Multiplicadores de Lagrange

Teoria Completa

E aí? Vamos continuar nossos estudos de Cálculo e entender mais sobre Multiplicadores de Lagrange. Então vamos começar bem direto, olha esse gráfico aqui:

Nós temos o centro do nosso eixo cartesiano atrás de um plano rachurado de vermelho, e nesse plano nós conseguimos ver um circulo desenhado. Show, agora esquece e gráfico e vamos falar de Multiplicadores de Lagrange e fazer um exercício:

Com método dos Multiplicadores de Lagrange, nós conseguimos descobrir máximos e mínimos de função de várias variáveis. Até agora a gente utilizava as primeira e a segunda derivada de um função para localizar os pontos máximos ou mínimos da função, agora vamos utilizar esse novo método para trabalhar com funções com mais de uma variável. Teremos que resolver essa equação para resolver pelo método de Lagrange:

$$\nabla f(x,y)=\lambda\nabla g(x,y)$$

Onde:

  • $f(x,y)$ é uma figura criada por essa função
  • $\nabla f(x,y)$ é o gradiente de $f(x,y)$
  • $g(x,y)$ é uma curva que possui a restrição $g(x,y)=0$
  • $\nabla g(x,y)$ é o gradiente de $g(x,y)$
  • $\lambda$ é a constante que representa o multiplicador de Lagrange

Para usar esse método teremos que restringir uma curva dentro de uma figura, e procurar os máximos e mínimos dessa curva conforme a figura. Olha esse exemplo:

Passo 1

Temos uma figura que é aquele plano hachurado de vermelho que vimos no primeiro gráfico, e ele é representada pela nossa função:

$$f(x,y)=1-x-y$$

E nós vamos buscar por máximos e mínimos da nossa figura dentro da curva:

$$x^2+y^2=1$$

Que representa uma circunferência de raio $1$.

Passo 2

Só que para aplicar o método nós impomos a restrição que $g(x,y)=0$, logo:

$$g(x,y)=x^2+y^2-1=0$$

Passo 3

Vamos agora calcular os gradientes:

$$\nabla f(x,y)=\Big(\frac{\partial (1-x-y)}{\partial x},\frac{\partial (1-x-y)}{\partial y}\Big)=(-1,-1)$$
$$\nabla g(x,y)=\Big(\frac{\partial (x^2+y^2-1)}{\partial x},\frac{\partial (x^2+y^2-1)}{\partial y}\Big)=(2x,2y)$$

Passo 4

Aplicando a fórmula:

$$\nabla f(x,y)=\lambda\nabla g(x,y)$$
$$(-1,-1)=\lambda(2x,2y)$$

Abrindo essas equações em um sistema podemos escrever:

$$\begin{cases} -1=2\lambda x \\ -1=2\lambda y \\ x^2+y^2=1 \end{cases}$$

Agora temos que resolver esse sistema.

Passo 5

Sabemos que $2\lambda x \neq 0 $ e que $2\lambda y \neq 0$, logo podemos dividir a primeira equação pela segunda:

$$\frac{-1}{-1}=\frac{2\lambda x}{2\lambda y}$$

E descobrir:

$$1=\frac{x}{y}$$
$$x=y$$

Substituindo isso na terceira equação, encontramos:

$$x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Logo:

$$y=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Passo 6

Com isso encontramos 4 possíveis pontos, candidatos a mínimos ou máximos da curva dentro dessa figura, são eles:

$$P_1=\Big(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)$$
$$P_2=\Big(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)$$
$$P_3=\Big(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)$$
$$P_4=\Big(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)$$

Dessa forma, descobrimos quatro pontos que fazem parte da circunferência e são pontos de máximo ou mínimo. Logo para descobrir se são máximos ou mínimos, precisamos substituí-los em $f(x,y)$.

Passo 7

Lembrando que:

$$f(x,y)=1-x-y$$

Para cada ponto, temos os respectivos valores:

$$f(P_1)=f\Big(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)=1-\sqrt{2}$$
$$f(P_2)=f\Big(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)=1+\sqrt{2}$$
$$f(P_3)=f\Big(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)=1$$
$$f(P_4)=f\Big(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)=1$$

Então temos que $P_3=P_4$ e que $P_2$ é o ponto de máximo e $P_1$ é o ponto de mínimo.

Passo 8

Agora podemos visualizar além do plano e da circunferência, e podemos ver os pontos $P_1$ e $P_2$ o mínimo e o máximo dessa curva respectivamente.

UFAA, que exemplo enorme né? Mas tem todos os passos necessários para você entender esse método de descobrir máximos e mínimos em funções de várias variáveis.

No nosso site, nessa página você encontra como utilizar esse mesmo método, mas resolvendo utilizando matrizes, além de 10 exercícios resolvidos pelos nossos Experts e pensados com todo o carinho para você mandar bem na sua prova.

Confere esse exercício resolvido em vídeo, de uma Lista de Cálculo IIB da UFF, sobre a maximizar o volume de um paralelepípedo inscrito em um elipsoide :

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Determine o ponto da reta x + 2 y = 1 cujo produto das coordenadas seja máximo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A função a ser maximizada é o produto das coordenadas, ou seja:

f x , y = x y

Passo 2

Calcular gradiente da função:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Fazendo as derivadas parciais, vamos ter

∇ f x , y = y ,   x

Passo 3

Pegar equação da curva e jogar tudo para o lado esquerdo da equação e deixar zero no lado direito:

Equação da curva:

x + 2 y = 1

⇒ x + 2 y - 1 = 0

Passo 4

Definir função g x , y sendo o lado esquerdo da equação acima:

g x , y = x + 2 y - 1

Passo 5

Calcular gradiente de g x , y :

∇ g x , y = 1 ,   2

Passo 6

Utilizar multiplicador de Lagrange:

∇ f = λ ∇ g

⇒ y ,   x = λ 1 ,   2

Passo 7

Igualar coordenadas e encontrar sistema:

y = λ 1   x = λ 2

Passo 8

Adicionar a equação da curva ao sistema encontrado acima:

Equação da curva: x + 2 y = 1

y = λ   x = 2 λ   x + 2 y = 1

Passo 9

Resolver o sistema:

Pelas duas primeiras equações:

2 λ = 2 y = x

⇒ x = 2 y

Substituindo na terceira equação:

x + 2 y = 1

⇒ 2 y + 2 y = 1

⇒ 4 y = 1

⇒ y = 1 4

Substituindo para encontrar x :

x = 2 y

⇒ x = 2 1 4

⇒ x = 1 2

Logo, o ponto que maximiza o produto das coordenadas é

1 2 , 1 4

Resposta

1 2 , 1 4

Exercício Resolvido #2

Waldecir Bianchini, Aprendendo Cálculo de Várias Variáveis, exemplo 6.9 p. 122

Determinar os extremos da função z = f x , y = x 2 + y 2 - 2 x - 2 y + 3 sobre a curva C : 4 x 2 - 8 x + y 2 - 2 y + 1 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Calcular gradiente da função:

∇ f x , y = 2 x - 2 ,   2 y - 2

Passo 2

Pega a equação da curva e joga tudo para o lado esquerdo e deixe zero no lado direito:

4 x 2 - 8 x + y 2 - 2 y + 1 = 0

Já está!

Passo 3

Definir função g x , y sendo o lado esquerdo da equação acima:

g x , y = 4 x 2 - 8 x + y 2 - 2 y + 1

Passo 4

Calcular gradiente de g x , y :

∇ g x , y = 8 x - 8 ,   2 y - 2

Passo 5

Utilizar multiplicador de Lagrange:

∇ f = λ ∇ g

⇒ 2 x - 2 ,   2 y - 2 = λ 8 x - 8 ,   2 y - 2

Passo 6

Igualar coordenadas e encontrar sistema:

2 x - 2 = λ 8 x - 8   2 y - 2 = λ 2 y - 2

Passo 7

Adicionar equação da curva ao sistema encontrado acima:

Equação da curva: 4 x 2 - 8 x + y 2 - 2 y + 1 = 0

Completando quadrados:

4 x 2 - 8 x + y 2 - 2 y + 1 = 0

4 x 2 - 2 x + 1 + y 2 - 2 y + 1 = 4

⇒ 4 x - 1 2 + y - 1 2 = 4

Logo:

2 x - 2 = λ 8 x - 8   2 y - 2 = λ 2 y - 2   4 x - 1 2 + y - 1 2 = 4

Colocando algumas coisas em evidência:

x - 1 = 4 λ x - 1   y - 1 = λ y - 1   4 x - 1 2 + y - 1 2 = 4

Jogando as duas primeiras equações para o lado esquerdo:

⇒ 4 λ - 1 x - 1 = 0   λ - 1 y - 1 = 0   4 x - 1 2 + y - 1 2 = 4

Passo 8

Resolver o sistema:

Essa é a parte mais Mandrake da história. Muitas vezes temos que dar uma olhada atenta na forma mais simples de resolver.

Pela primeira equação, temos que

4 λ - 1 = 0 ou x - 1 = 0

1ª hipótese: 4 λ - 1 = 0 :

⇒ λ = 1 4

Pela segunda equação:

λ - 1 ⏟ ≠ 0 y - 1 = 0

⇒ y - 1 = 0

⇒ y = 1

E pela terceira equação:

4 x - 1 2 + y - 1 2 ⏟ = 0 = 4

⇒ 4 x - 1 2 = 4

⇒ x - 1 2 = 1

⇒ x - 1 = ± 1

⇒ x = 1 ± 1

Portanto x = 2 ou x = 0

Então dois pontos satisfazem essa hipótese:

P 1 = 2,1   ; P 2 = 0,1

2ª hipótese: x - 1 = 0

⇒ x = 1

Pela terceira equação:

4 x - 1 2 ⏟ = 0 + y - 1 2 = 4

⇒ y - 1 2 = 4

⇒ y - 1 = ± 2

⇒ y = 1 ± 2

Portanto y = 3 ou y = - 1

Então outros dois pontos satisfazem essa segunda hipótese:

P 3 = 1,3   ; P 4 = 1 , - 1

Passo 9

Substituir pontos encontrados:

Antes de tudo, podemos completar quadrados na expressão da função f para facilitar as contas:

f x , y = x 2 + y 2 - 2 x - 2 y + 3

⇒ f x , y = x 2 - 2 x + 1 + y 2 - 2 y + 1 + 3 - 1 - 1

⇒ f x , y = x - 1 2 + y - 1 2 + 1

Substituindo P 1 :

f P 1 = f 2,1

⇒ f P 1 = 2 - 1 2 + 1 - 1 2 + 1

⇒ f P 1 = 1 2 + 0 2 + 1

⇒ f P 1 = 2

Substituindo P 2 :

f P 2 = f 0,1

⇒ f P 2 = 0 - 1 2 + 1 - 1 2 + 1

⇒ f P 2 = - 1 2 + 0 2 + 1

⇒ f P 2 = 2

Substituindo P 3 :

f P 3 = f 1,3

⇒ f P 3 = 1 - 1 2 + 3 - 1 2 + 1

⇒ f P 3 = 0 2 + 2 2 + 1

⇒ f P 3 = 5

Substituindo P 4 :

f P 4 = f 1 , - 1

⇒ f P 4 = 1 - 1 2 + - 1 - 1 2 + 1

⇒ f P 4 = 0 2 + - 2 2 + 1

⇒ f P 4 = 5

Passo 10

Verificar quais são os pontos de máximo e mínimo:

Notemos que

f P 1 = f P 2 = 2

f P 3 = f P 4 = 5

Logo, os pontos P 1 e P 2 são pontos de mínimo e os pontos P 3 e P 4 são pontos de máximo.

Resposta

Pontos de máximo: 1,3 e 1 , - 1

Pontos de mínimo: 2,1 e 0,1

Exercício Resolvido #3

Cálculo IIB UFF, Lista 9, exercício 35

Ache o volume máximo do paralelepípedo no primeiro octante inscrível no elipsóide

16 x 2 + 4 y 2 + 9 z ² = 144

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Passo 1

Sim, a questão é meio bizarra, mas não se assuste!

Se olharmos a fundo, temos como pensar o seguinte: Existe uma função, Volume, que devemos achar seu máximo. Mas o volume pode crescer o quanto quisermos, basta aumentar as dimensões do paralelepipedo, não é? Neste caso, não, porque existe uma outra função, que limita o nosso volume, que é a equação do elipsóide!

Então, com certeza, teremos que usar os multiplicadores de Lagrange, pois temos que encontrar o ponto máximo de uma função com restrição!

Passo 2

Vamos começar definindo qual é essa nossa função Volume:

V x , y , z = x y z

Bem simples, né? Só chamar o comprimento, largura e altura de x , y e z e multiplicar, aí temos o volume!

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o gradiente da função Volume:

∇ V x , y , z = V x , V y , V z

Suas derivadas parciais são...

V x x , y , z = y z

V y x , y , z = x z

V z x , y , z = x y

Logo, o gradiente é:

∇ V x , y , z = y z , x z , x y

Passo 4

Beleza, agora vamos encontrar o gradiente da função do elipsóide:

16 x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 - 144 = 0

Podemos dividir tudo por 144 , pra simplificar:

x 2 9 + y 2 36 + z 2 16 - 1 = 0

Lembre-se, antes temos que jogar tudo pro lado esquerdo (dessa vez não faz tanta diferença...)

Enfim, calculando as derivadas parciais do elipsóide:

E x x , y , z = 2 x 9

E y x , y , z = 2 y 36

E z x , y , z = 2 z 16

Assim, nosso vetor gradiente da função do elipsóide fica:

∇ E x , y , z = 2 x 9 , 2 y 36 , 2 z 16

Passo 5

Finalmente! Agora podemos equacionar os multiplicadores de LaGrange!

∇ V x , y , z = λ ∇ E x , y , z

y z , x z , x y = λ 2 x 9 , 2 y 36 , 2 z 16

E então é continuar decompondo essa expressão:

λ 2 x 9 = y z → 9 = λ 2 x y z

λ 2 y 36 = x z → 36 = λ 2 y x z

λ 2 z 16 = x y →   16 = λ 2 z x y

Passo 6

E, como temos agora os valores dos denominadores das variáveis do elipsóide em função do x , y , z e λ   é só colocar na própria equação dele! Fica assim:

x 2 9 + y 2 36 + z 2 16 - 1 = 0

Colocando os valores dos denominadores...

x 2 λ 2 x y z + y 2 λ 2 y x z + z 2 λ 2 z x y - 1 = 0

Desenvolvendo isso, fica...

x y z 2 λ + x y z 2 λ + x y z 2 λ = 1

x y z 2 + x y z 2 + x y z 2 = λ

3 x y z 2 = λ

Passo 7

Com os valores de lambda posso descobrir os valores de   x ,   y ,   e   z ! Olha como é simples:

Para x temos:

9 = λ 2 x y z

com λ = 3 x y z 2 fica

9 = 3 x y z 2 2 x y z

9 = 3 x 2

x = 3 3

Fazemos agora o mesmo para y e z :

36 = 3 x y z 2 2 y x z

y = 6 3

e

16 = 3 x y z 2 2 z x y

z = 4 3

Passo 8

Agora vem a parte mais fácil! Escrever nossa função volume com os x ,   y ,   e   z que encontramos!

V x , y , z = x y z

V x , y , z = 3 3 6 3 4 3

V x , y , z = 3.6 . 4 3 3

Resposta

V x , y , z = 24 3

Exercício Resolvido #4

Cálculo 2 UFRJ, PF 2013.2, questão 2

Deseja-se construir uma caixa retangular de 24   c m 3 de volume. O custo do material a ser utilizado é de R $   8,00 por c m 2 para a tampa e para o fundo, R $   3,00 por c m 2 para um par de lados opostos e R $   2,00 por c m 2 para o outro par de lados opostos. Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo.

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Passo 1

Temos que modelar o problema numa linguagem matemática.

Digamos que as dimensões da caixa são x ,   y e z . Então o volume da caixa é V = x y z = 24   c m 3 .

Vamos fazer um desenho dessa caixa pra gente visualizar melhor, show?