Coeficientes Constantes Não Homogênea-Variação dos Parâmetros

Teoria Completa

Introdução:

Faaaaaaala tu, tatu! Tudo bem? Meu anjo, a gente já viu um bocado de coisa de EDO superior né? Já vimos o caso homogêneo e o não homogêneo, mas ainda precisamos ver um outro caso não homogêneo.

Na real, esse é um método de resolver EDO superior não homogênea, beeeeeem similar ao que vimos em EDO de 2 ª ordem! Tá, é uma extensão, vai!

Agora vamos ver como resolver EDO’s de ordem superior com coeficientes constantes não homogênea. Elas têm a seguinte forma:

a n y n + a n - 1 y n - 1 + … a 3 y ' ' ' + a 2 y ' ' + a 1 y ' + a 0 y = f ( x )

Com todos a 0 , a 1 , a 2 … a n constantes.

Nesse caso, precisamos fazer como fazíamos lá em EDO de 2ª ordem não homogênea. Ou seja, resolver a EDO homogênea associada, e achar uma solução particular dessa EDO com f x . A solução vai ser:

y = y h + y p

Tu lembra como se resolve EDO não homogênea? Aqui uma colinha:

Encontrando a Solução Geral:

Agora vamos ver como encontrar a solução de EDO’s de ordem superior com coeficientes constantes não homogênea.

O processo será:

  1. Resolver a EDO como se fosse homogênea – solução homogênea: y h x
  2. Encontrar a solução particular: y p x
  3. Encontrar solução geral: y x = y h x + y p x

Bora começar com um exemplo? Se liga

Exemplo:

Considere a seguinte EDO:

y ' ' ' + 4 y ' = s e c ⁡ ( 2 x )

Vamos encontrar a solução da EDO homogênea associada:

y ' ' ' + 4 y ' = 0

A equação auxiliar é:

r 3 + 4 r = 0

Colocando r em evidência temos:

r r 2 + 4 = 0

Temos:

r 1 = 0

Ou

r 2 + 4 = 0

Então:

r 2 = - 4

Vamos ter:

r 2 = 2 i

r 3 = - 2 i

Portanto as raízes são:

r 1 = 0 ,   r 2 = + 2 i , r 3 = - 2 i

Portanto, a solução da equação homogênea associada é:

y h = c 1 + c 2 cos ⁡ 2 x + c 3 s e n ( 2 x )

Agora vamos encontrar a solução particular da equação não homogênea. Você lembra como fazíamos isso em EDO de 2 ª ordem? Dá uma olhadinha nisso aqui, a gente já volta pro nosso exemplo

Relembrando y p :

Agora vamos relembrar como fazíamos para encontrar y p para EDO’s de 2ª Ordem com não homogênea pelo Método da Variação dos Parâmetros. Só para recordar, a gente usava esse método quando f ( x ) não era um produto/soma das funções trigonométricas, exponenciais ou polinomiais.

A EDO era da forma:

y ' ' x + p x y ' x + q x y x = B x

Onde p , q , B são funções contínuas.

Nós supomos que:

y p x = f 1 x y 1 x + f 2 x y 2 ( x )

Onde y 1 ( x ) e y 2 ( x ) eram soluções da EDO homogênea associada.

Nós derivamos y p ( x ) , substituímos na EDO e após algumas contas achamos como calcular f 1 ( x ) e f 2 ( x ) :

f 1 x = ∫ y 2 x . B x M d x

f 2 x = ∫ - y 1 x . B x M d x

Onde M = y 1 ' y 2 ' y 1 y 2 = y 1 ' x . y 2 x - y 2 ' x y 1 x

Logo, a gente encontrava y p .

Vamos ver nessa seção que, o que fazíamos para EDO’s de ordem 2, é na verdade, um caso específico. Ou seja, vamos ver que na verdade o método da variação de parâmetros pode ser usado para EDO’s de ordem superiores. Vamos lá!!!

Voltando ao nosso caso...

Variação dos Parâmetros: Ordem Superior

Aqui vai ser um pouco parecido com antes, só que as contas vão ser um bocado maiores.

Imagina que temos aquela EDO não homogênea, a primeira coisa a fazer é achar a solução da EDO homogênea associada.

Com isso vamos achar y 1 ,   y 2 ,   y 3 ,   y 4 , … , y n , para a conta da variação de parâmetros vamos considerar essas soluções sem as constantes, por exemplo, antes tínhamos:

y 1 = C 1 e r x

Para a variação de parâmetros vamos considerar

y 1 = e r x

Beleza?

A nossa solução particular vai ser da seguinte forma

y p = y 1 u 1 + y 2 u 2 + y 3 u 3 + … + y n - 1 u n - 1 + y n u n

Precisamos achar esses u ,que nada mais são que funções de x . A conta é uma formulinha, um pouco trabalhosa, mas através dela conseguimos resolver o problema.

No nosso exemplo, o método supõe que:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2 + u 3 y 3

Sendo y 1 = 1 ,   y 2 = c o s ⁡ ( 2 x ) e y 3 = s e n ( 2 x )

Então:

y p = u 1 . 1 + u 2 cos ⁡ 2 x + u 3 s e n ( 2 x )

Beleza, agora pra gente chegar a algum lugar com isso, precisaremos introduzir umas novas fórmulinhas. Vamos primeiro considerar a matriz

W = y 1 y 2 y 3 … y n y 1 ' y 2 ' y 3 ' … y n ' y 1 ' ' y 2 ' ' y 3 ' ' … y n ' ' … … … … … y 1 n - 1 y 2 n - 1 y 3 n - 1 … y n n - 1

No nosso caso, essa matriz é:

W = y 1 y 2 y 3 y 1 ' y 2 ' y 3 ' y 1 " y 2 " y 3 "

Calculando as derivadas:

y 1 = 1

y 1 ' = 0

y 1 " = 0

Temos também:

y 2 = cos ⁡ 2 x

y 2 ' = - 2 s e n 2 x

y 2 " = - 4 c o s ⁡ ( 2 x )

Falta ainda:

y 3 = s e n 2 x

y 3 ' = 2 cos ⁡ 2 x

y 3 " = - 4 s e n ( 2 x )

Substituindo em W temos:

W = 1 cos ⁡ 2 x s e n 2 x 0 - 2 s e n 2 x 2 cos ⁡ 2 x 0 - 4 c o s ⁡ ( 2 x ) - 4 s e n ( 2 x )

Calculando W temos:

W = 1 - 2 s e n 2 x - 4 s e n 2 x - - 4 cos ⁡ 2 x 2 cos ⁡ 2 x - cos ⁡ 2 x 0 - 0 + s e n ( 2 x ) ( 0 - 0 )

W = 8 s e n 2 x 2 + 8 cos ⁡ 2 x 2 = 8

Pois s e n 2 x 2 + c o s 2 x 2 = 1

Além do W , vamos precisar saber da matriz W k , que vai ser a matriz W trocando a coluna k pela coluna

0 0 0 … 1

Por exemplo:

k = 1

W 1 = 0 y 2 y 3 … y n 0 y 2 ' y 3 ' … y n ' 0 y 2 ' ' y 3 ' ' … y n ' ' … … … … … 1 y 2 n - 1 y 3 n - 1 … y n n - 1

Mais um exemplo:

k = 2

W 2 = y 1 0 y 3 … y n y 1 ' 0 y 3 ' … y n ' y 1 ' ' 0 y 3 ' ' … y n ' ' … … … … … y 1 n - 1 1 y 3 n - 1 … y n n - 1

Outro exemplo:

k = n

W n = y 1 y 2 y 3 … 0 y 1 ' y 2 ' y 3 ' … 0 y 1 ' ' y 2 ' ' y 3 ' ' … 0 … … … … … y 1 n - 1 y 2 n - 1 y 3 n - 1 … 1

Deu pra entender né?!

No nosso caso,

Agora vamos calcular W 1 , W 2 e W 3 :

W 1 = 0 y 2 y 3 0 y 2 ' y 3 ' 1 y 2 " y 3 "

Substituindo temos:

W 1 = 0 cos ⁡ 2 x s e n 2 x 0 - 2 s e n 2 x 2 cos ⁡ 2 x 1 - 4 c o s ⁡ ( 2 x ) - 4 s e n ( 2 x )

W 1 = 0 - 2 s e n 2 x - 4 s e n 2 x - - 4 cos ⁡ 2 x 2 cos ⁡ 2 x - cos ⁡ 2 x 0 . - 4 s e n 2 x - ( 1 . 2 cos ⁡ 2 x + s e n 2 x 0 - 1 . - 2 s e n 2 x

W 1 = 0 + 2 cos ⁡ 2 x 2 + 2 s e n 2 x 2 = 2

Calculando W 2 :

W 2 = 1 0 s e n 2 x 0 0 2 cos ⁡ 2 x 0 1 - 4 s e n ( 2 x )

W 2 = 1 ( - 2 cos ⁡ 2 x ) - 0 0 - 0 + s e n 2 x 0 - 0 = - 2 c o s ⁡ ( 2 x )

Calculando W 3 :

W 3 = 1 cos ⁡ 2 x 0 0 - 2 s e n 2 x 0 0 - 4 c o s ⁡ ( 2 x ) 1