constante! Esse é o Problema de valor inicial, ou PVI.

Vamos ver isso num exemplo.

Ex: Determine a função f x onde f ' x = 2 x e f 2 = 3 .

Qual função cuja derivada é 2 x ? Esse é o exemplo inicial. A primitiva vai ser

f x = x 2 + C

Não podemos deixar de colocar a constante. Repara que dessa vez ele quer que f 2 = 3 . O que isso significa? Aquela função que achamos precisa obedecer isso.

Então vamos ter

f 2 = 2 2 + C = 3

4 + C = 3

C = - 1

Opaaa!! A constante agora é alguém, ele é um valor específico!

Pegou? Então vamos destruir nos exercícios de fixação, vem comigo!

Expandir

Exercício Resolvido #1

sGeorge B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg , 32a

Encontre as possíveis funções com as derivadas dadas.

y ' = sec 2 ⁡ θ

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Passo 1

Bom, vamos tentar achar a primitiva da nossa função, ou seja, o cara que quando a gente deriva dá sec 2 ⁡ θ .

Pra isso precisamos lembrar de algumas derivadas de funções trigonométricas, mais especificamente da função tg ⁡ θ , porque:

( tg ⁡ θ ) ' = sec 2 ⁡ θ

Ooopa exatamente o que a gente queria. Então sabendo disso vamos falar que a nossa função y será basicamente tg ⁡ θ multiplicada por uma constante:

y = a tg ⁡ θ

Passo 2

Então derivamos esse cara e comparamos ao termo do enunciado:

y ' = a tg ⁡ θ ' = a sec 2 ⁡ θ

Comparamos com isso aqui:

y ' = sec 2 ⁡ θ

Nesse caso, notamos que a = 1 . Assim, a função final será:

y = tg ⁡ θ + C

Onde C é uma constante qualquer.

Resposta

y = tg ⁡ θ + C

Exercício Resolvido #2

George B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg 285, 28c

Encontre as possíveis funções com as derivadas dadas.

y ' = 3 x 2 + 2 x - 1

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Passo 1

Na derivada nós temos polinômios de grau zero, um e dois. Ora, pela nossa tabela, escrevemos a função referente a isso:

x 2 + 1 + x 3     ;     x 1 + 1 = x 2     ;     x 0 + 1 = x

A função será basicamente essas função multiplicadas por constantes, cada uma:

y = a x 3 + b x 2 + c x

Passo 2

Então derivamos esse cara:

y ' = a x 3 + b x 2 + c x ' = 3 a x 2 + 2 b x + c

Comparamos com isso aqui:

y ' = 3 x 2 + 2 x - 1

Nesse caso, notamos as seguintes igualdades:

3 a = 3 → a = 1     ;     2 b = 2 → b = 1     ;     c = - 1

Assim, a função final será:

y = x 3 + x 2 - x + C

Onde C é uma constante qualquer.

Resposta

y = x 3 + x 2 - x + C

Exercício Resolvido #3

George B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg 346, 21

Demonstre que

d d x x x + 1 = d d x - 1 x + 1

Mesmo que

x x + 1 ≠ - 1 x + 1

Justifique sua resposta.

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Passo 1

Repara que as duas expressões que a questão dá pra gente são super parecidas, vamos tentar achar uma relação entre elas. A primeira é essa aqui:

x x + 1

Vamos ao mesmo tempo somar e subtrair 1 no numerador desse cara, vê se você concorda que não estamos mudando o valor da expressão:

x + 1 - 1 x + 1

Organizando pra aparecer um termo igual ao denominador:

x + 1 - 1 x + 1

Vamos quebrar isso em duas frações:

x + 1 x + 1 - 1 x + 1

⟹ 1 - 1 x + 1

Ué, apareceu a outra expressão do enunciado, só que somada de 1 . Chegamos então nessa relação maneiríssima entre as duas expressões do enunciado:

x x + 1 = 1 - 1 x + 1

Passo 2

Vamos agora pegar essa relação em que chegamos e derivar dos dois lados:

d d x x x + 1 = d d x 1 - 1 x + 1

Abrindo a derivada do lado direito:

d d x x x + 1 = d ( 1 ) d x + d d x - 1 x + 1

Como derivada de constante é 0 :

d d x x x + 1 = d d x - 1 x + 1

Opaaa reparou aonde nós chegamos? Ah e em momento nenhum usamos que x x + 1 = - 1 x + 1 , ou seja, essa relação entre as derivadas vale seeempre, mesmo quando essas expressões assumem valores diferentes. Então acabamos de demonstrar o que o enunciado nos pede.

Resposta

d d x x x + 1 = d d x - 1 x + 1

d e m o n s t r a ç ã o   a c i m a

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Encontre as possíveis funções com as derivadas dadas.

y ' = e x + 2 tg ⁡ x sec ⁡ x + 14 x

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Passo 1

Para achar a primitiva dessa função, vamos na tabela e escrevemos o termo referente a cada um. Para e x , escrevemos o próprio e x . Para tg ⁡ x sec ⁡ x , colocamos sec ⁡ x . Já para o 1 x , teremos ln ⁡ x . Assim,

e x     ;   sec ⁡ x     ;   ln ⁡ x

Multiplicando cada termo por uma constante e somando-os, teremos:

y = a   e x + b sec ⁡ x + c ln ⁡ x

Passo 2

Derivando y vamos obter:

y ' = a   e x + b tg ⁡ x sec ⁡ x + c x

Nesse caso, comparando com a derivada dada no enunciado, as constantes serão:

y ' = e x + 2 tg ⁡ x sec ⁡ x + 14 x

a = 1       ;       b = 2       ;       c = 14

Por fim, a função é:

y =   e x + 2 sec ⁡ x + 14 ln ⁡ x + C

Onde C é uma constante qualquer.

Resposta

y =   e x + 2 sec ⁡ x + 14 ln ⁡ x + C