Existência e Unicidade

Teoria Completa

Semelhante ao que estudamos em EDOs de primeira ordem, também é possível determinar a existência e a unicidade da solução de um PVI de EDO de segunda ordem partindo somente da equação diferencial e do ponto x 0 do valor inicial. Na verdade, esse teorema vai além e nos possibilita determinar a existência e unicidade para qualquer EDO de ordem n , n ≥ 2 .

A ideia é determinarmos utilizando o teorema que iremos enunciar um intervalo onde o problema teria uma solução única. Antes de enunciarmos o teorema também teremos que determinar uma padronização para a escrita das EDOs. Elas serão escritas segundo o modelo abaixo para uma EDO de ordem n.

a n x d n y d x n + a n - 1 x d n - 1 y d x n - 1 + … + a 1 x d y d x + a 0 x y = g ( x )

Como isso padronizado e considerando os valores iniciais para x 0 , vamos ao teorema

Sejam a n x , a n - 1 x , … , a 1 x , a 0 x   e   g ( x ) contínuas em um intervalo I com a n x ≠ 0 para todo x neste intervalo. Se x = x 0 é algum ponto deste intervalo, então existe uma única solução y x para o problema de valor inicial neste intervalo.( Dennis G. Zill e Michael R. Cullen, Equações Diferencias Volume 1,3ª ed., 2001, pp143)

l.( Dennis G. Zill e Michael R. Cullen, Equações Diferencias Volume 1,3ª ed., 2001, pp40)

Esse teorema nos diz que para existir uma solução única temos que todas aquelas funções devem ser continuas e a função correspondente à derivada de maior grau deve ser sempre diferente de zero dentro do intervalo. Além disso, esse intervalo deve conter x 0 .

Vamos pros exercícios que fica tudo mais claro.

Determine um intervalo onde existe uma solução única para a EDO

x 2 y ' ' + y ' + x y = 2 ,     y 2 = 0 ,     y ' 2 = 4

De cara já vemos que x 0 = 2 , agora vamos definir as funções que usamos no teorema.

a 2 x = x 2 ,     a 1 x = 1 ,     a 0 x = x ,     g x = 2  

Só olhando nos percebemos que essas funções são continuas para qualquer intervalo dos reais. Vamos conferir a outra parte do teorema, a 2 ( x ) ≠ 0 .

x 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 0

Então temos que ter um intervalo que não contenha zero e, pelo terorema, que contenha x 0 . Logo o maior intervalo será:

0 < x < + ∞

Tudo bem simples, agora é só praticar.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Dennis G. Zill e Michael R. Cullen, Equações Diferencias Volume 1,3ª ed., 2001, pp163-11

Encontre um intervalo em torno de x = 0 no qual o problema de valor inicial dado tenha um a única solução

x - 2 y ' ' + 3 y = x ,     y 0 = 0 ,     y ' 0 = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos primeiro reescrever a EDO pra ficar com a cara completa de uma EDO de segunda ordem.

x - 2 y ' ' + 0 y ' + 3 y = x

Disso temos as funções que analisaremos com o teorema da existência e unicidade

a 2 x = x - 2 ,     a 1 x = 0 ,     a 0 x = 3 ,     g x = x

Passo 2

Temos que achar um intervalo onde as funções acima são continuas e é evidente que isso acontece para qualquer intervalo.

Vamos passar pra segunda parte do teorema

a 2 x = x - 2 ≠ 0

x ≠ 2

Temos então que encontrar um intervalo em torno de x que não contenha o 2, ou seja

- ∞ < x < 2

Outra resposta possível é

2 < x < ∞

Resposta

A EDO terá uma solução única no intervalo abaixo

- ∞ < x < 2

Ou

2 < x < ∞

Exercício Resolvido #2

Dennis G. Zill e Michael R. Cullen, Equações Diferencias Volume 1,3ª ed., 2001, pp163-12

Encontre um intervalo em torno de x = 0 no qual o problema de valor inicial dado tenha uma única solução

y ' ' + ( t a n   x   ) y = e x ,     y 0 = 1 ,     y ' 0 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos primeiro reescrever a EDO pra ficar com a cara completa de uma EDO de segunda ordem.

y ' ' + 0 y ' + ( t a n   x   ) y = e x

Disso temos as funções que analisaremos com o teorema da existência e unicidade

a 2 x = 1 ,     a 1 x = 0 ,     a 0 x = t a n   x   ,     g x = e x

Passo 2

Temos que achar um intervalo onde as funções acima são contínuas. Só teremos um problema com continuidade na tangente de x.

A função tangente não é definida para x = π 2 + k π ,   k ∈ Z . Logo o nosso intervalo em torno de x = 0 deverá ser o seguinte para satisfazer a continuidade da função tangente

- π 2 < x < π 2

Vamos passar pra segunda parte do teorema

a 2 x = 1 ≠ 0

Não temos nenhuma mudança no intervalo já que 1 será sempre diferente de 0, logo o intervalo será o definido acima.

Resposta

A EDO terá uma solução única no intervalo abaixo

- π 2 < x < π 2

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