Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

Teoria Completa

Agora vamos ver como determinar o máximo e o mínimo de uma função de 3 variáveis com 2 restrições! Cada restrição é a equação de uma superfície, né? Então 2 restrições vão definir a curva de interseção das 2 superfícies. E vai ser em cima dessa curva que vamos buscar os máximos e mínimos da função.

Na prática, vai ser bem parecido com o que já vimos, só vamos ter um sistema maior e mais complexo (ebaa). Vamos lá então.

Agora, além da restrição do tipo g x , y , z = 0 , teremos também outra: h x , y , z = 0 . Assim, vamos precisar de mais um multiplicador e nossa equação vai ser:

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z + μ ∇ h x , y , z

Agora o nosso passo a passo é:

  1. Calcular gradiente da função: ∇ f
  2. Pega a equação das superfícies e joga tudo para o lado esquerdo e deixe zero no lado direito
  3. Definir função g x , y , z e h x , y , z sendo o lado esquerdo das equações acima
  4. Calcular gradiente de g e h
  5. Utilizar multiplicador de Lagrange: ∇ f = λ ∇ g + μ ∇ h
  6. Adicionar a equação das superfícies ao sistema encontrado acima
  7. Resolver o sistema
  8. Substituir pontos encontrados e verificar quais são os pontos de máximo e mínimo

Viu, basicamente a mesma coisa só que com um sistema maior.

Vamos achar os pontos de máximo e mínimo de f x , y , z = x + y sobre a curva de interseção do cilindro x 2 + z 2 = 4 com o plano 2 x - 3 y + z = 6 .

Para isso, vamos calcular os gradientes das funções f , g e h .

∇ f x , y , z = 1 ,   1 ,   0

Agora, para definir g e h , vamos pegar as equações das superfícies e jogar tudo para a esquerda de modo que ficamos com o lado direito sendo zero.

g x , y , z = x 2 + z 2 - 4 = 0

h x , y , z = 2 x - 3 y + z - 6 = 0

Assim

∇ g x , y , z = 2 x ,   0 ,   2 z

∇ h x , y , z = 2 , - 3 ,   1

Usando o multiplicador de Lagrange:

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z + μ ∇ h x , y , z

1 ,   1 ,   0 = λ 2 x ,   0 ,   2 z + μ 2 , - 3 ,   1

Igualando termo a termo e acrescentando as equações das superfícies, ficamos com o sistema:

1 = 2 x λ + 2 μ 1 1 = - 3 μ 2 μ = - 2 z λ 3 x 2 + z 2 = 4 4 2 x - 3 y + z = 6 5

Pela equação 2 :

μ = - 1 3

Substituindo isso na equação 3 , achamos:

λ = 1 6 z

Colocando esses dois resultados na 1 , encontramos:

x = 5 z

Substituindo na 4 , temos:

z = ± 2 26

Agora, vamos começar substituindo z = 2 26 na 5 :

2 x - 3 y + z = 6

Lembrando que x = 5 z , então nesse caso, x = 10 26 . Assim, da equação ( 5 ) , temos:

y = 22 3 26 - 2

Portanto, obtemos um primeiro ponto:

P 1 = 10 26 ,   22 3 26 - 2 ,   2 26

Só valor bizarro hein?

Ainda temos o caso z = - 2 26 , que nos dá x = - 10 26 e que na equação 5 fica:

y = - 22 3 26 - 2

Então temos mais um ponto:

P 2 = - 10 26 , -   22 3 26 - 2 ,   - 2 26

Ufa, quase acabamos!

Agora para saber quem desses pontos é o máximo e quem é o mínimo, é só calcular os valores da função f para cada um deles. Fazendo isso, ficamos com:

f P 1 = 52 3 26 - 2

E

f P 2 = - 52 3 26 - 2

Portanto, o valor máximo de f com as 2 restrições do enunciado é 52 26 - 2 , obtido no ponto 10 26 ,   22 3 26 - 2 ,   2 26 , enquanto o valor mínimo é - 52 26 - 2 , obtido no ponto - 10 26 , -   22 3 26 - 2 ,   2 26 .

Até que enfim!

Método alternativo por matriz

O começo desse método é igual, definimos 2 restrições na forma g x , y , z = 0 e h x , y , z = 0 . Depois é que muda: a equação que temos que resolver é:

f x f y f z g x g y g z h x h y h z = 0

Portanto, botamos as derivadas parciais das 3 funções nas linhas de uma matriz, e igualamos o determinante dessa matriz a zero.

No exemplo que fizemos o determinante seria:

1 1 0 2 x 0 2 z 2 - 3 1 = 0

O que dá:

0 + 4 z + 0 - 0 + 6 z - 2 x = 0

2 x = 10 z

x = 5 z

Que nem achamos antes! Daí pra frente as contas são as mesmas, basta substituir nas equações das superfícies, resolver o sistema e achar aqueles pontos malucos.

Quando os gradientes não são muito complicados, e tem vários zeros que nem esses por exemplo, esse método pode ser uma boa! Não tem que ficar lidando com λ e μ :)

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Exercício Resolvido #1

Cálculo 2 UNICAMP, P1 2013 Tarde, questão 2

Determine o valor de máximo e de mínimo de f x , y , z = 6 x + z sobre a curva de interseção das superfícies x 2 + y 2 = 4 e z = x 2 - 2 y 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Opa, valores máximos e mínimos sobre uma curva? Isso é dever para o Sr. Lagrange! Temos uma função, que será max/minimizada, e temos uma restrição, que é a curva de interseção das superfícies.

Bom, antes de mais nada, precisamos saber que restrição é essa! Temos duas superfícies, um cilindro x 2 + y 2 = 4 :

E, para a outra, temos um paraboloide hiperbólico:

Agora você me pergunta: Mas como eu vou encontrar essa curva de interseção?!? E eu te respondo: Também não sei XD

Pois é, vai ser massacrante. Se fosse uma curva bonitinha, uma circunferência no plano O x y , a gente até se esforçava pra encontrar...

E agora? O que faremos? Vamos simplesmente ignorar que estamos em uma curva! Vamos dizer que temos duas restrições! Sim, pois estar sobre uma curva é o mesmo que dizer, em duas etapas, que estamos sobre uma superfície e sobre a outra!

Enfim, nossa equação para os multiplicadores de LaGrange fica com duas restrições:

∇ f x , y , z = λ ∇ G x , y , z + μ ∇ H x , y , z

Em que G e H são, respectivamente, as equações do cilindro e do paraboloide hiperbólico, e λ e μ são seus multiplicadores!

Passo 2

Show, partiu agora encontrar esses vetores gradientes? Vamos começar pela função f :

f x , y , z = 6 x + z

f x = 6

f y = 0

f z = 1

E, então, nosso vetor gradiente é:

f x , y , z = 6,0 , 1

Agora, para a equação do cilindro,

G x , y , z = x 2 + y 2 - 4

G x = 2 x

G y = 2 y

G z = 0

E, então, nosso vetor gradiente par ao cilindro é:

∇ G x , y , z = 2 x , 2 y , 0

Por fim, para o paraboloide hiperbólico, teremos:

H = x 2 - 2 y 2 - z

H x = 2 x

H y = - 4 y

H z = - 1

E, finalmente, o vetor gradiente do paraboloide hiperbólico é:

∇ H x , y , z = 2 x , - 4 y , - 1

Perfeito! Fiz essa parte rapidinho por que né… vamos matar logo essas derivadas ;) Só pra organizar, nossos vetores gradiente são:

f x , y , z = 6,0 , 1

∇ G x , y , z = 2 x , 2 y , 0

∇ H x , y , z = 2 x , - 4 y , - 1

Passo 3

Agora, temos que montar o sistema com os vetores gradiente e seus multiplicadores! Temos:

6,0 , 1 = λ 2 x , 2 y , 0 + μ 2 x , - 4 y , - 1

Igualando as coordenadas, temos:

6 = 2 λ x + 2 μ x 0 = 2 λ y - 4 μ y 1 = 0 - μ x 2 + y 2 = 4 z = x 2 - 2 y 2

Olha que coisa linda! Está vendo ali a terceira equação? Ela já nos diz que o valor de μ será - 1 ! Então, podemos olhar para o sistema com esse valor substituindo:

6 = 2 λ x + 2 . - 1 x 0 = 2 λ y - 4 . - 1 y 1 = 0 - - 1 x 2 + y 2 = 4 z = x 2 - 2 y 2