1.

Verifique se a função abaixo é diferenciável em ( 0,0 ) .

f x , y = x 2 + y 2 sen ⁡ 1 x 2 + y 2 ,     x , y ≠ ( 0,0 )     0 ,     x , y = 0,0

Resolução
2.

Seja f x , y = x y 1 3 .

a) Calcule as derivadas parciais de f nos pontos x , y tais que x y ≠ 0 .

b) Calcule as derivadas parciais de f em 0,0 .

c) Existem f x 0 , b e f y a , 0 quando a e b são não-nulos?

d) Determine os pontos em que f é diferenciável. Justifique.

Resolução
3.

Seja a função

f x , y = x 5   3 s e n x 4 + y 4 3 x 2 + y 2 ,     s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,     s e   x , y = ( 0,0 )

(a) Mostre que f é contínua em ( 0,0 ) .

(b) Calcule ∂ f ∂ x ( 0,0 ) e ∂ f ∂ y ( 0,0 ) .

(c) A função f é diferenciável em ( 0,0 ) ? Justifique sua resposta.

Resolução
4.

Seja f x , y = cos ⁡ x 2 + y 2 3 . Em que pontos de R 2 f é diferenciável? Justifique!

Resolução
5.

Seja f x , y = x y 1 3 .

a) Calcule as derivadas parciais de f nos pontos x , y tais que x y ≠ 0 .

b) Calcule as derivadas parciais de f em 0,0 .

c) Existem f x 0 , b e f y a , 0 quando a e b são não-nulos?

d) Determine os pontos em que f é diferenciável. Justifique.

Resolução
6.

Seja f x , y = cos ⁡ x 2 + y 2 3 . Em que pontos de R 2 f é diferenciável? Justifique!

Resolução
7.

Seja a função

f x , y = x 5   3 s e n x 4 + y 4 3 x 2 + y 2 ,     s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,     s e   x , y = ( 0,0 )

(a) Mostre que f é contínua em ( 0,0 ) .

(b) Calcule ∂ f ∂ x ( 0,0 ) e ∂ f ∂ y ( 0,0 ) .

(c) A função f é diferenciável em ( 0,0 ) ? Justifique sua resposta.

Resolução
8.

Considere a função f : R 2 → R definida por

f x , y = y 3 x - 1 2 + y 2 s e x , y ≠ 1,0 L s e x , y = 1,0

a) Determine L ∈ R tal que f é contínua em 1,0 .

b) Sendo L o valor encontrado no item a , determine as derivadas parciais no ponto 1,0 e verifique se f é diferenciável neste ponto.

Resolução
9.

Seja

f x , y = x y 2 x 2 + 3 y 2     s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0       s e   x , y = ( 0,0 )

  1. Determine as funções ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y , explicitando seus domínios.
  2. ∂ f ∂ x é contínua em ( 0,0 ) ? Justifique
  3. f é diferenciável em ( 0,0 ) ? Justifique
  4. f é diferenciável em ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) ? Justifique
Resolução
10.

Seja f x , y = y 2 sen ⁡ 2 x + 3 y 2 x 2 + 3 y 2 , s e   x , y ≠ 0 ,   0 L , s e   x , y = 0 ,   0

  1. Determine o valor de L para que f seja contínua em 0 ,   0 .
  2. Com o valor de L obtido no item a), calcule ∂ f ∂ x 0 ,   0 e ∂ f ∂ y 0 ,   0 .
  3. Decida se f é diferenciável em 0 ,   0 . Justifique!
Resolução
11.

Mostre que no ponto ( 0,0 ) a função

f x , y = x 3 x 2 + y 2 ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 x , y = ( 0,0 )

É contínua, tem derivadas parciais, mas não é diferenciável.

Resolução
12.

Mostre que a função

f x , y = x y x 3 - y 3 x 2 + y 2 x , y ≠ 0,0 0 x , y = 0,0

É diferenciável.

Resolução
13.

Mostre que a função

f x , y = x 4 x 2 + y 2 x , y ≠ 0,0 0 x , y = 0,0

É diferenciável.

Resolução
14.

Seja

f x , y = x 2 + y 2 sen ⁡ 1 x 2 + y 2 ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 x , y = ( 0,0 )

  1. Calcule f x e f y
  2. Mostre que f é derivável em R 2
  3. Mostre que f x não é contínua.
Resolução
15.

Considere a função f   : R 2 → R dada por

f x , y = x ² y ² x 2 + y ² ,   s e   x , y ≠ 0,0 0 ,     s e   x , y = 0,0  

  1. Calcule ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y
  2. f é diferenciável? Justifique.
Resolução
16.

Sejam f x , y = x 2 + y 2 + 2 x y e g x , y = x + y .

  1. Esboçe separadamente as curvas de nível de f e g .
  2. Considere a função h x , y = f x , y g x , y . Determine o Domínio de h .
  3. É possível estender a função h a uma função H : R 2 → R , de modo que H seja contínua?
  4. Caso a função H do item anterior exista, ela é diferenciável ?
Resolução
17.

Considere a função f x , y = x y

  1. Calcule f x e f y
  2. f é diferenciável na origem? Justifique.
Resolução
18.

Considere a função

f x , y = x y 2 x 2 + y 2

Definida em R 2 { ( 0,0 ) }

  1. A função é contínua na origem?
  2. Se ela não for contínua na origem podemos estender f de modo que ela seja contínua em todo R 2 ?
  3. Se tal extensão existe é diferenciável em R 2 ?
Resolução
19.

Seja

f x , y = x y 2 sin ⁡ x y 2     s e   y ≠ 0 0       s e   y = 0

  1. Determine as funções ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y , explicitando seus domínios.
  2. ∂ f ∂ y é contínua em ( 1,0 ) ? Justifique
  3. f é diferenciável em ( 1,0 ) ? Justifique
  4. f é diferenciável em ( x , y ) para y ≠ 0 ? Justifique
Resolução
20.

Seja

f x , y = x 2 y sin ⁡ y x 2     s e   x ≠ 0 0       s e   x = 0

  1. Determine as funções ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y , explicitando seus domínios.
  2. ∂ f ∂ x é contínua em ( 0 , 1 ) ? Justifique
  3. f é diferenciável em ( 0 , 1 ) ? Justifique
  4. f é diferenciável em ( x , y ) para x ≠ 0 ? Justifique
Resolução
21.

Considere a função f x , y = x ln ⁡ x 2 + y 2 - 1 .

  1. Obtenha uma equação para o plano tangente ao gráfico de f no ponto 1,1 , f 1,1 .
  2. Use uma linearização conveniente de f para obter um valor aproximado de

1,01 ln ⁡ 1,01 2 + 0,98 2 - 1

Resolução
22.

Considere a função

f x , y = x y 2 x 4 + y 2 ,             s e   x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) 0 ,                             s e   x , y = ( 0 ,   0 )

É correto afirmar que:

a) f é contínua em R 2 , mas não é diferenciável em R 2 .

b) f é diferenciável em R 2 , mas não é de classe C 1 em R 2 .

c) f é de classe C 1 em R 2 , mas não é de classe C 2 em R 2 .

d) f é de classe C 2 em R 2 .

e) f não é contínua em 0 ,   0 .

Resolução
23.

Considere a função

f x , y = x y 2 x 4 + y 2 ,             s e   x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) 0 ,                             s e   x , y = ( 0 ,   0 )

É correto afirmar que:

a) f é contínua em R 2 , mas não é diferenciável em R 2 .

b) f é diferenciável em R 2 , mas não é de classe C 1 em R 2 .

c) f é de classe C 1 em R 2 , mas não é de classe C 2 em R 2 .

d) f é de classe C 2 em R 2 .

e) f não é contínua em 0 ,   0 .

Resolução
24.

Seja f :   R 2 → R uma função qualquer. Assinale a única afirmação verdadeira.

a) Se f x ,   y ≤ x 2 + y 2 para todo x ,   y ∈ R 2 , então f é diferenciável em 0 ,   0 .

b) Se ∂ 2 f ∂ x ∂ y x 0 ,   y 0 existe, então ∂ 2 f ∂ y ∂ x x 0 ,   y 0 também existe.

b) Se as funções ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y são diferenciáveis em R 2 , então f é uma função de classe C 2 em R 2 .

c) Se f é uma função de classe C 2 em R 2 , então as funções ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y são diferenciáveis em R 2 .

d) Se ∇ f x 0 ,   y 0 = 0 ,   0 , então ∂ f ∂ u → x 0 , y 0 = 0 para todo vetor unitário u → ∈ R 2 .

e) Se ∂ 2 f ∂ x ∂ y x ,   y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x x ,   y para todo x ,   y ∈ R 2 , então as funções ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y são de classe C 1 em R 2 .

Resolução
25.

Seja a função

f x , y = 5 x 2 y x 2 + y 4 s e x , y ≠ 0,0 0 s e x , y = 0,0

a) A função f é contínua em 0,0 ? Justifique.

b) Determine, caso exista, ∇ f 0,0 .

c) A função f é diferenciável em 0,0 ? Justifique.

Resolução

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