Introdução às Funções de 2 Variáveis

Teoria Completa

Domínio

Pra funções de uma variável, o domínio é a região do eixo x onde a função está definida. Só que agora, como temos duas variáveis, o domínio vai ser uma região do plano.

Para determinarmos e esboçarmos o domínio de uma função, devemos sempre garantir:

  • nas frações o denominador não pode valer 0
  • dentro das raízes quadradas não pode ter número negativo
  • o valor dentro de um logaritmo tem que ser estritamente positivo!

Então, se a gente quiser determinar e esboçar o domínio da função:

f x , y = x - 25 - x 2 - y 2 y

Primeiro, procuramos as restrições: temos uma raiz e um denominador. Então, para a raiz, temos que seu interior não pode valer menos que 0:

25 - x 2 - y 2 ≥ 0 → x 2 + y 2 ≤ 25

E para o denominador, apenas temos que dizer que ele não deve valer 0. Assim:

y ≠ 0

Então o domínio D da função f é o conjunto

D = x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 ≤ 25 , y ≠ 0

Repare que a primeira restrição compreende o círculo de centro em 0,0 e raio 5 e seu interior. Porém, da segunda restrição, devemos retirar os pontos pertencentes ao eixo x , pois y = 0 . O esboço do domínio fica:

Imagem

A definição de imagem é bem simples, basicamente é o conjunto de todos os valores que uma função assume. Ou seja, se D é o domínio da função f , sua imagem I é o conjunto

I = f x , y ; x , y ∈ D

Isso significa que a cada ponto dentro de D , nós colocamos o seu valor dentro da função e obtemos um outro valor. O conjunto de todos esses últimos valores é a imagem! Devemos sempre ficar atentos a raízes, termos ao quadrado e termos com exponenciais.

Por exemplo, vamos determinar a imagem da função:

g x , y = 3 - x 2 + 3 y

Temos

x 2 + 3 y ≥ 0 ⇒ - x 2 + 3 y ≤ 0 ⇒ 3 - x 2 + 3 y ≤ 3

Ou seja, a imagem de g é o conjunto - ∞ ,   3

Técnica pra esboçar gráficos

Bom, já vimos o que são funções de várias variáveis, agora nossa missão é aprender a esboçar seus gráficos!

O macete que vamos usar pra esboçar o gráfico de uma função de 2 variáveis é analisar as curvas de interseção do gráfico com os planos coordenados.

Vamos esboçar o gráfico da função:

f x , y = 1 x 2 + y 2

Mostraremos um passo a passo para facilitar a sua vida:

  1. Fazemos z = f x , y :
  2. z = 1 x 2 + y 2

  3. Tentamos ajeitar a expressão pra cair na equação de uma superfície conhecida:
  4. Essa daí não vai dar pra ajeitar não... Do jeito que tá não é nenhuma equação conhecida, e não tem como melhorar.

  5. Substituímos x = 0 na equação da superfície:
  6. x = 0 → z = 1 y 2

    Esboçamos a curva resultante no plano y z . Pra esboçar essa curva basta lembrar do gráfico da função z = 1 y :

    A diferença é que, por causa do termo ao quadrado, a curva vai crescer (e decrescer) mais rápido. E também tem o detalhe que a curva vai ficar toda acima do eixo y , porque z > 0 .

    A curva vai ficar assim:

    Agora podemos partir pra as outras variáveis.

  7. Fazendo y = 0 , percebemos que a curva vai ser exatamente a mesma que já esboçamos!
  8. y = 0 → z = 1 x 2

  9. No plano z = 0 não vai ter curva, porque o gráfico não intercepta esse plano! Olha aqui o porque:
  10. z = 0 → 1 x 2 + y 2 = 0

    O que é impossível!

  11. Visualizando o gráfico da função:
  12. Uma coisa que vale a pena ressaltar é que nessa função o x e o y só aparecem ao quadrado, então o eixo z é um eixo de simetria do gráfico! Isso porque você pode trocar o x por – x , ou o y por - y , que não vai mudar nada! Então #ficaadica pra funções assim ;)

    Ou seja, na verdade o nosso gráfico vai ser tipo esse aqui de cima mas rotacionado em torno do eixo z , dando uma volta completa.

  13. Esboçando o gráfico:

Dito isso, podemos partir pro esboço! Ele vai ficar assim:

Então, o nosso querido passo a passo fica:

  1. Fazer z = f x , y
  2. Ver se é possível ajeitar a expressão pra cair na equação de uma superfície conhecida
  3. Caso dê certo e for um caso mais trivial, já partir pro esboço. Se não der certo, ou a superfície for mais difícil de visualizar, substituir x = 0 na equação dela e esboçar a curva resultante nesse plano
  4. Repetir o último passo no plano y = 0
  5. Fazer também com z = 0
  6. A partir dos 3 esboços das curvas nos planos coordenados, visualizar o gráfico da função
  7. Partir pro esboço!!

Belezinha? Agora é mandar ver nos exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

CEFET-RJ, P1 prof. Roberto Thomé, exercício 2

Determine e esboce o domínio de f x , y = y - x 2 3 + x - y 4 - x y x + y

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Passo 1

Essa é tranquila! O comando está bem claro, então é só colocar os nossos passos em ação!

Vendo a nossa função com atenção, podemos destacar dois casos que interferem no domínio:

1-Dentro das raízes de índice par não pode ter número menor que 0

2-O denominador da fração não pode ser 0

Passo 2

Agora podemos estabelecer as restrições da função.

Se dentro das raízes pares não pode ter número menor que 0 , então, na nossa função

f x , y = y - x 2 3 + x - y 4 - x y x + y

dentro do termo

x - y 4

temos que

x - y ≥ 0

E dentro do termo

x + y

temos que

x + y ≥ 0

Por último, temos esse termos aqui

y - x 2 3

Como é uma raíz ímpar, não temos restrição nenhuma!

Passo 3

Se o denominador da fração x y x + y não pode ser 0 ...

x + y ≠ 0

Logo,

x + y ≠ 0

Só que como x + y é o argumento da raíz, ele não pode ser menor que 0 ! Então vamos atualizar o resultado que encontramos no passo 2. Fica, então

x + y > 0

Passo 4

Agora juntamos as duas expressões que temos!

x + y > 0

Como que você descobre o que essa desigualdade representa no plano? Basta fingir que é uma igualdade!

Veja, ficaria assim:

x + y = 0

x = - y

Essa é a reta que aponta pra baixo, passando pelo segundo e quarto quadrantes! Agora é só colocar o sinal da desigualdade de novo!

x > - y

Ou seja, essa parte do domínio é tudo à direita da reta x = - y , excluindo a reta (porque o sinal é só de “maior que”, e nao de “maior ou igual”). Enfim, encontramos isso:

e para

x - y ≥ 0

temos algo parecido. Agora teremos a reta x = y , e como o sinal é de maior ou igual, a reta está inclusa, é pegamos tudo à sua direita. Fica assim:

Passo 5

Pra gente esboçar o domínio todo é só sobrepor os que já temos! Fica assim:

Resposta

O domínio é dado por D que é a interseção do gráfico acima

E seu esboço é:

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Encontre o domínio da função

y - x 2 l n   x 2 + y - 4  

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Passo 1

Temos uma questão que pede pra gente descobrir onde a função existe (ou seja, qual é o seu domínio). Mas, convenhamos... é muito mais fácil descobrir onde ela não existe!!

Nossa função é uma fração, então a primeira coisa que devemos bater o olho é no denominador: ele não pode valer 0.

Vamos ver como é o gráfico da função logaritmo:

Olha só! Quando seu argumento é 1 , seu valor é 0 (é o ponto onde ela corta o eixo x). Portanto, como o valor do denominador da função do enunciado não pode valer 0 ,

l n   x 2 + y - 4   ≠ l n   1  

Igualando um argumento ao outro...

x 2 + y - 4 ≠ 1

Passo 2

Ainda olhando para o gráfico da função logaritmo, observe que ela não está definida em l n   0   ou números menores que 0. Ou seja, o argumento da função logaritmo só podem ser números maiores do que 0 :

x 2 + y - 4 > 0

Passo 3

Pronto, agora que todos os problemas do denominador foram devidamente resolvidos, podemos olhar pra parte de cima da fração

y - x 2 l n   x 2 + y - 4  

Veja, temos aqui uma raíz quadrada

y - x 2

E seu interior não poder valer menos do que 0

Assim, fica:

y - x 2 ≥ 0

Passo 4

Agora é só juntar tudo!

Do passo 1 temos que

x 2 + y - 4 ≠ 1

Do passo 2 temos que

x 2 + y - 4 > 0

E, do passo 3, temos que

y - x 2 ≥ 0

Assim, nosso domínio é definido por:

D = x 2 + y - 4 ≠ 1 ,   x 2 + y - 4 > 0   ,   y - x 2 ≥ 0  

Se não se sentir a vontade com a notação matemática (como eu... rsrs), é só escrever por extenso mesmo na prova! Isso aí em cima, lendo em português, diz que o domínio da função é o conjunto dos pontos ( x , y ) , sendo x e y pertencendo aos reais, tais que x 2 + y - 4 ≠ 1 ,   x 2 + y - 4 > 0 e y - x 2 ≥ 0

Resposta

D = x 2 + y - 4 ≠ 1 ,   x 2 + y - 4 > 0   ,   y - x 2 ≥ 0  

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Determine a imagem de f nos seguintes casos:

a) f x , y = e x y + 2

b) f x , y = 3 - ln ⁡ x 2 + y

c) f x , y = 5 x 4 + 4 y 3 + 3 y 2 + 2 x + 1