Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

Teoria Completa

Gráficos e curvas de nível

Podemos associar as curvas de nível de uma função com o seu gráfico. Se uma questão der vários gráficos e mapas de contorno, pedindo pra relacioná-los, pense que você vai pegar uma faca e cortar os gráficos, que nem você faz com cenouras.

Perceba que as curvas de nível de uma cenoura ideal são circunferências:

Enfim, a ideia é pegar as curvas de nível que você tem no plano 2 D e pensar nelas como elas são no plano 3 D . O segredo está nessa transição!

Imagine que temos o seguinte mapa de contorno:

Repare que as curvas de nível são circunferências. Podemos expressa-las em 3 Dimensões, de acordo com a altura, ou valor de z , de cada uma delas. Vai ficar:

Logo, o gráfico da função vai ser:

O que fizemos aqui nada mais foi do que utilizar as curvas de nível ou mapa de contorno da função, para encontrar seu gráfico.

Agora vamos praticar bem nos exercícios que pra esse assunto é fundamental! :)

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Exercício Resolvido #1

James Stewart, Cálculo – Volume 2, 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010, p. 826 - 35

Um mapa de contorno de uma função é mostrado. Use-o para fazer um esboço do gráfico da f .

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Passo 1

Vamos observar o mapa de contorno com calma.

Primeiramente, podemos ver que as curvas de nível dessa função são circunferências centradas na origem. Outra coisa, ele indicou os níveis de algumas curvas: podemos ver que o raio das circunferências vai aumentando conforme o nível das curvas vai subindo.

Agora ficou fácil! Pra esboçar esse gráfico basta a gente ter em mente que as curvas de nível são fatias do gráfico.

Ou seja, se passarmos uma faca horizontalmente (visualiza mesmo que ajuda!) no gráfico dessa função numa altura k , vamos obter uma circunferência, com centro em 0 ,   0 ,   k , e quanto maior for k , maior será seu raio!

Passo 2

Aqui é importante a gente reparar que as circunferências vão aumentando cada vez mais devagar. Isto é, no começo elas estão bem próximas, mostrando que o gráfico cresce rápido, e depois elas estão mais espaçadas, o que mostra uma desaceleração no crescimento do gráfico.

Enfim, o gráfico é meio genérico, mas ele deveria ficar mais ou menos assim:

Resposta

Exercício Resolvido #2

UFRJ, P2 2013.1, questão 17

Os mapas de contorno abaixo (figuras A , B e C ) correspondem a que gráficos (figura I , I I , I I I ou I V )?

  1. A → I V , B → I , C → I I
  2. A → I I , B → I V , C → I
  3. A → I , B → I I , C → I V
  4. A → I I I , B → I , C → I I
  5. A → I I , B → I I I , C → I
  6. A → I , B → I I , C → I I I
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Passo 1

Mano, esse tipo de questão não tem jeito, fica até difícil explicar. A única coisa a se fazer é tentar visualizar como são os cortes horizontais da superfície e comparar com as alternativas.

Passo 2

A curva A é aquela que cada corte vai resultar em vários círculos iguais, que é a da figura I V .

Passo 3

O mapa de contorno B visualizando os cortes vamos ver tipo uma ondinha com a “perna” na parte positiva do eixo x . Sei lá, não tem muito o que dizer...

Enfim, não confunda com a alternativa I I , o gráfico certo é o I .

Passo 4

O mapa C se fizermos os cortes vamos ver tipo uma ondinha com parecido com a anterior mas ela é simétrica, que é o gráfico I I .

Repare que o gráfico I I lembra vários paraboloides, e de fato as bolinhas do mapa de contorno C lembram as curvas de nível de um paraboloide.

Resposta

Alternativa (a)

Exercício Resolvido #3

Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, Cálculo – Volume II, 8ª ed. Porto Alegre: ARTMED EDITORA S.A, 2005, p. 934 - 35

Em cada parte, associe o mapa de contorno com uma das funções

f x , y = x 2 + y 2

f x , y = x 2 + y 2

f x , y = 1 - x 2 - y 2

por inspeção, e explique seu raciocínio. Quanto maior o valor de z , mais clara fica a cor no mapa de contorno e os contornos correspondem a valores igualmente espaçados de z .

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Passo 1

Pra gente poder relacionar as funções com os mapas de contorno, precisamos ter uma noção de como é o gráfico de cada uma delas. Então vamos começar fazendo isso, ok?

Primeira função f :

f x , y = x 2 + y 2

Fazendo z = f x , y :

z = x 2 + y 2

Elevando tudo ao quadrado:

z 2 = x 2 + y 2

Opa, isso é a equação de um cone circular!

Mas como nosso z é uma raiz quadrada, devemos ter z ≥ 0 . Então na verdade a superfície é somente a metade superior de um cone circular.

Passo 2

Agora vamos ver como são as curvas de nível do gráfico dessa função.

Fazemos

f x , y = k

x 2 + y 2 = k

x 2 + y 2 = k 2

Que nada mais é que uma circunferência centrada em 0 ,   0 e de raio k .

Ou seja, as curvas de nível de um cone circular são circunferências (que surpresa!). Mas no caso isso não vai ajudar porque os 3 mapas de contorno só têm circunferências.

Então já sabemos que pras outras funções também nem adianta identificar a natureza das curvas de nível, todas vão ser circunferências.

Passo 3

Então agora vamos ter que analisar a cor dos mapas de contorno. Ele disse que quanto maior o valor de z , mais clara a cor.

O ponto mais baixo, ou vértice, do nosso pedaço de cone é a origem! Lembra que vimos que z ≥ 0 ? Portanto na origem a cor do mapa deve ser mais escura que no resto todo dele.

Esse rosa aí da figura é clarinho, mas bom, ele é mais escuro que o branco né? Então o mapa de contorno que queremos tem que ter o centro rosa, o mais escuro possível.

Olhando as opções que ele deu já podemos eliminar a alternativa (a), que tem o centro branco.

Passo 4

Mesmo assim, tendo bem em mente como é o cone, já podemos determinar qual é o mapa de contorno certo:

Repare que ele sobe retinho (ele faz um ângulo de 45 o com o plano x y ), isso é um indício que as suas curvas de nível são igualmente espaçadas uma da outra. Assim a alternativa (b) estaria certa.

Mas isso é mais uma intuição que dá pra ter, é claro que podemos confirmar isso olhando as outras funções.

Passo 5

Então vamos dar uma olhada nessas funções. Temos

f x , y = x 2 + y 2

que é uma clássica! Inclusive provavelmente você já se deparou com ela em algum momento.

Fazendo

z = f x , y

z = x 2 + y 2

obtemos a equação de um paraboloide circular. É aquele que cortando na vertical obtemos parábolas e na horizontal circunferências.

Ele é assim:

Passo 6

Assim como pro cone, o vértice do paraboloide é a origem. Portanto, o centro do seu mapa de contorno também tem que estar em rosa.

Então, da mesma forma, podemos eliminar a alternativa (a).

Ou seja, dentre as alternativas (b) e (c), uma é do cone e a outra do paraboloide. E a alternativa (a) é da outra função (depois vamos verificar).

Pensando nos gráficos dessas superfícies e olhando as alternativas já dá pra determinar qual é qual!

O paraboloide é mais gordinho perto da origem, ele demora mais a crescer: por isso suas primeiras curvas de nível são mais espaçadas. Depois ele cresce bem rápido, o que faz suas curvas de nível serem mais próximas.

Por isso a alternativa (c) parece bem apropriada pra ele.

Passo 7

Mas vamos ver isso com mais calma, pra não ficar nenhuma dúvida :)

Pra visualizar melhor essas curvas de nível, podemos ver como é a interseção dessas superfícies com o plano x z (poderia ser y z também), zerando a variável y .

y = 0

⇒ z c o n e = x 2 = x

z p a r a b = x 2

Passo 8

Então no plano x z o que observamos é isso aqui:

Passo 9

Ou seja, no cone andamos sempre na mesma velocidade, o que faz as curvas de nível serem igualmente espaçadas pra valores igualmente espaçados de z .

E no outro estamos seguindo uma função quadrática: as curvas de nível vão ficar cada vez mais próximas pra valores igualmente espaçados de z .

Passo 10

Vou até dar uma incrementada na figura pra ficar mais claro. Pra obter as curvas de nível nós cortamos as superfícies com planos horizontais certo?

Então vamos fazer isso. O detalhe é que no plano x z vamos observar não planos, mas retas:

Repare como a distância entre as “curvas de nível” se mantém constante pra reta z = x , enquanto pra parábola z = x 2 elas vão se aproximando cada vez mais.

Realmente podemos concluir que a alternativa (b) corresponde à função f x , y = x 2 + y 2 , enquanto a alternativa (c) corresponde a f x , y = x 2 + y 2 .

Passo 11

Por eliminação, resta a alternativa (a) e a função f x , y = 1 - x 2 - y 2 .

Vejamos que superfície é o gráfico dessa função:

z = f x , y

z = 1 - x 2 - y 2

Se você estiver manjando bem do assunto, vai perceber que é também um paraboloide circular, mas virado pra baixo.

Então na verdade o seu mapa de contorno vai ser bem parecido com o do outro paraboloide, que é o da alternativa (c). E de fato as alternativas (a) e (c) se parecem.

A diferença é que como dessa vez o paraboloide está virado pra baixo, seu vértice é o seu ponto mais alto. Assim o centro do seu mapa de contorno tem que estar mais claro.

E realmente o centro do mapa de contorno da alternativa (a) está branquinho como neve.

Então ótimo, está tudo fazendo sentido! :)

Resposta

a )   f x , y = 1 - x 2 - y 2

b )   f x , y = x 2 + y 2

c )   f x , y = x 2 + y 2

Exercício Resolvido #4

James Stewart, Cálculo – Volume 2, 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010, p. 827 - 47

Faça o esboço do mapa de contorno e do gráfico da função e compare-os.

f x , y = x 2 + 9 y 2

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Passo 1

Vamos começar determinando as curvas de nível, igualando a função a uma constante qualquer k :

f x , y = x 2 + 9 y 2 = k

Repare que isso é a equação de uma elipse! Podemos botá-la na forma tradicional

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Passo 2

Dividindo tudo por k :

x 2 k + 9 y 2 k = 1

⇒ x 2 k 2 + y 2 k 3 2 = 1

É a equação de uma elipse centrada na origem, e cujos semieixos valem k e k 3 .

Portanto, o mapa de contorno da função basicamente vai ser um monte de elipses de vários tamanhos, e que respeitem a condição que o semieixo horizontal é 3x maior que o vertical.

Passo 3

Por exemplo, com k = 1 , temos a elipse

x 2 + 9 y 2 = 1

Passo 4

A questão pediu apenas o mapa de contorno, ela não exigiu especificar a equação de cada curva de nível e tal. Então mano, é só mandar bala e desenhar várias elipses respeitando essas proporções!

O que vai dar no mapa de contorno:

Obs: se empolgar e desenhar as curvas de nível nas cores do arco-íris é facultativo.

Passo 5

Agora ele quer o gráfico da função. É nessa hora que a gente chama f x , y de z pra chegar na equação de uma superfície:

z = x 2 + 9 y 2

Aí agora ou você é o(a) mito das quádricas, bate o olho e já vê de cara que se trata de um paraboloide elíptico, ou você dá uma olhada no mapa de contorno da função e chega numa conclusão parecida.

Pra confirmar ainda podemos seguir o procedimento padrão e zerar as variáveis, vendo como são as interseções da superfície com os planos coordenados.

Passo 6

Fazendo x = 0 , temos, no plano y z :

z = 9 y 2 ,

que é uma parábola.

Passo 7

E fazendo y = 0 , temos, no plano x z :

z = x 2 ,

que, vejam só, também é uma parábola!

Passo 8

Resumindo, nossa superfície vai ser a junção de um monte de parábolas voltadas pra cima e com vértice em 0 ,   0 ,   0 . Sendo que se cortarmos ela horizontalmente, temos que observar as elipses do mapa de contorno.

Então lá vai o gráfico:

Passo 9

Calma que ainda não acabou! Ele ainda quer que a gente compare o mapa de contorno com o gráfico... o que é meio idiota já que nos baseamos no mapa de contorno pra fazer o gráfico!

Enfim, aqui eu diria algo do tipo “eles são coerentes um com o outro, as curvas de nível são elipses, o gráfico é um paraboloide elíptico, faz total sentido, blablabá”. Algo do tipo. Afinal, você é universitário(a), eu confio no seu poder de enrolation! ;)

Resposta

Mapa de contorno:

Gráfico:

Eles são coerentes entre si, a partir de um podemos visualizar o outro.

Exercício Resolvido #5

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.78 - 10(modificado)

Considere a função

f x , y = 7 - x 2 + y 2 ,     0 ≤ x 2 + y 2 ≤ 16 25 - x 2 - y 2 ,     16 ≤ x 2 + y 2 ≤ 25

a) Esboce o gráfico de z = f x , y .

b) Identifique a curva de nível que contém o ponto P 0 = 1 ,   3 .

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Passo 1

a)

Essa função é diferente porque ela é definida por partes, mas isso não afeta muito nosso procedimento pra esboçar o gráfico.

Vamos começar vendo a parte de cima, quando 0 ≤ x 2 + y 2 ≤ 16 . Temos:

z = 7 - x 2 + y 2

E aí, conseguiu identificar a Quádrica? E essa daqui?

z = x 2 + y 2

Vou dar uma dica: muitos usaram o nome dessa superfície pra falar do Fred da seleção brasileira na copa do mundo de 2014 :)

É a clássica equação de um cone! Ou melhor, sendo mais rigoroso, a metade superior de um cone circular:

Se você reconheceu essa mas não a outra, você provavelmente caiu no dibre da questão, que foi acrescentar um 7 , um sinal negativo, só pro aluno se perder.

Passo 2

Enfim, a superfície z = 7 - x 2 + y 2 vai ser que nem esse cone aí da figura mas virado pra baixo e deslocado de 7 pra cima no eixo z !

Também não podemos esquecer que estamos na região   0 ≤ x 2 + y 2 ≤ 16 . Ou seja, como

z = 7 - x 2 + y 2

E o que tá dento da raiz tem que estar entre 0 e 16, temos

7 - 16 ≤ z ≤ 7 - 0

⇒ 3 ≤ z ≤ 7

Perceba que na sua altura mínima, z = 3 , vamos ter uma circunferência de raio 4 :

z = 7 - x 2 + y 2

3 = 7 - x 2 + y 2

x 2 + y 2 = 7 - 3 = 4

x 2 + y 2 = 16

Depois o cone sobe até atingir o ponto do James Bond: 0 ,   0 ,   7 .

A partir disso tudo, podemos esboçar tranquilamente esse gráfico!

Passo 3

Mas ainda falta a outra parte da função, quando 16 ≤ x 2 + y 2 ≤ 25 :

z = f x , y = 25 - x 2 - y 2

Vamos dar uma melhorada nisso elevando ao quadrado (mas tem que tomar cuidado, vou explicar o porquê):

z 2 = 25 - x 2 - y 2

⇒ x 2 + y 2 + z 2 = 25 = 5 2

Isso é a equação de uma esfera de raio 5 centrada na origem!

Eu disse que temos que tomar cuidado quando elevamos ao quadrado porque a nossa função de origem é z = 25 - x 2 - y 2 ≥ 0 . Então na verdade a superfície é a metade superior da esfera, show?

Passo 4

Agora, que nem fizemos pro cone, vamos ver como é limitada essa esfera.

Quando x 2 + y 2 = 16 temos

x 2 + y 2 + z 2 = 25

16 + z 2 = 25

⇒ z 2 = 9

⇒ z = ± 3

Mas vimos que z ≥ 0 , então nesse caso z = 3 .

Passo 5

Agora, quando x 2 + y 2 = 25