Teoria Completa
Introdução:
Oi, tudo bem? Que bom te ver! Tu lembra quando a gente estudou o método de Euler-Cauchy aplicado a EDO’s de 2ª ordem? Agora nós vamos ver como aplicar o mesmo método para EDO’s de ordem superior. As formas de resolver são parecidíssimas!!! Mas primeiro, vamos dar uma olhada no tipo de EDO que vamos estudar:
De uma maneira geral, ela é assim:
Com todos constantes.
Vamos ver agora como resolver essas EDOs, utilizando o mesmo raciocínio utilizado nas EDO’s de ordem 2.
Bora começar essa teoria com um exemplo!
Exemplo
A ideia aqui é a mesma de EDO de ordem, cara. Vamos supor a solução:
Calculando as derivadas:
Substituindo na EDO:
Colocando em evidência:
Opa! Temos o produto de duas parcelas dando zero. Isso significa que ou uma delas é zero, ou a outra. Ajeitando:
Ficamos com:
Pode ser escrito assim:
Colocando em evidência:
As raízes são:
Eita! Você lembra como encontramos após encontrar as raízes? Olha aqui um lembrete!
Relembrando o Método de Euler para EDO 2ª ordem:
Vamos relembrar rapidinho o que fazíamos para EDO’s de ordem 2. Quando procuramos soluções do tipo , encontramos o seguinte polinômio característico:
A solução dele nos leva a 3 casos:
- , nesse caso, encontramos duas soluções reais , as soluções da EDO são do tipo
- , nesse caso encontramos uma raiz dupla , as soluções da EDO são do tipo
- , nesse caso encontramos duas raízes complexas e , as soluções da EDO são do tipo
LEGAL! LEMBREEEEI!
Agora, voltando ao nosso exemplo, temos as seguintes raízes:
Então a solução homogênea fica:
MUITO MANEIRO!
Mas no nosso caso, não tivemos grandes dificuldades, porque não tem raízes com multiplicidade maior que (Acredite, pode ficar pior hahah).
Antes de sair atropelando os bois, vamos ver o que é multiplicidade primeiro?
Multiplicidade de uma raiz
Primeiro temos que entender o conceito de multiplicidade. Multiplicidade de uma raiz é a quantidade de vezes que essa raiz aparece.
Quando temos uma equação de grau devemos ter raízes, o detalhe que não necessariamente temos raízes diferentes.
O que precisamos ter é que a soma das multiplicidades das raízes deve ser . Vamos ver um exemplo disso:
Essa equação pode ser resolvida dando uma arrumada nela, essa é uma equação biquadrada. Vamos fazer
Resolvendo essa equação vamos achar
Voltando para
Eu coloquei os dois de propósito porque achamos duas respostas em . Repara que temos uma equação de grau , e achamos raizes
O detalhe que elas aparecem duas vezes, ou seja, tem multiplicidade e tem multiplicidade sacou? Essa é a ideia de multiplicidade.
Raízes com Multiplicidade 1:
Aqui é mais tranquilo. Temos uma raiz aparecendo apenas uma vez. Temos que ficar atentos só se essa raiz é complexa ou não. Se a raiz não for complexa a solução é da forma
Vimos isso quando estudamos Método de Euler–Cauchy aplicado a EDO de ordem 2. Qualquer dúvida volte lá.
Se tivermos uma raiz complexa ela vai ser da forma
Quando temos uma raiz complexa dessa forma podemos garantir que vamos ter uma outra raiz complexa que vai ser
E a solução dessas duas juntas vai ser
Raízes com Multiplicidade maior que 1:
A forma geral da solução vai ser parecida, imagina que temos uma EDO com uma raiz de multiplicidade . Temos raízes, certo? Elas são iguais, mas são duas. A solução para cada uma, se fizéssemos como foi feito antes seria
Mas essas duas soluções são a mesma, e isso não pode acontecer, então para resolvermos esse problema multiplicamos a segunda solução por , ficando:
Beleza? E depois disso, encontramos a solução geral!
Solução Geral
Agora vamos entender como é a solução geral dessa EDO, cada raiz tem uma solução associada que vai ser uma constante qualquer vezes uma função. A solução geral da EDO com coeficientes constantes de ordem vai ser
A parada aqui vai ser achar cada uma dessas soluções. Basta a gente prestar atenção na multiplicidade de cada raiz, que o problema sai tranquilo!
Agora vamos exercitar!!!
Exercício Resolvido #1
Resolva a seguinte EDO:
Passo 1
Primeira coisa a ser feita é perceber que isso é uma equação de Euler. Então vamos supor a solução da forma:
Passo 2
Calculando as derivadas:
Passo 3
Substituindo na EDO temos:
Ajeitando:
Portanto, temos de resolver:
Passo 4
Como encontrar as raízes dessa equação??!
Vamos ver alguns candidatos a raízes dessa equação.
Qual o coeficiente do maior grau dessa equação? Neste caso vai ser , vamos chamar isso de
Qual o valor do cara sem a variável ? Vai ser , vamos chamar isso de
As possíveis raízes vão ser os divisores de sobre os divisores de , lembrando que para cada possibilidade vamos ter o cara podendo ser positivo ou negativo.
Nesse caso, os divisores de são: .Os divisores de são . Logo as possíveis raízes são:
Passo 5
Então temos que testar essas raízes na equação, como fazemos isso? É só substituir o valor na equação e ver se vai dar , se der o valor de é raiz, se não der ele não é raiz.
Testando cada um desses números, verificamos que são raízes. Tivemos sorte, porque apenas procurando entre esses valores já encontramos todas as raízes da equação. Caso encontrássemos apenas uma raiz, o próximo passo seria utilizar o método de briot-ruffini para encontrar as outras raízes.
Enfim temos as raízes:
Passo 6
Como as raízes são distintas a solução fica:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Resolva a seguinte EDO:
Passo 1
Primeira coisa a ser feita é perceber que isso é uma equação de Euler. Então vamos supor a solução da forma:
Passo 2
Calculando as derivadas:
Passo 3
Substituindo na EDO temos:
Ajeitando:
Fazendo as contas vai ficar:
Temos de resolver:
Passo 4
Perceba que essa equação é o mesmo que:
Portanto as raízes são:
Passo 5
As raízes são complexas, então vamos pergar o primeiro conjugado delas, ou seja e :
A solução referente a e seria:
Porém essa solução já existe, então temos que multiplicá-la por
Fica assim:
Passo 6
Logo a solução geral da EDO será: