Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

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Teoria

Olá, galerinha! Esse tópico aqui é mais um tópico para falar de como calcular máximos e mínimos. Mas agora a gente não quer simplesmente calcular o máximo e mínimo de uma função, a gente quer determiná-los dentro da interseção de duas superfícies (ou seja, como duas restrições).

Não entendeu? Vamos com um exemplo para ficar mais claro!

Exemplo: Vamos achar os pontos de máximo e mínimo de f x , y , z = x + y sobre a curva de interseção do cilindro x 2 + z 2 = 4 com o plano 2 x - 3 y + z = 6 .

Então galera a superfície do cilindro e do plano são as nossas duas restrições e quando eles cruzarem, teremos a nossa curva de interseção. E vai ser em cima dessa curva que vamos buscar os máximos e mínimos da função.

Até aqui ok, vamos como se calcula?

Então, galerinha, a gente vai calcular usando essa formulazinha aqui

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z + μ ∇ h x , y , z

Onde:

∇ f x , y , z é o gradiente da minha função

∇ g x , y , z é o gradiente de uma das restrições (por exemplo, a superfície do cilindro)

∇ h x , y , z é o gradiente da segunda restrição (por exemplo, a superfície do plano)

λ   e   μ são os multiplicadores de Lagrange

Agora vamos aplicar a fórmula!

Mas antes de calcular o gradiente de g x , y , z e h x , y , z , nós temos que jogar tudo para a esquerda de modo que ficamos com o lado direito sendo zero.

g x , y , z = x 2 + z 2 - 4 = 0

h x , y , z = 2 x - 3 y + z - 6 = 0

Agora sim, vamos calcular os gradientes das funções f , g e h . E a gente faz isso derivando

∇ f x , y , z = 1 ,   1 ,   0

∇ g x , y , z = 2 x ,   0 ,   2 z

∇ h x , y , z = 2 , - 3 ,   1

Usando o multiplicador de Lagrange ficamos com:

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z + μ ∇ h x , y , z

1 ,   1 ,   0 = λ 2 x ,   0 ,   2 z + μ 2 , - 3 ,   1

Agora para determinar λ   e   μ , vamos montar um sistema. A gente faz isso igualando termo a termo x , y , z e acrescentando as equações das superfícies, ficamos com o sistema:

1 = 2 x λ + 2 μ 1 1 = - 3 μ 2 μ = - 2 z λ 3 x 2 + z 2 = 4 4 2 x - 3 y + z = 6 5

Pela equação 2 a gente consegue saber quem é μ :

μ = - 1 3

Substituindo isso na equação 3 , achamos:

λ = 1 6 z

Colocando esses dois resultados na 1 , encontramos:

x = 5 z

Substituindo na 4 , temos:

z = ± 2 26

Agora, vamos começar substituindo z = 2 26 na 5 :

2 x - 3 y + z = 6

Lembrando que x = 5 z , então nesse caso, x = 10 26 . Assim, da equação ( 5 ) , temos:

y = 22 3 26 - 2

Portanto, obtemos um primeiro ponto:

P 1 = 10 26 ,   22 3 26 - 2 ,   2 26

Só valor bizarro hein?

Ainda temos o caso z = - 2 26 , que nos dá x = - 10 26 e que na equação 5 fica:

y = - 22 3 26 - 2

Então temos mais um ponto:

P 2 = - 10 26 , -   22 3 26 - 2 ,   - 2 26

Ufa, quase acabamos!

Agora para saber quem desses pontos é o máximo e quem é o mínimo, é só calcular os valores da função f para cada um deles. Fazendo isso, ficamos com:

f P 1 = 52 3 26 - 2

E

f P 2 = - 52 3 26 - 2

Portanto, o valor máximo de f com as 2 restrições do enunciado é 52 26 - 2 , obtido no ponto 10 26 ,   22 3 26 - 2 ,   2 26 , enquanto o valor mínimo é - 52 26 - 2 , obtido no ponto - 10 26 , -   22 3 26 - 2 ,   2 26 .

Até que enfim!

Aqui vai um resumo com o passo a passo:

  1. Calcular gradiente da função: ∇ f
  2. Pega a equação das superfícies e joga tudo para o lado esquerdo e deixe zero no lado direito
  3. Definir função g x , y , z e h x , y , z sendo o lado esquerdo das equações acima
  4. Calcular gradiente de g e h
  5. Utilizar multiplicador de Lagrange: ∇ f = λ ∇ g + μ ∇ h
  6. Adicionar a equação das superfícies ao sistema encontrado acima
  7. Resolver o sistema
  8. Substituir pontos encontrados e verificar quais são os pontos de máximo e mínimo

Método alternativo por matriz

O começo desse método é igual, definimos 2 restrições na forma g x , y , z = 0 e h x , y , z = 0 . Depois é que muda: a equação que temos que resolver é:

f x f y f z g x g y g z h x h y h z = 0

Portanto, botamos as derivadas parciais das 3 funções nas linhas de uma matriz, e igualamos o determinante dessa matriz a zero.

No exemplo que fizemos o determinante seria:

1 1 0 2 x 0 2 z 2 - 3 1 = 0

O que dá:

0 + 4 z + 0 - 0 + 6 z - 2 x = 0

2 x = 10 z

x = 5 z

Que nem achamos antes! Daí pra frente as contas são as mesmas, basta substituir nas equações das superfícies, resolver o sistema e achar aqueles pontos malucos.

Quando os gradientes não são muito complicados, e tem vários zeros que nem esses por exemplo, esse método pode ser uma boa! Não tem que ficar lidando com λ e μ :)

Método alternativo por matriz

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine o valor de máximo e de mínimo de f x , y , z = 6 x + z sobre a curva de interseção das superfícies x 2 + y 2 = 4 e z = x 2 - 2 y 2 .

Passo 1

Opa, valores máximos e mínimos sobre uma curva? Isso é dever para o Sr. Lagrange! Temos uma função, que será max/minimizada, e temos uma restrição, que é a curva de interseção das superfícies.

Bom, antes de mais nada, precisamos saber que restrição é essa! Temos duas superfícies, um cilindro x 2 + y 2 = 4 :

E, para a outra, temos um paraboloide hiperbólico:

Agora você me pergunta: Mas como eu vou encontrar essa curva de interseção?!? E eu te respondo: Também não sei XD

Pois é, vai ser massacrante. Se fosse uma curva bonitinha, uma circunferência no plano O x y , a gente até se esforçava pra encontrar...

E agora? O que faremos? Vamos simplesmente ignorar que estamos em uma curva! Vamos dizer que temos duas restrições! Sim, pois estar sobre uma curva é o mesmo que dizer, em duas etapas, que estamos sobre uma superfície e sobre a outra!

Enfim, nossa equação para os multiplicadores de LaGrange fica com duas restrições:

∇ f x , y , z = λ ∇ G x , y , z + μ ∇ H x , y , z

Em que G e H são, respectivamente, as equações do cilindro e do paraboloide hiperbólico, e λ e μ são seus multiplicadores!

Passo 2

Show, partiu agora encontrar esses vetores gradientes? Vamos começar pela função f :

f x , y , z = 6 x + z

f x = 6

f y = 0

f z = 1

E, então, nosso vetor gradiente é:

f x , y , z = 6,0 , 1

Agora, para a equação do cilindro,

G x , y , z = x 2 + y 2 - 4

G x = 2 x

G y = 2 y

G z = 0

E, então, nosso vetor gradiente par ao cilindro é:

∇ G x , y , z = 2 x , 2 y , 0

Por fim, para o paraboloide hiperbólico, teremos:

H = x 2 - 2 y 2 - z

H x = 2 x

H y = - 4 y

H z = - 1

E, finalmente, o vetor gradiente do paraboloide hiperbólico é:

∇ H x , y , z = 2 x , - 4 y , - 1

Perfeito! Fiz essa parte rapidinho por que né… vamos matar logo essas derivadas ;) Só pra organizar, nossos vetores gradiente são:

f x , y , z = 6,0 , 1

∇ G x , y , z = 2 x , 2 y , 0

∇ H x , y , z = 2 x , - 4 y , - 1

Passo 3

Agora, temos que montar o sistema com os vetores gradiente e seus multiplicadores! Temos:

6,0 , 1 = λ 2 x , 2 y , 0 + μ 2 x , - 4 y , - 1

Igualando as coordenadas, temos:

6 = 2 λ x + 2 μ x 0 = 2 λ y - 4 μ y 1 = 0 - μ x 2 + y 2 = 4 z = x 2 - 2 y 2

Olha que coisa linda! Está vendo ali a terceira equação? Ela já nos diz que o valor de μ será - 1 ! Então, podemos olhar para o sistema com esse valor substituindo:

6 = 2 λ x + 2 . - 1 x 0 = 2 λ y - 4 . - 1 y 1 = 0 - - 1 x 2 + y 2 = 4 z = x 2 - 2 y 2

Dando aquela ajeitadinha...

6 = 2 x λ - 1 0 = 2 y λ + 2 1 = 1 x 2 + y 2 = 4 z = x 2 - 2 y 2

Passo 4

Perfeito, o que mais podemos fazer? Está vendo a segunda equação? Veja que, para ela ser 0 , então, ou y = 0 , ou λ = - 2 , certo? Vamos usar isso então para descobrir os valores de x e y !

Tomando y = 0 , podemos ir direto para a equação das restrições. Vamos ver o que encontramos para esses valores de y na restrição G :

x 2 + 0 2 = 4

x = ± 2

Beleza! Agora, que temos que, se y = 0 , então x = ± 2 , podemos descobrir o valor de z , pela restrição H :

z = ± 2 2 - 2 . 0 2

z = 4

E aí está! Como z = x 2 , tanto faz se é - 2 ou + 2 ! Com isso, chegamos em dois pontos,

P 0 = 2,0 , 4

P 1 = - 2,0 , 4

Tranquilo até aqui?

Passo 5

Prosseguindo, temos ainda que testar o que acontece quando λ = - 2 , lembra? Colocando esse valor para λ na segunda equação, não temos nada de interessante, mas, para a primeira, temos:

6 = 2 x - 2 - 1

6 = - 6 x

x = - 1

E aí está! Com esse valor de x , podemos descobrir o valor de y pela restrição G :

- 1 2 + y 2 = 4

y 2 = 4 - 1

y 2 = 3

y = ± 3

Beleza! Agora, que temos que, se y = ± 3 , então x = - 1 , podemos descobrir o valor de z , pela restrição H :

z = - 1 2 - 2 . ± 3 2

z = 1 - 6

z = - 5

Com isso, chegamos em dois pontos,

P 2 = - 1 , 3 , - 5

P 3 = - 1 , - 3 , - 5

Tranquilo até aqui?

Passo 6

Vamos testá-los e ver qual é o máximo e qual é o mínimo?

Para P 0 = 2,0 , 4 , temos:

f 2,0 , 4 = 6.2 + 4 = 16

Para P 1 = - 2,0 , 4 , temos:

f - 2,0 , 4 = 6 . - 2 + 4 = - 8

Para P 2 = - 1 , 3 , - 5 , temos:

f - 1 , 3 , - 5 = 6 . - 1 - 5 = - 11

Para P 3 = - 1 , - 3 , - 5 , temos:

f - 1 , - 3 , - 5 = 6 . - 1 - 5 = - 11

Fechada a questão! P 0 é o ponto de máximo, e P 2 e P 3 são os pontos de mínimo!

Resposta

P 0 = 2,0 , 4 é o ponto de máximo e P 2 = - 1 , 3 , - 5 e P 3 = - 1 , - 3 , - 5 são os pontos de mínimo.

Exercício Resolvido #2

Seja C = x , y , z ∈ R 3 : x - z 2 + y - z 2 = 8   e   x + y + z = 2 . Sabendo que C é um conjunto fechado e limitado, determine os pontos de C que estão mais próximos e mais distantes de 0,0 , 0 .

Passo 1

Vamos lá, queremos encontrar o máximo e o mínimo de uma função, percebe? É da função distância! Ela, em R 3 pode ser dada por:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Ok, e agora? Pense comigo, se a pergunta fosse: O quão perto e o quão longe eu posso estar da origem 0,0 , 0 ? Não faria sentido, né? Porque o mais longe tenderia a infinito, enquanto o mais perto, tenderia a uma distância nula!

Exatamente por isso que nos foram dadas duas restrições para essa distância: os pontos devem estar tanto na superfície x - z 2 + y - z 2 = 8 como no plano x + y + z = 2 ! Assim, vamos resolver esse problema usando multiplicadores de Lagrange, pois temos uma função que deve ser maximizada/minimizada, dentro dessas duas restrições!

Passo 2

Antes de começar propriamente a montar a equação dos multiplicadores, vem uma dica que você vai querer guardar: Essa raiz na equação da distância vai atrasar a nossa vida na hora de derivar para pegar os vetores gradientes, né? Então, vamos elevá-la ao quadrado! Sim, pois o máximo da função distância casa certinho com o máximo da função “distância ao quadrado”, percebe? E o mesmo vale para o mínimo das duas! Então, nossa função que será max/minimizada, será:

D x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Ok, sem mais enrolação, como temos duas restrições, chamemos a primeira de G x , y , z e a segunda de H x , y , z . Assim, pelo método dos multiplicadores de LaGrange:

∇ D x , y , z = λ ∇ G x , y , z + μ H x , y , z

Passo 3

Chegou a hora de calcular as derivadas propriamente ditas! Comecemos pelas derivadas que formam o vetor gradiente da função D :

D x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

D x = 2 x

D y = 2 y

D z = 2 z

∇ D x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z

Como o método dos multiplicadores de LaGrange envolve apenas a direção dos vetores, podemos usar o vetor x , y , z ao invés de 2 x , 2 y , 2 z !

Agora, calculando as derivadas parciais de G x , y , z ,

G x , y , z = x - z 2 + y - z 2 - 8  

G x = 2 x - z . 1

G y = 2 y - z . 1

G z = 2 x - z . - 1 + 2 y - z . - 1

∇ G x , y , z = 2 x - 2 z , 2 y - 2 z , - 2 x - 2 y + 4 z

Novamente, como só importa a direção, podemos dividir esse vetor gradiente ∇ G por 2 ! Assim, não teremos mais esses coeficientes, todos iguais, tirando o último do z ;) Usaremos, então, o vetor x - z , y - z , - x - y + 2 z

E, enfim, as derivadas de H x , y , z ,

H x , y , z = x + y + z - 2

H x = 1

H y = 1

H z = 1

∇ H x , y , z = 1,1 , 1

Passo 4

Agora jogamos tudo na equação dos multiplicadores de LaGrange:

x , y , z = λ x - z , y - z , - x - y + 2 z + μ 1,1 , 1

Montando o sistema, igualando as coordenadas dos vetores, temos:

x = λ x - z + μ     1 y = λ y - z + μ     2 z = λ - x - y + 2 z + μ x - z 2 + y - z 2 - 8 = 0     4 x + y + z - 2 = 0     5     3

Show? Vamos continuar resolvendo esse sistema!

Se subtraírmos a segunda (contando de cima para baixo) da primeira, teremos:

x - y = λ x - y     6

Viu? Conseguimos eliminar o μ :)

Se subtraírmos a terceira da segunda, teremos:

y - z = λ x + 2 y - 3 z     7

Passo 5

Do primeiro resultado que tiramos,

x - y = λ x - y

Temos que λ = 1 , ou x = y , concorda?

Supondo que λ = 1 , a segunda equação que fizemos 7 , fica assim:

y - z = 1 x + 2 y - 3 z  

x + y - 2 z = 0

Aí agora olhamos para as outras equações que temos, e vemos o que podemos fazer… Veja que, na equação 5 , x + y + z - 2 = 0 , também aparece x + y . Então, subtraíndo a equação 7 com λ = 1 da 5 , temos:

3 z - 2 = 0

z = 2 3

Finalmente!! Conseguimos algum resultado, hein? Suando aqui…

Passo 6

Como temos uma das variáveis, z , com valor definido, e temos duas equações para as restrições, é melhor negocio substituir z = 2 3 nas equações 4 e 5 e encontrar as variáveis x e y :D

Colocando z = 2 3 na equação 5 , temos:

x + y + 2 3 - 2 = 0

x = - y + 4 3  

E, colocando essa relação entre x e y na equação 4 , temos:

- y + 4 3 - 2 3 2 + y - 2 3 2 - 8 = 0

Desenvolvendo a equação...

2 y 2 - 8 y 3 + 8 9 - 8 = 0

2 y 2 - 8 y 3 - 64 9 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, temos:

y = 8 3 ± 64 9 - 4.2 . - 64 9 2.2

y = 8 3 ± 576 9 4

y = 8 3 ± 64 4

y = 2 3 ± 2

y = 8 3   o u - 4 3

E aí está! Mais dois possíveis valores para y !

Passo 7

Lembrando que conseguimos esses valores com o z = 2 3 e com a relação x = 4 3 - y . Jogando de volta os valores de y nesse última equação, temos:

x = 4 3 - 8 3 = - 4 3

x = 4 3 - - 4 3 = 8 3

Assim, temos que quando x = - 4 3 , y = 8 3 e vice versa!

Conseguimos, por fim, os seguintes pontos, juntando os respectivos valores de x ,   y e z :

P 0 = - 4 3 , 8 3 , 2 3

P 1 = 8 3 , - 4 3 , 2 3

Passo 8

Acha que terminou?? Não está esquecendo de nada? Qual foi a “premissa” que tomamos para chegar nesses dois pontos? Foi dizer que λ = 1 , lembra!? Agora temos que testar o caso em que x = y !

Mas parece que vai ser um pouco menor, afinal, já temo que x = y , então, quando encontrarmos x , encontramos y !

Colocando x = y na equação 5 , teremos:

x + x + z = 2

z = 2 - 2 x

Colocando x = y na equação 4 , teremos:

x - z 2 + x - z 2 = 8

x - z 2 = 4

Pegando, então, a relação z = 2 - 2 x e jogando nessa última equação,

x - 2 - 2 x 2 = 4

3 x - 2 2 = 4

E daí tiramos que, ou x = 4 3 , ou x = 0 ! Beleza?

Assim, já temos também os valores de y , pois x = y , lembra? E, para descobrir os valores de z , temos a relação:

z = 2 - 2 x

Logo, se x = 0 , z = 2 e, se x = 4 3 , z = - 2 3

Juntando esses valores, temos os pontos:

P 2 = 0,0 , 2

P 3 = 4 3 , 4 3 ,   - 2 3

Passo 9

Agora sim!! Temos tudo o que precisamos, já testamos todos os casos, agora é pegar cada ponto e substituir na equação da função D x , y , z !

Vamos lá! Para o ponto P 0 = - 4 3 , 8 3 , 2 3 , temos

D x , y , z = 16 9 + 64 9 + 4 9 = 84 9

Para o ponto P 1 = 8 3 , - 4 3 , 2 3 , temos:

D x , y , z = 16 9 + 64 9 + 4 9 = 84 9

Para o ponto P 2 = 0,0 , 2 , temos:

D x , y , z = 0 + 0 + 4 = 4

Para o ponto P 3 = 4 3 , 4 3 ,   - 2 3 , temos:

D x , y , z = 16 9 + 16 9 + 4 9 = 4

Assim, os pontos P 1 e P 2 são ponto de máximo, enquanto P 3 e P 4 são ponto de mínimo :)

Resposta

P 0 = - 4 3 , 8 3 , 2 3 e P 0 = 8 3 , - 4 3 , 2 3 são ponto de máximo, e P 2 = 0,0 , 2 e P 3 = 4 3 , 4 3 ,   - 2 3 são ponto de mínimo.

Exercício Resolvido #3

Considere a função f x , y , z = x - 2 y + z 2 e a região R = x , y , z ∈ R 3 : x - 2 y + 2 z = 0   e   2 x 2 + y 2 + z 2 = 9 . A função f tem pontos de máximo e mínimo na região R ? Caso afirmativo, encontre-os.

Passo 1

Função com restrição? Máximos e mínimos? Manda Lagrange!

A região de restrição tem duas funções, h x , y , z = x - 2 y + 2 z   e g x , y , z = 2 x 2 + y 2 + z 2 - 9 , então vamos usar o determinante de 3 × 3 :

f x f y f z h x h y h z g x g y g z = 0 →

Show?

Passo 2

Próximo passo, encontrar essas derivadas parciais! Vamos começar pela função f ?

f x , y , z = x - 2 y + z 2

f x = 1

f y = - 2

f z = 2 z

Passo 3

Para a função h , temos:

h x , y , z = x - 2 y + 2 z

h x = 1

h y = - 2

h z = 2

Beleza! Vamos ver agora as derivadas da função g !

g x , y , z = 2 x 2 + y 2 + z 2 - 9

g x = 4 x

g y = 2 y

g z = 2 z

E é isso aí ;)

Passo 4

Vamos colocar os valores das derivadas no determinante. Ele vai ficar:

1 - 2 2 z 1 - 2 2 4 x 2 y 2 z = 0

Desenvolvendo o determinante, teremos:

1 - 2 2 z 1 - 2 2 4 x 2 y 2 z = - 4 z + 4 y z - 16 x + 16 x z - 4 y + 4 z = 0

Ajeitando essa equação, fica:

4 y z - 16 x + 16 x z - 4 y = 0

Podemos dividir tudo por 4 né?

y z - 4 x + 4 x z - y = 0

E, colocando z - 1 em evidência,

z - 1 y + 4 x = 0

E é isso aí, melhor não deve dar pra fazer XD A dica é: sempre, no final, dê um jeito de colocar as coisas como produto! A questão é feita pra isso acontecer, pois facilita muito!

Passo 5

Vamos montar um sistema, então com a equação que acabamos de encontrar e as equações da restrição?

z - 1 y + 4 x = 0 x - 2 y + 2 z = 0 2 x 2 + y 2 + z 2 = 9

Pela primeira equação, temos que, ou z = 1 , ou y = - 4 x , certo? No caso de z = 1 , teremos, na segunda equação,

x - 2 y + 2 = 0

x = 2 y - 2

Colocando esse resultado na terceira equação, colocando z = 1 também, teremos:

2 2 y - 2 2 + y 2 + 1 2 = 9

Abrindo o produto notável, teremos:

2 4 y 2 - 8 y + 4 + y 2 + 1 = 9

Que fica:

9 y 2 - 16 y = 0

E, assim, ou y = 0 , ou y = 16 9 , certo? Como tínhamos que x = 2 y - 2 , então, se y = 0 , x = - 2 , e, se y = 16 9 , x = 14 9 .

Logo, para z = 1 , temos os pontos:

P 0 = - 2,0 , 1

P 1 = 14 9 , 16 9 , 1

Passo 6

Agora podemos testar a segunda hipótese de resolução para o sistema, que é o caso de y = - 4 x . Colocando isso na segunda equação, teremos:

x - 2 - 4 x + 2 z = 0

2 z = - 9 x

z = - 9 2 x

Colocando esse valor na terceira, teremos:

2 x 2 + - 4 x 2 + - 9 2 x 2 = 9

Ajeitando esses quadrados, teremos:

2 x 2 + 16 x 2 + 81 4 x 2 = 9

Juntando o 2 x 2 com o 16 x 2 , temos:

18 x 2 + 81 4 x 2 = 9

Dividindo tudo por 9 , temos:

2 x 2 + 9 4 x 2 = 1

Multiplicando tudo por 4 , temos:

8 x 2 + 9 x 2 = 4

Que é:

17 x 2 = 4

E, assim,

x = ± 17 4 = ± 2 17

Colocando esse valor para x , sabendo que y = - 4 x e   z = - 9 2 x , temos que y = ∓ 8 17 e z = ∓ 9 17 .

Assim, os pontos que obtivemos são:

P 2 = 2 17 ,   - 8 17 ,   - 9 17

P 3 = - 2 17 ,   8 17 ,   9 17

Passo 7

Agora que já temos todos os pontos candidatos, P 0 , P 1 , P 2 , P 3 , podemos comparar os valores que f assume em cada um!

Para P 0 = - 2,0 , 1 ,

f - 2,0 , 1 = - 2 - 2.0 + 1 2 = - 1

Para P 1 = 14 9 , 16 9 , 1 ,

f 14 9 , 16 9 , 1 = 14 9 - 2 . 16 9 + 1 2 = - 9 9 = - 1

Para P 2 = 2 17 ,   - 8 17 ,   - 9 17 ,

f 2 17 ,   - 8 17 ,   - 9 17 = 2 17 - 2 . - 8 17 + - 9 17 2 = 18 17 + 81 17

Para P 3 = - 2 17 ,   8 17 ,   9 17 ,

f - 2 17 ,   8 17 ,   9 17 = - 2 17 - 2 . 8 17 + 9 17 2 = - 18 17 + 81 17

Assim, P 0 = - 2,0 , 1 e P 1 = 14 9 , 16 9 , 1 são pontos de mínimo, e P 2 = 2 17 ,   - 8 17 ,   - 9 17 é ponto de máximo.

Resposta

P 0 = - 2,0 , 1 e P 1 = 14 9 , 16 9 , 1 são pontos de mínimo, e P 2 = 2 17 ,   - 8 17 ,   - 9 17 é ponto de máximo

Exercício Resolvido #4

Seja f x , y , z = x 2 + y 2 - z 2 + 3

  1. Mostre que f tem exatamente dois pontos de mínimo e infinitos pontos de máximo na esfera
  2. S = x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1

  3. Determine os pontos de mínimo e de máximo de f no conjunto

D = x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1   e   x + y + z = 1

Passo 1

a )

Para provar que existem máximos ou mínimos, independente da quantidade deles, tudo o que temos que fazer é calculá-los, nesse caso, usando multiplicadores de Lagrange, pois temos a restrição da esfera!

Assim essa restrição vai ser

E x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

Vamos resolver pelo método da matriz, que tal? Podemos dizer que

i ^ j ^ k ^ f x f y f z E x E y E z = 0,0 , 0 x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

Pois os vetores gradiente de f   e E são múltiplos um do outro.

Passo 2

Legal, agora temos que encontrar os vetores gradientes!

Para a função f x , y , z , temos:

f x , y , z = x 2 + y 2 - z 2 + 3

∇ f x , y , z = f x , f y , f z

Calculando as derivadas parciais,

f x x , y , z = 2 x

f y x , y , z = 2 y

f z x , y , z = - 2 z

E o vetor gradiente é:

∇ f x , y , z = 2 x , 2 y , - 2 z

Passo 3

Agora calcularemos o vetor gradiente da esfera:

E = x 2 + y 2 + z 2 - 1

∇ E x , y , z = E x , E y , E z

Calculando as derivadas parciais, teremos:

E x x , y , z = 2 x

E y x , y , z = 2 y

E z x , y , z = 2 z

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais (coordenadas dos vetores gradientes), podemos resolver o sistema do Passo 1 ! Veja como fica o determinante:

i ^ j ^ k ^ 2 x 2 y - 2 z 2 x 2 y 2 z = 0,0 , 0 x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

Desenvolvendo o determinante, teremos:

4 y z i ^ + 4 x y k ^ - 4 x z j ^ - 4 x y k ^ + 4 y z i ^ - 4 x z j ^ = 0,0 , 0

E agora igualando cada componente i ^ ,   j ^   e   k ^ a 0 , teremos:

4 y z + 4 y z i ^ = 0

- 4 x z - 4 x z j ^ ^ = 0

4 x y - 4 x y k ^ = 0

E daí tiramos que:

y z = 0 x z = 0 x y = x y

Passo 5

Beleza, agora temos que ver quais são os possíveis valores de x , y e z .

Da primeira equação, temos que ou y ou z devem ser iguais a 0 . Para a segunda, ou x ou z devem ser iguais a 0 . Ou seja, no caso de z = 0 , qualquer par x , y atende a qualquer uma das equações!

Colocando essa nossa conclusão na equação da restrição, teremos que:

x 2 + y 2 + 0 2 - 1 = 0

x 2 + y 2 = 1

E o valor de f x , y , z nesses pares x , y será:

f x , y , z = x 2 + y 2 - 0 2 + 3

Como pela restrição x 2 + y 2 = 1 ,

f x , y , z = 1 + 3 = 4

Ou seja, temos infinitos pontos nos quais a função vale 4 .

Passo 6

Mas e no caso de z ≠ 0 ? Bom, se for assim, pela primeira equação, então y deve valer 0 , e pela segunda x deve valer 0 ! Então, x = y = 0 . Colocando esse valor na restrição, teremos:

0 2 + 0 2 + z 2 - 1 = 0

z = ± 1

E aí está! z deve ser ± 1 !

Colocando esses valores na função f , teremos:

f x , y , z = 0 2 + 0 2 - ± 1 2 + 3

f x , y , z = - 1 + 3 = 2

E pronto, é só isso, acabamos de ver que para os pontos 0,0 , ± 1 , o valor da função é 2 . E enquanto isso, para os pontos x , y , 0 ela assume valor 4 .

Isso prova que ela tem infinitos pontos de máximo e apenas dois pontos de mínimo!

Passo 7

b )

Note que agora temos uma segunda restrição, o plano x + y + z = 1 . Assim, vamos aplicar Lagrange novamente, mas acrescentando essa outra restrição. É mais ou menos o que fizemos no item a , mas agora o sistema fica sendo:

f x f y f z H x H y H z E x E y E z = 0,0 , 0 x + y + z - 1 = 0 x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

Onde

E = x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

H = x + y + z - 1 = 0

E, lembrando do item a já sabemos que ∇ f x , y , z = 2 x , 2 y , - 2 z e que ∇ E x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z

Passo 8

Calculando agora o gradiente da função H x , y , z = x + y + z - 1 :

∇ H x , y , z = H x ,   H y , H z

Sendo que suas derivada parciais são:

H x = 1

H y = 1

H z = 1

E o gradiente é ∇ H x , y , z = 1,1 , 1

Passo 9

E repetimos o mesmo processo do item a , vamos montar o determinante e igualar cada componente a 0 . Colocando os valores das derivadas nele fica:

2 x 2 y - 2 z 1 1 1 2 x 2 y 2 z = 0,0 , 0 x + y + z - 1 = 0 x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

E o determinante fica:

2 x 2 y - 2 z 1 1 1 2 x 2 y 2 z = 4 x z - 4 y z + 4 x y + 4 x z - 4 x y - 4 y z = 0

Dessa vez, como não temos os unitários i ^ ,   j ^ ,   k ^ , não faz sentido igualar a uma vetor, mas sim ao escalar 0 ! Parece tornar tudo mais difícil, né? De fato... mas tenha em mente que essa parada é metódica, então temos que conseguir tirar alguma relação conveniente daí.

Parece uma boa ideia juntar os termos iguais e cortar os que se anulam:

8 x z - 8 y z = 0

Beeem melhor, não? To falando… a parte difícil já passou :) Agora vamos dividir por 8 e colocar o z em evidência:

z x - y = 0

E pronto! Já consegue descobrir alguma relação entre x , y e z ?

Passo 10

O que podemos concluir do passo anterior, é que para a equação valer 0 , ou z vale 0 , ou x - y vale 0 ! Na primeira opção, colocando z = 0 nas restrição, teremos:

x + y + 0 = 1 x 2 + y 2 + 0 2 = 1

Pela primeira equação, temos que x = 1 - y . Se colocarmos esse valor na segunda, fica:

1 - y 2 + y 2 = 1

1 - 2 y + y 2 + y 2 = 1

Cortando os 1 e juntando os y 2 :

- 2 y + 2 y 2 = 0

Dividindo por 2 colocando o y em evidência:

y y - 1 = 0

E pronto! Temos, dessa equação que ou y = 0 , ou y = 1 !

Passo 11

Para descobrir os valores de x , basta colocar os valores de y em uma das restrições. Como a primeira é menos chata (não tem nada ao quadrado), vamos escolher essa. Colocando y = 1 na primeira restrição, teremos:

x + 1 + 0 = 1

x = 0

Colocando y = 0 na primeira restrição, teremos:

x + 0 + 0 = 1

x = 1

Como quando y = 0 , x = 1 e quando x = 0 , y = 1 , ambas as conclusões tendo z = 0 , formamos os pontos 1,0 , 0 e 0,1 , 0 !

Passo 12

Beleza, agora vamos voltar na conta do determinante. Tínhamos:

z x - y = 0

Então ainda vamos testar a opção, de x - y = 0 . Se assumirmos isso, então podemos fazer que x = y . Colocando essa relação das restrições, teremos:

y + y + z = 1 y 2 + y 2 + z 2 = 1

Ou seja,

2 y + z = 1 2 y 2 + z 2 = 1

E da primeira equação temos que z = 1 - 2 y . Colocando esse valor na segunda equação, teremos:

2 y 2 + 1 - 2 y 2 = 1

2 y 2 + 1 - 4 y + 4 y 2 = 1

Cortando os 1 e juntando os y 2 , temos:

6 y 2 - 4 y = 0

Colocando y em evidência,

y 6 y - 4 = 0

E daí tiramos que, ou y = 0 , ou y = 2 3 ;) Mesma coisa que no passo anterior!

Passo 13

Colocando esses dois valores que encontramos para y na primeira equação da restrição temos, lembrando que estamos adotando x = y , para y = 0 :

0 + 0 + z = 1

E pronto... z = 1 !

Colocando o segundo valor na primeira restrição, teremos:

2 3 + 2 3 + z = 1

z = - 1 3

Como agora temos os valores de z para cada " x = y " correspondente, formamos os pontos 0,0 , 1 e 2 3 , 2 3 ,   - 1 3 .

Passo 14

E, finalmente agora que temos os pontos, podemos ver seus valores correspondentes para f e definir quais são máximo e quais são mínimos! Lembrando que

f x , y , z = x 2 + y 2 - z 2 + 3

Colocando o ponto 1,0 , 0 , teremos:

f 1,0 , 0 = 1 2 + 0 2 - 0 2 + 3 = 4

Colocando o ponto 0,1 , 0 , teremos:

f 0,1 , 0 = 0 2 + 1 2 - 0 2 + 3 = 4

Colocando o ponto 0,0 , 1 , teremos:

f 0,0 , 1 = 0 2 + 0 2 - 1 2 + 3 = 2

Colocando o ponto 2 3 , 2 3 , - 1 3 , teremos:

f 2 3 , 2 3 , - 1 3 = 2 3 2 + 2 3 2 - 1 3 2 + 3 = 3 + 7 9

E com isso, temos que 1,0 , 0 e 0,1 , 0 são pontos de máximo, enquanto 0,0 , 1 é ponto de mínimo.

Resposta

a) Ponto de máximo: x , y , 0 . Ponto de mínimo: 0,0 , ± 1

b)   1,0 , 0 e 0,1 , 0 são pontos de máximo, enquanto 0,0 , 1 é ponto de mínimo.

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