Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Teoria Completa

Agora chegou a parte da matéria com nome legal! Pra quando seu amigo de humanas perguntar o que você está estudando, você responder “ah, nada de mais, só o método dos multiplicadores de Lagrange com uma restrição”.

Basicamente, esse método serve pra calcular máximos e mínimos de uma função de várias variáveis, mas não no domínio todo da função, e sim só no pedaço dela que respeita a restrição dada.

Mas como aplicamos Lagrange em uma função de 2 variáveis?

Pra usar os multiplicadores de Lagrange, precisamos de 2 coisas: uma função f x , y pra maximizar ou minimizar, e uma restrição do tipo g x , y = 0 .

Geometricamente, isso significa que vamos procurar o máximo (ou mínimo) de f somente em cima da curva de equação g x , y = 0 , e não no domínio todo.

Para encontrar os pontos de máximo e mínimo sobre essa curva basta resolver o seguinte:

∇ f x , y = λ ∇ g x , y

Onde λ é uma incógnita (o famoso multiplicador de Lagrange!).

Assim, para achar os máximos e mínimos da função

f x , y = 1 - x - y

Em cima da circunferência x 2 + y 2 = 1 , vamos começar calculando os gradientes de f e g .

∇ f x , y = - 1 , - 1

Mas quem é g ( x , y ) ?

Oras, g é essa circunferência aí que ele nos deu, mas temos que arrumar sua expressão para que o lado esquerdo seja igual a zero. Assim

g x , y = x 2 + y 2 - 1 = 0

∇ g x , y = 2 x ,   2 y

Agora sim, vamos usar o multiplicador de Lagrange.

∇ f = λ ∇ g

⇒ - 1 ,   - 1 = λ 2 x ,   2 y

Igualando termo a termo e adicionando a equação da curva de restrição, ficamos com o sistema

- 1 = 2 λ x   - 1 = 2 λ y   x 2 + y 2 = 1

Podemos dividir as duas primeiras equações uma pela outra, já que pelo próprio sistema, sabemos que 2 λ y ≠ 0 . Assim, chegamos a

x = y

Substituindo esse resultado na terceira equação, vemos que

y = ± 1 2

Logo:

x = ± 1 2

Então encontramos quatro pontos:

P 1 = 1 2 , 1 2   ; P 2 = - 1 2 , - 1 2 ;   P 3 = - 1 2 , 1 2 ; P 4 = 1 2 , - 1 2

Para saber quem é ponto de máximo e quem é ponto de mínimo, temos que substituir na expressão de f e ver seus valores.

f x , y = 1 - x - y

Para o ponto P 1 :

f P 1 = f 1 2 , 1 2

⇒ f P 1 = 1 - 2

Para o ponto P 2 :

f P 2 = f - 1 2 , - 1 2

⇒ f P 2 = 1 + 2

Para o ponto P 3 :

f P 3 = f - 1 2 , 1 2

⇒ f P 3 = 1

E para o ponto P 4 :

f P 4 = f 1 2 , - 1 2

⇒ f P 4 = 1

Como f P 2 > f P 3 = f P 4 > f P 1 então P 2 é o ponto de máximo e P 1 é o ponto de mínimo em cima da circunferência.

Podemos visualizar esses pontos no gráfico:

Esse plano vermelho é o gráfico da função f . Os pontos P 1 e P 2 estão indicados em azul. De fato, dá pra ver que eles correspondem ao máximo e mínimo da função em cima da circunferência x 2 + y 2 = 1 .

Assim, nosso passo a passo é:

  1. Calcular gradiente da função: ∇ f
  2. Pega a equação da curva e joga tudo para o lado esquerdo e deixe zero no lado direito
  3. Definir função g x , y sendo o lado esquerdo da equação acima
  4. Calcular gradiente de g x , y
  5. Utilizar multiplicador de Lagrange: ∇ f = λ ∇ g
  6. Adicionar a equação da curva ao sistema encontrado acima
  7. Resolver o sistema
  8. Substituir pontos encontrados e verificar quais são os pontos de máximo e mínimo

Método alternativo por matriz

Existe uma outra maneira de se usar os multiplicadores de Lagrange, e algumas faculdades cobram isso. Se não é o caso da sua faculdade, vá com Deus e pode passar batido por isso aqui!!

A diferença é que no sistema vamos substituir a equação ∇ f ( x , y ) = λ ∇ g ( x , y ) pela equação do determinante

f x f y g x g y = 0

f x g y - f y g x = 0

⇒ f x g y = f y g x

Com essa equação mais a da curva montamos um sistema e resolvemos.

No exemplo que fizemos a gente tinha:

∇ f x , y = - 1 ,   - 1

∇ g x , y = 2 x ,   2 y

Então o determinante fica: - 1 - 1 2 x 2 y = - 2 y + 2 x = 0

x = y

Que nem achamos da outra forma! Daí pra frente a resolução é igual, basta substituir na equação da circunferência que a gente obtém os pontos de máximo e mínimo 1 2 , 1 2   e - 1 2 , - 1 2 .

Mas como aplicamos Lagrange em uma função de 3 variáveis?

Pra funções de 3 variáveis, o procedimento vai ser muito parecido.

Vamos calcular os pontos de máximo e mínimo absolutos de f x , y , z = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 - z na esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

A diferença é que nossa restrição sai do plano para o espaço. Então, nossa restrição deixa de ser uma curva e passa a ser uma superfície.

Aqui, temos

f x , y , z = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 - z

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

O passo a passo é quase idêntico:

  1. Calcular gradiente da função: ∇ f
  2. Pega a equação da superfície e joga tudo para o lado esquerdo e deixe zero no lado direito
  3. Definir função g x , y , z sendo o lado esquerdo da equação acima
  4. Calcular gradiente de g x , y , z
  5. Utilizar multiplicador de Lagrange: ∇ f = λ ∇ g
  6. Adicionar a equação da superfície ao sistema encontrado acima
  7. Resolver o sistema
  8. Substituir pontos encontrados e verificar quais são os pontos de máximo e mínimo

Viu? Igualzinho! A única diferença é que vamos ter mais conta. O nosso sistema vai ser algo assim

2 x = λ 2 x 1 4 y = λ 2 y 2 6 z - 1 = λ 2 z 3 x 2 + y 2 + z 2 = 1 4

Como eu sei que você já está cansado de ler essa teoria, vamos deixar a resolução detalhada desse exemplo nos exercícios de fixação.

Método alternativo por matriz para 3 variáveis

Cara quando tiver uma função de 3 variáveis, f ( x , y , z ) , com uma restrição de 3 variáveis, g ( x , y , z ) , você vai resolver esse sistema aqui:

∇ f x , y , z   ×   ∇ g x , y , z = i j k f x f y f z g x g y g z = 0 ,   0 ,   0

O resultado vai ser igualzinho, só que as contas em geral vão ser mais fáceis.

Analisando dentro do domínio...

Cara analisar os pontos de máximo e mínimo em cima da restrição não tem muita graça. Vai que tem um ponto de máximo dentro do domínio... É sobre isso que vou falar agora.

Por exemplo, vamos achar os pontos de máximo e mínimo da função

f x , y = 2 x y - 2

no interior do disco x 2 + y 2 ≤ 1 .

Primeiro, fazemos a analise em cima da fronteira, igual o que eu te mostrei lá em cima! Fazendo isso, você vai achar os seguintes pontos:

1 2 , 1 2 , - 1 2 , - 1 2 , - 1 2 , 1 2 e 1 2 , - 1 2

Depois, buscamos os pontos críticos de f dentro do domínio, fazendo:

∇ f x , y = 0 ,   0

2 y ,   2 x = 0 ,   0

Daí tiramos que o único ponto crítico da f é 0 ,   0 . Verificamos que ele está no interior do disco:

x 2 + y 2 = 0 ≤ 1

Pra finalizar, calculamos o valor da função em cada um dos pontos e ficamos com:

f 0 ,   0 = - 2 , f 1 2 , 1 2 = - 1 , f - 1 2 , - 1 2 = - 1 f - 1 2 , 1 2 = - 3 , f 1 2 , - 1 2 = - 3

Pronto! Achamos os extremos de f no disco x 2 + y 2 ≤ 1 .

Os pontos de máximo são 1 2 , 1 2 e - 1 2 , - 1 2 , com valor máximo igual a - 1 , e os pontos de mínimo são - 1 2 , 1 2 e 1 2 , - 1 2 , com valor mínimo - 3 .

Agora voa lá pros exercícios que tem umas questões cascudas te esperando! ;)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Determine o ponto da reta x + 2 y = 1 cujo produto das coordenadas seja máximo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A função a ser maximizada é o produto das coordenadas, ou seja:

f x , y = x y

Passo 2

Calcular gradiente da função:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Fazendo as derivadas parciais, vamos ter

∇ f x , y = y ,   x

Passo 3

Pegar equação da curva e jogar tudo para o lado esquerdo da equação e deixar zero no lado direito:

Equação da curva:

x + 2 y = 1

⇒ x + 2 y - 1 = 0

Passo 4

Definir função g x , y sendo o lado esquerdo da equação acima:

g x , y = x + 2 y - 1

Passo 5

Calcular gradiente de g x , y :

∇ g x , y = 1 ,   2

Passo 6

Utilizar multiplicador de Lagrange:

∇ f = λ ∇ g

⇒ y ,   x = λ 1 ,   2

Passo 7

Igualar coordenadas e encontrar sistema:

y = λ 1   x = λ 2

Passo 8

Adicionar a equação da curva ao sistema encontrado acima:

Equação da curva: x + 2 y = 1

y = λ   x = 2 λ   x + 2 y = 1

Passo 9

Resolver o sistema:

Pelas duas primeiras equações:

2 λ = 2 y = x

⇒ x = 2 y

Substituindo na terceira equação:

x + 2 y = 1

⇒ 2 y + 2 y = 1

⇒ 4 y = 1

⇒ y = 1 4

Substituindo para encontrar x :

x = 2 y

⇒ x = 2 1 4

⇒ x = 1 2

Logo, o ponto que maximiza o produto das coordenadas é

1 2 , 1 4

Resposta

1 2 , 1 4

Exercício Resolvido #2

Waldecir Bianchini, Aprendendo Cálculo de Várias Variáveis, exemplo 6.9 p. 122

Determinar os extremos da função z = f x , y = x 2 + y 2 - 2 x - 2 y + 3 sobre a curva C : 4 x 2 - 8 x + y 2 - 2 y + 1 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Calcular gradiente da função:

∇ f x , y = 2 x - 2 ,   2 y - 2

Passo 2

Pega a equação da curva e joga tudo para o lado esquerdo e deixe zero no lado direito:

4 x 2 - 8 x + y 2 - 2 y + 1 = 0

Já está!

Passo 3

Definir função g x , y sendo o lado esquerdo da equação acima:

g x , y = 4 x 2 - 8 x + y 2 - 2 y + 1

Passo 4

Calcular gradiente de g x , y :

∇ g x , y = 8 x - 8 ,   2 y - 2

Passo 5

Utilizar multiplicador de Lagrange:

∇ f = λ ∇ g

⇒ 2 x - 2 ,   2 y - 2 = λ 8 x - 8 ,   2 y - 2

Passo 6

Igualar coordenadas e encontrar sistema:

2 x - 2 = λ 8 x - 8   2 y - 2 = λ 2 y - 2

Passo 7

Adicionar equação da curva ao sistema encontrado acima:

Equação da curva: 4 x 2 - 8 x + y 2 - 2 y + 1 = 0

Completando quadrados:

4 x 2 - 8 x + y 2 - 2 y + 1 = 0

4 x 2 - 2 x + 1 + y 2 - 2 y + 1 = 4

⇒ 4 x - 1 2 + y - 1 2 = 4

Logo:

2 x - 2 = λ 8 x - 8   2 y - 2 = λ 2 y - 2   4 x - 1 2 + y - 1 2 = 4

Colocando algumas coisas em evidência:

x - 1 = 4 λ x - 1   y - 1 = λ y - 1   4 x - 1 2 + y - 1 2 = 4

Jogando as duas primeiras equações para o lado esquerdo:

⇒ 4 λ - 1 x - 1 = 0   λ - 1 y - 1 = 0   4 x - 1 2 + y - 1 2 = 4

Passo 8

Resolver o sistema:

Essa é a parte mais Mandrake da história. Muitas vezes temos que dar uma olhada atenta na forma mais simples de resolver.

Pela primeira equação, temos que

4 λ - 1 = 0 ou x - 1 = 0

1ª hipótese: 4 λ - 1 = 0 :

⇒ λ = 1 4

Pela segunda equação:

λ - 1 ⏟ ≠ 0 y - 1 = 0

⇒ y - 1 = 0

⇒ y = 1

E pela terceira equação:

4 x - 1 2 + y - 1 2 ⏟ = 0 = 4

⇒ 4 x - 1 2 = 4

⇒ x - 1 2 = 1

⇒ x - 1 = ± 1

⇒ x = 1 ± 1

Portanto x = 2 ou x = 0

Então dois pontos satisfazem essa hipótese:

P 1 = 2,1   ; P 2 = 0,1

2ª hipótese: x - 1 = 0

⇒ x = 1

Pela terceira equação:

4 x - 1 2 ⏟ = 0 + y - 1 2 = 4

⇒ y - 1 2 = 4

⇒ y - 1 = ± 2

⇒ y = 1 ± 2

Portanto y = 3 ou y = - 1

Então outros dois pontos satisfazem essa segunda hipótese:

P 3 = 1,3   ; P 4 = 1 , - 1

Passo 9

Substituir pontos encontrados:

Antes de tudo, podemos completar quadrados na expressão da função f para facilitar as contas:

f x , y = x 2 + y 2 - 2 x - 2 y + 3

⇒ f x , y = x 2 - 2 x + 1 + y 2 - 2 y + 1 + 3 - 1 - 1

⇒ f x , y = x - 1 2 + y - 1 2 + 1

Substituindo P 1 :

f P 1 = f 2,1

⇒ f P 1 = 2 - 1 2 + 1 - 1 2 + 1

⇒ f P 1 = 1 2 + 0 2 + 1

⇒ f P 1 = 2

Substituindo P 2 :

f P 2 = f 0,1

⇒ f P 2 = 0 - 1 2 + 1 - 1 2 + 1

⇒ f P 2 = - 1 2 + 0 2 + 1

⇒ f P 2 = 2

Substituindo P 3 :

f P 3 = f 1,3

⇒ f P 3 = 1 - 1 2 + 3 - 1 2 + 1

⇒ f P 3 = 0 2 + 2 2 + 1

⇒ f P 3 = 5

Substituindo P 4 :

f P 4 = f 1 , - 1

⇒ f P 4 = 1 - 1 2 + - 1 - 1 2 + 1

⇒ f P 4 = 0 2 + - 2 2 + 1

⇒ f P 4 = 5

Passo 10

Verificar quais são os pontos de máximo e mínimo:

Notemos que

f P 1 = f P 2 = 2

f P 3 = f P 4 = 5

Logo, os pontos P 1 e P 2 são pontos de mínimo e os pontos P 3 e P 4 são pontos de máximo.

Resposta

Pontos de máximo: 1,3 e 1 , - 1

Pontos de mínimo: 2,1 e 0,1

Exercício Resolvido #3

Cálculo IIB UFF, Lista 9, exercício 35

Ache o volume máximo do paralelepípedo no primeiro octante inscrível no elipsóide

16 x 2 + 4 y 2 + 9 z ² = 144

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Sim, a questão é meio bizarra, mas não se assuste!

Se olharmos a fundo, temos como pensar o seguinte: Existe uma função, Volume, que devemos achar seu máximo. Mas o volume pode crescer o quanto quisermos, basta aumentar as dimensões do paralelepipedo, não é? Neste caso, não, porque existe uma outra função, que limita o nosso volume, que é a equação do elipsóide!

Então, com certeza, teremos que usar os multiplicadores de Lagrange, pois temos que encontrar o ponto máximo de uma função com restrição!

Passo 2

Vamos começar definindo qual é essa nossa função Volume:

V x , y , z = x y z

Bem simples, né? Só chamar o comprimento, largura e altura de x , y e z e multiplicar, aí temos o volume!

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o gradiente da função Volume:

∇ V x , y , z = V x , V y , V z

Suas derivadas parciais são...

V x x , y , z = y z

V y x , y , z = x z

V z x , y , z = x y

Logo, o gradiente é:

∇ V x , y , z = y z , x z , x y

Passo 4

Beleza, agora vamos encontrar o gradiente da função do elipsóide:

16 x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 - 144 = 0

Podemos dividir tudo por 144 , pra simplificar:

x 2 9 + y 2 36 + z 2 16 - 1 = 0

Lembre-se, antes temos que jogar tudo pro lado esquerdo (dessa vez não faz tanta diferença...)

Enfim, calculando as derivadas parciais do elipsóide:

E x x , y , z = 2 x 9

E y x , y , z = 2 y 36

E z x , y , z = 2 z 16

Assim, nosso vetor gradiente da função do elipsóide fica:

∇ E x , y , z = 2 x 9 , 2 y 36 , 2 z 16

Passo 5

Finalmente! Agora podemos equacionar os multiplicadores de LaGrange!

∇ V x , y , z = λ ∇ E x , y , z

y z , x z , x y = λ 2 x 9 , 2 y 36 , 2 z 16

E então é continuar decompondo essa expressão:

λ 2 x 9 = y z → 9 = λ 2 x y z