Vetor Gradiente

Teoria Completa

Para funções de duas variáveis

Digamos que a gente tem a função:

f x , y = x ² + y ²

E a gente quer achar o vetor normal a curva de nível dessa função no ponto P = 1,1 . Como a gente faz?

O que esse exemplo tá pedindo para calcular é exatamente o vetor gradiente. Ele é um vetor normal a curva de nível de uma função.

Como calcula?

Para calcular o vetor gradiente, tudo que a gente precisa fazer é calcular as derivadas parciais da função e colocá-las num vetor, a derivada parcial em relação a x na componente x e a derivada parcial em relação a y na componente y . Vamos ver no nosso exemplo:

O vetor gradiente de f ( x , y ) é dado por ∇ f ( x , y ) :

Eu te disse que:

∇ f x , y =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y

Então para o nosso exemplo:

∂ f ∂ x = 2 x ,     ∂ f ∂ y = 2 y

∇ f x , y =   2 x , 2 y

Maaaas a gente quer o vetor normal a curva de nível no ponto P = ( 1,1 ) e achou um vetor em função de x e y . Como proceder? Bem, só substituir o ponto que ele deu. Saca só:

∇ f 1,1 =   2 ⋅ 1 ,   2 ⋅ 1 = ( 2 ,   2 )

Repara que no ponto P = ( 1,1 ) , a gente tem a curva de nível x ² + y ² = f 1,1 = 2 . Então graficamente a gente tem:

Generalizando, o vetor gradiente de f no ponto ( x 0 , y 0 ) é perpendicular à curva de nível de f que contém o ponto ( x 0 , y 0 ) , ou seja, à curva de nível f x 0 , y 0 = k .

Para funções de três variáveis

Agora, imagina que a gente quer o vetor normal a superfície de nível, no ponto P = ( 1,0 , 1 ) , da função:

f x , y , z = x 2 2 + y 2 3 + z 2 2

No caso de uma função de 3 variáveis o vetor gradiente é o vetor normal a uma superfície de nível dessa função.

O jeito de calcular é muito parecido com o jeitinho para funções de 2 variáveis. A diferença é que agora nosso vetor tem mais uma componente: a derivada parcial em relação a z .

Então, o gradiente de f ( x , y , z ) é:

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Para o nosso exemplo:

∇ f x , y , z = x , 2 3 y , z

Mas é aquele esquema: ele pediu o vetor num ponto específico, então a gente precisa substituir esse ponto na nossa expressão do vetor gradiente:

∇ f 1,0 , 1 = 1,0 , 1

A superfície de nível é:

x 2 2 + y 2 3 + z 2 2 = f 1,0 , 1 = 1

Repara que ela é um elipsóide. Então o que a gente achou foi um vetor normal a um elipsoide no ponto ( 1 , 0,1 ) .

Vetor Normal a uma superfície

Acabamos de achar um vetor normal a uma superfície fazendo o cálculo de um gradiente de uma função. Será que isso só serve para superfícies de nível?

Não! Serve para qualquer superfície. Mas como faz então a achar o vetor normal a uma superfície em um ponto?

Se liga nessa equação:

x 2 + y 2 + z 2 = 2 + 2 y

Vamos achar um vetor normal a ela no ponto C = ( 1,0 , 1 ) .

  • Passo 1: Joga todas as variáveis da equação para um lado só:
  • x 2 + y 2 + z 2 - 2 y = 2

  • Passo 2: Chama o lado em que as variáveis estão de f ( x , y , z )
  • f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 2 y

  • Passo 3: Calcula ∇ f x , y , z  
  • ∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = ( 2 x , 2 y - 2,2 z )

  • Passo 4: Substitui o ponto dado em ∇ f x , y , z

∇ f 1,0 , 1 = 2 ⋅ 1 ,   2 ⋅ 0 - 2 ,   2 ⋅ 1

∇ f 1,0 , 1 = 2 , - 2,2

Prontinho.

Olha como fica graficamente:

Propriedades do vetor gradiente

Para finalizar, se a gente souber que:

f x , y = 2 x - y ,     g x , y = x ²

E quiser calcular ∇ ( f g ) ?

“Ah a gente pode multiplicar uma função por outra e calcular o gradiente.”, você pode ter pensado. E tá certo, muito bem! Masss vamos conhecer umas propriedades para nos ajudar a calcular isso mais deboas:

Sejam f e g funções cujos gradientes são, respectivamente

∇ f x , y =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y

∇ g x , y =   ∂ g ∂ x ,   ∂ g ∂ y

E k uma constante qualquer. Então:

  1. ∇ k f = k ∇ f
  2. ∇ f ± g = ∇ f ± ∇ g
  3. ∇ f g = g ∇ f + f ∇ g
  4. ∇ f g = g ∇ f - f ∇ g g 2

Repara que elas são parecidas com as propriedades de derivadas de uma variável.

Vamos voltar para o exemplo:

Podemos calcular cada gradiente e usar a propriedade do produto para gradientes no final:

∇ f x , y = 2 , - 1

∇ g x , y = 2 x , 0

Agora a gente usa a propriedade:

∇ f g = g ∇ f + f ∇ g

∇ f g = x 2 ⋅ 2 , - 1 + 2 x - y ⋅ 2 x , 0

Fazendo a multiplicação entre escalar e vetor e depois somando os vetores, a gente acha que:

∇ f g = 2 x 2 ,   - x ² + 4 x ² - 2 y x ,   0 = ( 6 x 2 - 2 y x ,   - x 2 )

A parada é que essas propriedades nos ajudam a calcular gradientes de funções que a gente nem conhece a expressão, a partir de gradientes que a gente conhece!

Ou seja, a gente não precisa saber as expressões da f , nem da g . A gente só precisa saber quem são seus gradientes. Show de bola, né?

Agora você já pode ir para os exercícios e mandar bem! Vai lá! Você consegue!

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Determine o vetor gradiente das seguintes funções

  1. f x , y =   x 2 + 3 x y
  2. f x , y , z = 2 x + 4 x y + x z
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a )

∇ f x , y =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y

∇ f x , y = 2 x + 3 y , 3 x

Passo 2

b )

∇ f x , y , z =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

∇ f x , y , z = 2 + 4 y + z , 4 x , x

Resposta

  1. ∇ f x , y = 2 x + 3 y , 3 x
  2. ∇ f x , y , z = 2 + 4 y + z , 4 x , x

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Determine o vetor gradiente das superfícies abaixo

  1. S 1 = x , y , z ∈ R 3 x y z + x 3 + y 3 + z 3 = 3 z
  2. S 2 = x , y , z ∈ R 3 x 2 4 + y 2 9 - z 2 = x
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a )

A superfície S 1 é o gráfico da função

f x , y , z = x y z + x 3 + y 3 + z 3 - 3 z

∇ f x , y , z =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

∇ f x , y , z = y z + 3 x 2 , x z + 3 y 2 , x y + 3 z 2 - 3

Passo 2

b )

A superfície S 2 é o gráfico da função

f x , y , z = x 2 4 + y 2 9 - z 2 - x

∇ f x , y , z =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

∇ f x , y , z =   x 2 - 1 , 2 y 9 , - 2 z

Resposta

  1. ∇ f x , y , z = y z + 3 x 2 , x z + 3 y 2 , x y + 3 z 2 - 3
  2. ∇ f x , y , z =   x 2 - 1 , 2 y 9 , - 2 z

Exercício Resolvido #3

PUC-RJ, Cálculo 2, P2 2013.2, questão 2, item a

Considere as superfícies

S 1 = x , y , z ∈ R 3 4 y - 2 2 + 3 z - 1 2 = 4

S 2 = x , y , z ∈ R 3 x 3 y 2 + x 3 - 3 y z - z 4 = 3

Explicite as coordenadas de vetores normais não-nulos N 1 x , y , z e N 2 x , y , z às superfícies S 1 e S 2 , respectivamente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar pela superfície S 1 .

Para acharmos um vetor normal temos que, primeiro, achar a função F 1 x , y , z , que é a função da superfície S 1 jogando todas as variáveis para esquerda.

F 1 x , y , z = 4 y - 2 2 + 3 z - 1 2 - 4

O vetor normal vai ser o gradiente dessa nova função F 1 x , y , z

Passo 2

O gradiente vai ser

∇ F 1 = F 1 x , F 1 y , F 1 z

F 1 x = 0

F 1 y = 4.2 y - 2 = 8 y - 16

F 1 z = 3.2 z - 1 = 6 z - 6

O vetor normal vai ser

N 1 = 0,8 y - 16,6 z - 6

Passo 3

Vamos para a superfície S 2 .

Para acharmos um vetor normal temos que, primeiro, que achar a função F 2 x , y , z , que é a função da superfície S 2 jogando todas as variáveis para esquerda.

F 2 x , y , z = x 3 y 2 + x 3 - 3 y z - z 4 - 3

O vetor normal vai ser o gradiente dessa nova função F 2 x , y , z

Passo 4

O gradiente vai ser

∇ F 2 = F 2 x , F 2 y , F 2 z

F 2 x = 3 x 2 y 2 + 3 x 2

F 2 y = 2 x 3 y - 3 z

F 2 z = - 3 y - 4 z 3

O vetor normal vai ser

N 2 = 3 x 2 y 2 + 3 x 2 , 2 x 3 y - 3 z , - 3 y - 4 z 3

Resposta

N 1 = 0,8 y - 16,6 z - 6

N 2 = 3 x 2 y 2 + 3 x 2 , 2 x 3 y - 3 z , - 3 y - 4 z 3

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Sejam

f x , y , z = x 2 2 + x - 3 y z + 4 z

∇ f = x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y

g x , y , z = 2 x + 4 x y + 3 y + z

∇ g = ( 2 + 4 y , 4 x + 3,1 )

k = 2

Calcule:

  1. ∇ k f
  2. ∇ f + g
  3. ∇ f - g
  4. ∇ f g
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a )

Pela propriedade do vetor gradiente temos

∇ k f = k ∇ f

Então,

∇ k f = 2 . x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y = ( 2 x + 2 , - 6 z , 8 - 6 y )

Passo 2

b )

Pela propriedade do vetor gradiente temos

∇ f + g = ∇ f + ∇ g

Então,

∇ f + g = x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y + ( 2 + 4 y , 4 x + 3,1 ) = x + 4 y + 3 , - 3 z + 4 x + 3,5 - 3 y

Passo 3

c )

Pela propriedade do vetor gradiente temos

∇ f - g = ∇ f - ∇ g

Então,

∇ f - g = x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y - ( 2 + 4 y , 4 x + 3,1 ) = x - 4 y - 1 , - 3 z - 4 x - 3,3 - 3 y

Passo 4

d )

Pela propriedade do vetor gradiente temos

∇ f g = g ∇ f + f ∇ g

Então,

∇ f g = ( 2 x + 4 x y + 3 y + z ) x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y + x 2 2 + x - 3 y z + 4 z 2 + 4 y , 4 x + 3,1

∇ f g = 2 x 2 + 2 x + 4 x 2 y + 7 x y + 3 y + x z + z , - 6 x z - 12 x y z - 9 y z - 3 z 2 , 8 x + 10 x y - 12 x y 2 + 12 y - 9 y 2 + 4 z - 3 y z + x 2 + 4 x 2 y 2 + 2 x + 4 x y + 10 y z - 12 y 2 z + 8 z , 2 x 3 + 11 x 2 2 + 3 x - 12 x y z - 9 y z + 16 x z + 12 z , x 2 2 + x - 3 y z + 4 z

∇ f g = 3 x 2 + 4 x + 6 x 2 y + 11 x y + 3 y + 9 z + x z + 10 y z - 12 y 2 z , 2 x 3 + 11 x 2 2 + 3 x + 10 x z - 24 x y z - 18 y z - 3 z 2 + 12 z , x 2 2 + 9 x + 10 x y - 12 x y ² + 12 y - 9 y 2 + 8 z - 6 y z

Resposta

  1. ∇ k f = ( 2 x + 2 , - 6 z , 8 - 6 y )
  2. ∇ f + g = x + 4 y + 3 , - 3 z + 4 x + 3,5 - 3 y
  3. ∇ f - g = x - 4 y - 1 , - 3 z - 4 x - 3,3 - 3 y
  4. ∇ f g = 3 x 2 + 4 x + 6 x 2 y + 11 x y + 3 y + 9 z + x z + 10 y z - 12 y 2 z , 2 x 3 + 11 x 2 2 + 3 x + 10 x z - 24 x y z - 18 y z - 3 z 2 + 12 z , x 2 2 + 9 x + 10 x y - 12 x y ² + 12 y - 9 y 2 + 8 z - 6 y z

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