Vetor Gradiente

Teoria Completa

Para funções de duas variáveis

Digamos que a gente tem a função:

f x , y = x ² + y ²

E a gente quer achar o vetor normal a curva de nível dessa função no ponto P = 1,1 . Como a gente faz?

O que esse exemplo tá pedindo para calcular é exatamente o vetor gradiente. Ele é um vetor normal a curva de nível de uma função.

Como calcula?

Para calcular o vetor gradiente, tudo que a gente precisa fazer é calcular as derivadas parciais da função e colocá-las num vetor, a derivada parcial em relação a x na componente x e a derivada parcial em relação a y na componente y . Vamos ver no nosso exemplo:

O vetor gradiente de f ( x , y ) é dado por ∇ f ( x , y ) :

Eu te disse que:

∇ f x , y =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y

Então para o nosso exemplo:

∂ f ∂ x = 2 x ,     ∂ f ∂ y = 2 y

∇ f x , y =   2 x , 2 y

Maaaas a gente quer o vetor normal a curva de nível no ponto P = ( 1,1 ) e achou um vetor em função de x e y . Como proceder? Bem, só substituir o ponto que ele deu. Saca só:

∇ f 1,1 =   2 ⋅ 1 ,   2 ⋅ 1 = ( 2 ,   2 )

Repara que no ponto P = ( 1,1 ) , a gente tem a curva de nível x ² + y ² = f 1,1 = 2 . Então graficamente a gente tem:

Generalizando, o vetor gradiente de f no ponto ( x 0 , y 0 ) é perpendicular à curva de nível de f que contém o ponto ( x 0 , y 0 ) , ou seja, à curva de nível f x 0 , y 0 = k .

Para funções de três variáveis

Agora, imagina que a gente quer o vetor normal a superfície de nível, no ponto P = ( 1,0 , 1 ) , da função:

f x , y , z = x 2 2 + y 2 3 + z 2 2

No caso de uma função de 3 variáveis o vetor gradiente é o vetor normal a uma superfície de nível dessa função.

O jeito de calcular é muito parecido com o jeitinho para funções de 2 variáveis. A diferença é que agora nosso vetor tem mais uma componente: a derivada parcial em relação a z .

Então, o gradiente de f ( x , y , z ) é:

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Para o nosso exemplo:

∇ f x , y , z = x , 2 3 y , z

Mas é aquele esquema: ele pediu o vetor num ponto específico, então a gente precisa substituir esse ponto na nossa expressão do vetor gradiente:

∇ f 1,0 , 1 = 1,0 , 1

A superfície de nível é:

x 2 2 + y 2 3 + z 2 2 = f 1,0 , 1 = 1

Repara que ela é um elipsóide. Então o que a gente achou foi um vetor normal a um elipsoide no ponto ( 1 , 0,1 ) .

Vetor Normal a uma superfície

Acabamos de achar um vetor normal a uma superfície fazendo o cálculo de um gradiente de uma função. Será que isso só serve para superfícies de nível?

Não! Serve para qualquer superfície. Mas como faz então a achar o vetor normal a uma superfície em um ponto?

Se liga nessa equação:

x 2 + y 2 + z 2 = 2 + 2 y

Vamos achar um vetor normal a ela no ponto C = ( 1,0 , 1 ) .

  • Passo 1: Joga todas as variáveis da equação para um lado só:
  • x 2 + y 2 + z 2 - 2 y = 2

  • Passo 2: Chama o lado em que as variáveis estão de f ( x , y , z )
  • f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 2 y

  • Passo 3: Calcula ∇ f x , y , z  
  • ∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = ( 2 x , 2 y - 2,2 z )

  • Passo 4: Substitui o ponto dado em ∇ f x , y , z

∇ f 1,0 , 1 = 2 ⋅ 1 ,   2 ⋅ 0 - 2 ,   2 ⋅ 1

∇ f 1,0 , 1 = 2 , - 2,2

Prontinho.

Olha como fica graficamente:

Propriedades do vetor gradiente

Para finalizar, se a gente souber que:

f x , y = 2 x - y ,     g x , y = x ²

E quiser calcular ∇ ( f g ) ?

“Ah a gente pode multiplicar uma função por outra e calcular o gradiente.”, você pode ter pensado. E tá certo, muito bem! Masss vamos conhecer umas propriedades para nos ajudar a calcular isso mais deboas:

Sejam f e g funções cujos gradientes são, respectivamente

∇ f x , y =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y

∇ g x , y =   ∂ g ∂ x ,   ∂ g ∂ y

E k uma constante qualquer. Então:

  1. ∇ k f = k ∇ f
  2. ∇ f ± g = ∇ f ± ∇ g
  3. ∇ f g = g ∇ f + f ∇ g
  4. ∇ f g = g ∇ f - f ∇ g g 2

Repara que elas são parecidas com as propriedades de derivadas de uma variável.

Vamos voltar para o exemplo:

Podemos calcular cada gradiente e usar a propriedade do produto para gradientes no final:

∇ f x , y = 2 , - 1

∇ g x , y = 2 x , 0

Agora a gente usa a propriedade:

∇ f g = g ∇ f + f ∇ g

∇ f g = x 2 ⋅ 2 , - 1 + 2 x - y ⋅ 2 x , 0

Fazendo a multiplicação entre escalar e vetor e depois somando os vetores, a gente acha que:

∇ f g = 2 x 2 ,   - x ² + 4 x ² - 2 y x ,   0 = ( 6 x 2 - 2 y x ,   - x 2 )

A parada é que essas propriedades nos ajudam a calcular gradientes de funções que a gente nem conhece a expressão, a partir de gradientes que a gente conhece!

Ou seja, a gente não precisa saber as expressões da f , nem da g . A gente só precisa saber quem são seus gradientes. Show de bola, né?

Agora você já pode ir para os exercícios e mandar bem! Vai lá! Você consegue!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Determine o vetor gradiente das seguintes funções

  1. f x , y =   x 2 + 3 x y
  2. f x , y , z = 2 x + 4 x y + x z
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a )

∇ f x , y =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y

∇ f x , y = 2 x + 3 y , 3 x

Passo 2

b )

∇ f x , y , z =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

∇ f x , y , z = 2 + 4 y + z , 4 x , x

Resposta

  1. ∇ f x , y = 2 x + 3 y , 3 x
  2. ∇ f x , y , z = 2 + 4 y + z , 4 x , x

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Determine o vetor gradiente das superfícies abaixo

  1. S 1 = x , y , z ∈ R 3 x y z + x 3 + y 3 + z 3 = 3 z
  2. S 2 = x , y , z ∈ R 3 x 2 4 + y 2 9 - z 2 = x
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a )

A superfície S 1 é o gráfico da função

f x , y , z = x y z + x 3 + y 3 + z 3 - 3 z

∇ f x , y , z =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

∇ f x , y , z = y z + 3 x 2 , x z + 3 y 2 , x y + 3 z 2 - 3

Passo 2

b )

A superfície S 2 é o gráfico da função

f x , y , z = x 2 4 + y 2 9 - z 2 - x

∇ f x , y , z =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

∇ f x , y , z =   x 2 - 1 , 2 y 9 , - 2 z

Resposta

  1. ∇ f x , y , z = y z + 3 x 2 , x z + 3 y 2 , x y + 3 z 2 - 3