Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

Teoria Completa

Introdução

Lá no cálculo de uma variável a gente conheceu a regra da cadeia. Usávamos ela para derivar funções compostas. Ela funcionava desse jeitinho:

g f x ' = g ' f x ⋅ f ' ( x )

Que significava derivar a função de fora no ponto da função de dentro, e multiplicar pela derivada da função de dentro, certo?

Agora a gente vai precisar derivar funções de várias variáveis compostas, logo, teremos que usar a regra da cadeia. Será que a gente pode usar essa mesma ideia que relembramos acima? Vem descobrir!

Regra da Cadeia Caso 1 – 1 parâmetro

O primeiro caso de regra da cadeia para funções de várias variáveis é aquele em que temos a função “de fora” de duas variáveis x e y , e cada uma dessas variáveis é função de uma única variável t , a qual a gente chama de parâmetro. Por exemplo:

f = f x , y = x 5 y 2 + 3 x 2 y + 10

x = x t = 2 e t

y = y t = 3 ln ⁡ t

Ou seja, f   é uma função composta:

f = f x t , y t

Digamos que a gente quer encontrar d f d t em t 0 = 1 . Como faz?

Esse é o momento de reciclar a regra da cadeia do cálculo de uma variável. Se a gente definir:

σ t = x t , y t

Nossa função pode ser reescrita assim:

f = f σ t

Se a gente quer derivar ela em relação a t , podemos fazer a derivada da função de fora no ponto da função de dentro, e multiplicar pela derivada da função de dentro. Só vamos fazer umas adaptações:

  • A derivada da função de fora vai ser o gradiente de f ( x , y ) , já que ela é uma função de duas variáveis.
  • A derivada da função de dentro vai ser a derivada da função vetorial σ ' t .
  • Já que essas duas coisas são vetores, em vez de usar multiplicação, a gente usa o produto escalar.

Então, nossa regra da cadeia turbinada fica assim:

d f d t = ∇ f ⋅ σ '

Que é o mesmo que:

d f d t = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y   ⋅ d x d t , d y d t

⇒ d f d t = ∂ f ∂ x ⋅ d x d t + ∂ f ∂ y ⋅ d y d t

E essa é nossa fórmulinha. Pode usar ela direto, se quiser.

Vamos continuar nosso exemplo então:

Passo 1: A primeira coisa que a gente precisa fazer é descobrir quais valores de x e y a gente tem para t 0 = 1 , já que x ( t ) e y ( t ) .

x = x 1 = 2 e 1 = 2 e

y = y 1 = 3 ln ⁡ 1 = 3 ⋅ 0 = 0

x t 0 , y t 0 = ( 2 e , 0 )

Passo 2: Agora a gente calcula o gradiente de f .

f x , y = x 5 y 2 + 3 x 2 y + 10

∇ f x , y = 5 x 4 y 2 + 6 x y ,   2 x 5 y + 3 x 2

Passo 3: Vamos substituir o ponto ( x t 0 , y t 0 ) nesse gradiente.

∇ f 2 e , 0 = 0,12 e 2

Passo 4: Definimos:

σ t = x t , y t = 2 e t ,   3 ln ⁡ t

Passo 5: Calculamos a derivada da função vetorial.

σ ' t = 2 e t , 3 t

Passo 6: Substituímos t 0 = 1

σ ' 1 = 2 e 1 , 3 1 = ( 2 e , 3 )

Passo 7: Usamos a regra da cadeia turbinada:

d f d t ( t 0 ) = ∇ f x t 0 , y t 0 ⋅ σ ' t 0

d f d t ( 1 ) = ∇ f 2 e , 0 ⋅ σ ' 1

d f d t 1 = 0,12 e 2 ⋅ 2 e , 3

⇒ d f d t 1 = 0 × 2 e + 12 e 2 × 3 = 36 e ²

Resumindo o passo a passo para você:

  1. Determinar o ponto P 0 correspondente ao t 0 dado →   P 0 = x t 0 , y t 0
  2. Calcular o gradiente de f = f ( x , y ) ∇ f ( x , y )
  3. Calcular o gradiente de f no ponto P 0 ∇ f ( x t 0 , y t 0 )
  4. Definir uma função
  5. σ t = x t , y t

  6. Derivar a função σ ( t )
  7. Calcular a derivada da função σ ( t ) no t 0 dado
  8. Substituir os resultados obtidos na formula

d f d t ( t 0 ) = ∇ f x t 0 , y t 0 ⋅ σ ' t 0

Vamos lá exercitar esse primeiro caso! ;)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009,p.114, exercício 6a

Suponha que z = f ( x , y ) é uma função de classe C ¹ e

f 1,3 = - 1

∂ f ∂ x 1,3 = 4

∂ f ∂ y 1,3 = - 3

Sabe-se que a curva de equação

σ t = t 2 , 4 t - 1 , z t

Está contida no gráfico da função z = f ( x , y ) . Calcule d z d t ( t 0 ) , onde t 0 é o valor de t no ponto 1,3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Sabemos que a curva σ ( t ) está contida na superfície f x , y , certo? Então, podemos dizer que, se

σ t = t 2 , 4 t - 1 , z t

E

f x , y = z

Então,

f t 2 , 4 t - 1 = z ( t )

Viu o que fizemos? A curva σ t pega sempre o valor de um t , e, com ele, forma um ponto de 3 coordenadas. Já a superfície f x , y , com dois pontos dados (ou seja, o valor da primeira e segunda coordenada de σ t ), gera um terceiro valor, que dará a coordenada z do ponto.

Então, temos

z = f x , y

x t = t 2

y t = 4 t - 1

⇒ z t = f x t , y t

Podemos então usar a regra da cadeia para calcular d z d t ( t ) !

Passo 2

Calcular o t 0 correspondente x = 1 e y = 3 :

x t = t ² ⇒ x t 0 = t 0 ² = 1

  y t = 4 t - 1 ⇒ y t 0 = 4 t 0 - 1 = 3

Resolvendo esse sistema temos que

t 0 = 1

Passo 3

Calcular gradiente da função:

A questão já nos dá o gradiente de f no ponto:

∂ f ∂ x 1,3 = 4

∂ f ∂ y 1,3 = - 3

Passo 4

Definir função vetorial:

Vamos definir σ t = x t ,   y t

Então:

σ t = t 2 , 4 t - 1

Passo 5

Derivar parametrização:

σ ' t = d x d t , d y d t

⇒ σ ' t = 2 t , 4

Passo 6

Calcular derivada em t = 1 :

σ ' t = 2 t , 4

⇒ σ ' 1 = 2.1,4

⇒ σ ' 1 = 2,4

Passo 7

Agora é só fazer o produto escalar:

d z d t ( 1 ) = ∇ f ( 1,3 ) ⋅ σ ' 1

⇒ d z d t ( 1 ) = 4 , - 3   ⋅ 2,4

⇒ d z d t ( 1 ) = 4 2 + - 3 4