Diferenciabilidade – Cálculo do Erro

Teoria Completa

Agora vamos ver uma maneira infalível de determinar a Diferenciabilidade de uma função de 2 variáveis.

Já vou avisando pra você se preparar psicologicamente pra fazer contas gigantes nos exercícios desse tipo. Isso porque, pra mostrar que uma função f x , y é diferenciável num ponto x 0 , y 0 , temos que provar que

lim h , k → 0,0 ⁡ f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 , y 0 - ∂ f ∂ x x 0 , y 0 h - ∂ f ∂ y x 0 , y 0 k h 2 + k 2 = 0

Minha reação quando eu vi esse limite pela primeira vez foi mais ou menos assim:

Mas relaxa que geralmente as contas acabam dando uma simplificada (as derivadas parciais se anulam por exemplo).

Aliás, falando em derivadas parciais, muitas vezes teremos que calculá-las pela definição. Então é bom lembrar como faz isso! ;)

Vamos ver um exemplo! A função f é diferenciável na origem?

f x , y = x 3 x 2 + y 2 x , y ≠ 0,0 0 x , y = 0,0

Geralmente, o nosso reflexo tem que ser testar a continuidade da função no ponto pedido. Se ela não for contínua ela não será diferenciável.

Não vou entrar em detalhes das contas porque aqui não é o propósito, mas dá pra provar, sem grandes dificuldades, que

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 x 2 + y 2 = 0 = f 0 ,   0

Assim, a função é contínua na origem.

Por isso, pra testar a diferenciabilidade, temos que partir pro cálculo do limitão e ver se dá zero!

Mas pra isso precisamos das derivadas parciais da f em 0 ,   0 , então vamos calculá-las.

f x , y = x 3 x 2 + y 2

Se a gente tentar derivar normalmente, usando a regra do quociente, o denominador das derivadas parciais vai ser x 2 + y 2 2 . Ou seja, em 0 ,   0 temos uma divisão por zero!

Então vamos ter que usar a definição de derivada parcial. Lembrando:

∂ f ∂ x x 0 , y 0 = lim x → x 0 ⁡ f x , y 0 - f x 0 , y 0 x - x 0

∂ f ∂ y x 0 , y 0 = lim y → y 0 ⁡ f x 0 , y - f x 0 , y 0 y - y 0

Então no nosso exemplo, com x 0 ,   y 0 = 0 ,   0 , temos

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ x 3 x 2 - 0 x = lim x → 0 ⁡ x x = lim x → 0 ⁡ 1 = 1

E pra derivada parcial em relação a y :

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ 0 y 2 - 0 y = lim y → 0 ⁡ 0 y = lim y → 0 ⁡ 0 = 0

Então

∂ f ∂ x 0,0 = 1

∂ f ∂ y 0,0 = 0

Show, então nosso limite vai ser:

lim h , k → 0,0 ⁡ f 0 + h , 0 + k - f 0,0 - ∂ f ∂ x 0,0 h - ∂ f ∂ y 0,0 k h 2 + k 2 =

lim h , k → 0,0 ⁡ f h , k - 0 - 1 h - 0 k h 2 + k 2 = lim h , k → 0,0 ⁡ h 3 h 2 + k 2 - h h 2 + k 2

Ajeitando um pouco isso:

lim h , k → 0,0 ⁡ h 3 - h h 2 + k 2 h 2 + k 2 h 2 + k 2 = lim h , k → 0,0 ⁡ - h k 2 h 2 + k 2 h 2 + k 2

= lim h , k → 0,0 ⁡ - h k 2 h 2 + k 2 h 2 + k 2

Que limite triste de calcular né? É melhor tentar provar que o limite não existe. A gente pode fazer uma substituição simples h = k , que dá:

lim h → 0 ⁡ - h 3 2 h 2 2 h 2 = lim h → 0 ⁡ - h 2 2 h 2

Repara que, como temos h 2 = h , temos que separar em dois casos, um quando h → 0 + e um quando h → 0 - .

Se h → 0 + :

lim h → 0 + ⁡ - h 2 2 h 2 = lim h → 0 + ⁡ - h 2 2 h = - 1 2 2

Esse limite não deu zero! Já está errado! Mas ainda podemos ver o caso h → 0 - :

lim h → 0 - ⁡ - h 2 2 h 2 = lim h → 0 - ⁡ - h 2 2 - h = 1 2 2

Ou seja, não só o limite não existe, porque os limites laterais são diferentes, ele também não vale zero!

Portanto, podemos concluir que f não é diferenciável em 0 ,   0 .

Captou a ideia? Então partiu treinar nos exercícios!

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Exercício Resolvido #1

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2004, p.103 (modificado)

Verifique se a função abaixo é diferenciável em ( 0,0 ) .

f x , y = x 2 + y 2 sen ⁡ 1 x 2 + y 2 ,     x , y ≠ ( 0,0 )     0 ,     x , y = 0,0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente, vamos testar a continuidade da função. Temos que testar se

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = f 0 ,   0

Pra isso calculamos o limite:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 sen ⁡ 1 x 2 + y 2

Temos

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 = 0

E o seno é limitado:

- 1 ≤ sen ⁡ 1 x 2 + y 2 ≤ 1

Logo, pelo teorema do anulamento:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 sen ⁡ 1 x 2 + y 2 = 0 = f 0 ,   0

Portanto, a função é contínua na origem, o que não prova nada em relação à sua diferenciabilidade.

Passo 2

Então não tem jeito, precisamos achar as derivadas parciais e depois fazer o limite

lim h , k → 0,0 ⁡ f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 , y 0 - ∂ f ∂ x x 0 , y 0 h - ∂ f ∂ y x 0 , y 0 k h 2 + k 2

E ver se ele é zero.

Portanto, calculemos as derivadas parciais em ( 0,0 ) .

Passo 3

Como temos um ponto de indeterminação temos que fazer pela definição. Começando com a derivada em relação a x

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ x 2 + 0 2 sen ⁡ 1 x 2 + 0 2 - 0 x = lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x 2

Aqui basta aplicar o teorema do anulamento que nem fizemos agora a pouco. Temos algo tendendo a zero multiplicando uma expressão limitada

lim x → 0 ⁡ x = 0 - 1 ≤ sen ⁡ 1 x 2 ≤ 1

Logo,

lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x 2 = 0 = ∂ f ∂ x 0 ,   0

Passo 4

Agora vamos para a derivada em relação a y

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f y , 0 - f 0,0 y - 0 = lim y → 0 ⁡ 0 2 + y 2 sen ⁡ 1 0 2 + y 2 - 0 y = lim y → 0 ⁡ y sen ⁡ 1 y 2

É um limite idêntico ao anterior então já sabemos que ele é 0

lim y → 0 ⁡ y sen ⁡ 1 y 2 = 0 = ∂ f ∂ y 0 ,   0

Passo 5

Agora que vimos que ele tem derivadas parciais precisamos achar

lim h , k → 0,0 ⁡ f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 , y 0 - ∂ f ∂ x x 0 , y 0 h - ∂ f ∂ y x 0 , y 0 k h 2 + k 2 =

⇒ lim h , k → 0,0 ⁡ f 0 + h , 0 + k - f 0,0 - ∂ f ∂ x 0,0 h - ∂ f ∂ y 0,0 k h 2 + k 2