Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

Teoria Completa

Regra da Cadeia Caso 2 Parâmetros

Hey, galerinha! Pensa numa função de duas variáveis, onde cada variável depende outras duas. Complicado imaginar? Então olhar o exemplo abaixo,

f = f x , y = x 2 + x y                           x = x u , v = u se n ⁡ v y = y u , v = u v

Repara que temos uma f que depende de x e y , porém cada uma dessas variáveis depende de outras variáveis, no caso u e v .

Então, galerinha, agora eu te pergunto: como a gente deriva isso?

A gente poderia substituir o x e y na expressão de f e calcular as derivadas parciais em relação a u e v , normalmente. Fica assim,

f = u se n ⁡ v 2 + u se n ⁡ v u v

Repara que isso pode ser muito trabalhoso. Além disso, pode ser que o problema nem te de a expressão de f .

E aí, como a gente faz? Vamos aproveitar e tentar achar a derivada no ponto u , v = ( 1,0 ) .

Para isso usamos a regra da cadeia!

Aplicando a regra da cadeia para este caso, teríamos que fazer o somatório da derivada parcial para variável x e y em função de   u   e também para v . Fica assim,

∂ f ∂ u = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u

E

∂ f ∂ v = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v

Como queremos a derivada no ponto u , v = ( 1,0 ) , é legal que a gente saiba o ponto ( x , y ) correspondente. Então vamos substituir na fórmula:

x u , v = u sen ⁡ v ⇒ x 1,0 = 0

y u , v = u v ⇒ y 1,0 = 0

Logo, x , y = ( 0,0 ) quando u , v = ( 1,0 )

Então, galerinha, agora para resolver esse problema, nós vamos usar gradiente de f .

Calculando o nosso gradiente e substituímos no ponto x , y = ( 0,0 ) :

f x , y = x 2 + x y

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = 2 x + y , x

⇒ ∇ f 0,0 = ( 0,0 )

Fazemos o mesmo para o gradiente de x :

x u , v = u sen ⁡ v

∇ x u , v = ∂ x ∂ u , ∂ x ∂ v = sen ⁡ v ,   u cos ⁡ v

⇒   ∇ x 1,0 = 0 ,   1

E também para o gradiente de y :

y u , v = u v

∇ y u , v = ∂ y ∂ u , ∂ y ∂ v = ( v , u )

⇒   ∇ y 1,0 = ( 0,1 )

Agora é só substituir nas formulas:

∂ f ∂ u 1,0 = ∂ f ∂ x 0,0 ∂ x ∂ u 1,0 + ∂ f ∂ y 0,0 ∂ y ∂ u 1,0 = 0.0 + 0.0 = 0

E

∂ f ∂ v 1,0 = ∂ f ∂ x 0,0 ∂ x ∂ v 1,0 + ∂ f ∂ y 0,0 ∂ y ∂ v 1,0 = 0.1 + 0.1 = 0

Tuuudo isso pra dar zero no final ¬¬

Mas enfim, resumindo tudo, para o caso 2 da Regra da Cadeia, o passo a passo é:

  1. Descobrimos o ponto x 0 , y 0 correspondente a u 0 , v 0
  2. Calculamos o gradiente de f :
  3. Calculamos o gradiente de f no ponto x 0 , y 0
  4. Calculamos o gradiente de x
  5. Calculamos o gradiente de y
  6. Calculamos os gradientes de x e y no ponto u 0 , v 0
  7. Substituímos nas formulas

∂ f ∂ u u 0 , v 0 = ∂ f ∂ x x 0 , y 0 ∂ x ∂ u u 0 , v 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 ∂ y ∂ u u 0 , v 0

E

∂ f ∂ v u 0 , v 0 = ∂ f ∂ x x 0 , y 0 ∂ x ∂ v u 0 , v 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 ∂ y ∂ v u 0 , v 0

Regra da Cadeia Caso 3 parâmetros

Agora, galera, e se a gente tiver a mesma situação, só que com 3 variáveis? Segue o exemplo,

f = f x , y , z = x 2 + x y z + y                           x = x u , v , w = u 2 + v y = y u , v , w = v + w 2 z = z u , v , w = u + v + w

E como a gente resolve agora? Então, é bem parecido com o caso anterior. A diferença é só que temos mais uma variável.

Assim, para este caso, a regra da cadeia é:

∂ f ∂ u = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ u

∂ f ∂ v = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ v

E

∂ f ∂ w = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ w + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ w + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ w

Então vamos calcular para o ponto u , v , w = ( 0 , 1,0 ) .

A gente começa descobrindo os correspondentes x 0 , y 0 , z o .

x 0 , 1 , 0 = 0 2 + 1 = 1 y 0,1 , 0 = 1 + w 0 2 = 1 z 0,1 , 0 = 0 + 1 + 0 = 1

Então temos que x 0 , y 0 , z o = 1 , 1,1

Calculando o nosso gradiente e substituímos no ponto:

f x , y , w = x 2 + x y w + y

∇ f x , y , w = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = 2 x + y w ,   x w + 1 , x y

⇒ ∇ f 1,1 , 1 = ( 3,2 , 1 )

Fazemos o mesmo para o gradiente de x :

x u , v , w = u 2 + v

∇ x u , v , w = ∂ x ∂ u , ∂ x ∂ v , ∂ x ∂ w = 2 u , 1,0

⇒   ∇ x 0 , 1,0 = 0 ,   1 , 0

E também para o gradiente de y :

y u , v , w = v + w 2

∇ y u , v , w = ∂ y ∂ u , ∂ y ∂ v ,   ∂ y ∂ w = ( 0,1 , 2 w )

⇒   ∇ y 0 , 1,0 = ( 0,1 , 0 )

Por fim, para o gradiente de z :

z u , v , w = u + v + w

∇ z u , v , w = ∂ z ∂ u , ∂ z ∂ v ,   ∂ z ∂ w = ( 1,1 , 1 )

⇒   ∇ z 0,1 , 0 = ( 1,1 , 1 )

Agora é só substituir nas formulas. Começamos por ∂ f ∂ u

∂ f ∂ u ( 0,1 , 0 ) = ∂ f ∂ x 1,1 , 1 ∂ x ∂ u 0,1 , 0 + ∂ f ∂ y 1,1 , 1 ∂ y ∂ u 0,1 , 0 + ∂ f ∂ z 1,1 , 1 ∂ z ∂ u 0,1 , 0

∂ f ∂ u 0,1 , 0 = 3.0 + 2.0 + 1.1 = 1

Agora, ∂ f ∂ v

∂ f ∂ v 0,1 , 0 = ∂ f ∂ x 1,1 , 1 ∂ x ∂ v 0,1 , 0 + ∂ f ∂ y 1,1 , 1 ∂ y ∂ v 0,1 , 0 + ∂ f ∂ z 1,1 , 1 ∂ z ∂ v 0,1 , 0

∂ f ∂ v 0,1 , 0 = 3.1 + 2.1 + 1.1 = 6

Por fim, ∂ f ∂ w

∂ f ∂ w 0,1 , 0 = ∂ f ∂ x 1,1 , 1 ∂ x ∂ w 0,1 , 0 + ∂ f ∂ y 1,1 , 1 ∂ y ∂ w 0,1 , 0 + ∂ f ∂ z 1,1 , 1 ∂ z ∂ w 0,1 , 0

∂ f ∂ w 0,1 , 0 = 3.0 + 2.0 + 1.1 = 1

Pronto! Então temos que f ' 1 , 0,1 = 1,6 , 1

Nosso passo a passo será o mesmo, mas agora, os gradientes terão uma componente a mais, referente a variável z . Beleza!?

Então partiu exercícios!

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Exercício Resolvido #1

UERJ, Cálculo 2, Professora Renata, Lista 2, questão 3, item d

Determine ∂ f ∂ s   e ∂ f ∂ t da função f x , y = x 2 + x y + y 2 , tendo x = s + t e y = s t

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Passo 1

Tranquilo, só a gente jogar na fórmula da regra da cadeia!

∂ f ∂ s = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ s

E

∂ f ∂ t = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ t

Passo 2

Vamos, então, calcular o gradiente de f ( x , y ) :

f x , y = x 2 + x y + y 2

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = ( 2 x + y , x + 2 y )

Passo 3

Ok, agora vamos calcular o gradiente de x :

x ( s , t ) = s + t

∇ x s , t = ∂ x ∂ s , ∂ x ∂ t = 1,1

Passo 4

E o gradiente de y :

y ( s , t ) = s t

∇ y s , t = ∂ y ∂ s , ∂ y ∂ t = ( t , s )

Passo 5

Perfeito! Conseguimos tudo o que precisávamos. Agora é só pegar os valores encontrados e jogar nas fórmulas do passo 1 !

A derivada de f em relação a s fica:

∂ f ∂ s = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ s

∂ f ∂ s = 2 x + y . 1 + x + 2 y . t

∂ f ∂ s = 2 x + y + x t + 2 y t

E a derivada de f em relação a t fica:

∂ f ∂ t = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ t

∂ f ∂ t = 2 x + y . 1 + x + 2 y . s

∂ f ∂ t = 2 x + y + x s + 2 y s

Resposta

∂ f ∂ s = 2 x + y + x t + 2 y t

∂ f ∂ t = 2 x + y + x s + 2 y s

Exercício Resolvido #2

CEFET, Cálculo 2, Professor Roberto Thomé, Lista 1, questão 17, item d

Use a regra da cadeia para determinar ∂ s ∂ u e ∂ s ∂ v em

s = z 3 - x 2 y

sendo

x = u + v ln ⁡ u

y = u 2 - v ln ⁡ v

z = u 2 - v 2

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Passo 1

Tranquilo, só a gente jogar na fórmula da regra da cadeia!

∂ f ∂ u = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ u

E

∂ f ∂ v = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ v + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ v

Trocando agora para a nossa função s :

Para derivada em relação a u :

∂ s ∂ u = ∂ s ∂ x ⋅ δ x δ u + ∂ s ∂ y ⋅ δ y δ u + ∂ s ∂ z ⋅ δ z δ u

Para derivada em relação a v :

∂ s ∂ v = ∂ s ∂ x ⋅ δ x δ v + ∂ s ∂ y ⋅ δ y δ v + ∂ s ∂ z ⋅ δ z δ v

Passo 2

Vamos, então, calcular as derivadas de s ( x , y , z ) :

s = z 3 - x 2 y

∂ s ∂ x = - 2 x y

∂ s ∂ y = - x 2

∂ s ∂ z = 3 z 2

Passo 3

Ok, agora vamos calcular as derivadas de x :

x = u + v ln ⁡ u

∂ x ∂ u = 1 + v u

∂ x ∂ v = ln ⁡ u

Passo 4

E as derivadas de y :

y = u 2 - v ln ⁡ v

∂ y ∂ u = 2 u

∂ y ∂ v = - ln ⁡ v - 1

Passo 5

E, por fim, as derivadas de z :

z = u 2 - v 2

∂ z ∂ u = 2 u

∂ z ∂ v = - 2 v

Passo 6

Perfeito! Conseguimos tudo o que precisávamos. Agora é só pegar os valores encontrados e jogar nas fórmulas do passo 1 !

A derivada de s em relação a u fica:

δ s δ u = ∂ s ∂ x ⋅ δ x δ u + ∂ s ∂ y ⋅ δ y δ u + ∂ s ∂ z ⋅ δ z δ u

δ s δ u = - 2 x y ⋅ 1 + v u - x 2 ⋅ 2 u + 3 z 2 ⋅ ( 2 u )

δ s δ u = - 2 x y - 2 x y v u - 2 u x 2 + 6 u z 2

E a derivada de s em relação a v fica:

δ s δ v = ∂ s ∂ x ⋅ δ x δ v + ∂ s ∂ y ⋅ δ y δ v + ∂ s ∂ z ⋅ δ z δ v

δ s δ v = - 2 x y ⋅ ln ⁡ u - x 2 ⋅ - ln ⁡ v - 1 + 3 z 2 ⋅ - 2 v

δ s δ v = - 2 x y ln ⁡ u + x 2 ln ⁡ v + 1 - 6 v z 2

Resposta

δ s δ u = - 2 x y - 2 x y v u - 2 u x 2 + 6 u z 2

δ s δ v = - 2 x y ln ⁡ u + x 2 ln ⁡ v + 1 - 6 v z 2

Exercício Resolvido #3

PUC-RJ, Cálculo 2, P2 2015.1, questão 2

Seja f : R 2 → R 2 , u , v → f u , v . Sejam u x , y = x 2 - y 2 e v x , y = 2 x y . Considere a composta g x , y ≔ f u x , y , v x , y ; ∀ x , y ∈ R 2 .

Assuma:

g x 2 4 , 2 4 = a

g y 2 4 , 2 4 = b

Para a e ∈ R .

Calcule f u 0 , 1 4 e f v 0 , 1 4 em função de a e b .

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Passo 1

Aqui a dica é a seguinte: o enunciado pediu pra assumir g x 2 4 , 2 4 e g y 2 4 , 2 4 como valores constantes. Isso, naturalmente, não foi por acaso! Vejamos, se colocamos o ponto 2 4 , 2 4 em u x , y , teremos:

u 2 4 , 2 4 = 2 4 2 - 2 4 2 = 0

E, colocando esse ponto em v x , y , teremos:

v x , y = 2 2 4 . 2 4 = 1 4

E, olha só! Colocando esse u e v em f , temos f 0 , 1 4 , que é exatamente o ponto no qual ele nos pede as derivadas :D Viu só? Isso parece “acaso”, mas nunca é XD

Passo 2

Agora que já sabemos que todo x , y que aparecer na jogada vai ser esse ponto 2 4 , 2 4 para gerar o u , v = 0 , 1 4 , vamos apenas usar a regra da cadeia para calcular genericamente o valor dessas derivadas, e depois colocar os valores que tivermos em função de a e b !

Se desenvolvermos g x , simplesmente pela definição g x , y ≔ f u x , y , v x , y , pela regra da cadeia, teríamos:

g x = f u . u x + f v . v x

Colocando os pontos x , y e u , v , temos:

g x 2 4 , 2 4 = f u 0 , 1 4 . u x 2 4 , 2 4 + f v 0 , 1 4 . v x 2 4 , 2 4

Como g x 2 4 , 2 4 = a , então, temos:

a = f u 0 , 1 4 . u x 2 4 , 2 4 + f v 0 , 1 4 . v x 2 4 , 2 4

Beleza?

Passo 3

Agora, vamos desenvolver o g y , pela regra da cadeia:

g y = f u . u y + f v . v y

Colocando os pontos que queremos:

b = f u 0 , 1 4 . u y 2 4 , 2 4 + f v 0 , 1 4 . v y 2 4 , 2 4

Prontinho :D

Passo 4

Agora nos resta a pergunta: quanto valem u x 2 4 , 2 4 , u y 2 4 , 2 4 , v x 2 4 , 2 4 , v y 2 4 , 2 4 ? Isso nós podemos calcular, pois u e v nos foram dados!

Se u x , y = x 2 - y 2 e v x , y = 2 x y , então:

u x = 2 x

u y = - 2 y

v x = 2 y

v y = 2 x

Colocando o nosso ponto 2 4 , 2 4 , temos:

u x 2 4 , 2 4 = 2 2

u y 2 4 , 2 4 = - 2 2

v x 2 4 , 2 4 = 2 2