Equação de Euler de Ordem Superior

Teoria Completa

Introdução:

Oi, tudo bem? Que bom te ver! Tu lembra quando a gente estudou o método de Euler-Cauchy aplicado a EDO’s de 2ª ordem? Agora nós vamos ver como aplicar o mesmo método para EDO’s de ordem superior. As formas de resolver são parecidíssimas!!! Mas primeiro, vamos dar uma olhada no tipo de EDO que vamos estudar:

x 4 y ( 4 ) + 5 x 3 y ' ' ' + 4 x 2 y ' ' + 2 x y ' + y = 0

De uma maneira geral, ela é assim:

x n y n + α x n - 1 y n - 1 + … + β x y ' + δ y = 0

Com todos α , … β , δ constantes.

Vamos ver agora como resolver essas EDOs, utilizando o mesmo raciocínio utilizado nas EDO’s de ordem 2.

Bora começar essa teoria com um exemplo!

Exemplo

x 3 d 3 y d x 3 + 5 x 2 d 2 y d x 2 + 7 x d y d x + 8 y = 0

A ideia aqui é a mesma de EDO de 2 ª ordem, cara. Vamos supor a solução:

y = x r

Calculando as derivadas:

d y d x = r x r - 1

d 2 y d x 2 = r r - 1 x r - 2

d 3 y d x 3 = r r - 1 r - 2 x r - 3

Substituindo na EDO:

x 3 r r - 1 r - 2 x r - 3 + 5 x 2 r r - 1 x r - 2 + 7 x r x r - 1 + 8 x r = 0

Colocando x r em evidência:

x r r r - 1 r - 2 + 5 r r - 1 + 7 r + 8 = 0

Opa! Temos o produto de duas parcelas dando zero. Isso significa que ou uma delas é zero, ou a outra. Ajeitando:

r 3 - 2 r 2 - r 2 + 2 r + 5 r 2 - 5 r + 7 r + 8 = 0

Ficamos com:

r 3 + 2 r 2 + 4 r + 8 = 0

Pode ser escrito assim:

r 2 r + 2 + 4 r + 2 = 0

Colocando r + 2 em evidência:

r + 2 r 2 + 4 = 0

As raízes são:

r 1 = - 2

r 2 = + 2 i

r 3 = - 2 i

Eita! Você lembra como encontramos y h após encontrar as raízes? Olha aqui um lembrete!

Relembrando o Método de Euler para EDO 2ª ordem:

Vamos relembrar rapidinho o que fazíamos para EDO’s de ordem 2. Quando procuramos soluções do tipo y x = x r , encontramos o seguinte polinômio característico:

F x = r 2 + α - 1 r + β = 0

A solução dele nos leva a 3 casos:

  1. ∆ > 0 , nesse caso, encontramos duas soluções reais r 1 ≠ r 2 , as soluções da EDO são do tipo
  2. y x = a 1 x r 1 + a 2 x r 2

  3. ∆ = 0 , nesse caso encontramos uma raiz dupla r , as soluções da EDO são do tipo
  4. y x = a 1 x r + a 2 x r ln ⁡ x

  5. ∆ < 0 , nesse caso encontramos duas raízes complexas r 1 = λ - i μ e r 2 = λ + i μ , as soluções da EDO são do tipo

y x = a 1 x λ cos ⁡ ( μ ln ⁡ x ) + a 2 x λ sen ⁡ ( μ ln ⁡ x )

LEGAL! LEMBREEEEI!

Agora, voltando ao nosso exemplo, temos as seguintes raízes:

r 1 = - 2

r 2 = + 2 i

r 3 = - 2 i

Então a solução homogênea fica:

y h = c 1 x - 2 + c 2 cos ⁡ 2 ln ⁡ x + c 3 s e n 2 ln ⁡ x

MUITO MANEIRO!

Mas no nosso caso, não tivemos grandes dificuldades, porque não tem raízes com multiplicidade maior que 1 (Acredite, pode ficar pior hahah).

Antes de sair atropelando os bois, vamos ver o que é multiplicidade primeiro?

Multiplicidade de uma raiz

Primeiro temos que entender o conceito de multiplicidade. Multiplicidade de uma raiz é a quantidade de vezes que essa raiz aparece.

Quando temos uma equação de grau n devemos ter n raízes, o detalhe que não necessariamente temos n raízes diferentes.

O que precisamos ter é que a soma das multiplicidades das raízes deve ser n . Vamos ver um exemplo disso:

r 4 - 2 r 2 + 1 = 0

Essa equação pode ser resolvida dando uma arrumada nela, essa é uma equação biquadrada. Vamos fazer

r 2 = x

x 2 - 2 x + 1 = 0

Resolvendo essa equação vamos achar

x 1 = 1

x 2 = 1

Voltando para r

r 2 = x 1 = 1 → r = ± 1

r 2 = x 2 = 1 → r = ± 1

Eu coloquei os dois de propósito porque achamos duas respostas em x . Repara que temos uma equação de grau 4 , e achamos 4 raizes

- 1,1 , - 1,1

O detalhe que elas aparecem duas vezes, ou seja, r = 1 tem multiplicidade 2 e r = - 1 tem multiplicidade 2 sacou? Essa é a ideia de multiplicidade.

Raízes com Multiplicidade 1:

Aqui é mais tranquilo. Temos uma raiz aparecendo apenas uma vez. Temos que ficar atentos só se essa raiz é complexa ou não. Se a raiz não for complexa a solução é da forma

y 1 = C 1 x r

Vimos isso quando estudamos Método de Euler–Cauchy aplicado a EDO de ordem 2. Qualquer dúvida volte lá.

Se tivermos uma raiz complexa ela vai ser da forma

r = r 1 = λ - i μ

Quando temos uma raiz complexa dessa forma podemos garantir que vamos ter uma outra raiz complexa que vai ser

r = r 2 = λ + i μ

E a solução dessas duas juntas vai ser

y 1 + y 2 = x λ a 1 cos ⁡ μ ln ⁡ x + a 2 sen ⁡ μ ln ⁡ x

Raízes com Multiplicidade maior que 1:

A forma geral da solução vai ser parecida, imagina que temos uma EDO com uma raiz r de multiplicidade 2 . Temos 2 raízes, certo? Elas são iguais, mas são duas. A solução para cada uma, se fizéssemos como foi feito antes seria

y 1 = C 1 x r

y 2 = C 2 x r

Mas essas duas soluções são a mesma, e isso não pode acontecer, então para resolvermos esse problema multiplicamos a segunda solução por l n ⁡ ( x ) , ficando:

y 1 = C 1 x r

y 2 = C 2 ln ⁡ x x r

Beleza? E depois disso, encontramos a solução geral!

Solução Geral

Agora vamos entender como é a solução geral dessa EDO, cada raiz tem uma solução associada y k que vai ser uma constante qualquer C vezes uma função. A solução geral da EDO com coeficientes constantes de ordem n vai ser

y = y 1 + y 2 + y 3 + … + y n

A parada aqui vai ser achar cada uma dessas soluções. Basta a gente prestar atenção na multiplicidade de cada raiz, que o problema sai tranquilo!

Agora vamos exercitar!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON Education do Brasil, 2007, pp. 284 - 19

Resolva a seguinte EDO:

x 3 d 3 y d x 3 - 2 x 2 d 2 y d x 2 - 2 x d y d x + 8 y = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeira coisa a ser feita é perceber que isso é uma equação de Euler. Então vamos supor a solução da forma:

y = x r

Passo 2

Calculando as derivadas:

d y d x = r x r - 1

d 2 y d x 2 = r r - 1 x r - 2

d 3 y d x 3 = r r - 1 r - 2 x r - 3

Passo 3

Substituindo na EDO temos:

x 3 d 3 y d x 3 - 2 x 2 d 2 y d x 2 - 2 x d y d x + 8 y = 0

x 3 r r - 1 r - 2 x r - 3 - 2 x 2 r r - 1 x r - 2 - 2 x r x r - 1 + 8 x r = 0

Ajeitando:

x r r 3 - 5 r 2 + 2 r + 8 = 0

Portanto, temos de resolver:

r 3 - 5 r 2 + 2 r + 8 = 0

Passo 4

r 3 - 5 r 2 + 2 r + 8 = 0

Como encontrar as raízes dessa equação??!

Vamos ver alguns candidatos a raízes dessa equação.

Qual o coeficiente do maior grau dessa equação? Neste caso vai ser 1 , vamos chamar isso de a

a = 1

Qual o valor do cara sem a variável r ? Vai ser 1 , vamos chamar isso de b

b = 8

As possíveis raízes vão ser os divisores de b sobre os divisores de a , lembrando que para cada possibilidade vamos ter o cara podendo ser positivo ou negativo.

Nesse caso, os divisores de b são: ± 1 , ± 2 , ± 4 , ± 8   .Os divisores de a são ± 1 . Logo as possíveis raízes são:

r = ± 1 , ± 2 , ± 4 , ± 8  

Passo 5

Então temos que testar essas raízes na equação, como fazemos isso? É só substituir o valor na equação e ver se vai dar 0 , se der 0 o valor de r é raiz, se não der 0 ele não é raiz.

Testando cada um desses números, verificamos que - 1 ,   + 2 , + 4 são raízes. Tivemos sorte, porque apenas procurando entre esses valores já encontramos todas as raízes da equação. Caso encontrássemos apenas uma raiz, o próximo passo seria utilizar o método de briot-ruffini para encontrar as outras raízes.

Enfim temos as raízes:

r 1 = - 1

r 2 = + 2

r 3 = + 4

Passo 6

Como as raízes são distintas a solução fica:

y h = c 1 x - 1 + c 2 x 2 + c 3 x 4

Resposta

y h = c 1 x - 1 + c 2 x 2 + c 3 x 4

Exercício Resolvido #2

Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON Education do Brasil ltda., 2007, pp. 284 - 22

Resolva a seguinte EDO:

x 4   d 4 y d x 4 + 6 x 3 d 3 y d x 3 + 9 x 2 d 2 y d x 2 + 3 x d y d x + y = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeira coisa a ser feita é perceber que isso é uma equação de Euler. Então vamos supor a solução da forma:

y = x r

Passo 2

Calculando as derivadas:

d y d x = r x r - 1

d 2 y d x 2 = r r - 1 x r - 2

d 3 y d x 3 = r r - 1 r - 2 x r - 3

d 4 y d x 4 = r r - 1 r - 2 r - 3 x r - 4

Passo 3

Substituindo na EDO temos:

x 4   d 4 y d x 4 + 6 x 3 d 3 y d x 3 + 9 x 2 d 2 y d x 2 + 3 x d y d x + y = 0

x 4 r r - 1 r - 2 r - 3 x r - 4 + 6 x 3 r r - 1 r - 2 x r - 3 + 9 x 2 r r - 1 x r - 2 + 3 x r x r - 1 + x r = 0