Coeficientes Constantes Não Homogênea-Variação dos Parâmetros

Teoria Completa

Introdução:

Faaaaaaala tu, tatu! Tudo bem? Meu anjo, a gente já viu um bocado de coisa de EDO superior né? Já vimos o caso homogêneo e o não homogêneo, mas ainda precisamos ver um outro caso não homogêneo.

Na real, esse é um método de resolver EDO superior não homogênea, beeeeeem similar ao que vimos em EDO de 2 ª ordem! Tá, é uma extensão, vai!

Agora vamos ver como resolver EDO’s de ordem superior com coeficientes constantes não homogênea. Elas têm a seguinte forma:

a n y n + a n - 1 y n - 1 + … a 3 y ' ' ' + a 2 y ' ' + a 1 y ' + a 0 y = f ( x )

Com todos a 0 , a 1 , a 2 … a n constantes.

Nesse caso, precisamos fazer como fazíamos lá em EDO de 2ª ordem não homogênea. Ou seja, resolver a EDO homogênea associada, e achar uma solução particular dessa EDO com f x . A solução vai ser:

y = y h + y p

Tu lembra como se resolve EDO não homogênea? Aqui uma colinha:

Encontrando a Solução Geral:

Agora vamos ver como encontrar a solução de EDO’s de ordem superior com coeficientes constantes não homogênea.

O processo será:

  1. Resolver a EDO como se fosse homogênea – solução homogênea: y h x
  2. Encontrar a solução particular: y p x
  3. Encontrar solução geral: y x = y h x + y p x

Bora começar com um exemplo? Se liga

Exemplo:

Considere a seguinte EDO:

y ' ' ' + 4 y ' = s e c ⁡ ( 2 x )

Vamos encontrar a solução da EDO homogênea associada:

y ' ' ' + 4 y ' = 0

A equação auxiliar é:

r 3 + 4 r = 0

Colocando r em evidência temos:

r r 2 + 4 = 0

Temos:

r 1 = 0

Ou

r 2 + 4 = 0

Então:

r 2 = - 4

Vamos ter:

r 2 = 2 i

r 3 = - 2 i

Portanto as raízes são:

r 1 = 0 ,   r 2 = + 2 i , r 3 = - 2 i

Portanto, a solução da equação homogênea associada é:

y h = c 1 + c 2 cos ⁡ 2 x + c 3 s e n ( 2 x )

Agora vamos encontrar a solução particular da equação não homogênea. Você lembra como fazíamos isso em EDO de 2 ª ordem? Dá uma olhadinha nisso aqui, a gente já volta pro nosso exemplo

Relembrando y p :

Agora vamos relembrar como fazíamos para encontrar y p para EDO’s de 2ª Ordem com não homogênea pelo Método da Variação dos Parâmetros. Só para recordar, a gente usava esse método quando f ( x ) não era um produto/soma das funções trigonométricas, exponenciais ou polinomiais.

A EDO era da forma:

y ' ' x + p x y ' x + q x y x = B x

Onde p , q , B são funções contínuas.

Nós supomos que:

y p x = f 1 x y 1 x + f 2 x y 2 ( x )

Onde y 1 ( x ) e y 2 ( x ) eram soluções da EDO homogênea associada.

Nós derivamos y p ( x ) , substituímos na EDO e após algumas contas achamos como calcular f 1 ( x ) e f 2 ( x ) :

f 1 x = ∫ y 2 x . B x M d x

f 2 x = ∫ - y 1 x . B x M d x

Onde M = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2 = y 1 ' x . y 2 x - y 2 ' x y 1 x

Logo, a gente encontrava y p .

Vamos ver nessa seção que, o que fazíamos para EDO’s de ordem 2, é na verdade, um caso específico. Ou seja, vamos ver que na verdade o método da variação de parâmetros pode ser usado para EDO’s de ordem superiores. Vamos lá!!!

Voltando ao nosso caso...

Variação dos Parâmetros: Ordem Superior

Aqui vai ser um pouco parecido com antes, só que as contas vão ser um bocado maiores.

Imagina que temos aquela EDO não homogênea, a primeira coisa a fazer é achar a solução da EDO homogênea associada.

Com isso vamos achar y 1 ,   y 2 ,   y 3 ,   y 4 , … , y n , para a conta da variação de parâmetros vamos considerar essas soluções sem as constantes, por exemplo, antes tínhamos:

y 1 = C 1 e r x

Para a variação de parâmetros vamos considerar

y 1 = e r x

Beleza?

A nossa solução particular vai ser da seguinte forma

y p = y 1 u 1 + y 2 u 2 + y 3 u 3 + … + y n - 1 u n - 1 + y n u n

Precisamos achar esses u ,que nada mais são que funções de x . A conta é uma formulinha, um pouco trabalhosa, mas através dela conseguimos resolver o problema.

No nosso exemplo, o método supõe que:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2 + u 3 y 3

Sendo y 1 = 1 ,   y 2 = c o s ⁡ ( 2 x ) e y 3 = s e n ( 2 x )

Então:

y p = u 1 . 1 + u 2 cos ⁡ 2 x + u 3 s e n ( 2 x )

Beleza, agora pra gente chegar a algum lugar com isso, precisaremos introduzir umas novas fórmulinhas. Vamos primeiro considerar a matriz

W = y 1 y 2 y 3 … y n y 1 ' y 2 ' y 3 ' … y n ' y 1 ' ' y 2 ' ' y 3 ' ' … y n ' ' … … … … … y 1 n - 1 y 2 n - 1 y 3 n - 1 … y n n - 1

No nosso caso, essa matriz é:

W = y 1 y 2 y 3 y 1 ' y 2 ' y 3 ' y 1 " y 2 " y 3 "

Calculando as derivadas:

y 1 = 1

y 1 ' = 0

y 1 " = 0

Temos também:

y 2 = cos ⁡ 2 x

y 2 ' = - 2 s e n 2 x

y 2 " = - 4 c o s ⁡ ( 2 x )

Falta ainda:

y 3 = s e n 2 x

y 3 ' = 2 cos ⁡ 2 x

y 3 " = - 4 s e n ( 2 x )

Substituindo em W temos:

W = 1 cos ⁡ 2 x s e n 2 x 0 - 2 s e n 2 x 2 cos ⁡ 2 x 0 - 4 c o s ⁡ ( 2 x ) - 4 s e n ( 2 x )

Calculando W temos:

W = 1 - 2 s e n 2 x - 4 s e n 2 x - - 4 cos ⁡ 2 x 2 cos ⁡ 2 x - cos ⁡ 2 x 0 - 0 + s e n ( 2 x ) ( 0 - 0 )

W = 8 s e n 2 x 2 + 8 cos ⁡ 2 x 2 = 8

Pois s e n 2 x 2 + c o s 2 x 2 = 1

Além do W , vamos precisar saber da matriz W k , que vai ser a matriz W trocando a coluna k pela coluna

0 0 0 … 1

Por exemplo:

k = 1

W 1 = 0 y 2 y 3 … y n 0 y 2 ' y 3 ' … y n ' 0 y 2 ' ' y 3 ' ' … y n ' ' … … … … … 1 y 2 n - 1 y 3 n - 1 … y n n - 1

Mais um exemplo:

k = 2

W 2 = y 1 0 y 3 … y n y 1 ' 0 y 3 ' … y n ' y 1 ' ' 0 y 3 ' ' … y n ' ' … … … … … y 1 n - 1 1 y 3 n - 1 … y n n - 1

Outro exemplo:

k = n

W n = y 1 y 2 y 3 … 0 y 1 ' y 2 ' y 3 ' … 0 y 1 ' ' y 2 ' ' y 3 ' ' … 0 … … … … … y 1 n - 1 y 2 n - 1 y 3 n - 1 … 1

Deu pra entender né?!

No nosso caso,

Agora vamos calcular W 1 , W 2 e W 3 :

W 1 = 0 y 2 y 3 0 y 2 ' y 3 ' 1 y 2 " y 3 "

Substituindo temos:

W 1 = 0 cos ⁡ 2 x s e n 2 x 0 - 2 s e n 2 x 2 cos ⁡ 2 x 1 - 4 c o s ⁡ ( 2 x ) - 4 s e n ( 2 x )

W 1 = 0 - 2 s e n 2 x - 4 s e n 2 x - - 4 cos ⁡ 2 x 2 cos ⁡ 2 x - cos ⁡ 2 x 0 . - 4 s e n 2 x - ( 1 . 2 cos ⁡ 2 x + s e n 2 x 0 - 1 . - 2 s e n 2 x

W 1 = 0 + 2 cos ⁡ 2 x 2 + 2 s e n 2 x 2 = 2

Calculando W 2 :

W 2 = 1 0 s e n 2 x 0 0 2 cos ⁡ 2 x 0 1 - 4 s e n ( 2 x )

W 2 = 1 ( - 2 cos ⁡ 2 x ) - 0 0 - 0 + s e n 2 x 0 - 0 = - 2 c o s ⁡ ( 2 x )

Calculando W 3 :

W 3 = 1 cos ⁡ 2 x 0 0 - 2 s e n 2 x 0 0 - 4 c o s ⁡ ( 2 x ) 1

W 3 = 1 - 2 s e n ( 2 x ) - 0 - cos ⁡ 2 x 0 - 0 + 0 0 - 0 = - 2 s e n ( 2 x )

Tudo isso que estamos fazendo é pra chegar nos u k , com k = 1,2 , 3 … n , que vão ser encontrados resolvendo a seguinte conta

u k = ∫ f x det ⁡ W k det ⁡ W d x

Por exemplo, para k = 1 vamos ter:

u 1 = ∫ f x det ⁡ W 1 det ⁡ W d x

Para k = 2 :

u 2 = ∫ f x det ⁡ W 2 det ⁡ W d x

Para k = n :

u n = ∫ f x det ⁡ W n det ⁡ W d x

Esse k é importante para manter a ordem da parada e as contas darem certinho.

Sacou?! Agora vamos calcular u 1 ,   u 2 e u 3 do nosso caso:

Sendo f x = s e c ⁡ ( 2 x )

u 1 = ∫ f x det ⁡ W 1 det ⁡ W d x

Substituindo:

u 1 = ∫ sec ⁡ 2 x . 2 8 d x = 1 4 ∫ sec ⁡ 2 x d x = 1 4 ∫ sec ⁡ 2 x sec ⁡ 2 x + t g 2 x sec ⁡ 2 x + t g 2 x d x =

Eu apenas multipliquei em cima e em baixo por sec ⁡ 2 x + t g 2 x

Fazendo a distributiva temos:

u 1 = 1 4 ∫ sec 2 ⁡ 2 x + s e c ⁡ ( 2 x ) t g 2 x sec ⁡ 2 x + t g 2 x d x

Vamos fazer a substituição:

u = 2 x

d u = 2 d x

Fica:

u 1 = 1 8 ∫ sec 2 ⁡ u + s e c ⁡ ( u ) t g u sec ⁡ u + t g u d u

Vamos fazer a substituição:

v = sec ⁡ u + t g ( u )

d v = ( sec ⁡ u t g u + sec 2 ⁡ u ) d u    

Então:

u 1 = 1 8 ∫ sec 2 ⁡ u + sec ⁡ u t g u v d v sec 2 ⁡ u + sec ⁡ u t g u   =       1 8 ∫ d v v   = 1 8 ln ⁡ v      

u 1 = 1 8 ln ⁡ sec ⁡ u + t g u = 1 8 ln ⁡ sec ⁡ 2 x + t g 2 x  

Portanto:

u 1 = 1 8 ln ⁡ sec ⁡ 2 x + t g 2 x  

Vamos calcular u 2 :

u 2 = ∫ f x det ⁡ W 2 det ⁡ W d x

Substituindo:

u 2 = ∫ s e c ⁡ ( 2 x ) ( - 2 cos ⁡ 2 x ) 8 d x = 1 8 ∫ 1 . - 2 cos ⁡ 2 x c o s ⁡ ( 2 x ) d x = - 1 4 x

Portanto:

u 2 = - 1 4 x

Vamos calcular u 3 :

u 3 = ∫ f x det ⁡ W 3 det ⁡ W d x

Substituindo:

u 3 = ∫ s e c ⁡ ( 2 x ) ( - 2 sen ⁡ 2 x ) 8 d x = - 1   4 ∫ sen ⁡ 2 x c o s ⁡ ( 2 x ) d x

Vamos fazer a substituição:

u = 2 x

d u = 2 d x

Temos:

u 3 = - 1   8 ∫ sen ⁡ u c o s ⁡ ( u ) d u

Vamos fazer a substituição:

v = cos ⁡ u

d v = - s e n u d u

Fica:

u 3 = - 1   8 ∫ sen ⁡ u v d v - s e n ( u ) = 1 8 ∫ d v v = 1 8 ln ⁡ v = 1 8 l n ⁡ | c o s ⁡ ( u ) | = 1 8 l n ⁡ | c o s ⁡ ( 2 x ) |

Portanto:

u 3 = 1 8 l n ⁡ | c o s ⁡ ( 2 x ) |

Portanto a solução particular fica:

y p = u 1 . 1 + u 2 cos ⁡ 2 x + u 3 s e n ( 2 x )

y p = 1 8 ln ⁡ sec ⁡ 2 x + t g 2 x + - 1 4 x ( cos ⁡ 2 x )   + 1 8 l n ⁡ | c o s ⁡ ( 2 x ) | s e n ( 2 x )

Logo a solução geral será:

y = y h + y p

y = y h = c 1 + c 2 cos ⁡ 2 x + c 3 s e n 2 x + 1 8 ln ⁡ sec ⁡ 2 x + t g 2 x + - 1 4 x ( cos ⁡ 2 x )   + 1 8 l n ⁡ | c o s ⁡ ( 2 x ) | s e n ( 2 x )

Bora pros exercícios!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON Education do Brasil ltda., 2007, pp. 217 - 24

Resolva pelo método da variação dos parâmetros a EDO a seguir e defina um intervalo no qual a solução geral seja válida:

y ' ' ' - 6 y " = x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar encontrar a solução da EDO homogênea associada:

y ' ' ' - 6 y " = 0

A equação auxiliar é:

r 3 - 6 r 2 = 0

Passo 2

Agora vamos resolvê-la:

r 3 - 6 r 2 = 0

r 2 r - 6 = 0

As raízes são:

r 1 = 0

r 2 = 0

r 3 = 6

Passo 3

Agora que temos as raízes podemos encontrar a solução da homogênea:

y 1 = e 0 x = 1

y 2 = x e 0 x = x

y 3 = e 6 x

A solução da homogênea associada é:

y h = c 1 y 1 + c 2 y 2 + c 3 y 3

y h = c 1 + c 2 x + c 3 e 6 x

Passo 4

Agora vamos calcular a solução particular da EDO não homogênea:

y ' ' ' - 6 y " = x 2

O método da variação dos parâmetro supõe que :

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2 + u 3 y 3

Substituindo:

y p = u 1 + u 2 x + u 3 e 6 x

Porém vimos que para encontrar u 1 . u 2 e u 3 precisamos calcular W ,   W 1 , W 2 e W 3

Passo 5

Vamos calcular W ,   W 1 , W 2 e W 3 :

W = y 1 y 2 y 3 y 1 ' y 2 ' y 3 ' y 1 " y 2 " y 3 "

Para calculá-lo, vamos calcular as derivadas necessárias:

De y 1 temos:

y 1 = 1

y 1 ' = 0

y 1 " = 0

De y 2 temos:

y 2 = x

y 2 ' = 1

y 2 " = 0

De y 3 temos:

y 3 = e 6 x

y 3 ' = 6 e 6 x

y 3 " = 36 e 6 x

Passo 6

Agora podemos encontrar:

W = y 1 y 2 y 3 y 1 ' y 2 ' y 3 ' y 1 " y 2 " y 3 "

Substituindo:

W = 1 x e 6 x 0 1 6 e 6 x 0 0 36 e 6 x

Como temos uma matriz triangular, o determinante é dado pelo produto dos elementos da diagonal principal:

det ⁡ W = 1 ⋅ 1 ⋅ 36 e 6 x = 36 e 6 x

Passo 7

Vamos calcular W 1 :

W 1 = 0 y 2 y 3 0 y 2 ' y 3 ' 1 y 2 " y 3 "

Substituindo:

W 1 = 0 x e 6 x 0 1 6 e 6 x 1 0 36 e 6 x

det ⁡ W 1 = 0 36 e 6 x - 0 - x 0 36 e 6 x - 6 e 6 x + e 6 x 0 - 1 = 6 x e 6 x - e 6 x = e 6 x ( 6 x - 1 )

Passo 8

Vamos calcular W 2 :

W 2 = y 1 0 y 3 y 1 ' 0 y 3 ' y 1 " 1 y 3 "

Substituindo:

W 2 = 1 0 e 6 x 0 0 6 e 6 x 0 1 36 e 6 x

det ⁡ W 2 = 1 ( 0 ) 36 e 6 x - 6 e 6 x   - 0 0 36 e 6 x - 0 6 e 6 x + e 6 x 0 - 0 = - 6 e 6 x

Passo 9

Vamos calcular W 3 :

W 3 = y 1 y 2 0 y 1 ' y 2 ' 0 y 1 " y 2 " 1

Substituindo:

W 3 = 1 x 0 0 1 0 0 0 1

det ⁡ W 3 = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1

Passo 10

Vamos calcular u 1 :

u 1 = ∫ f x det ⁡ W 1 det ⁡ W d x