Propriedades de Derivadas

Teoria Completa

Introdução

O carrinho abaixo se desloca em linha reta para a direita:

Beleza, te digo o seguinte: o carrinho andou 100   k m de 10 h da manhã até 11 h . Te pergunto, qual é a velocidade média dele? E qual é a velocidade dele às 10 : 30 ?

Repare, a primeira pergunta é sobre a velocidade média, enquanto a segunda é sobre a velocidade no instante (ou instantânea). Pra primeira, é fácil:

v M = ∆ S ∆ t = 100 11 - 10 = 100   k m / h

Agora, responder a segunda só com as informações dadas é impossível!

A velocidade instantânea pode ser 100 , caso ele tenha mantido a velocidade constante sempre, pode ser 0 , se ele ficou parado em algum momento. Enfim, uma infinidaaaade de outras possibilidades.

Ok, mas como eu conseguiria descobrir essa taxa de variação instantânea? Sim, através da nossa queridíssima derivada!

Melhorando: a derivada é a taxa de variação instantânea de uma grandeza em relação a outra (no nosso caso, a variação da posição em relação ao tempo).

Está abstrato ainda? Aguarde e confie, hora de aprofundar!

Limites e Derivadas

Cara, pensa assim: concorda que num intervalo bem pequeno eu poderia aproximar a velocidade no instante pela média dela?

Digo, para um objeto que se move com posição dada por s ( t ) eu posso ir aproximando a velocidade instantânea dele num ponto A , pela velocidade média desse ponto e de alguém perto dele.

Acompanha o exemplo: aproximando para t = 1 ; t = 3 :

v média = Δ s Δ t

v média = s 3 - s 1 3 - 1   ≈ v ( 1 )

Quero uma precisão maior, vou usar t = 2 , que é mais perto de t = 1 :

v ( 1 ) ≈ s 2 - s ( 1 ) 2 - 1

Tá fraco ainda, quero mais certo, t = 1.5 :

v ( 1 ) ≈ s 1.5 - s ( 1 ) 1.5 - 1

v ( 1 ) ≈ s 1.1 - s 1 1.1 - 1

v ( 1 ) ≈ s 1.01 - s ( 1 ) 1.01 - 1

v ( 1 ) ≈ s 1.001 - s ( 1 ) 1.001 - 1

Vou assim infinitamente, por que eu quero essa maldita velocidade exata, no instante t = 1 .

Gente, vamos fazer assim, vou dizer que estou num intervalo t = 1 ; t = 1 + ∆ t :

v 1 ≅ s 1 + Δ t - s 1 1 + Δ t - 1 = s 1 + Δ t - s ( 1 ) Δ t

E que eu quero que esse ∆ t seja muito muito muuuuuuuito pequeno, ou seja, o limite com ele indo para 0 :

v 1 = lim Δ t → 0 ⁡ s 1 + Δ t - s ( 1 ) Δ t

O resultado dessa conta vai depender da função s ( t ) . Digamos que a função fosse s t = t 2 , s em m e t em s . Qual a velocidade do carro em t = 1 s ? Só aplicar a fórmula:

v 1 = lim Δ t → 0 ⁡ s 1 + Δ t - s ( 1 ) Δ t = lim Δ t → 0 ⁡ 1 + Δ t 2 - 1 2 Δ t

v 1 = lim Δ t → 0 ⁡ ( 1 + 2 Δ t + Δ t 2 ) - 1 2 Δ t

v 1 = lim Δ t → 0 ⁡ 2 Δ t + Δ t 2 Δ t = lim Δ t → 0 ⁡ 2 + Δ t

v 1 = 2   m / s

Logo, a velocidade instantânea para um ponto t 0 qualquer é só trocar o 1 por t 0 :

v t 0 = lim Δ t → 0 ⁡ s t 0 + Δ t - s t 0 Δ t

Generalizando, a derivada de uma função f x , assim como para s t , pode ser calculada pela sua definição, que é:

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x

Notação

Se quiséssemos representar essa derivada da função, escreveríamos assim:

v t = d s t d t

Existem várias maneiras de representar uma derivada. A mais explícita delas é a seguinte:

y = f x ,     d y d x = d f x d x

Lê-se derivada de y em relação a x . Outra maneira, mais prática é a seguinte:

y ' = f ' x

Interpretação Gráfica

Graficamente, a derivada em um ponto é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico naquele ponto. Isso pode parecer abstrato de início, mas é uma noção que você vai se acostumando aos poucos. Dá uma olhada nesse gráfico a seguir:

Vamos por partes. Tem a função em laranja. E temos a sua reta tangente num ponto qualquer.

A equação da reta vai ser

y = a x + b

O coeficiente angular da reta tangente é igual à derivada da função naquele ponto.

a = f ' x

O coeficiente angular ainda se conecta com a inclinação θ da reta da seguinte forma:

tg ⁡ θ = a = f ' x

Se quiser um olhar mais físico, pra não nos perdermos nessas relações matemáticas todas, imagine que o gráfico da função é um trilho de trem visto de cima, e num dado ponto o trilho se rompesse. A direção que o vagão vai seguir nesse ponto é a direção da reta tangente. Sentiu?

Por consequência, a gente tira uma informação importante: quanto mais inclinada for essa reta tangente, maior é a derivada da função; quanto menos inclinada for a reta tangente, menor é a derivada da função estudada.

Agora vamos calcular algumas derivadas!

Multiplicação por Constante

Vamos aprender a derivar qualquer tipo de função. Vamos começar com a derivada de uma função multiplicada por uma constante.

k f x ' = k f ' x

Onde k é uma constante. Basta derivar a função sem a constante e multiplicar pela constante depois.

Soma e subtração

Agora vamos ver a derivada de uma soma ou subtração de função. Aqui a soma e subtração continua

f x + g x ' = f ' x + g ' x

E

f x - g x ' = f ' x - g ' x

Até aí ok, certo? Nada demais

Derivada da Função Constante

Seja f x = k , onde k é uma constante qualquer. Então

f ' x = 0

Qualquer MESMO.

Por exemplo

f x = 3

f x = 1,78646

f x = π

Qual é a derivada de f ( x ) ? Sempre 0 .

Logo, a derivada de uma constante qualquer vai ser ZERO.

Derivada de Polinômio

A brincadeira agora é saber a derivada de um polinômio qualquer x n . Bem, o resultado dessa brincadeira é:

f ' x = n x n - 1

Basta multiplicar o polinômio por n e subtrair 1 no n no expoente de x

Exemplos:

f x = x 5 → f ' x = 5 x 5 - 1 = 5 x 4

OBS: Essa derivada vale para qualquer n MESMO.

f x = 1 x 2 → f ' x = 1 x 2 ' = x - 2 ' = - 2 x - 2 - 1 = - 2 x - 3 = - 2 x 3

f x = x 1 2 → f ' x = 1 2 . x 1 2 - 1 = 1 2 x - 1 2

f x = x π → f ' x = x π ' = π x π - 1

Feião isso, mas está certinho.

Podemos mesclar polinômios com as propriedades lá em cima:

v t = a t → v ' t = a t ' = a . 1 t 1 - 1 = a t 0 = a

y x = 3 x 17 → y ' x = 3 x 17 ' = 3 . 17 x 17 - 1 = 51 x 16

Misturando tudo

f x = x 3 - 7 x + 2 x 2 + 9

Primeiro fazemos a multiplicação por constante

f ' x = x 3 ' - 7 x ' + 2 x 2 ' + 9 ' = x 3 ' - 7 x ' + 2 x 2 ' + 9 '

Agora derivamos o polinômio

f ' x = 3 x 3 - 1 - 7 1 . x 1 - 1 + 2 2 x 2 - 1 + 0 = 3 x 2 - 7 + 4 x

Derivada de Ordem Maior que 1

Ordem? WTF brou... Calma, pega a função f x = x 7 a derivada vai ser

f ' x = 7 x 6

Podemos derivar essa parada de novo,

f ' x ' = 7.6 x 5 = 42 x 5

Quantas vezes eu derivei a função original? 2 né? Então essa é a derivada de 2 ª ordem.

Se eu quiser agora a derivada de 3 ª ordem dessa f x ? É só derivar de novo

f ' x ' ' = 42.5 x 4 = 210 x 4

Posso fazer isso eternamente. Repara que a ordem nada mais é que a quantidade de vezes que derivamos essa função. Então, se eu quiser a ordem 7546 eu preciso ir derivando 7546 vezes até chegar na que ele quer.

Eu preciso ficar escrevendo esses milhões de tracinhos com milhões de parêntese? Não meu jovem. A notação das derivadas de ordem superior é parecida com antes

O r d e m   2 ⇒ f ' ' x O r d e m   3 ⇒ f ' ' ' x O r d e m   4 ⇒ f 4 x

Até a ordem 3 você coloca tracinhos, mas tudo junto. A partir da ordem 4 só colocar o número ali junto da função entre parênteses.

Outra forma de escrever é

O r d e m   2 ⇒ d 2 f d x 2 O r d e m   3 ⇒ d 3 f d x 3 O r d e m   4 ⇒ d 4 f d x 4

Coloca o número da ordem com o d elevado, e embaixo coloca o x elevado a isso.

O r d e m   n ⇒ d n f d x n

Partiu Exercícios!!!!

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Sendo f ( x ) a função dada pelo gráfico abaixo, diga onde a derivada de f ( x ) é positiva, negativa ou nula.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bem, ele pediu o sinal da derivada. Vamos pensar, nós sabemos que a derivada em um ponto é o coeficiente angular da reta tangente à curva naquele ponto. Então, a gente vai precisar analisar esse coeficiente para alguns casos.

Passo 2

Graficamente, nós podemos ver que o coeficiente da reta tangente a f ( x ) à esquerda de x = 0 é positivo, certo? Olha aqui:

Como a reta verde está inclinada para cima ∆ x ∆ y > 0 , sabemos que seu coeficiente angular é positivo.

Ou seja:

f ' x > 0 ;   x < 0

Passo 3

Como podemos ver, à direita, o coeficiente da reta tangente à f ( x ) também é positivo (isso porque a reta tangente, está inclinada para cima):

f ' x > 0 ;   x > 0

Passo 4

Agora vamos analisar o ponto do meio, x = 0