Funções de Duas Variáveis

Teoria Completa

Fala aí galerinha, nós somos o Responde Aí, a plataforma de exatas criada para levar até você um ensino de qualidade e bem didático.

Nosso papo hoje é sobre as funções de duas variáveis, então, bora lá!

Funções de Duas Variáveis

As funções de duas variáveis nada mais são que expressões matemáticas que pegam duas variáveis, $x$ e $y$, e associam a elas um único número, $f(x,y)$. Por exemplo:

 Exemplo de função de duas variáveis
Exemplo de função de duas variáveis

Para cada par de valores $(x,y)$ que pegarmos, terá um valor $f(x,y)$ associado, como mostra a tabela.

    Tabela com valores de
Tabela com valores de

Assim como para as funções de uma única variável é importante sabermos o domínio e a imagem, para as funções de duas variáveis também precisamos conhecer quem são esses dois conjuntos.

Domínio

O domínio é definido como a região na qual as variáveis independentes estão definidas.

Para uma função de uma variável, $x$, o domínio é o conjunto no eixo $x$ que contém os valores que a variável independente $x$ pode assumir, ou seja, o domínio pertence ao conjunto dos reais $(R)$.

Agora, para as funções de duas variáveis, o domínio será uma região no plano $xy$, pertencendo ao $R^2$.

Tá, beleza, o domínio vai ser uma região no plano, mas como olhar para uma função de duas variáveis e encontrar o domínio dela?

Para isso, nós temos que olhar para a função e garantir os seguintes pontos:

  • Nas frações o denominador NÃO PODE SER ZERO;
  • Dento de raiz quadrada NÃO pode ter número negativo;
  • O valor dentro do logaritmo tem que ser SEMPRE POSITIVO.

Vamos pegar um exemplo pra ficar mais claro:

        Função  de duas variáveis,
Função de duas variáveis,

Primeiro você deve ser perguntar: Tem fração na expressão da função?

Para esse caso a resposta é sim, então temos que garantir que o denominador, que nesse caso é igual a $y$ não seja zero. Então:

Agora, nos fazemos a segunda pergunta: Tem raiz quadrada na expressão?

Novamente a resposta é sim, então temos que garantir que a expressão que está dentro da raiz, que nesse caso é $25-x^2-y^2$, seja maior que zero. Então:

⁍

E agora temos que nos fazer a última pergunta: Tem logaritmo na expressão?

Nesse caso a resposta é não, então não precisamos garantir mais nada.

Nesse modo, o domínio desse função será todos os pares de valores $(x,y)$, pertencentes ao $R^2$, que respeitem as restrições que acabamos de ver: $y≠0$ e $x^2+y^2≤25$.

                 Domínio da função
Domínio da função

Imagem

A definição de imagem é bem simples, basicamente é o conjunto de todos os valores que uma função assume.

No domínio nós tínhamos o junto de todos os valores que o par $(x,y)$ podia assumir, agora na imagem, nós teremos o conjunto de todos os valores que a função $f(x,y)$ pode assumir.

Devemos ficar atentos as seguintes coisas:

  • Raízes quadradas: as raízes quadradas sempre nos retornaram um número positivo;
  • Termos ao quadrado: os termos ao quadrado também sempre nos retornaram um número positivo

Vamos lá pra um exemplo para ficar mais claro:

            Função de duas variáveis
Função de duas variáveis

Primeira pergunta: Tem raiz?

Tem, então sabemos que essa raiz nos retornará um número positivo, logo:

     A raiz será maior ou igual a zero
A raiz será maior ou igual a zero

Podemos fazer algumas manipulações para encontrarmos a expressão da função, desse jeito aqui:

A expressão da função sempre será menor ou igual a
A expressão da função sempre será menor ou igual a

E assim temos que a expressão da nossa função sempre será menor ou igual a 3.

Então, a imagem, $I$, da função será:

     Imagem da função
Imagem da função

Tranquilo, não é?

É isso que temos para falar hoje sobre funções de duas variáveis.

Além de conteúdo irados em textos, nós do Responde Aí também temos exercícios resolvidos passo a passo em texto e em vídeos. 🎉

Eu vou deixar aqui embaixo um vídeo, no qual a gente resolve um exercício sobre funções de duas variáveis passo a passo com você. É ótimo para praticar. Confere aí 👇🏽

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Exercício Resolvido #1

CEFET-RJ, P1 prof. Roberto Thomé, exercício 2

Determine e esboce o domínio de f x , y = y - x 2 3 + x - y 4 - x y x + y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Essa é tranquila! O comando está bem claro, então é só colocar os nossos passos em ação!

Vendo a nossa função com atenção, podemos destacar dois casos que interferem no domínio:

1-Dentro das raízes de índice par não pode ter número menor que 0

2-O denominador da fração não pode ser 0

Agora podemos estabelecer as restrições da função!

Passo 2

A primeira restrição é dentro das raízes pares não pode ter número menor que 0 .

Então, vamos analisar o termo,

x - y 4

Para que dentro da raiz seja maior ou igual a zero, temos que

x - y ≥ 0

Também temos na função outra raíz par,

x + y

Para que dentro da raiz seja maior ou igual a zero, temos que

x + y ≥ 0

Por último, também temos um termo que é uma raiz impar,

y - x 2 3

Como é uma raíz ímpar, não temos restrição nenhuma!

Passo 3

A segunda restrição é que o denominador da fração não pode ser 0

Então vamos analisar o termo que é uma fração

x y x + y

Para que o denominador não seja zero, temos que

x + y ≠ 0

Logo,

x + y ≠ 0

Agora, unindo as duas restrições para este termo, temos que x + y , o argumento da raíz, não pode ser menor que 0 ! Então vamos atualizar o resultado que encontramos no Passo 2.

Então a restrição fica assim,

x + y > 0

Passo 4

Então agora chegamos em duas condições para se avaliar. A primeira é,

x + y > 0

E como que você descobre o que essa desigualdade representa no plano? Basta fingir que é uma igualdade!

Veja, ficaria assim:

x + y = 0

x = - y

Essa é a reta que aponta pra baixo, passando pelo segundo e quarto quadrantes! Agora é só colocar o sinal da desigualdade de novo!

x > - y

Ou seja, essa parte do domínio é tudo à direita da reta x = - y , excluindo a reta (porque o sinal é só de “maior que”, e nao de “maior ou igual”). Enfim, encontramos isso:

A outra condição é

x - y ≥ 0

temos algo parecido. Agora teremos a reta x = y , e como o sinal é de maior ou igual, a reta está inclusa, é pegamos tudo à sua direita. Fica assim:

Passo 5

Pra gente esboçar o domínio todo é só sobrepor os que já temos! Fica assim:

Resposta

O domínio é dado por D que é a interseção do gráfico acima

E seu esboço é:

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Encontre o domínio da função

y - x 2 l n   x 2 + y - 4  

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Passo 1

Temos uma questão que pede pra gente descobrir onde a função existe (ou seja, qual é o seu domínio). Mas, convenhamos... é muito mais fácil descobrir onde ela não existe!!

Nossa função é uma fração, então a primeira coisa que devemos bater o olho é no denominador: ele não pode valer 0.

Vamos ver como é o gráfico da função logaritmo:

Olha só! Quando seu argumento é 1 , seu valor é 0 (é o ponto onde ela corta o eixo x). Portanto, como o valor do denominador da função do enunciado não pode valer 0 ,

l n   x 2 + y - 4   ≠ l n   1  

Igualando um argumento ao outro...

x 2 + y - 4 ≠ 1

Passo 2

Ainda olhando para o gráfico da função logaritmo, observe que ela não está definida em l n   0   ou números menores que 0. Ou seja, o argumento da função logaritmo só podem ser números maiores do que 0 :

x 2 + y - 4 > 0

Passo 3

Pronto, agora que todos os problemas do denominador foram devidamente resolvidos, podemos olhar pra parte de cima da fração

y - x 2 l n   x 2 + y - 4  

Veja, temos aqui uma raíz quadrada

y - x 2

E seu interior não poder valer menos do que 0

Assim, fica:

y - x 2 ≥ 0

Passo 4

Agora é só juntar tudo!

Do passo 1 temos que

x 2 + y - 4 ≠ 1

Do passo 2 temos que

x 2 + y - 4 > 0

E, do passo 3, temos que

y - x 2 ≥ 0

Assim, nosso domínio é definido por:

D = ( x , y ) ∈ R 2 | x 2 + y - 4 ≠ 1 ,   x 2 + y - 4 > 0   ,   y - x 2 ≥ 0  

Se não se sentir à vontade com a notação matemática (como eu... rsrs), é só escrever por extenso mesmo na prova! Isso aí em cima, lendo em português, diz que o domínio da função é o conjunto dos pontos ( x , y ) , sendo x e y pertencendo aos reais, tais que x 2 + y - 4 ≠ 1 ,   x 2 + y - 4 > 0 e y - x 2 ≥ 0

Resposta

D = ( x , y ) ∈ R 2 | x 2 + y - 4 ≠ 1 ,   x 2 + y - 4 > 0   ,   y - x 2 ≥ 0

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Determine a imagem de f nos seguintes casos:

a) f x , y = e x y + 2

b) f x , y = 3 - ln ⁡ x 2 + y

c) f x , y = 5 x 4 + 4 y 3 + 3 y 2 + 2 x + 1

d) f x , y = e y - x - x - y

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Passo 1

É bom adquirir o reflexo de achar o domínio da função antes de partir pra imagem. Então vou fazer isso sempre, beleza?

a)

Primeiro podemos notar que não há nenhuma restrição na função, portanto seu domínio é todo o R 2 . Enfim, temos:

e x y > 0

⇒ e x y + 2 > 2

Portanto, a imagem de f é o conjunto 2 , + ∞ . Tranquilo né? Vamos pra próxima!

Passo 2

b)

Nessa função tem uma restrição, por causa do logaritmo:

x 2 + y > 0

⇒ y > - x 2

Mas bom, isso não vai afetar a nossa imagem. Isso porque o logaritmo, ao contrário da exponencial, pode assumir valores negativos, positivos, todos os valores do R !

Assim,

ln ⁡ x 2 + y ∈ R ⇒ 3 - ln ⁡ x 2 + y ∈ R

Ou seja, a imagem de f é todo o R !

Passo 3

c)

Mano, essa não tem muito mistério. É só uma função polinomial meio aleatória e sem nenhuma restrição (seu domínio é todo o R 2 ).

Nesse caso, não tem muito como justificar, mas intuitivamente podemos dizer que essa função pode assumir qualquer valor, e que, portanto, sua imagem é todo o R .

Passo 4

d)

Opa, essa aqui já é mais interessante!

A única restrição nessa função é a raiz quadrada, então temos:

x - y ≥ 0

⇒ x ≥ y

Então o domínio da função é o conjunto dos x , y do R 2 que respeitem essa condição.

Passo 5

Agora repare que:

x ≥ y ⇒ y - x ≤ 0

Uma vez que a função exponencial é sempre crescente, podemos aplicar essa função dos dois lados da inequação:

⇒ e y - x ≤ 1

Por isso que é importante saber o domínio da função!! O valor máximo que esse termo e y - x pode assumir é 1, por causa da restrição da raiz quadrada.

Raiz quadrada, que é, aliás, positiva:

x - y ≥ 0

Então temos

e y - x - x - y ≤ 1

Assim, a imagem de f é o conjunto - ∞ , 1 .

Resposta

a) 2 , + ∞

b) R

c) R

d) - ∞ , 1

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

Esboce o gráfico da função

f x ,   y = 1 - x 2 - y 2

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Passo 1

Identificar a superfície:

Fazer z = f ( x , y ) :

z = 1 - x 2 - y 2

z 2 = 1 - x 2 - y 2

⇒ x 2 + y 2 + z 2 = 1

Essa é a equação da esfera!

Passo 2

Mas como z = 1 - x 2 - y 2

Devemos ter z ≥ 0 . Portanto, é apenas a parte superior da esfera.

Além disso, como x , y estão elevados ao quadrado serão sempre positivos. Com aquele sinal de menos ali na frente eles vão sempre ser quantidades que vão subtrair! Portanto, o máximo ocorre onde x = y = 0 . Ou seja, z máx = 1 :

Resposta

Exercício Resolvido #5

UERJ, Lista 3 prof. Hamilton, exercício 6e

Esboce o gráfico da função t x , y = 16 - 4 x 2

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Passo 1

Então o enunciado me deu uma função de duas variáveis t ( x , y ) , a gente pode plotar as raizes dessa equação em um terceiro eixo z . Ou seja, vamos colocar nossa variável z para acharmos mais facilmente o desenho dela. Chamamos então,

z = t x , y

z = 16 - 4 x 2

Agora vamos avaliar alguns planos!

Passo 2

Vale perceber que nossa função é t x , y , mas na real o y não aparece nela!! Isso é um indicativo que ela tem o mesmo perfil ao longo do eixo y .

Então vamos ver a curva dela no plano x z , anulando a variável y , já que nossa função nao depende dela, lembra?

z = 16 - 4 x 2

z 2 = 16 - 4 x 2

z 2 16 + x 2 4 = 1

Temos uma equação de elipse que se estende por todo eixo y !! Ou melhor, temos apenas a parte de cima de uma elipse, já que estamos pegando apenas z = 16 - 4 x 2 e não z = - 16 - 4 x 2 !

Passo 3

A gente acabou de fazer o plano x z , mas como ficaria o plano y z . Para isso precisamos fazer x = 0

z = 16 - 4 x 2

z = 16 - 4 0 2

z = 16 = 4

Olha!! Uma reta! Muito simples, na verdade... é uma reta no plano y z , que fica constantemente em altura z = 4 ! Ele será um máximo na superfície.

Passo 4

Galera, no Passo 2 , a gente viu que é a metade de uma elipse que se estende por todo eixo y . No Passo 3, vimos que essa curva atinge um valor máximo em 4 .

Jogando isso pro gráfico, ficamos com,

Resposta

A resposta é só repetir o gráfico acima!

Exercício Resolvido #6

UERJ, Lista 1 prof. Renata, exercício 2d

Esboce o gráfico da função

f x , y = 4 x 2 + y 2 + 1

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Passo 1

Temos uma função de 2 variáveis, então vamos escrevê-la na forma

z = f x , y

⇒ z = 4 x 2 + y 2 + 1

Essa é a equação da superfície que temos que esboçar.

Prestando atenção, podemos ver que ser trata da equação de um paraboloide. Dá até pra reparar que ele é voltado pra cima, porque os coeficientes multiplicando x 2 e y 2 são positivos.

Vamos ver isso com calma analisando as interseções do gráfico com os planos coordenados :)

Passo 2

Então vamos anular as variáveis, uma por uma.

Começando pela variável x por exemplo, podemos ver como é a interseção da superfície com o plano y z . Fazendo x = 0 :

z = y 2 + 1

Opa! Uma equação de uma parábola, bem tranquila! Saca só:

Passo 3

Agora vamos zerar a variável y ! Assim, no plano x z vamos ter:

z = 4 x 2 + 1 ,

que também é uma parábola tranquila de esboçar. Ela vai ser bem parecida com a outra, mas por causa desse 4 ela vai ser mais “pontuda”:

Passo 4

Agora só falta zerar a variável z !

Fazendo, portanto, z = 0 , obtemos:

4 x 2 + y 2 + 1 = 0

Repare que essa equação não tem solução!!

Temos

4 x 2 ≥ 0     e     y 2 ≥ 0

⇒ 4 x 2 + y 2 + 1 ≥ 1

Ou seja, a nossa superfície fica acima do plano z = 1 !

Passo 5

Resumindo, o nosso gráfico é um paraboloide elíptico voltado pra cima, com vértice no ponto 0 ,   0 ,   1 . Ele é mais largo no plano y z e mais magrinho no plano x z .

Agora, tendo em mente tudo isso que vimos, eu só te digo uma coisa: partiu esboçar essa bagaça!!

O gráfico ficaria assim:

Resposta

Exercício Resolvido #7

UFF, P1 2013.2 Cálculo IIB prof. Sérgio, exercício 2

Considere a função

f x , y = x 2 25 + y 2 16 - 1

  1. Esboce o domínio de f .
  2. Esboce o gráfico de f determinando sua interseção com os eixos coordenados.
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Passo 1

a)

Para achar o domínio temos que lembrar que o termo dentro da raiz quadrada não pode ser negativo! Com isso,

x 2 25 + y 2 16 - 1 ≥ 0

⇒ x 2 25 + y 2 16 ≥ 1

Opaa, peraí! Isso tá com cara de elipse!

De fato, temos que

x 2 25 + y 2 16 = 1 ⇔ x 2 5 2 + y 2 4 2 = 1

é a equação de uma elipse centrada na origem e com semieixos valendo 5 e 4 .

Como temos uma sinal de , temos que o domínio da f é tudo que está fora da elipse (ou seja, tudo que é maior ou igual a 1). Em outras palavras, será o R 2 , menos a região dentro dela.

O esboço do domínio vai ser (só vale a parte rosinha):

Passo 2

b)

Agora ele pediu o esboço do gráfico. Mas antes de resolver seguindo o enunciado, eu vou dar um bizu aqui!

Nosso reflexo tem que ser: chamar f x , y de z ! Assim vamos ter:

z = x 2 25 + y 2 16 - 1

Podemos elevar z ao quadrado (mas tem que tomar muito cuidado com isso, vou explicar o porquê depois):

⇒ z 2 = x 2 25 + y 2 16 - 1

⇒ x 2 25 + y 2 16 - z 2 = 1

Galerinha, para quem não lembra, nós temos aqui a equação de um hiperboloide de uma folha, com eixo em z . É aquele cara com forma de reator de usina nuclear:

Então fica a dica, sempre bom estar com o gráfico de algumas equações na memória, pois pode ajudar muito a resolver algumas questões!

Passo 3

Mas atenção!! Até separei um passo pra isso porque é bem importante!

A nossa função de origem é

z = x 2 25 + y 2 16 - 1

Ou seja, z ≥ 0 . Enquanto que na equação que achamos depois, do hiperboloide, z   admite valores negativos! Mas, repito, na nossa função z = f x , y não podemos ter valores negativos de z .

Portanto, o nosso gráfico vai ser na verdade só metade desse hiperboloide, só a parte acima do plano x y !

Beleza?? Tem que ficar esperto com isso!

Passo 4

Enfim, continuando e resolvendo de acordo com o enunciado! Nós temos que seguir o procedimento padrão: analisar as interseções do gráfico com os eixos coordenados.

Vamos começar zerando a variável z . Assim, podemos obter a interseção do nosso gráfico com o plano x y :

z = 0 ⇒   x 2 25 + y 2 16 = 1 ,

que é exatamente a equação da elipse que delimita o domínio da função, e que já vimos na letra a):

Beleza, vamos prosseguir!

Passo 5

Agora vamos zerar a variável x . Vamos ter:

y 2 16 - z 2 = 1

Opa, é agora que o nosso gráfico começa a justificar seu nome de hiperboloide! Pois isso nada mais é que a equação de uma hipérbole.

O seu esboço ficaria assim

Lembrando que pro nosso gráfico só vamos considerar a parte com z ≥ 0 !!

Passo 6

Agora só falta zerar o y pra ver o que tá rolando no plano x z :

y = 0 ⇒   x 2 25 - z 2 = 1

Novamente temos uma hipérbole, que vai ser um pouco mais “pontuda” que a anterior por conta desse 25 no lugar do 16 :

Vou repetir de novo, sou chato mesmo: pro gráfico a gente só vai usar a parte com z positivo!

Passo 7

Bem agora não tem jeito, é mão na massa! A partir de isso tudo que a gente viu, com determinação deve dar pra tirar um esboço decente do gráfico! Quero ver sangue no olho, que esse gráfico é chatinho de desenhar mesmo!!

Enfim, daria alguma coisa mais ou menos assim:

Viu, até no computador é chato de desenhar ;)

Resposta

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