Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro
Teoria
Regra da Cadeia Caso 2 Parâmetros
Hey, galerinha! Pensa numa função de duas variáveis, onde cada variável depende outras duas. Complicado imaginar? Então olhar o exemplo abaixo,
Repara que temos uma que depende de e , porém cada uma dessas variáveis depende de outras variáveis, no caso e .
Então, galerinha, agora eu te pergunto: como a gente deriva isso?
A gente poderia substituir o e na expressão de e calcular as derivadas parciais em relação a e , normalmente. Fica assim,
Repara que isso pode ser muito trabalhoso. Além disso, pode ser que o problema nem te de a expressão de .
E aí, como a gente faz? Vamos aproveitar e tentar achar a derivada no ponto .
Para isso usamos a regra da cadeia!
Aplicando a regra da cadeia para este caso, teríamos que fazer o somatório da derivada parcial para variável e em função dee também para . Fica assim,
E
Como queremos a derivada no ponto , é legal que a gente saiba o ponto correspondente. Então vamos substituir na fórmula:
Logo, quando
Então, galerinha, agora para resolver esse problema, nós vamos usar gradiente de .
Calculando o nosso gradiente e substituímos no ponto :
Fazemos o mesmo para o gradiente de :
E também para o gradiente de :
Agora é só substituir nas formulas:
E
Tuuudo isso pra dar zero no final ¬¬
Mas enfim, resumindo tudo, para o caso 2 da Regra da Cadeia, o passo a passo é:
- Descobrimos o ponto correspondente a
- Calculamos o gradiente de :
- Calculamos o gradiente de no ponto
- Calculamos o gradiente de
- Calculamos o gradiente de
- Calculamos os gradientes de e no ponto
- Substituímos nas formulas
E
Regra da Cadeia Caso 3 parâmetros
Agora, galera, e se a gente tiver a mesma situação, só que com 3 variáveis? Segue o exemplo,
E como a gente resolve agora? Então, é bem parecido com o caso anterior. A diferença é só que temos mais uma variável.
Assim, para este caso, a regra da cadeia é:
E
Então vamos calcular para o ponto .
A gente começa descobrindo os correspondentes .
Então temos que
Calculando o nosso gradiente e substituímos no ponto:
Fazemos o mesmo para o gradiente de :
E também para o gradiente de :
Por fim, para o gradiente de :
Agora é só substituir nas formulas. Começamos por
Agora,
Por fim,
Pronto! Então temos que
Nosso passo a passo será o mesmo, mas agora, os gradientes terão uma componente a mais, referente a variável . Beleza!?
Então partiu exercícios!
Regra da Cadeia Caso 3 parâmetros
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UERJ, Cálculo 2, Professora Renata, Lista 2, questão 3, item d
Determine e da função , tendo e
Passo 1
Tranquilo, só a gente jogar na fórmula da regra da cadeia!
E
Passo 2
Vamos, então, calcular o gradiente de f:
Passo 3
Ok, agora vamos calcular o gradiente de :
Passo 4
E o gradiente de :
Passo 5
Perfeito! Conseguimos tudo o que precisávamos. Agora é só pegar os valores encontrados e jogar nas fórmulas do passo !
A derivada de em relação a fica:
E a derivada de em relação a fica:
Resposta
Exercício Resolvido #2
CEFET, Cálculo 2, Professor Roberto Thomé, Lista 1, questão 17, item d
Use a regra da cadeia para determinar e em
sendo
Passo 1
Tranquilo, só a gente jogar na fórmula da regra da cadeia!
E
Trocando agora para a nossa função :
Para derivada em relação a :
Para derivada em relação a :
Passo 2
Vamos, então, calcular as derivadas de :
Passo 3
Ok, agora vamos calcular as derivadas de :
Passo 4
E as derivadas de :
Passo 5
E, por fim, as derivadas de :
Passo 6
Perfeito! Conseguimos tudo o que precisávamos. Agora é só pegar os valores encontrados e jogar nas fórmulas do passo !
A derivada de em relação a fica:
E a derivada de em relação a fica:
Resposta
Exercício Resolvido #3
PUC-RJ, Cálculo 2, P2 2015.1, questão 2
Seja , . Sejam e . Considere a composta .
Assuma:
Para e .
Calcule e em função de e .
Passo 1
Aqui a dica é a seguinte: o enunciado pediu pra assumir e como valores constantes. Isso, naturalmente, não foi por acaso! Vejamos, se colocamos o ponto em , teremos:
E, colocando esse ponto em , teremos:
E, olha só! Colocando esse e em , temos , que é exatamente o ponto no qual ele nos pede as derivadas :D Viu só? Isso parece “acaso”, mas nunca é XD
Passo 2
Agora que já sabemos que todo que aparecer na jogada vai ser esse ponto para gerar o , vamos apenas usar a regra da cadeia para calcular genericamente o valor dessas derivadas, e depois colocar os valores que tivermos em função de e !
Se desenvolvermos , simplesmente pela definição , pela regra da cadeia, teríamos:
Colocando os pontos e , temos:
Como , então, temos:
Beleza?
Passo 3
Agora, vamos desenvolver o , pela regra da cadeia:
Colocando os pontos que queremos: