Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

Teoria Completa

Gráficos e curvas de nível

Podemos associar as curvas de nível de uma função com o seu gráfico. Se uma questão der vários gráficos e mapas de contorno, pedindo pra relacioná-los, pense que você vai pegar uma faca e cortar os gráficos, que nem você faz com cenouras.

Perceba que as curvas de nível de uma cenoura ideal são circunferências:

Enfim, a ideia é pegar as curvas de nível que você tem no plano 2 D e pensar nelas como elas são no plano 3 D . O segredo está nessa transição!

Imagine que temos o seguinte mapa de contorno:

Repare que as curvas de nível são circunferências. Podemos expressa-las em 3 Dimensões, de acordo com a altura, ou valor de z , de cada uma delas. Vai ficar:

Logo, o gráfico da função vai ser:

O que fizemos aqui nada mais foi do que utilizar as curvas de nível ou mapa de contorno da função, para encontrar seu gráfico.

Agora vamos praticar bem nos exercícios que pra esse assunto é fundamental! :)

Expandir

Exercício Resolvido #1

James Stewart, Cálculo – Volume 2, 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010, p. 826 - 35

Um mapa de contorno de uma função é mostrado. Use-o para fazer um esboço do gráfico da f .

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Passo 1

Vamos observar o mapa de contorno com calma.

Primeiramente, podemos ver que as curvas de nível dessa função são circunferências centradas na origem. Outra coisa, ele indicou os níveis de algumas curvas: podemos ver que o raio das circunferências vai aumentando conforme o nível das curvas vai subindo.

Agora ficou fácil! Pra esboçar esse gráfico basta a gente ter em mente que as curvas de nível são fatias do gráfico.

Ou seja, se passarmos uma faca horizontalmente (visualiza mesmo que ajuda!) no gráfico dessa função numa altura k , vamos obter uma circunferência, com centro em 0 ,   0 ,   k , e quanto maior for k , maior será seu raio!

Passo 2

Aqui é importante a gente reparar que as circunferências vão aumentando cada vez mais devagar. Isto é, no começo elas estão bem próximas, mostrando que o gráfico cresce rápido, e depois elas estão mais espaçadas, o que mostra uma desaceleração no crescimento do gráfico.

Enfim, o gráfico é meio genérico, mas ele deveria ficar mais ou menos assim:

Resposta

Exercício Resolvido #2

UFRJ, P2 2013.1, questão 17

Os mapas de contorno abaixo (figuras A , B e C ) correspondem a que gráficos (figura I , I I , I I I ou I V )?

  1. A → I V , B → I , C → I I
  2. A → I I , B → I V , C → I
  3. A → I , B → I I , C → I V
  4. A → I I I , B → I , C → I I
  5. A → I I , B → I I I , C → I
  6. A → I , B → I I , C → I I I
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Passo 1

Mano, esse tipo de questão não tem jeito, fica até difícil explicar. A única coisa a se fazer é tentar visualizar como são os cortes horizontais da superfície e comparar com as alternativas.

Passo 2

A curva A é aquela que cada corte vai resultar em vários círculos iguais, que é a da figura I V .

Passo 3

O mapa de contorno B visualizando os cortes vamos ver tipo uma ondinha com a “perna” na parte positiva do eixo x . Sei lá, não tem muito o que dizer...

Enfim, não confunda com a alternativa I I , o gráfico certo é o I .

Passo 4

O mapa C se fizermos os cortes vamos ver tipo uma ondinha com parecido com a anterior mas ela é simétrica, que é o gráfico I I .

Repare que o gráfico I I lembra vários paraboloides, e de fato as bolinhas do mapa de contorno C lembram as curvas de nível de um paraboloide.

Resposta

Alternativa (a)

Exercício Resolvido #3

Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, Cálculo – Volume II, 8ª ed. Porto Alegre: ARTMED EDITORA S.A, 2005, p. 934 - 35

Em cada parte, associe o mapa de contorno com uma das funções

f x , y = x 2 + y 2

f x , y = x 2 + y 2

f x , y = 1 - x 2 - y 2

por inspeção, e explique seu raciocínio. Quanto maior o valor de z , mais clara fica a cor no mapa de contorno e os contornos correspondem a valores igualmente espaçados de z .

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Passo 1

Pra gente poder relacionar as funções com os mapas de contorno, precisamos ter uma noção de como é o gráfico de cada uma delas. Então vamos começar fazendo isso, ok?

Primeira função f :

f x , y = x 2 + y 2

Fazendo z = f x , y :

z = x 2 + y 2

Elevando tudo ao quadrado:

z 2 = x 2 + y 2

Opa, isso é a equação de um cone circular!

Mas como nosso z é uma raiz quadrada, devemos ter z ≥ 0 . Então na verdade a superfície é somente a metade superior de um cone circular.

Passo 2

Agora vamos ver como são as curvas de nível do gráfico dessa função.

Fazemos

f x , y = k

x 2 + y 2 = k

x 2 + y 2 = k 2

Que nada mais é que uma circunferência centrada em 0 ,   0 e de raio k .

Ou seja, as curvas de nível de um cone circular são circunferências (que surpresa!). Mas no caso isso não vai ajudar porque os 3 mapas de contorno só têm circunferências.

Então já sabemos que pras outras funções também nem adianta identificar a natureza das curvas de nível, todas vão ser circunferências.

Passo 3

Então agora vamos ter que analisar a cor dos mapas de contorno. Ele disse que quanto maior o valor de z , mais clara a cor.

O ponto mais baixo, ou vértice, do nosso pedaço de cone é a origem! Lembra que vimos que z ≥ 0 ? Portanto na origem a cor do mapa deve ser mais escura que no resto todo dele.

Esse rosa aí da figura é clarinho, mas bom, ele é mais escuro que o branco né? Então o mapa de contorno que queremos tem que ter o centro rosa, o mais escuro possível.

Olhando as opções que ele deu já podemos eliminar a alternativa (a), que tem o centro branco.

Passo 4

Mesmo assim, tendo bem em mente como é o cone, já podemos determinar qual é o mapa de contorno certo:

Repare que ele sobe retinho (ele faz um ângulo de 45 o com o plano x y ), isso é um indício que as suas curvas de nível são igualmente espaçadas uma da outra. Assim a alternativa (b) estaria certa.

Mas isso é mais uma intuição que dá pra ter, é claro que podemos confirmar isso olhando as outras funções.

Passo 5

Então vamos dar uma olhada nessas funções. Temos

f x , y = x 2 + y 2