Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Teoria Completa

Agora chegou a parte da matéria com nome legal! Pra quando seu amigo de humanas perguntar o que você está estudando, você responder “ah, nada de mais, só o método dos multiplicadores de Lagrange com uma restrição”.

Basicamente, esse método serve pra calcular máximos e mínimos de uma função de várias variáveis, mas não no domínio todo da função, e sim só no pedaço dela que respeita a restrição dada.

Mas como aplicamos Lagrange em uma função de 2 variáveis?

Pra usar os multiplicadores de Lagrange, precisamos de 2 coisas: uma função f x , y pra maximizar ou minimizar, e uma restrição do tipo g x , y = 0 .

Geometricamente, isso significa que vamos procurar o máximo (ou mínimo) de f somente em cima da curva de equação g x , y = 0 , e não no domínio todo.

Para encontrar os pontos de máximo e mínimo sobre essa curva basta resolver o seguinte:

∇ f x , y = λ ∇ g x , y

Onde λ é uma incógnita (o famoso multiplicador de Lagrange!).

Assim, para achar os máximos e mínimos da função

f x , y = 1 - x - y

Em cima da circunferência x 2 + y 2 = 1 , vamos começar calculando os gradientes de f e g .

∇ f x , y = - 1 , - 1

Mas quem é g ( x , y ) ?

Oras, g é essa circunferência aí que ele nos deu, mas temos que arrumar sua expressão para que o lado esquerdo seja igual a zero. Assim

g x , y = x 2 + y 2 - 1 = 0

∇ g x , y = 2 x ,   2 y

Agora sim, vamos usar o multiplicador de Lagrange.

∇ f = λ ∇ g

⇒ - 1 ,   - 1 = λ 2 x ,   2 y

Igualando termo a termo e adicionando a equação da curva de restrição, ficamos com o sistema

- 1 = 2 λ x   - 1 = 2 λ y   x 2 + y 2 = 1

Podemos dividir as duas primeiras equações uma pela outra, já que pelo próprio sistema, sabemos que 2 λ y ≠ 0 . Assim, chegamos a

x = y

Substituindo esse resultado na terceira equação, vemos que

y = ± 1 2

Logo:

x = ± 1 2

Então encontramos quatro pontos:

P 1 = 1 2 , 1 2   ; P 2 = - 1 2 , - 1 2 ;   P 3 = - 1 2 , 1 2 ; P 4 = 1 2 , - 1 2

Para saber quem é ponto de máximo e quem é ponto de mínimo, temos que substituir na expressão de f e ver seus valores.

f x , y = 1 - x - y

Para o ponto P 1 :

f P 1 = f 1 2 , 1 2

⇒ f P 1 = 1 - 2

Para o ponto P 2 :

f P 2 = f - 1 2 , - 1 2

⇒ f P 2 = 1 + 2

Para o ponto P 3 :

f P 3 = f - 1 2 , 1 2

⇒ f P 3 = 1

E para o ponto P 4 :

f P 4 = f 1 2 , - 1 2

⇒ f P 4 = 1

Como f P 2 > f P 3 = f P 4 > f P 1 então P 2 é o ponto de máximo e P 1 é o ponto de mínimo em cima da circunferência.

Podemos visualizar esses pontos no gráfico:

Esse plano vermelho é o gráfico da função f . Os pontos P 1 e P 2 estão indicados em azul. De fato, dá pra ver que eles correspondem ao máximo e mínimo da função em cima da circunferência x 2 + y 2 = 1 .

Assim, nosso passo a passo é:

  1. Calcular gradiente da função: ∇ f
  2. Pega a equação da curva e joga tudo para o lado esquerdo e deixe zero no lado direito
  3. Definir função g x , y sendo o lado esquerdo da equação acima
  4. Calcular gradiente de g x , y
  5. Utilizar multiplicador de Lagrange: ∇ f = λ ∇ g
  6. Adicionar a equação da curva ao sistema encontrado acima
  7. Resolver o sistema
  8. Substituir pontos encontrados e verificar quais são os pontos de máximo e mínimo

Método alternativo por matriz

Existe uma outra maneira de se usar os multiplicadores de Lagrange, e algumas faculdades cobram isso. Se não é o caso da sua faculdade, vá com Deus e pode passar batido por isso aqui!!

A diferença é que no sistema vamos substituir a equação ∇ f ( x , y ) = λ ∇ g ( x , y ) pela equação do determinante

f x f y g x g y = 0

f x g y - f y g x = 0

⇒ f x g y = f y g x

Com essa equação mais a da curva montamos um sistema e resolvemos.

No exemplo que fizemos a gente tinha:

∇ f x , y = - 1 ,   - 1

∇ g x , y = 2 x ,   2 y

Então o determinante fica: - 1 - 1 2 x 2 y = - 2 y + 2 x = 0

x = y

Que nem achamos da outra forma! Daí pra frente a resolução é igual, basta substituir na equação da circunferência que a gente obtém os pontos de máximo e mínimo 1 2 , 1 2   e - 1 2 , - 1 2 .

Mas como aplicamos Lagrange em uma função de 3 variáveis?

Pra funções de 3 variáveis, o procedimento vai ser muito parecido.

Vamos calcular os pontos de máximo e mínimo absolutos de f x , y , z = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 - z na esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

A diferença é que nossa restrição sai do plano para o espaço. Então, nossa restrição deixa de ser uma curva e passa a ser uma superfície.

Aqui, temos

f x , y , z = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 - z

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

O passo a passo é quase idêntico:

  1. Calcular gradiente da função: ∇ f
  2. Pega a equação da superfície e joga tudo para o lado esquerdo e deixe zero no lado direito
  3. Definir função g x , y , z sendo o lado esquerdo da equação acima
  4. Calcular gradiente de g x , y , z
  5. Utilizar multiplicador de Lagrange: ∇ f = λ ∇ g
  6. Adicionar a equação da superfície ao sistema encontrado acima
  7. Resolver o sistema
  8. Substituir pontos encontrados e verificar quais são os pontos de máximo e mínimo

Viu? Igualzinho! A única diferença é que vamos ter mais conta. O nosso sistema vai ser algo assim

2 x = λ 2 x 1 4 y = λ 2 y 2 6 z - 1 = λ 2 z 3 x 2 + y 2 + z 2 = 1 4

Como eu sei que você já está cansado de ler essa teoria, vamos deixar a resolução detalhada desse exemplo nos exercícios de fixação.

Método alternativo por matriz para 3 variáveis

Cara quando tiver uma função de 3 variáveis, f ( x , y , z ) , com uma restrição de 3 variáveis, g ( x , y , z ) , você vai resolver esse sistema aqui:

∇ f x , y , z   ×   ∇ g x , y , z = i j k f x f y f z g x g y g z = 0 ,   0 ,   0

O resultado vai ser igualzinho, só que as contas em geral vão ser mais fáceis.

Analisando dentro do domínio...

Cara analisar os pontos de máximo e mínimo em cima da restrição não tem muita graça. Vai que tem um ponto de máximo dentro do domínio... É sobre isso que vou falar agora.

Por exemplo, vamos achar os pontos de máximo e mínimo da função

f x , y = 2 x y - 2

no interior do disco x 2 + y 2 ≤ 1 .

Primeiro, fazemos a analise em cima da fronteira, igual o que eu te mostrei lá em cima! Fazendo isso, você vai achar os seguintes pontos:

1 2 , 1 2 , - 1 2 , - 1 2 , - 1 2 , 1 2 e 1 2 , - 1 2

Depois, buscamos os pontos críticos de f dentro do domínio, fazendo:

∇ f x , y = 0 ,   0

2 y ,   2 x = 0 ,   0

Daí tiramos que o único ponto crítico da f é 0 ,   0 . Verificamos que ele está no interior do disco:

x 2 + y 2 = 0 ≤ 1

Pra finalizar, calculamos o valor da função em cada um dos pontos e ficamos com:

f 0 ,   0 = - 2 , f 1 2 , 1 2 = - 1 , f - 1 2 , - 1 2 = - 1 f - 1 2 , 1 2 = - 3 , f 1 2 , - 1 2 = - 3

Pronto! Achamos os extremos de f no disco x 2 + y 2 ≤ 1 .

Os pontos de máximo são 1 2 , 1 2 e - 1 2 , - 1 2 , com valor máximo igual a - 1 , e os pontos de mínimo são - 1 2 , 1 2 e 1 2 , - 1 2 , com valor mínimo - 3 .

Agora voa lá pros exercícios que tem umas questões cascudas te esperando! ;)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Determine o ponto da reta x + 2 y = 1 cujo produto das coordenadas seja máximo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A função a ser maximizada é o produto das coordenadas, ou seja:

f x , y = x y

Passo 2

Calcular gradiente da função:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Fazendo as derivadas parciais, vamos ter