Equação de Euler de Ordem Superior

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Teoria

Fala aí! Bora aprender como resolver uma Equação de Euler de Ordem Superior!? Então sem enrolação, ela tem essa carinha aqui:

Equação de Euler de Ordem Superior

Equação de Euler de Ordem Superior
Equação de Euler de Ordem Superior

Onde são constantes.

O modo de resolver Equações de Euler de Ordem Superior é bem parecido com o método de Euler-Cauchy aplicado a EDO’s de 2ª ordem! Se você não conhece esse método, eu sugiro dar um pulinho lá e conferir, é como se aquele fosse o nível 1 e aqui a gente já dá uma avançadinha. Sacou? 😉

Como Resolver uma Equação de Euler de Ordem Superior

A gente vai aprender na prática! Se liga só nesse exemplo:

Temos uma EDO de 3ª ordem com , e . Podemos supor a seguinte solução geral:

Agora a gente coloca a mão na massa!

Passo 1: Calcular as Derivadas

Pra começar, a gente vai pegar a solução geral proposta e derivar ela três vezes! Ficamos então, com:

Passo 2: Substituir as Derivadas na EDO

Agora a gente pega as derivadas que terminamos de calcular e substituímos nessa EDO aqui:

Vamos ficar com:

Passo 3: Manipular a Equação

Colocando o em evidência:

Opa! Temos o produto de duas parcelas dando zero. Isso significa que ou uma delas é zero, ou a outra. Ajeitando:

Ficamos com:

Pode ser escrito assim:

Colocando em evidência:

Passo 4: Calcular as Raízes

Finalmente podemos calcular as raízes! Temos então:

Logo:

E:

Temos então as raízes complexas:

Prontinho, temos as raízes! Agora é só escrever !

Passo 5: Escrever

Lá em cima a gente supôs a solução , então para a primeira raiz tudo o que a gente tem que fazer é substituir. Logo temos:

Para as raízes complexas a gente vai usar esse quadrinho de soluções para o método de Euler:

Soluções do Método de Euler
Soluções do Método de Euler

A solução que estamos intensados é para . Podemos então escrever a solução geral:

Multiplicidade de uma Raiz

A multiplicidade de uma raiz é a quantidade de vezes que essa raiz aparece. Quando temos uma equação de grau devemos ter raízes, que podem ser iguais ou diferentes!

Vamos ver um exemplo:

Essa é uma equação é de ordem e biquadrada, então podemos fazer:

Substituindo:

Resolvendo essa equação vamos achar:

Voltando para :

Repara que temos uma equação de grau 4, e achamos 4 raízes:

Você pode reparar que aparece duas vezes, então ela tem multiplicidade e também. Então a soma das multiplicidades será , igual ao grau da equação! Essa é a ideia de multiplicidade!

Raízes com Multiplicidade 1

Nesse caso temos uma raiz aparecendo apenas uma vez. Então, temos que ficar atentos só se essa raiz é complexa ou não. Se a raiz não for complexa a solução é da forma:

E se tivermos uma raiz complexa ela vai ser da forma:

Quando temos uma raiz complexa dessa forma podemos garantir que vamos ter uma outra raiz complexa que vai ser:

E a solução dessas duas juntas será:

Raízes com Multiplicidade maior que 1

Imagina que temos uma EDO com uma raiz de multiplicidade . Isso significa que temos 2 raízes, certo? A solução para cada será:

Adicionamos o logaritmo de na segunda raiz para que as duas raízes não sejam iguais!

Solução geral

Agora vamos entender como é a solução geral dessa EDO! Cada raiz tem uma solução associada que vai ser uma constante qualquer vezes uma função. A solução geral da EDO com coeficientes constantes de ordem vai ser:


Para achar cada uma dessas soluções, basta a gente prestar atenção na multiplicidade de cada raiz, que o problema sai tranquilo!


Agora vamos exercitar!!!

Multiplicidade de uma Raiz

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Resolva a seguinte EDO:

x 3 d 3 y d x 3 - 2 x 2 d 2 y d x 2 - 2 x d y d x + 8 y = 0

Passo 1

Primeira coisa a ser feita é perceber que isso é uma equação de Euler. Então vamos supor a solução da forma:

y = x r

Passo 2

Calculando as derivadas:

d y d x = r x r - 1

d 2 y d x 2 = r r - 1 x r - 2

d 3 y d x 3 = r r - 1 r - 2 x r - 3

Passo 3

Substituindo na EDO temos:

x 3 d 3 y d x 3 - 2 x 2 d 2 y d x 2 - 2 x d y d x + 8 y = 0

x 3 r r - 1 r - 2 x r - 3 - 2 x 2 r r - 1 x r - 2 - 2 x r x r - 1 + 8 x r = 0

Ajeitando:

x r r 3 - 5 r 2 + 2 r + 8 = 0

Portanto, temos de resolver:

r 3 - 5 r 2 + 2 r + 8 = 0

Passo 4

r 3 - 5 r 2 + 2 r + 8 = 0

Como encontrar as raízes dessa equação??!

Vamos ver alguns candidatos a raízes dessa equação.

Qual o coeficiente do maior grau dessa equação? Neste caso vai ser 1 , vamos chamar isso de a

a = 1

Qual o valor do cara sem a variável r ? Vai ser 1 , vamos chamar isso de b

b = 8

As possíveis raízes vão ser os divisores de b sobre os divisores de a , lembrando que para cada possibilidade vamos ter o cara podendo ser positivo ou negativo.

Nesse caso, os divisores de b são: ± 1 , ± 2 , ± 4 , ± 8   .Os divisores de a são ± 1 . Logo as possíveis raízes são:

r = ± 1 , ± 2 , ± 4 , ± 8  

Passo 5

Então temos que testar essas raízes na equação, como fazemos isso? É só substituir o valor na equação e ver se vai dar 0 , se der 0 o valor de r é raiz, se não der 0 ele não é raiz.

Testando cada um desses números, verificamos que - 1 ,   + 2 , + 4 são raízes. Tivemos sorte, porque apenas procurando entre esses valores já encontramos todas as raízes da equação. Caso encontrássemos apenas uma raiz, o próximo passo seria utilizar o método de briot-ruffini para encontrar as outras raízes.

Enfim temos as raízes:

r 1 = - 1

r 2 = + 2

r 3 = + 4

Passo 6

Como as raízes são distintas a solução fica:

y h = c 1 x - 1 + c 2 x 2 + c 3 x 4

Resposta

y h = c 1 x - 1 + c 2 x 2 + c 3 x 4

Exercício Resolvido #2

Resolva a seguinte EDO:

x 4   d 4 y d x 4 + 6 x 3 d 3 y d x 3 + 9 x 2 d 2 y d x 2 + 3 x d y d x + y = 0

Passo 1

Primeira coisa a ser feita é perceber que isso é uma equação de Euler. Então vamos supor a solução da forma:

y = x r

Passo 2

Calculando as derivadas:

d y d x = r x r - 1

d 2 y d x 2 = r r - 1 x r - 2

d 3 y d x 3 = r r - 1 r - 2 x r - 3

d 4 y d x 4 = r r - 1 r - 2 r - 3 x r - 4

Passo 3

Substituindo na EDO temos:

x 4   d 4 y d x 4 + 6 x 3 d 3 y d x 3 + 9 x 2 d 2 y d x 2 + 3 x d y d x + y = 0

x 4 r r - 1 r - 2 r - 3 x r - 4 + 6 x 3 r r - 1 r - 2 x r - 3 + 9 x 2 r r - 1 x r - 2 + 3 x r x r - 1 + x r = 0

Ajeitando:

x r r r - 1 r - 2 r - 3 + 6 r r - 1 r - 2 + 9 r r - 1 + 3 r + 1 = 0

Fazendo as contas vai ficar:

x r r 4 + 2 r 2 + 1 = 0

Temos de resolver:

r 4 + 2 r 2 + 1 = 0

Passo 4

r 4 + 2 r 2 + 1 = 0

Perceba que essa equação é o mesmo que:

( r 2 + 1 ) 2 = 0

Portanto as raízes são:

r 1 = + i

r 2 = - i

r 3 = + i

r 4 = - i

Passo 5

As raízes são complexas, então vamos pergar o primeiro conjugado delas, ou seja r 1 e r 2 :

y 1 + y 2 = c 1 cos ⁡ ln ⁡ x + c 2 s e n ( ln ⁡ x )

A solução referente a r 3 e r 4 seria:

y 3 + y 4 = c 3 cos ⁡ ln ⁡ x + c 4 s e n ( ln ⁡ x )

Porém essa solução já existe, então temos que multiplicá-la por l n ⁡ ( x )

Fica assim:

y 3 + y 4 = c 3 ln ⁡ x cos ⁡ ln ⁡ x + c 4 ln ⁡ x s e n ( ln ⁡ x )

Passo 6

Logo a solução geral da EDO será:

y h = y 1 + y 2 + y 3 + y 4

y h = c 1 cos ⁡ ln ⁡ x + c 2 s e n ln ⁡ x + c 3 ln ⁡ x cos ⁡ ln ⁡ x + c 4 ln ⁡ x s e n ln ⁡ x

Resposta

y h = c 1 cos ⁡ ln ⁡ x + c 2 s e n ln ⁡ x + c 3 ln ⁡ x cos ⁡ ln ⁡ x + c 4 ln ⁡ x s e n ln ⁡ x

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