Vetor Gradiente

Teoria Completa

Como calcular?

O vetor gradiente, representado por ∇ f ( x , y ) , de uma função f ( x , y ) é o vetor cujas coordenadas são as derivadas parciais da função f em relação a x e y , ou seja:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

E é assim para funções de quantas variáveis quisermos. Mas aqui a gente vai trabalhar apenas com funções de 2 e 3 variáveis. Então, para f x , y , z o vetor gradiente é:

∇ f x , y , z =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y ,   ∂ f ∂ z

Sacou? Vamos ver se você entendeu mesmo:

f ( x , y )   =   x ² y ³

∇ f x , y =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y =   2 x y 3 ,   3 x ² y ²

E se a gente quiser calcular o valor do vetor gradiente num ponto P 0 = ( x 0 , y 0 ) é só substituir esse ponto na expressão do vetor gradiente.

Assim, para P 0 = ( 1 , 2 ) , nosso vetor gradiente fica:

∇ f 1,2 = ( 2.1 . 2 ³ ,   3.1 ² . 2 ² )   =   ( 16,12 )

Molezinha, né?

E pra ficar mais molezinha ainda, vou te mostrar umas propriedades do vetor gradiente que vão ajudar muito a gente!

Propriedades do vetor gradiente

Sejam f e g funções cujos gradientes são, respectivamente

∇ f x , y =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y

∇ g x , y =   ∂ g ∂ x ,   ∂ g ∂ y

E k uma constante qualquer. Então:

  1. ∇ k f = k ∇ f
  2. ∇ f ± g = ∇ f ± ∇ g
  3. ∇ f g = g ∇ f + f ∇ g
  4. ∇ f g = g ∇ f - f ∇ g g 2

E é só isso. Essas propriedades nos ajudam a calcular gradientes de funções que a gente nem conhece a expressão, a partir de gradientes que a gente conhece!

Ou seja, a gente não precisa saber as expressões da f , nem da g . A gente só precisa saber quem são seus gradientes. Show de bola, né?

Interpretação geométrica do vetor gradiente

Tá achando que agora vai ficar difícil?

Pois você está enganado! Esse tipo é só alegria.

A interpretação geométrica do vetor gradiente é dada pra gente por um teorema que diz o seguinte:

“O vetor gradiente de f no ponto ( x 0 , y 0 ) é perpendicular à curva de nível de f que contém o ponto ( x 0 , y 0 ) , ou seja, à curva de nível f x 0 , y 0 = k .”

Então, imagine essa função aqui:

f x , y = 2 x 2 + y

Um vetor normal à curva de nível que passa pelo ponto ( 1,2 ) é dado pelo gradiente de f ( x , y ) , calculado no ponto ( 1,2 ) , ou seja:

∇ f 1,2 = ∂ f ∂ x ( 1,2 ) , ∂ f ∂ y ( 1,2 ) = 4 x , 1 = 4.1,1 = ( 4,1 )

Pronto, o vetor v → = ( 4,1 ) é perpendicular a curva de nível dada!

Agora vou te contar um segredo: se te pedirem para calcular o vetor normal à uma superfície, o vetor gradiente também pode te salvar! Sim, ele é mágico.

Para isso, a gente tem que escrever essa função de modo que tudo que é variável fique de um lado só da equação, assim

f x , y , z = k

Então, para a superfície x 2 + y 2 + z 2 = 2 + 2 y , fazemos

x 2 + y 2 + z 2 - 2 y = 2 → f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 2 y

E calculamos o gradiente de f x , y , z

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = ( 2 x , 2 y - 2,2 z )

E esse vai ser o vetor normal àquela superfície doida lá!

Visualização geométrica do vetor gradiente

Mas pera, ainda ta complicado? Muita letra né? E que tal dar uma visualizada pra tentarmos entender melhor?

No exemplo da função f x , y = 2 x 2 + y , já tínhamos o ponto

C = 1,2

Ou seja, o vetor gradiente ia ser o vetor perpendicular a curva de nível

2 x 2 + y = f 1,2 = f C = 4

No próprio ponto C . O vetor perpendicular resultante desse exemplo foi:

∇ f 1,2 = ( 4,1 )

Então temos tudo pra ver geometricamente o que acontece! Basta agora a gente plotar o gráfico da curva de nível, o ponto C e o vetor gradiente saindo desse ponto:

Agora, no exemplo com uma superfície, tínhamos:

  • Equação da Superfície →   x 2 + y 2 + z 2 = 2 + 2 y
  • Ponto da Superfície → C = x , y , z
  • Vetor Normal no Ponto C →   ∇ f x , y , z = ( 2 x , 2 y - 2,2 z )

Vamos escolher um ponto C qualquer da superfície, digamos, C = 1,0 , 1 . Bora ver agora como vai ficar o vetor normal nesse ponto:

∇ f 1 , 0 , 1 = 2 . 1 , 2 . 0 - 2,2 . 1

∇ f 1 , 0 , 1 = 2 , - 2,2

E pra fechar com chave de ouro basta a gente desenhar a superfície, o ponto C escolhido e o vetor gradiente

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Determine o vetor gradiente das seguintes funções

  1. f x , y =   x 2 + 3 x y
  2. f x , y , z = 2 x + 4 x y + x z
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a )

∇ f x , y =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y

∇ f x , y = 2 x + 3 y , 3 x

Passo 2

b )

∇ f x , y , z =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

∇ f x , y , z = 2 + 4 y + z , 4 x , x

Resposta

  1. ∇ f x , y = 2 x + 3 y , 3 x
  2. ∇ f x , y , z = 2 + 4 y + z , 4 x , x

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Determine o vetor gradiente das superfícies abaixo

  1. S 1 = x , y , z ∈ R 3 x y z + x 3 + y 3 + z 3 = 3 z
  2. S 2 = x , y , z ∈ R 3 x 2 4 + y 2 9 - z 2 = x
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a )

A superfície S 1 é o gráfico da função

f x , y , z = x y z + x 3 + y 3 + z 3 - 3 z

∇ f x , y , z =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

∇ f x , y , z = y z + 3 x 2 , x z + 3 y 2 , x y + 3 z 2 - 3

Passo 2

b )

A superfície S 2 é o gráfico da função

f x , y , z = x 2 4 + y 2 9 - z 2 - x

∇ f x , y , z =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

∇ f x , y , z =   x 2 - 1 , 2 y 9 , - 2 z

Resposta

  1. ∇ f x , y , z = y z + 3 x 2 , x z + 3 y 2 , x y + 3 z 2 - 3
  2. ∇ f x , y , z =   x 2 - 1 , 2 y 9 , - 2 z

Exercício Resolvido #3

PUC-RJ, Cálculo 2, P2 2013.2, questão 2, item a

Considere as superfícies

S 1 = x , y , z ∈ R 3 4 y - 2 2 + 3 z - 1 2 = 4

S 2 = x , y , z ∈ R 3 x 3 y 2 + x 3 - 3 y z - z 4 = 3

Explicite as coordenadas de vetores normais não-nulos N 1 x , y , z e N 2 x , y , z às superfícies S 1 e S 2 , respectivamente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar pela superfície S 1 .

Para acharmos um vetor normal temos que, primeiro, achar a função F 1 x , y , z , que é a função da superfície S 1 jogando todas as variáveis para esquerda.

F 1 x , y , z = 4 y - 2 2 + 3 z - 1 2 - 4

O vetor normal vai ser o gradiente dessa nova função F 1 x , y , z

Passo 2

O gradiente vai ser

∇ F 1 = F 1 x , F 1 y , F 1 z

F 1 x = 0

F 1 y = 4.2 y - 2 = 8 y - 16

F 1 z = 3.2 z - 1 = 6 z - 6

O vetor normal vai ser

N 1 = 0,8 y - 16,6 z - 6

Passo 3

Vamos para a superfície S 2 .

Para acharmos um vetor normal temos que, primeiro, que achar a função F 2 x , y , z , que é a função da superfície S 2 jogando todas as variáveis para esquerda.

F 2 x , y , z = x 3 y 2 + x 3 - 3 y z - z 4 - 3

O vetor normal vai ser o gradiente dessa nova função F 2 x , y , z

Passo 4

O gradiente vai ser

∇ F 2 = F 2 x , F 2 y , F 2 z

F 2 x = 3 x 2 y 2 + 3 x 2

F 2 y = 2 x 3 y - 3 z

F 2 z = - 3 y - 4 z 3

O vetor normal vai ser

N 2 = 3 x 2 y 2 + 3 x 2 , 2 x 3 y - 3 z , - 3 y - 4 z 3

Resposta

N 1 = 0,8 y - 16,6 z - 6

N 2 = 3 x 2 y 2 + 3 x 2 , 2 x 3 y - 3 z , - 3 y - 4 z 3

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Sejam

f x , y , z = x 2 2 + x - 3 y z + 4 z

∇ f = x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y

g x , y , z = 2 x + 4 x y + 3 y + z

∇ g = ( 2 + 4 y , 4 x + 3,1 )

k = 2

Calcule:

  1. ∇ k f
  2. ∇ f + g
  3. ∇ f - g
  4. ∇ f g
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a )

Pela propriedade do vetor gradiente temos

∇ k f = k ∇ f

Então,

∇ k f = 2 . x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y = ( 2 x + 2 , - 6 z , 8 - 6 y )

Passo 2

b )

Pela propriedade do vetor gradiente temos

∇ f + g = ∇ f + ∇ g

Então,

∇ f + g = x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y + ( 2 + 4 y , 4 x + 3,1 ) = x + 4 y + 3 , - 3 z + 4 x + 3,5 - 3 y

Passo 3

c )

Pela propriedade do vetor gradiente temos

∇ f - g = ∇ f - ∇ g

Então,

∇ f - g = x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y - ( 2 + 4 y , 4 x + 3,1 ) = x - 4 y - 1 , - 3 z - 4 x - 3,3 - 3 y

Passo 4

d )

Pela propriedade do vetor gradiente temos

∇ f g = g ∇ f + f ∇ g

Então,

∇ f g = ( 2 x + 4 x y + 3 y + z ) x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y + x 2 2 + x - 3 y z + 4 z 2 + 4 y , 4 x + 3,1

∇ f g = 2 x 2 + 2 x + 4 x 2 y + 7 x y + 3 y + x z + z , - 6 x z - 12 x y z - 9 y z - 3 z 2 , 8 x + 10 x y - 12 x y 2 + 12 y - 9 y 2 + 4 z - 3 y z + x 2 + 4 x 2 y 2 + 2 x + 4 x y + 10 y z - 12 y 2 z + 8 z , 2 x 3 + 11 x 2 2 + 3 x - 12 x y z - 9 y z + 16 x z + 12 z , x 2 2 + x - 3 y z + 4 z

∇ f g = 3 x 2 + 4 x + 6 x 2 y + 11 x y + 3 y + 9 z + x z + 10 y z - 12 y 2 z , 2 x 3 + 11 x 2 2 + 3 x + 10 x z - 24 x y z - 18 y z - 3 z 2 + 12 z + 12 z , x 2 2 + 9 x + 10 x y - 12 x y ² + 12 y - 9 y 2 + 8 z - 6 y z

Resposta

  1. ∇ k f = ( 2 x + 2 , - 6 z , 8 - 6 y )
  2. ∇ f + g = x + 4 y + 3 , - 3 z + 4 x + 3,5 - 3 y
  3. ∇ f - g = x - 4 y - 1 , - 3 z - 4 x - 3,3 - 3 y
  4. ∇ f g = 3 x 2 + 4 x + 6 x 2 y + 11 x y + 3 y + 9 z + x z + 10 y z - 12 y 2 z , 2 x 3 + 11 x 2 2 + 3 x + 10 x z - 24 x y z - 18 y z - 3 z 2 + 12 z + 12 z , x 2 2 + 9 x + 10 x y - 12 x y ² + 12 y - 9 y 2 + 8 z - 6 y z

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