Teoria Completa
Para funções de duas variáveis
Digamos que a gente tem a função:
E a gente quer achar o vetor normal a curva de nível dessa função no ponto . Como a gente faz?
O que esse exemplo tá pedindo para calcular é exatamente o vetor gradiente. Ele é um vetor normal a curva de nível de uma função.
Como calcula?
Para calcular o vetor gradiente, tudo que a gente precisa fazer é calcular as derivadas parciais da função e colocá-las num vetor, a derivada parcial em relação a na componente e a derivada parcial em relação a na componente . Vamos ver no nosso exemplo:
O vetor gradiente de é dado por :
Eu te disse que:
Então para o nosso exemplo:
Maaaas a gente quer o vetor normal a curva de nível no ponto e achou um vetor em função de e . Como proceder? Bem, só substituir o ponto que ele deu. Saca só:
Repara que no ponto , a gente tem a curva de nível . Então graficamente a gente tem:
Generalizando, o vetor gradiente de no ponto é perpendicular à curva de nível de que contém o ponto , ou seja, à curva de nível .
Para funções de três variáveis
Agora, imagina que a gente quer o vetor normal a superfície de nível, no ponto , da função:
No caso de uma função de 3 variáveis o vetor gradiente é o vetor normal a uma superfície de nível dessa função.
O jeito de calcular é muito parecido com o jeitinho para funções de 2 variáveis. A diferença é que agora nosso vetor tem mais uma componente: a derivada parcial em relação a .
Então, o gradiente de é:
Para o nosso exemplo:
Mas é aquele esquema: ele pediu o vetor num ponto específico, então a gente precisa substituir esse ponto na nossa expressão do vetor gradiente:
A superfície de nível é:
Repara que ela é um elipsóide. Então o que a gente achou foi um vetor normal a um elipsoide no ponto .
Vetor Normal a uma superfície
Acabamos de achar um vetor normal a uma superfície fazendo o cálculo de um gradiente de uma função. Será que isso só serve para superfícies de nível?
Não! Serve para qualquer superfície. Mas como faz então a achar o vetor normal a uma superfície em um ponto?
Se liga nessa equação:
Vamos achar um vetor normal a ela no ponto .
- Passo 1: Joga todas as variáveis da equação para um lado só:
- Passo 2: Chama o lado em que as variáveis estão de
- Passo 3: Calcula
- Passo 4: Substitui o ponto dado em
Prontinho.
Olha como fica graficamente:
Propriedades do vetor gradiente
Para finalizar, se a gente souber que:
E quiser calcular ?
“Ah a gente pode multiplicar uma função por outra e calcular o gradiente.”, você pode ter pensado. E tá certo, muito bem! Masss vamos conhecer umas propriedades para nos ajudar a calcular isso mais deboas:
Sejam e funções cujos gradientes são, respectivamente
E uma constante qualquer. Então:
Repara que elas são parecidas com as propriedades de derivadas de uma variável.
Vamos voltar para o exemplo:
Podemos calcular cada gradiente e usar a propriedade do produto para gradientes no final:
Agora a gente usa a propriedade:
Fazendo a multiplicação entre escalar e vetor e depois somando os vetores, a gente acha que:
A parada é que essas propriedades nos ajudam a calcular gradientes de funções que a gente nem conhece a expressão, a partir de gradientes que a gente conhece!
Ou seja, a gente não precisa saber as expressões da , nem da . A gente só precisa saber quem são seus gradientes. Show de bola, né?
Agora você já pode ir para os exercícios e mandar bem! Vai lá! Você consegue!
Exercício Resolvido #1
Determine o vetor gradiente das seguintes funções
Passo 1
Passo 2
Resposta
Exercício Resolvido #2
Determine o vetor gradiente das superfícies abaixo
Passo 1
A superfície é o gráfico da função
Passo 2
A superfície é o gráfico da função
Resposta
Exercício Resolvido #3
Considere as superfícies
Explicite as coordenadas de vetores normais não-nulos e às superfícies e , respectivamente.
Passo 1
Vamos começar pela superfície .
Para acharmos um vetor normal temos que, primeiro, achar a função , que é a função da superfície jogando todas as variáveis para esquerda.
O vetor normal vai ser o gradiente dessa nova função
Passo 2
O gradiente vai ser
O vetor normal vai ser
Passo 3
Vamos para a superfície .
Para acharmos um vetor normal temos que, primeiro, que achar a função , que é a função da superfície jogando todas as variáveis para esquerda.
O vetor normal vai ser o gradiente dessa nova função
Passo 4
O gradiente vai ser
O vetor normal vai ser
Resposta
Exercício Resolvido #4
Sejam
Calcule:
Passo 1
Pela propriedade do vetor gradiente temos
Então,
Passo 2
Pela propriedade do vetor gradiente temos
Então,
Passo 3
Pela propriedade do vetor gradiente temos
Então,
Passo 4
Pela propriedade do vetor gradiente temos
Então,