Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

Teoria Completa

Regra da Cadeia Caso 2 Parâmetros

O segundo caso de regra da cadeia é aquele em que temos a função “de fora” de duas variáveis x e y e cada uma dessas variáveis é função de outras duas variáveis u e v . A função composta será uma função de u e v . Assim:

f = f x , y

x = x u , v

y = y u , v

⇒ f = f x u , v , y u , v

Olha esse exemplo:

f = f x , y = x 2 + x y

x = x u , v = u sen ⁡ v

y = y u , v = u v

A gente poderia substituir o x e y na expressão de f e calcular as derivadas parciais em relação a u e v , normalmente. Mas, em alguns casos, isso pode ser muito trabalhoso e podemos nem ter a expressão de f . E aí, como a gente faz?

Usamos a regra da cadeia!

Neste caso, nossa função composta também é uma função de duas variáveis, certo? u e v . Então nossas derivadas serão derivadas parciais: em relação a u e em relação a v .

Para este caso, a regra da cadeia é:

∂ f ∂ u = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u

E

∂ f ∂ v = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v

Assim, se quisermos calcular ∂ f ∂ u e ∂ f ∂ v quando u , v = ( 1,0 ) , primeiro descobrimos o ponto ( x , y ) correspondente a u , v = ( 1,0 ) :

x u , v = u sen ⁡ v ⇒ x 1,0 = 0

y u , v = u v ⇒ y 1,0 = 0

Logo, x , y = ( 0,0 ) quando u , v = ( 1,0 )

Depois, calculamos o gradiente de f e substituímos no ponto x , y = ( 0,0 ) :

f x , y = x 2 + x y

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = 2 x + y , x

⇒ ∇ f 0,0 = ( 0,0 )

Fazemos o mesmo para o gradiente de x :

x u , v = u sen ⁡ v

∇ x u , v = ∂ x ∂ u , ∂ x ∂ v = sen ⁡ v ,   u cos ⁡ v

⇒   ∇ x 1,0 = 0 ,   1

E também para o gradiente de y :

y u , v = u v

∇ y u , v = ∂ y ∂ u , ∂ y ∂ v = ( v , u )

⇒   ∇ y 1,0 = ( 0,1 )

Agora é só substituir nas formulas:

∂ f ∂ u 1,0 = ∂ f ∂ x 0,0 ∂ x ∂ u 1,0 + ∂ f ∂ y 0,0 ∂ y ∂ u 1,0 = 0.0 + 0.0 = 0

E

∂ f ∂ v 1,0 = ∂ f ∂ x 0,0 ∂ x ∂ v 1,0 + ∂ f ∂ y 0,0 ∂ y ∂ v 1,0 = 0.1 + 0.1 = 0

Tuuudo isso pra dar zero no final ¬¬

Mas enfim, resumindo tudo, para o caso 2 da Regra da Cadeia, o passo a passo é:

  1. Descobrimos o ponto x 0 , y 0 correspondente a u 0 , v 0
  2. Calculamos o gradiente de f :
  3. Calculamos o gradiente de f no ponto x 0 , y 0
  4. Calculamos o gradiente de x
  5. Calculamos o gradiente de y
  6. Calculamos os gradientes de x e y no ponto u 0 , v 0
  7. Substituímos nas formulas

∂ f ∂ u u 0 , v 0 = ∂ f ∂ x x 0 , y 0 ∂ x ∂ u u 0 , v 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 ∂ y ∂ u u 0 , v 0

E

∂ f ∂ v u 0 , v 0 = ∂ f ∂ x x 0 , y 0 ∂ x ∂ v u 0 , v 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 ∂ y ∂ v u 0 , v 0

Regra da Cadeia Caso 3 parâmetros

O terceiro caso de regra da cadeia é aquele em que a função “de fora” é uma função de três variáveis x , y   e   z e cada uma dessas variáveis é função de outras três variáveis u , v e w .

A função composta será uma função de u , v e w. Assim:

f = f x , y , z

x = x u , v , w

y = y u , v , w

z = z ( u , v , w )

⇒ f = f x u , v , w , y u , v , w , z ( u , v , w )

Como a função composta também é uma função de três variáveis: u , v e w , então nossas derivadas serão derivadas parciais.

Esse caso é bem parecido com o caso II. A diferença é só que temos mais uma variável.

Assim, para este caso, a regra da cadeia é:

∂ f ∂ u = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ u

∂ f ∂ v = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ v

E

∂ f ∂ w = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ w + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ w + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ w

Nosso passo a passo será o mesmo, mas agora, os gradientes terão uma componente a mais, referente a variável z . Aí fica assim:

  1. Descobrir o ponto x 0 , y 0 , z o correspondente a u 0 , v 0 , w 0
  2. Calculamos o gradiente de f
  3. Calculamos o gradiente de x
  4. Calculamos o gradiente de y
  5. Calculamos o gradiente de z
  6. Calculamos o gradiente de f no ponto ( x 0 , y 0 , z 0 )
  7. Calculamos os gradientes de x , y e z no ponto u 0 , v 0 , w 0
  8. Substituímos nas formulas

∂ f ∂ u ( u 0 , v 0 , w 0 ) = ∂ f ∂ x ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ x ∂ u u 0 , v 0 , w 0 + ∂ f ∂ y ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ y ∂ u u 0 , v 0 , w 0 + ∂ f ∂ z ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ z ∂ u u 0 , v 0 , w 0

∂ f ∂ v ( u 0 , v 0 , w 0 ) = ∂ f ∂ x ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ x ∂ v u 0 , v 0 , w 0 + ∂ f ∂ y ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ y ∂ v u 0 , v 0 , w 0 + ∂ f ∂ z ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ z ∂ v u 0 , v 0 , w 0

E

∂ f ∂ w ( u 0 , v 0 , w 0 ) = ∂ f ∂ x ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ x ∂ w u 0 , v 0 , w 0 + ∂ f ∂ y ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ y ∂ w u 0 , v 0 , w 0 + ∂ f ∂ z ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∂ z ∂ w u 0 , v 0 , w 0

Beleza!?

Como as contas referentes a variável a mais que tem no caso 3 são exatamente iguais as contas pro caso 2, não vou gastar seu tempo com um exemplo, então, corre logo para os exercícios!

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Exercício Resolvido #1

UERJ, Cálculo 2, Professora Renata, Lista 2, questão 3, item d

Determine ∂ f ∂ s   e ∂ f ∂ t da função f x , y = x 2 + x y + y 2 , tendo x = s + t e y = s t

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Passo 1

Tranquilo, só a gente jogar na fórmula da regra da cadeia!

∂ f ∂ s = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ s

E

∂ f ∂ t = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ t

Passo 2

Vamos, então, calcular o gradiente de f ( x , y ) :

f x , y = x 2 + x y + y 2

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = ( 2 x + y , x + 2 y )

Passo 3

Ok, agora vamos calcular o gradiente de x :

x ( s , t ) = s + t

∇ x s , t = ∂ x ∂ s , ∂ x ∂ t = 1,1

Passo 4

E o gradiente de y :

y ( s , t ) = s t