Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

Teoria Completa

Agora vamos ver como determinar o máximo e o mínimo de uma função de 3 variáveis com 2 restrições! Cada restrição é a equação de uma superfície, né? Então 2 restrições vão definir a curva de interseção das 2 superfícies. E vai ser em cima dessa curva que vamos buscar os máximos e mínimos da função.

Na prática, vai ser bem parecido com o que já vimos, só vamos ter um sistema maior e mais complexo (ebaa). Vamos lá então.

Agora, além da restrição do tipo g x , y , z = 0 , teremos também outra: h x , y , z = 0 . Assim, vamos precisar de mais um multiplicador e nossa equação vai ser:

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z + μ ∇ h x , y , z

Agora o nosso passo a passo é:

  1. Calcular gradiente da função: ∇ f
  2. Pega a equação das superfícies e joga tudo para o lado esquerdo e deixe zero no lado direito
  3. Definir função g x , y , z e h x , y , z sendo o lado esquerdo das equações acima
  4. Calcular gradiente de g e h
  5. Utilizar multiplicador de Lagrange: ∇ f = λ ∇ g + μ ∇ h
  6. Adicionar a equação das superfícies ao sistema encontrado acima
  7. Resolver o sistema
  8. Substituir pontos encontrados e verificar quais são os pontos de máximo e mínimo

Viu, basicamente a mesma coisa só que com um sistema maior.

Vamos achar os pontos de máximo e mínimo de f x , y , z = x + y sobre a curva de interseção do cilindro x 2 + z 2 = 4 com o plano 2 x - 3 y + z = 6 .

Para isso, vamos calcular os gradientes das funções f , g e h .

∇ f x , y , z = 1 ,   1 ,   0

Agora, para definir g e h , vamos pegar as equações das superfícies e jogar tudo para a esquerda de modo que ficamos com o lado direito sendo zero.

g x , y , z = x 2 + z 2 - 4 = 0

h x , y , z = 2 x - 3 y + z - 6 = 0

Assim

∇ g x , y , z = 2 x ,   0 ,   2 z

∇ h x , y , z = 2 , - 3 ,   1

Usando o multiplicador de Lagrange:

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z + μ ∇ h x , y , z

1 ,   1 ,   0 = λ 2 x ,   0 ,   2 z + μ 2 , - 3 ,   1

Igualando termo a termo e acrescentando as equações das superfícies, ficamos com o sistema:

1 = 2 x λ + 2 μ 1 1 = - 3 μ 2 μ = - 2 z λ 3 x 2 + z 2 = 4 4 2 x - 3 y + z = 6 5

Pela equação 2 :

μ = - 1 3

Substituindo isso na equação 3 , achamos:

λ = 1 6 z

Colocando esses dois resultados na 1 , encontramos:

x = 5 z

Substituindo na 4 , temos:

z = ± 2 26

Agora, vamos começar substituindo z = 2 26 na 5 :

2 x - 3 y + z = 6

Lembrando que x = 5 z , então nesse caso, x = 10 26 . Assim, da equação ( 5 ) , temos:

y = 22 3 26 - 2

Portanto, obtemos um primeiro ponto:

P 1 = 10 26 ,   22 3 26 - 2 ,   2 26

Só valor bizarro hein?

Ainda temos o caso z = - 2 26 , que nos dá x = - 10 26 e que na equação 5 fica:

y = - 22 3 26 - 2

Então temos mais um ponto:

P 2 = - 10 26 , -   22 3 26 - 2 ,   - 2 26

Ufa, quase acabamos!

Agora para saber quem desses pontos é o máximo e quem é o mínimo, é só calcular os valores da função f para cada um deles. Fazendo isso, ficamos com:

f P 1 = 52 3 26 - 2

E

f P 2 = - 52 3 26 - 2

Portanto, o valor máximo de f com as 2 restrições do enunciado é 52 26 - 2 , obtido no ponto 10 26 ,   22 3 26 - 2 ,   2 26 , enquanto o valor mínimo é - 52 26 - 2 , obtido no ponto - 10 26 , -   22 3 26 - 2 ,   2 26 .

Até que enfim!

Método alternativo por matriz

O começo desse método é igual, definimos 2 restrições na forma g x , y , z = 0 e h x , y , z = 0 . Depois é que muda: a equação que temos que resolver é:

f x f y f z g x g y g z h x h y h z = 0

Portanto, botamos as derivadas parciais das 3 funções nas linhas de uma matriz, e igualamos o determinante dessa matriz a zero.

No exemplo que fizemos o determinante seria:

1 1 0 2 x 0 2 z 2 - 3 1 = 0

O que dá:

0 + 4 z + 0 - 0 + 6 z - 2 x = 0

2 x = 10 z

x = 5 z

Que nem achamos antes! Daí pra frente as contas são as mesmas, basta substituir nas equações das superfícies, resolver o sistema e achar aqueles pontos malucos.

Quando os gradientes não são muito complicados, e tem vários zeros que nem esses por exemplo, esse método pode ser uma boa! Não tem que ficar lidando com λ e μ :)

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Exercício Resolvido #1

Cálculo 2 UNICAMP, P1 2013 Tarde, questão 2

Determine o valor de máximo e de mínimo de f x , y , z = 6 x + z sobre a curva de interseção das superfícies x 2 + y 2 = 4 e z = x 2 - 2 y 2 .

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Passo 1

Opa, valores máximos e mínimos sobre uma curva? Isso é dever para o Sr. Lagrange! Temos uma função, que será max/minimizada, e temos uma restrição, que é a curva de interseção das superfícies.

Bom, antes de mais nada, precisamos saber que restrição é essa! Temos duas superfícies, um cilindro x 2 + y 2 = 4 :

E, para a outra, temos um paraboloide hiperbólico:

Agora você me pergunta: Mas como eu vou encontrar essa curva de interseção?!? E eu te respondo: Também não sei XD

Pois é, vai ser massacrante. Se fosse uma curva bonitinha, uma circunferência no plano O x y , a gente até se esforçava pra encontrar...

E agora? O que faremos? Vamos simplesmente ignorar que estamos em uma curva! Vamos dizer que temos duas restrições! Sim, pois estar sobre uma curva é o mesmo que dizer, em duas etapas, que estamos sobre uma superfície e sobre a outra!

Enfim, nossa equação para os multiplicadores de LaGrange fica com duas restrições:

∇ f x , y , z = λ ∇ G x , y , z + μ ∇ H x , y , z

Em que G e H são, respectivamente, as equações do cilindro e do paraboloide hiperbólico, e λ e μ são seus multiplicadores!

Passo 2

Show, partiu agora encontrar esses vetores gradientes? Vamos começar pela função f :

f x , y , z = 6 x + z

f x = 6

f y = 0

f z = 1

E, então, nosso vetor gradiente é:

f x , y , z = 6,0 , 1

Agora, para a equação do cilindro,

G x , y , z = x 2 + y 2 - 4

G x = 2 x

G y = 2 y

G z = 0

E, então, nosso vetor gradiente par ao cilindro é:

∇ G x , y , z = 2 x , 2 y , 0

Por fim, para o paraboloide hiperbólico, teremos:

H = x 2 - 2 y 2 - z

H x = 2 x

H y = - 4 y

H z = - 1

E, finalmente, o vetor gradiente do paraboloide hiperbólico é:

∇ H x , y , z = 2 x , - 4 y , - 1

Perfeito! Fiz essa parte rapidinho por que né… vamos matar logo essas derivadas ;) Só pra organizar, nossos vetores gradiente são:

f x , y , z = 6,0 , 1

∇ G x , y , z = 2 x , 2 y , 0

∇ H x , y , z = 2 x , - 4 y , - 1

Passo 3

Agora, temos que montar o sistema com os vetores gradiente e seus multiplicadores! Temos:

6,0 , 1 = λ 2 x , 2 y , 0 + μ 2 x , - 4 y , - 1

Igualando as coordenadas, temos:

6 = 2 λ x + 2 μ x 0 = 2 λ y - 4 μ y 1 = 0 - μ x 2 + y 2 = 4 z = x 2 - 2 y 2

Olha que coisa linda! Está vendo ali a terceira equação? Ela já nos diz que o valor de μ será - 1 ! Então, podemos olhar para o sistema com esse valor substituindo:

6 = 2 λ x + 2 . - 1 x 0 = 2 λ y - 4 . - 1 y 1 = 0 - - 1 x 2 + y 2 = 4 z = x 2 - 2 y 2

Dando aquela ajeitadinha...

6 = 2 x λ - 1 0 = 2 y λ + 2 1 = 1 x 2 + y 2 = 4 z = x 2 - 2 y 2

Passo 4

Perfeito, o que mais podemos fazer? Está vendo a segunda equação? Veja que, para ela ser 0 , então, ou y = 0 , ou λ = - 2 , certo? Vamos usar isso então para descobrir os valores de x e y !

Tomando y = 0 , podemos ir direto para a equação das restrições. Vamos ver o que encontramos para esses valores de y na restrição G :

x 2 + 0 2 = 4

x = ± 2

Beleza! Agora, que temos que, se y = 0 , então x = ± 2 , podemos descobrir o valor de z , pela restrição H :

z = ± 2 2 - 2 . 0 2

z = 4

E aí está! Como z = x 2 , tanto faz se é - 2 ou + 2 ! Com isso, chegamos em dois pontos,

P 0 = 2,0 , 4

P 1 = - 2,0 , 4

Tranquilo até aqui?

Passo 5

Prosseguindo, temos ainda que testar o que acontece quando λ = - 2 , lembra? Colocando esse valor para λ na segunda equação, não temos nada de interessante, mas, para a primeira, temos:

6 = 2 x - 2 - 1

6 = - 6 x

x = - 1

E aí está! Com esse valor de x , podemos descobrir o valor de y pela restrição G :

- 1 2 + y 2 = 4

y 2 = 4 - 1

y 2 = 3

y = ± 3

Beleza! Agora, que temos que, se y = ± 3 , então x = - 1 , podemos descobrir o valor de z , pela restrição H :

z = - 1 2 - 2 . ± 3 2

z = 1 - 6

z = - 5

Com isso, chegamos em dois pontos,

P 2 = - 1 , 3 , - 5

P 3 = - 1 , - 3 , - 5

Tranquilo até aqui?

Passo 6

Vamos testá-los e ver qual é o máximo e qual é o mínimo?

Para P 0 = 2,0 , 4 , temos:

f 2,0 , 4 = 6.2 + 4 = 16

Para P 1 = - 2,0 , 4 , temos:

f - 2,0 , 4 = 6 . - 2 + 4 = - 8

Para P 2 = - 1 , 3 , - 5 , temos:

f - 1 , 3 , - 5 = 6 . - 1 - 5 = - 11

Para P 3 = - 1 , - 3 , - 5 , temos:

f - 1 , - 3 , - 5 = 6 . - 1 - 5 = - 11

Fechada a questão! P 0 é o ponto de máximo, e P 2 e P 3 são os pontos de mínimo!

Resposta

P 0 = 2,0 , 4 é o ponto de máximo e P 2 = - 1 , 3 , - 5 e P 3 = - 1 , - 3 , - 5 são os pontos de mínimo.

Exercício Resolvido #2

Cálculo 2 USP, P3 3010, questão 4

Seja C = x , y , z ∈ R 3 : x - z 2 + y - z 2 = 8   e   x + y + z = 2 . Sabendo que C é um conjunto fechado e limitado, determine os pontos de C que estão mais próximos e mais distantes de 0,0 , 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos lá, queremos encontrar o máximo e o mínimo de uma função, percebe? É da função distância! Ela, em R 3 pode ser dada por:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Ok, e agora? Pense comigo, se a pergunta fosse: O quão perto e o quão longe eu posso estar da origem 0,0 , 0 ? Não faria sentido, né? Porque o mais longe tenderia a infinito, enquanto o mais perto, tenderia a uma distância nula!

Exatamente por isso que nos foram dadas duas restrições para essa distância: os pontos devem estar tanto na superfície x - z 2 + y - z 2 = 8 como no plano x + y + z = 2 ! Assim, vamos resolver esse problema usando multiplicadores de Lagrange, pois temos uma função que deve ser maximizada/minimizada, dentro dessas duas restrições!

Passo 2

Antes de começar propriamente a montar a equação dos multiplicadores, vem uma dica que você vai querer guardar: Essa raiz na equação da distância vai atrasar a nossa vida na hora de derivar para pegar os vetores gradientes, né? Então, vamos elevá-la ao quadrado! Sim, pois o máximo da função distância casa certinho com o máximo da função “distância ao quadrado”, percebe? E o mesmo vale para o mínimo das duas! Então, nossa função que será max/minimizada, será:

D x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Ok, sem mais enrolação, como temos duas restrições, chamemos a primeira de G x , y , z e a segunda de H x , y , z . Assim, pelo método dos multiplicadores de LaGrange:

∇ D x , y , z = λ ∇ G x , y , z + μ H x , y , z

Passo 3

Chegou a hora de calcular as derivadas propriamente ditas! Comecemos pelas derivadas que formam o vetor gradiente da função D :

D x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

D x = 2 x

D y = 2 y

D z = 2 z

∇ D x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z

Como o método dos multiplicadores de LaGrange envolve apenas a direção dos vetores, podemos usar o vetor x , y , z ao invés de 2 x , 2 y , 2 z !

Agora, calculando as derivadas parciais de G x , y , z ,

G x , y , z = x - z 2 + y - z 2 - 8  

G x = 2 x - z . 1

G y = 2 y - z . 1

G z = 2 x - z . - 1 + 2 y - z . - 1

∇ G x , y , z = 2 x - 2 z , 2 y - 2 z , - 2 x - 2 y + 4 z

Novamente, como só importa a direção, podemos dividir esse vetor gradiente ∇ G por 2 ! Assim, não teremos mais esses coeficientes, todos iguais, tirando o último do z ;) Usaremos, então, o vetor x - z , y - z , - x - y + 2 z

E, enfim, as derivadas de H x , y , z ,

H x , y , z = x + y + z - 2

H x = 1

H y = 1

H z = 1

∇ H x , y , z = 1,1 , 1

Passo 4

Agora jogamos tudo na equação dos multiplicadores de LaGrange:

x , y , z = λ x - z , y - z , - x - y + 2 z + μ 1,1 , 1

Montando o sistema, igualando as coordenadas dos vetores, temos:

x = λ x - z + μ     1 y = λ y - z + μ     2 z = λ - x - y + 2 z + μ x - z 2 + y - z 2 - 8 = 0     4 x + y + z - 2 = 0     5     3

Show? Vamos continuar resolvendo esse sistema!

Se subtraírmos a segunda (contando de cima para baixo) da primeira, teremos:

x - y = λ x - y     6

Viu? Conseguimos eliminar o μ :)

Se subtraírmos a terceira da segunda, teremos:

y - z = λ x + 2 y - 3 z     7

Passo 5

Do primeiro resultado que tiramos,

x - y = λ x - y

Temos que λ = 1 , ou x = y , concorda?

Supondo que λ = 1 , a segunda equação que fizemos 7 , fica assim:

y - z = 1 x + 2 y - 3 z  

x + y - 2 z = 0

Aí agora olhamos para as outras equações que temos, e vemos o que podemos fazer… Veja que, na equação 5 , x + y + z - 2 = 0 , também aparece x + y . Então, subtraíndo a equação 7 com λ = 1 da 5 , temos:

3 z - 2 = 0

z = 2 3

Finalmente!! Conseguimos algum resultado, hein? Suando aqui…

Passo 6

Como temos uma das variáveis, z , com valor definido, e temos duas equações para as restrições, é melhor negocio substituir z = 2 3 nas equações 4 e 5 e encontrar as variáveis x e y :D

Colocando z = 2 3 na equação 5 , temos:

x + y + 2 3 - 2 = 0

x = - y + 4 3  

E, colocando essa relação entre x e y na equação 4 , temos:

- y + 4 3 - 2 3 2 + y - 2 3 2 - 8 = 0

Desenvolvendo a equação...

2 y 2 - 8 y 3 + 8 9 - 8 = 0

2 y 2 - 8 y 3 - 64 9 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, temos:

y = 8 3 ± 64 9 - 4.2 . - 64 9 2.2

y = 8 3 ± 576 9 4

y = 8 3 ± 64 4

y = 2 3 ± 2

y = 8 3   o u - 4 3

E aí está! Mais dois possíveis valores para y !

Passo 7

Lembrando que conseguimos esses valores com o z = 2 3 e com a relação x = 4 3 - y . Jogando de volta os valores de y nesse última equação, temos:

x = 4 3 - 8 3 = - 4 3

x = 4 3 - - 4 3 = 8 3

Assim, temos que quando x = - 4 3 , y = 8 3 e vice versa!

Conseguimos, por fim, os seguintes pontos, juntando os respectivos valores de x ,   y e z :

P 0 = - 4 3 , 8 3 , 2 3

P 1 = 8 3 , - 4 3 , 2 3