Tipos de Funções de Várias Variáveis

Teoria Completa

Existem alguns tipos importantes de funções de várias variáveis que vamos ver, vamos dar uma passadinha rápida por elas aqui

Funções Lineares

As funções lineares são aquelas que aparecem apenas x , y sem estar dentro de função nenhuma, nem estar elevado a ninguém

f x , y = a x + b y

Ou

f x , y , z = a x + b y + c z

Essa é a forma geral, ali vamos ter a , b e c qualquer valor MESMO.

f x , y = x + y

f x , y , z = π x + 456,78 y - π z

Todas as duas são lineares

Funções Homogêneas

Uma função vai ser homogênea se eu puder fazer a seguinte conta

f t x , t y , t z = t α f x , y , z

Basicamente, eu multiplicar cada variável por t eu posso tirar esse t , possivelmente elevado a alguma coisa, da função. Por exemplo

f x , y = x 2 + y 2

Essa função é homogênea? É só substituir x , y por x t , y t e ver se conseguimos tirar o t da função, dá um look

f t x , t y = t x 2 + t y 2

f t x , t y = t 2 x 2 + t 2 y 2

f t x , t y = t 2 x 2 + y 2

Repara que conseguimos colocar t 2 em evidência e sobrou x 2 + y 2 que é a nossa função original, então

f t x , t y = t 2 f x , y

Essa função é homogênea, e temos α = 2 , esse α nada mais é que o grau da homogeneidade.

Vamos para os exercícios

Expandir

Exercício Resolvido #1

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, pg.152, exercício 4 - modificado

Seja a função f x , y , onde f é linear. Determine f x , y sabendo que

f 1,0 = 2

f 0,1 = 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Se a nossa função f x , y é linear e depende de duas variáveis, ela é da forma

f x , y = a x + b y

Precisamos achar esse a e b pelos valores que ele deu no enunciado

Passo 2

Vamos substituir os pontos

f 1,0 = a . 1 + b . 0 = 2

f 0,1 = a . 0 + b . 1 = 3

Assim temos

a = 2

b = 3

E a nossa função vai ser

f x , y = 2 x + 3 y

Resposta

f x , y = 2 x + 3 y

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