Derivadas Parciais de Ordem Superior

Teoria Completa

Como calcular?

As derivadas parciais, assim como as derivadas normais, também podem ser derivadas quantas vezes quisermos: são as derivadas parciais de ordem superior.

Assim, se a derivada parcial de primeira ordem de uma função f ( x , y ) em relação a x for

∂ f ∂ x = f x = y + 2 x

Eu posso derivá-la de novo em relação a x e encontrar a derivada parcial de segunda ordem:

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = f x x = 2

Mas, eu posso querer derivar a derivada parcial em relação a x , em relação a y também. Aí eu vou encontrar a derivada parcial mista:

∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x = f x y = 1

O mesmo ocorre para a derivada parcial em relação a y .

Digamos que a derivada parcial de primeira ordem em relação a y seja

∂ f ∂ y = f y = x + 2 y

Então a derivada parcial de segunda ordem em relação a y será

∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = f y y = 2

E a derivada parcial mista de segunda ordem em relação a x será

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = f y x = 1

Sacou?

Mas pera aê, repara só uma coisa:

∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ 2 f ∂ x ∂ y = 1

Será uma coincidência?

Na verdade, não!

Isso (quase) sempre vai acontecer!

Só não vai acontecer em casos muuuuito particulares, quando as derivadas parciais de segunda ordem não forem continuas em algum ponto. Nesse caso, as derivadas parciais mistas só não serão iguais apenas nesse ponto.

Beleza?

Agora imagine que eu tenha essa função

f x , y = x   l n   x y  

E queira achar a derivada parcial mista dela.

O que você acha que é melhor? Derivar primeiro em relação a x e depois em relação a y ou o contrário?

Pensa comigo: se derivarmos primeiro em relação a x , vamos logo de cara ter que usar uma regra do produto aí, né? E isso dá um certo trabalhinho e de trabalhos a gente já tá cheio, não é mesmo? Rsrs

Agora, se a gente derivar primeiro em relação a y , x vai ser uma constante e vamos só ter que fazer uma derivação com uma regrinha da cadeia simples com o l n l n   x y   . Bem melhor, né?

Então vai ficar assim:

∂ f ∂ y = x . 1 x y . x = x y

Agora, quando formos fazer a derivada em relação a x dessa derivada em relação a y também fica fácil:

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x x y = 1 y

Pegou a ideia?

Sempre que tivermos que fazer a derivadas parciais mistas, como elas são iguais, é mais rápido derivar primeiro em relação a variável cuja derivação é mais simples, ou seja, que não envolve regra do produto, do quociente, nem regras da cadeia mais complexas.

Show?!

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Exercício Resolvido #1

Apostila de Cálculo II, W. Bianchini, seção 5.5, Exemplo 5.14, página 81

Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de

z = f x , y = x 3 + 2 y 3 + 3 x 2 y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Calculando ∂ f ∂ x :

∂ f ∂ x = 3 x 2 + 0 + 3 2 x y 2

⇒ ∂ f ∂ x = 3 x 2 + 6 x y 2

Passo 2

Calculando ∂ f ∂ y :

∂ f ∂ y = 0 + 2 3 y 2 + 3 x 2 ( 2 y )

⇒ ∂ f ∂ y = 6 y 2 + 6 x 2 y

Passo 3

Calculando ∂ 2 f ∂ x 2 :

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x

⇒ ∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x 3 x 2 + 6 x y 2

⇒ ∂ 2 f ∂ x 2 = 3 2 x + 6 1 y 2

⇒ ∂ 2 f ∂ x 2 = 6 x + 6 y 2

Passo 4

Calculando ∂ 2 f ∂ y 2 :

∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y

⇒ ∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y 6 y 2 + 6 x 2 y

⇒ ∂ 2 f ∂ y 2 = 6 2 y + 6 x 2 ( 1 )

⇒ ∂ 2 f ∂ y 2 = 12 y + 6 x 2

Passo 5

Calculando ∂ 2 f ∂ x ∂ y :

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y

⇒ ∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x 6 y 2 + 6 x 2 y

⇒ ∂ 2 f ∂ x ∂ y = 0 + 6 2 x y

⇒ ∂ 2 f ∂ x ∂ y = 12 x y

De maneira alternativa, também podemos calcular

∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x

⇒ ∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y 3 x 2 + 6 x y 2

⇒ ∂ 2 f ∂ y ∂ x = 0 + 6 x ( 2 y )

⇒ ∂ 2 f ∂ y ∂ x = 12 x y

Perceba que o resultado é o mesmo!

Resposta

∂ f ∂ x = 3 x 2 + 6 x y 2

∂ f ∂ y = 6 y 2 + 6 x 2 y

∂ 2 f ∂ x 2 = 6 x + 6 y 2

∂ 2 f ∂ y 2 = 12 y + 6 x 2

∂ 2 f ∂ x ∂ y = 12 x y

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Determine as derivadas parciais de primeira ordem e a derivada mista de segunda ordem da função:

f x , y = e x y + x ln ⁡ y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Calculando ∂ f ∂ x :

∂ f ∂ x = e x y ⋅ 1 y + 1 ⋅ ln ⁡ y 2

⇒ ∂ f ∂ x = 1 y e x y + ln ⁡ y 2

Passo 2

Calculando ∂ f ∂ y :

Aplicando a Regra da cadeia:

∂ f ∂ y = e x y ⋅ ∂ ∂ y x y + x ⋅ 1 y 2 ⋅ ∂ ∂ y y 2

∂ f ∂ y = e x y ⋅ - x y 2 + x ⋅ 1 y 2 ⋅ 2 y

∂ f ∂ y = - x y 2 e x y + 2 x y y 2

⇒ ∂ f ∂ y = - x y 2 e x y + 2 x y

Passo 3

Calculando ∂ 2 f ∂ x ∂ y :

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x - x y 2 e x y + 2 x y

∂ 2 f ∂ x ∂ y = - 1 y 2 ⋅ e x y + - x y 2 ⋅ e x y ⋅ 1 y ⏟ REGRA DO PRODUTO + 2 y

∂ 2 f ∂ x ∂ y = - 1 y 2 e x y + x y e x y + 2 y

⇒ ∂ 2 f ∂ x ∂ y = - 1 y 2 e x y 1 + x y + 2 y

Passo 4

De maneira alternativa, podemos também calcular a derivada mista da seguinte maneira:

∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x = ∂ ∂ y 1 y e x y + ln ⁡ y 2

∂ 2 f ∂ y ∂ x = - 1 y 2 ⋅ e x y + 1 y ⋅ e x y ⋅ - x y 2 ⏟ REGRA DO PRODUTO + 1 y 2 ⋅ 2 y