Propriedades de Derivadas

Resumo Completo

Introdução

O carrinho abaixo se desloca em linha reta para a direita:

Beleza, te digo o seguinte: o carrinho andou 100   k m de 10 h da manhã até 11 h . Te pergunto, qual é a velocidade média dele? E qual é a velocidade dele às 10 : 30 ?

Repare, a primeira pergunta é sobre a velocidade média, enquanto a segunda é sobre a velocidade no instante (ou instantânea). Pra primeira, é fácil:

v M = S t = 100 11 - 10 = 100   k m / h

Agora, responder a segunda só com as informações dadas é impossível!

A velocidade instantânea pode ser 100 , caso ele tenha mantido a velocidade constante sempre, pode ser 0 , se ele ficou parado em algum momento. Enfim, uma infinidaaaade de outras possibilidades.

Ok, mas como eu conseguiria descobrir essa taxa de variação instantânea? Sim, através da nossa queridíssima derivada!

Melhorando: a derivada é a taxa de variação instantânea de uma grandeza em relação a outra (no nosso caso, a variação da posição em relação ao tempo).

Está abstrato ainda? Aguarde e confie, hora de aprofundar!

Limites e Derivadas

Cara, pensa assim: concorda que num intervalo bem pequeno eu poderia aproximar a velocidade no instante pela média dela?

Digo, para um objeto que se move com posição dada por s ( t ) eu posso ir aproximando a velocidade instantânea dele num ponto A , pela velocidade média desse ponto e de alguém perto dele.

Acompanha o exemplo: aproximando para t = 1 ; t = 3 :

v média = Δ s Δ t

v média = s 3 - s 1 3 - 1   v ( 1 )

Quero uma precisão maior, vou usar t = 2 , que é mais perto de t = 1 :

v ( 1 ) s 2 - s ( 1 ) 2 - 1

Tá fraco ainda, quero mais certo, t = 1.5 :

v ( 1 ) s 1.5 - s ( 1 ) 1.5 - 1

v ( 1 ) s 1.1 - s 1 1.1 - 1

v ( 1 ) s 1.01 - s ( 1 ) 1.01 - 1

v ( 1 ) s 1.001 - s ( 1 ) 1.001 - 1

Vou assim infinitamente, por que eu quero essa maldita velocidade exata, no instante t = 1 .

Gente, vamos fazer assim, vou dizer que estou num intervalo t = 1 ; t = 1 + t :

v 1 s 1 + Δ t - s 1 1 + Δ t - 1 = s 1 + Δ t - s ( 1 ) Δ t

E que eu quero que esse t seja muito muito muuuuuuuito pequeno, ou seja, o limite com ele indo para 0 :

v 1 = lim Δ t 0 s 1 + Δ t - s ( 1 ) Δ t

O resultado dessa conta vai depender da função s ( t ) . Digamos que a função fosse s t = t 2 , s em m e t em s . Qual a velocidade do carro em t = 1 s ? Só aplicar a fórmula:

v 1 = lim Δ t 0 s 1 + Δ t - s ( 1 ) Δ t = lim Δ t 0 1 + Δ t 2 - 1 2 Δ t

v 1 = lim Δ t 0 ( 1 + 2 Δ t + Δ t 2 ) - 1 2 Δ t

v 1 = lim Δ t 0 2 Δ t + Δ t 2 Δ t = lim Δ t 0 2 + Δ t

v 1 = 2   m / s

Logo, a velocidade instantânea para um ponto t 0 qualquer é só trocar o 1 por t 0 :

v t 0 = lim Δ t 0 s t 0 + Δ t - s t 0 Δ t

Generalizando, a derivada de uma função f x , assim como para s t , pode ser calculada pela sua definição, que é:

f ' x = lim Δ x 0 f x + Δ x - f x Δ x

Notação

Se quiséssemos representar essa derivada da função, escreveríamos assim:

v t = d s t d t

Existem várias maneiras de representar uma derivada. A mais explícita delas é a seguinte:

y = f x ,     d y d x = d f x d x

Lê-se derivada de y em relação a x . Outra maneira, mais prática é a seguinte:

y ' = f ' x

Interpretação Gráfica

Graficamente, a derivada em um ponto é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico naquele ponto. Isso pode parecer abstrato de início, mas é uma noção que você vai se acostumando aos poucos. Dá uma olhada nesse gráfico a seguir:

Vamos por partes. Tem a função em laranja. E temos a sua reta tangente num ponto qualquer.

A equação da reta vai ser

y = a x + b

O coeficiente angular da reta tangente é igual à derivada da função naquele ponto.

a = f ' x

O coeficiente angular ainda se conecta com a inclinação θ da reta da seguinte forma:

tg θ = a = f ' x

Se quiser um olhar mais físico, pra não nos perdermos nessas relações matemáticas todas, imagine que o gráfico da função é um trilho de trem visto de cima, e num dado ponto o trilho se rompesse. A direção que o vagão vai seguir nesse ponto é a direção da reta tangente. Sentiu?

Por consequência, a gente tira uma informação importante: quanto mais inclinada for essa reta tangente, maior é a derivada da função; quanto menos inclinada for a reta tangente, menor é a derivada da função estudada.

Agora vamos calcular algumas derivadas!

Multiplicação por Constante

Vamos aprender a derivar qualquer tipo de função. Vamos começar com a derivada de uma função multiplicada por uma constante.

k f x ' = k f ' x

Onde k é uma constante. Basta derivar a função sem a constante e multiplicar pela constante depois.

Soma e subtração

Agora vamos ver a derivada de uma soma ou subtração de função. Aqui a soma e subtração continua

f x + g x ' = f ' x + g ' x

E

f x - g x ' = f ' x - g ' x

Até aí ok, certo? Nada demais

Derivada da Função Constante

Seja f x = k , onde k é uma constante qualquer. Então

f ' x = 0

Qualquer MESMO.

Por exemplo

f x = 3

f x = 1,78646

f x = π

Qual é a derivada de f ( x ) ? Sempre 0 .

Logo, a derivada de uma constante qualquer vai ser ZERO.

Derivada de Polinômio

A brincadeira agora é saber a derivada de um polinômio qualquer x n . Bem, o resultado dessa brincadeira é:

f ' x = n x n - 1

Basta multiplicar o polinômio por n e subtrair 1 no n no expoente de x

Exemplos:

f x = x 5 f ' x = 5 x 5 - 1 = 5 x 4

OBS: Essa derivada vale para qualquer n MESMO.

f x = 1 x 2 f ' x = 1 x 2 ' = x - 2 ' = - 2 x - 2 - 1 = - 2 x - 3 = - 2 x 3

f x = x 1 2 f ' x = 1 2 . x 1 2 - 1 = 1 2 x - 1 2

f x = x π f ' x = x π ' = π x π - 1

Feião isso, mas está certinho.

Podemos mesclar polinômios com as propriedades lá em cima:

v t = a t v ' t = a t ' = a . 1 t 1 - 1 = a t 0 = a

y x = 3 x 17 y ' x = 3 x 17 ' = 3 . 17 x 17 - 1 = 51 x 16

Misturando tudo

f x = x 3 - 7 x + 2 x 2 + 9

Primeiro fazemos a multiplicação por constante

f ' x = x 3 ' - 7 x ' + 2 x 2 ' + 9 ' = x 3 ' - 7 x ' + 2 x 2 ' + 9 '

Agora derivamos o polinômio

f ' x = 3 x 3 - 1 - 7 1 . x 1 - 1 + 2 2 x 2 - 1 + 0 = 3 x 2 - 7 + 4 x

Derivada de Ordem Maior que 1

Ordem? WTF brou... Calma, pega a função f x = x 7 a derivada vai ser

f ' x = 7 x 6

Podemos derivar essa parada de novo,

f ' x ' = 7.6 x 5 = 42 x 5

Quantas vezes eu derivei a função original? 2 né? Então essa é a derivada de 2 ª ordem.

Se eu quiser agora a derivada de 3 ª ordem dessa f x ? É só derivar de novo

f ' x ' ' = 42.5 x 4 = 210 x 4

Posso fazer isso eternamente. Repara que a ordem nada mais é que a quantidade de vezes que derivamos essa função. Então, se eu quiser a ordem 7546 eu preciso ir derivando 7546 vezes até chegar na que ele quer.

Eu preciso ficar escrevendo esses milhões de tracinhos com milhões de parêntese? Não meu jovem. A notação das derivadas de ordem superior é parecida com antes

O r d e m   2 f ' ' x O r d e m   3 f ' ' ' x O r d e m   4 f 4 x

Até a ordem 3 você coloca tracinhos, mas tudo junto. A partir da ordem 4 só colocar o número ali junto da função entre parênteses.

Outra forma de escrever é

O r d e m   2 d 2 f d x 2 O r d e m   3 d 3 f d x 3 O r d e m   4 d 4 f d x 4

Coloca o número da ordem com o d elevado, e embaixo coloca o x elevado a isso.

O r d e m   n d n f d x n

Partiu Exercícios!!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Elaboração própria

Sendo f ( x ) a função dada pelo gráfico abaixo, diga onde a derivada de f ( x ) é positiva, negativa ou nula.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Bem, ele pediu o sinal da derivada. Vamos pensar, nós sabemos que a derivada em um ponto é o coeficiente angular da reta tangente à curva naquele ponto. Então, a gente vai precisar analisar esse coeficiente para alguns casos.

Passo 2

Graficamente, nós podemos ver que o coeficiente da reta tangente a f ( x ) à esquerda de x = 0 é positivo, certo? Olha aqui:

Como a reta verde está inclinada para cima x y > 0 , sabemos que seu coeficiente angular é positivo.

Ou seja:

f ' x > 0 ;   x < 0

Passo 3

Como podemos ver, à direita, o coeficiente da reta tangente à f ( x ) também é positivo (isso porque a reta tangente, está inclinada para cima):

f ' x > 0 ;   x > 0

Passo 4

Agora vamos analisar o ponto do meio, x = 0 . Temos isso aqui:

Como podemos ver, nesse ponto, a derivada é nula.

f ' x = 0 ;   x = 0

Resposta

f ' x > 0 ;   x < 0

f ' x = 0 ;   x = 0

f ' x > 0 ;   x > 0

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Elaboração Própria

Ache a derivada de:

f x = 7 x 4

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

A função é um polinômio, x 4 , multiplicado por uma constante, 7. Temos que usar a regra da multiplicação por constante e a fórmula da derivada de polinômio. Vamos lembrar?

Para a multiplicação por constante

k f x ' = k f ' x

E, para o polinômio

x n ' = n x n - 1

Passo 2

Vamos fazer isso tudo junto, primeiro a constante

f ' x = 7 x 4 ' = 7 x 4 '

Agora vamos derivar aquele polinômio

f ' x = 7 4 x 4 - 1 = 7 4 x 3

Isso vai dar

f ' x = 28 x 3

Resposta

f ' x = 28 x 3

Exercício Resolvido #3

Enunciado

James Stewart, Cálculo Vol. 1, 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010, pp. 136 – 9a

Encontre a inclinação da reta tangente à curva 10 x 11 - 5 x 10 + 7 x 4 + x 3 - 15 no ponto onde x = 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Nós sabemos que, a inclinação da reta tangente em um ponto é a derivada da função naquele ponto. Então, se a equação da reta for

y = m x + n

Temos

  m = f ' 1

Na verdade, só precisamos achar a derivada dessa função em 1

Passo 2

Vamos começar achando a derivada de f x

f ' x = 10 x 11 - 5 x 10 + 7 x 4 + x 3 - 15 ' = 10 x 11 ' - 5 x 10 ' + 7 x 4 ' + x 3 ' - 15 '

= 110 x 10 - 50 x 9 + 28 x 3 + 3 x 2

Passo 3

Agora achamos essa derivada em x = 1

f ' 1 = 110 . 1 10 - 50 . 1 9 + 28 . 1 3 + 3 . 1 2

f ' 1 = 110 - 50 + 28 + 3 = 91

Essa será a inclinação da reta!

Resposta

91

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Elaboração própria

Calcule a derivada da função:

y = 3 x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Pra começar, vamos dar uma arrumada nessa função e escrevê-la como forma de polinômio:

y = 3 x 2 y = 3 x - 2

Passo 2

A função é um polinômio, x - 2 , multiplicado por uma constante, 3. Temos que usar a regra da multiplicação por constante e a fórmula da derivada de polinômio. Vamos lembrar?

Para a multiplicação por constante

k f x ' = k f ' x

E, para o polinômio

x n ' = n x n - 1

Passo 3

Aplicando a regra da derivada de um polinômio:

f x = x n f ' x = n x n - 1

Teremos:

y = 3 x - 2

d y d x = 3 - 2 x - 2 - 1

= - 6 x - 3 = - 6 x 3

Resposta

d y d x = - 6 x 3

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Elaboração Própria

Ache a derivada de:

y = x 2 + x 3

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Aqui temos uma soma. Então vamos lembrar a fórmula para a soma?

d ( f + g ) d x = d f d x + d g d x

Além disso, temos polinômios, então vamos usar

d x n d x = n x n - 1

Passo 2

Para o nosso caso, vamos fazer

f x = x 2

g x = x 3

Aplicando a derivada da soma, temos que:

y ' = x 2 ' + x 3 '

Passo 3

Aplicando a fórmula de derivação para o primeiro polinômio

x 2 ' = 2 x

Passo 4

Vamos arrumar aquela raiz cubica em forma de polinômio

x 3 x 1 3

Passo 5

Derivando a expressão acima vamos ter

x 1 3 ' = 1 3 x - 2 3

Somando tudo vamos ter

y ' = 2 x + 1 3 x - 2 3

Resposta

y ' = 2 x + 1 3 x - 2 3

Exercício Resolvido #6

Enunciado

Elaboração própria

Calcule a derivada da função:

f x = 3 x 2 + 1 x 3 / 2

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Calma aí, eu sei fazer a derivada de um e outro polinômio separado. Agora, uma divisão entre eles? Nope, aí eu ainda não sei.

Claro que sabe! Sabe por que isso aí são apenas dois polinômios escondidos. Se eu dividir os dois de cima pelo de baixo, olha o que vem:

f x = 3 x 2 + 1 x 3 / 2 = 3 x 2 x 3 / 2 + 1 x 3 / 2 = 3 x 1 2 + x - 3 2

Passo 2

Agora vou derivar a partir de:

f ' x = n x n - 1

Ou seja, ficaria com

f ' x = 3 x 1 2 ' + x - 3 2 ' = 3 1 2 x 1 2 - 1 + - 3 2 x - 3 2 - 1 = 3 x - 1 2 2 - 3 x - 5 2 2

Resposta

f ' x = 3 x - 1 2 2 - 3 x - 5 2 2

Exercício Resolvido #7

Enunciado

George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp.210-67

Qual(is) das afirmações a seguir pode ser verdadeira se f ' ' x = x - 1 3 ?

a   f x = 3 2 x 2 3 - 3

b   f ' ' ' x = - 1 3 x - 4 3

c   f x = 9 10 x 5 3 - 7

d   f ' x = 3 2 x 2 3 + 6

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para essa questão, teremos que pegar cada caso e analisa-lo através da derivada:

Observando a , temos um possível f x . Vamos achar f ' x pela derivação:

f ' x = 3 2 x 2 3 - 3 ' = 3 2 x 2 3 ' - 3 '

= 3 2 2 3 x - 1 3 - 0

= x - 1 3

Repara, se f ' x já for igual a x - 1 3 , é impossível que f ' ' x também seja.

Passo 2

Em b nós temos a derivada terceira. Vamos derivar o f ' ' e ver se o resultado bate:

f ' ' x = x - 1 3 ' = - 1 3 x - 1 3 - 1

= - 1 3 x - 4 3

Bateu!

Passo 3

Agora c temos o f x . Com ele, temos que derivar para achar f ' x e então f ' ' x para ver se bate com o do enunciado:

f ' x = 9 10 x 5 3 - 7 ' = 9 10 x 5 3 ' - 7 '

= 9 10 5 3 x 2 3 - 0

= 3 2 x 2 3

Agora derivamos para ter o f ' ' x e ver se ele bate:

f ' ' x = 3 2 x 2 3 ' = 3 2 2 3 x - 1 3

= x - 1 3

Bateu, então é um f possível

Passo 4

Olhamos o d , que dá um f ' x . Se a derivada desse cara bater, ele é válido:

f ' ' x = 3 2 x 2 3 + 6 ' = 3 2 x 2 3 ' + 6 '

= 3 2 2 3 x - 1 3 - 0

= x - 1 3

Também bateu.

Resposta

b ,   c   e   d   s ã o   f u n ç õ e s   q u e   p o d e m   g e r a r   f ' ' x = x - 1 3

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