Regras de Derivação

Teoria Completa

E aí! Bem vindo ao RespondeAi, aqui você vai conseguir tirar todas as suas dúvidas de Cálculo e de qualquer outra matéria do curso de exata que você estiver cursando. Hoje estaremos interessados em ver e entender as principais regras de derivação, também conhecidos como propriedades que utilizamos na hora de calcular praticamente todas as derivadas.

Imagina ter que calcular a definição todas as vezes que tivéssemos que calcular uma derivada:

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

Acho que ninguém ia aguentar, e por isso que aprendemos essas regras que simplificam nossas vidas.

Nessa página não vamos falar ainda de Técnicas de Derivação, como Regra da Cadeia ou sobre Derivação de funções Trigonométricas, mas esse tipo de conteúdo é abordado em breve, aqui na matéria de Cálculo, no assunto de Derivadas. Então vamos as nossa regrinhas!

As regras de derivação mais simples são também as mais importantes, então vou listá-las resumidamente, para em seguida resolver alguns exemplos com vocês. Realmente recomendo que, se você quer aprender bem esse tópico é importante que além de ter a teoria em mente, você pratique bastantes exercícios antes de sua prova.

📢OBS: No nosso site você encontra diversos exercícios resolvidos, inclusive exercícios de livros. Temos a resolução de todos os exercícios de diversas edições do Stewart e do Guidorizzi, tudo com nossa metodologia Passo a Passo, confere lá!

Derivada de Constante

  • Se $f(x)=k$, então $f'(x)=0$

Derivada de $x$

  • Se $f(x)=kx$, então $f'(x)=k$

Regra do Polinômio

  • Se $f(x)=x^n$, então $f'(x)=nx^{n-1}$

Regra da Soma e Subtração

$$(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$$
$$(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)$$

Regra da Multiplicação por Constante

$$(kf(x))'=kf'(x)$$

Essas são as Top 5 regrinhas, mas as que você mais vai ficar relembrando são as 3 primeiras. E além dessas existem outras que são mais situacionais:


Regra do Produto

$$f(x)×g(x)=f'(x)×g(x)+f(x)×g'(x)$$

Regra do Quociente

$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x)×g(x)-f(x)×g'(x)}{[g(x)]^2}$$

Todas essas regras de derivação serão utilizadas na maioria das matérias no decorrer do curso, mas esse tipo de teoria sempre fica mais clara com exemplos e exercícios. Nossa equipe de Experts já preparou uma listinha em ordem crescente de dificuldade para você não ficar perdido nessa matéria, aproveite nossa resolução Passo a Passo em texto e em vídeo. Confere nossos planos e bons estudos!

Exercícios

Vamos lá fazer alguns exercícios como exemplos de regras de derivação.

Ache as derivadas:

  • a)$f(x)=7x^4+3x^2+2x+5$
  • b)$f(x)=\frac{3}{x^2}$
  • c)$f(x)=\frac{3x^2+1}{x^\frac{3}{2}}$

Passo 1

Nossos exercícios sempre vem acompanhados de uma solução passo a passo. Nesse exemplo vamos utilizar cada passo para calcular uma letra, então para cada letra vamos identificar quais regras vamos utilizar para descobrir a derivada:

Na letra a), temos um polinômio, com quatro parcelas. Para as três primeiras parcelas vamos utilizar a regra do polinômio, e para a última parcela vamos utilizar a regra da constante:

$$f'(x)=4.(7x^3)+2.(3x)+2 + 0$$

Dessa forma:

$$f'(x)=28x^3+6x+2$$

Passo 2

Para resolver a alternativa b) novamente utilizaríamos a regra do polinômio, da seguinte forma:

$$f(x)=\frac{3}{x^2}=3x^{-2}$$

Logo:

$$f'(x)=-2.(3x^{-3})=-6x^{-3}$$

Cuidado para não somar 1 no expoente nesses casos! Repara que a gente continuou diminuindo com o número do expoente: $-2-1=-3$.

Passo 3

Para a alternativa c) temos a seguinte função:

$$f(x)=\frac{3x^2+1}{x^\frac{3}{2}}$$

Nesse caso, podemos interpretar como a divisão entre duas funções:

$$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{3x^2+1}{x^\frac{3}{2}}$$

Portanto, devemos utilizar a regra do quociente:

$$\frac{h(x)}{g(x)}=\frac{h'(x)×g(x)-h(x)×g'(x)}{[g(x)]^2}$$

Vamos calcular individualmente:

$$h(x)=3x^2+1$$

Usando a regra do polinômio e a regra da constante:

$$h'(x)=2.(3x)+0=6x$$

E para $g(x)$, podemos derivar usando a regra do polinômio, achando:

$$g'(x)=\frac{3}{2}.(x^\frac{1}{2})$$

Assim como anteriormente o que estava no expoente, caiu multiplicando, e foi subtraído 1 do expoente. Escrevendo a regra do quociente:

$$f'(x)=\frac{6x.x^\frac{3}{2}-(3x^2+1).\frac{3x^\frac{1}{2}}{2}}{\Big(x^\frac{3}{2}\Big)^2}$$
$$f'(x)=\frac{6x^\frac{5}{2}-\Big(\frac{9x^\frac{5}{2}+3x^\frac{1}{2}}{2}\Big)}{x^3}$$
$$f'(x)=\frac{\frac{12x^\frac{5}{2}-9^\frac{5}{2}-3x^\frac{1}{2}}{2}}{x^3}$$
$$f'(x)=\frac{3x^\frac{5}{2}-3x^\frac{1}{2}}{2x^3}$$

Aqui a questão já estaria resolvida, mas ainda podemos efetuar algumas simplificações:

$$f'(x)=\frac{3x^\frac{5}{2}}{2x^3}-\frac{3x^\frac{1}{2}}{2x^3}=\frac{3}{2}.(x^{-\frac{1}{2}}-x^{-\frac{5}{2}})$$

Resposta

$$\text{a)}f'(x)=28x^3+6x+2$$
$$\text{b)}f'(x)=-6x^{-3}$$
$$\text{c)}f'(x)=\frac{3}{2}.(x^{-\frac{1}{2}}-x^{-\frac{5}{2}})$$

Legal né? Para finalizar, porque não acomapanhar essa resolução em vídeo, que tem menos de 4 minutinhos!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria.

Sendo f ( x ) a função dada pelo gráfico abaixo, diga onde a derivada de f ( x ) é positiva, negativa ou nula.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Basicamente o enunciado está nos pedindo o sinal da derivada de f ( x ) .

Bom... Caso você tenha se esquecido, a derivada de f ( x ) em um determinado ponto nada mais é do que o coeficiente angular da reta tangente à curva naquele ponto.

Com isso, nós temos que analisar alguns pontos distintos desse gráfico para identificarmos se esse coeficiente é positivo, negativo ou nulo.

Mas antes, se liga nesses exemplos:

a) f ' x = 0

A reta tangente à curva não possui inclinação.

b) f ' x < 0

A reta tangente à curva é decrescente.

c) f ' x > 0

A reta tangente à curva é crescente.

Passo 2

Graficamente, se nós analisarmos a derivada de f ( x ) para valores à esquerda de x = 0 , conseguimos identificar que o coeficiente é positivo, certo?

Dá uma olhadinha aqui:

Como a reta verde (reta tangente à f ( x ) quando x < 0 ) é crescente, o seu coeficiente angular é positivo.

Com isso, temos que: quando x < 0 , f ' x > 0 .

Passo 3

Mais à direita do gráfico, em uma outra análise, o coeficiente angular da reta tangente à f ( x ) também é positivo:

Isso acontece, pois a reta azul (reta tangente à f ( x ) quando x > 0 ) é crescente.

Com isso, temos que: quando x > 0 , f ' x > 0 .

Passo 4

Agora vamos analisar o ponto central, quando x = 0 :

Como podemos ver, nesse ponto, a reta amarela (reta tangente à f ( x ) quando x = 0 ) não possui inclinação, logo, é nula.

Com isso, temos que: quando x = 0 , f ' x = 0 .

Resposta

Portanto, temos que quando:

x = 0 ; f ' x = 0

x < 0 ; f ' x > 0

x > 0 ; f ' x > 0

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Ache a derivada de:

f x = 7 x 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A função é um polinômio, x 4 , multiplicado por uma constante, 7. Temos que usar a regra da multiplicação por constante e a fórmula da derivada de polinômio. Vamos lembrar?

Para a multiplicação por constante

k f x ' = k f ' x

E, para o polinômio

x n ' = n x n - 1

Passo 2

Vamos fazer isso tudo junto, primeiro a constante

f ' x = 7 x 4 ' = 7 x 4 '

Agora vamos derivar aquele polinômio

f ' x = 7 4 x 4 - 1 = 7 4 x 3

Isso vai dar

f ' x = 28 x 3

Resposta

f ' x = 28 x 3

Exercício Resolvido #3

James Stewart, Cálculo Vol. 1, 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010, pp. 136 – 9a

Encontre a inclinação da reta tangente à curva 10 x 11 - 5 x 10 + 7 x 4 + x 3 - 15 no ponto onde x = 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nós sabemos que, a inclinação da reta tangente em um ponto é a derivada da função naquele ponto. Então, se a equação da reta for

y = m x + n

Temos

  m = f ' 1

Na verdade, só precisamos achar a derivada dessa função em 1

Passo 2

Vamos começar achando a derivada de f x

f ' x = 10 x 11 - 5 x 10 + 7 x 4 + x 3 - 15 ' = 10 x 11 ' - 5 x 10 ' + 7 x 4 ' + x 3 ' - 15 '

= 110 x 10 - 50 x 9 + 28 x 3 + 3 x 2

Passo 3

Agora achamos essa derivada em x = 1

f ' 1 = 110 . 1 10 - 50 . 1 9 + 28 . 1 3 + 3 . 1 2

f ' 1 = 110 - 50 + 28 + 3 = 91

Essa será a inclinação da reta!

Resposta

91

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

Calcule a derivada da função:

y = 3 x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Pra começar, vamos dar uma arrumada nessa função e escrevê-la como forma de polinômio:

y = 3 x 2 → y = 3 x - 2

Passo 2

A função é um polinômio, x - 2 , multiplicado por uma constante, 3. Temos que usar a regra da multiplicação por constante e a fórmula da derivada de polinômio. Vamos lembrar?

Para a multiplicação por constante

k f x ' = k f ' x

E, para o polinômio

x n ' = n x n - 1

Passo 3

Aplicando a regra da derivada de um polinômio:

f x = x n → f ' x = n x n - 1

Teremos:

y = 3 x - 2

d y d x = 3 - 2 x - 2 - 1

= - 6 x - 3 = - 6 x 3

Resposta

d y d x = - 6 x 3

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

Ache a derivada de:

y = x 2 + x 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Aqui temos uma soma. Então vamos lembrar a fórmula para a soma?

d ( f + g ) d x = d f d x + d g d x

Além disso, temos polinômios, então vamos usar

d x n d x = n x n - 1

Passo 2

Para o nosso caso, vamos fazer

f x = x 2

g x = x 3

Aplicando a derivada da soma, temos que:

y ' = x 2 ' + x 3 '

Passo 3

Aplicando a fórmula de derivação para o primeiro polinômio

x 2 ' = 2 x

Passo 4

Vamos arrumar aquela raiz cubica em forma de polinômio

x 3 → x 1 3

Passo 5

Derivando a expressão acima vamos ter

x 1 3 ' = 1 3 x - 2 3

Somando tudo vamos ter

y ' = 2 x + 1 3 x - 2 3

Resposta

y ' = 2 x + 1 3 x - 2 3

Exercício Resolvido #6

Elaboração própria

Calcule a derivada da função:

f x = 3 x 2 + 1 x 3 / 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Calma aí, eu sei fazer a derivada de um e outro polinômio separado. Agora, uma divisão entre eles? Nope, aí eu ainda não sei.

Claro que sabe! Sabe porque isso aí são apenas dois polinômios escondidos. Se eu dividir os dois de cima pelo de baixo, olha o que vem:

f x = 3 x 2 + 1 x 3 / 2 = 3 x 2 x 3 / 2 + 1 x 3 / 2 = 3 x 1 2 + x - 3 2

Passo 2

Agora vou derivar a partir de:

f ' x = n x n - 1

Ou seja, ficaria com

f ' x = 3 x 1 2 ' + x - 3 2 ' = 3 1 2 x 1 2 - 1 + - 3 2 x - 3 2 - 1 = 3 x - 1 2 2 - 3 x - 5 2 2

Resposta

f ' x = 3 x - 1 2 2 - 3 x - 5 2 2

Exercício Resolvido #7

George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp.210-67

Qual(is) das afirmações a seguir pode ser verdadeira se f ' ' x = x - 1 3 ?

a   f x = 3 2 x 2 3 - 3

b   f ' ' ' x = - 1 3 x - 4 3

c   f x = 9 10 x 5 3 - 7

d   f ' x = 3 2 x 2 3 + 6

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para essa questão, teremos que pegar cada caso e analisa-lo através da derivada:

Observando a , temos um possível f x . Vamos achar f ' x pela derivação:

f ' x = 3 2 x 2 3 - 3 ' = 3 2 x 2 3 ' - 3 '

= 3 2 2 3 x - 1 3 - 0

= x - 1 3

Repara, se f ' x já for igual a x - 1 3 , é impossível que f ' ' x também seja.

Passo 2

Em b nós temos a derivada terceira. Vamos derivar o f ' ' e ver se o resultado bate:

f ' ' x = x - 1 3 ' = - 1 3 x - 1 3 - 1

= - 1 3 x - 4 3

Bateu!

Passo 3

Agora c temos o f x . Com ele, temos que derivar para achar f ' x e então f ' ' x para ver se bate com o do enunciado:

f ' x = 9 10 x 5 3 - 7 ' = 9 10 x 5 3 ' - 7 '

= 9 10 5 3 x 2 3 - 0

= 3 2 x 2 3

Agora derivamos para ter o f ' ' x e ver se ele bate:

f ' ' x = 3 2 x 2 3 ' = 3 2 2 3 x - 1 3

= x - 1 3

Bateu, então é um f possível

Passo 4

Olhamos o d , que dá um f ' x . Se a derivada desse cara bater, ele é válido:

f ' ' x = 3 2 x 2 3 + 6 ' = 3 2 x 2 3 ' + 6 '

= 3 2 2 3 x - 1 3 - 0

= x - 1 3

Também bateu.

Resposta

b ,   c   e   d   s ã o   f u n ç õ e s   q u e   p o d e m   g e r a r   f ' ' x = x - 1 3

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