Regra da Cadeia para Derivadas Parciais de Ordem Superior

Teoria Completa

Derivadas parciais de ordem superior para funções compostas

Já aprendemos que quando queremos calcular a derivada de uma função composta, temos que usar a regra da cadeia. O “que” a mais que temos aqui, é que agora não estamos mais interessados apenas na derivada parcial de primeira ordem, mas sim em derivadas parciais de ordem superior.

Isso significa que a gente tem que usar a regra da cadeia pra derivar a primeira vez e depois usar de novo pra derivar a segunda vez e depois de novo pra terceira.... e assim sucessivamente até a ordem da derivada parcial que o problema quiser.

A boa notícia é que não tem nada de diferente do que você já sabe fazer, mas a péssima má notícia é que isso dá um trabaaaaaalho....

Mas vamos lá, seja

z = f ( x , y )

Com derivadas de segunda ordem contínuas e

x = u 2 - v 3

y = 2 u ² v

Calcule ∂ 2 f ∂ u ² .

Estamos diante do caso 2 da regra da cadeia!

Primeiro vamos ter que derivar em relação a u . Pela regra da cadeia, sabemos que

∂ f ∂ u = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u

Vamos calcular o gradriente de f . Como não temos sua expressão, vamos ficar apenas com:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = ( f x , f y )

Agora vamos calcular as outras duas derivadas que faltam:

x = u 2 - v 3             ⇒               ∂ x ∂ u = 2 u

y = 2 u ² v             ⇒               ∂ y ∂ u = 4 u v

Beleza, então, substituindo tudo isso la na formula:

∂ f ∂ u = 2 u . f x + 4 u v . f y

Tá, mas como queremos a segunda derivada de f em relação a u , temos que derivar isso ai de novo.

∂ 2 f ∂ u ² = ∂ ∂ u ∂ f ∂ u = ∂ ∂ u 2 u . f x + 4 u v . f y

Aí que entra a parte mais chata: para fazer isso, vamos ter que usar a regra do produto E a regra da cadeia pois f x e f y são funções de x e y , mas x e y sãfo funções de u e v .

Usando a regra do produto:

∂ 2 f ∂ u ² = ∂ ∂ u 2 u . f x + 2 u . ∂ ∂ u f x + ∂ ∂ u 4 u v . f y + 4 u v . ∂ ∂ u f y

∂ 2 f ∂ u ² = 2 . f x + 2 u . ∂ ∂ u f x + 4 v . f y + 4 u v . ∂ ∂ u f y

Agora usando a regra da cadeia:

Coemçando por ∂ ∂ u f x :

∂ ∂ u f x = ∂ f x ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f x ∂ y ∂ y ∂ u = f x x ∂ x ∂ u + f x y ∂ y ∂ u

Substituindo ∂ x ∂ u = 2 u e ∂ y ∂ u = 4 u v , temos

∂ ∂ u f x = 2 u . f x x + 4 u v . f x y

Ok, mas não acabou ainda. Falta ∂ ∂ u f y :

∂ ∂ u f y = ∂ f y ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f y ∂ y ∂ y ∂ u = f y x ∂ x ∂ u + f y y ∂ y ∂ u

⇒   ∂ ∂ u f y = 2 u . f y x + 4 u v . f y y

Agora vamos juntar tudo:

∂ 2 f ∂ u ² = 2 . f x + 2 u . ∂ ∂ u f x + 4 v . f y + 4 u v . ∂ ∂ u f y

∂ 2 f ∂ u ² = 2 . f x + 2 u . 2 u . f x x + 4 u v . f x y + 4 v . f y + 4 u v . 2 u . f y x + 4 u v . f y y

∂ 2 f ∂ u ² = 2 f x + 4 u 2 f x x + 8 u 2 v f x y + 4 v . f y + 8 u 2 v f y x + 16 u ² v ² . f y y  

Mas, ainda podemos juntar mais coisas ai! O enunciado diz que as derivadas de segunda ordem são contínuas, então f x y = f y x

∂ 2 f ∂ u ² = 2 f x + 4 u 2 f x x + 16 u 2 v f x y + 4 v . f y + 16 u ² v ² . f y y  

Chato bacarai, né?! Mas não desiste, o Responde Aí tá aqui pra te ajudar

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Exercício Resolvido #1

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, p. 286, exercício 5

Considere a função

z = ∂ f ∂ x ( x , sen ⁡ 3 x )

Verifique que

∂ z ∂ x = ∂ 2 f ∂ x 2 x , sen ⁡ 3 x + 3 cos ⁡ 3 x . ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( x , sen ⁡ 3 x )

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Passo 1

Como z já é uma derivada parcial, ∂ z ∂ x representa, na verdade, uma derivda parcial de segunda ordem de uma função composta, pois podemos dizer

x = x

y = sen ⁡ 3 x

Pela regra da cadeia, temos então:

∂ z ∂ x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x u , v = ∂ f x ∂ x ∂ x ∂ x + ∂ f x ∂ y ∂ y ∂ x  

Passo 2

Vamos começar pelo mais fácil:

u = x

∂ u ∂ x = 1

E

v = sen ⁡ 3 x

∂ v ∂ x = 3 cos ⁡ 3 x

Passo 3

Ok, agora ∂ f x ∂ x :

∂ f x ∂ x = ∂ 2 f ∂ x 2

E ∂ f x ∂ y :

∂ f x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x

Passo 4

-

Agora é só substitur tudo no ponto ( x , sen ⁡ 3 x ) e encontramos ∂ z ∂ x ( x , sen ⁡ 3 x ) :

∂ z ∂ x x , sen ⁡ 3 x = ∂ 2 f ∂ x 2 ( x , sen ⁡ 3 x )   . 1 + ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( x , sen ⁡ 3 x )   . 3 cos ⁡ 3 x

∂ z ∂ x = ∂ 2 f ∂ x 2 ( x , sen ⁡ 3 x )   + 3 cos ⁡ 3 x ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( x , sen ⁡ 3 x )

Resposta

Exercício Resolvido #2

UFF, Cálculo 2B, Listas, Lista 6, questão 13

Seja g u , v = f u + v , u v , f de classe C 2 em R 2 , x = u + v , y = u v . Calcule

∂ g ∂ u 1,1   e ∂ 2 g ∂ u ∂ v 1,1

Sabendo que f x 2,1 = 3 , f y 2,1 = - 3 f x x 2,1 = 0 , f x y 2,1 = f y x 2,1 = 1 , f y y 2,1 = 2

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Passo 1

Não se assuste com a cara desse maluco, vamos primeiro achar a primeira derivada em relação a u , aqui é só aplicar a regra da cadeia. Lembra que primeiro fazemos o gradiente de f

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Agora temos que achar esse gradiente quando u = 1 e v = 1 , primeiro vamos achar o valor de x e y

x = u + v = 1 + 1 = 2

y = u v = 1.1 = 1

Então vamos ter

∇ f 1,1 = f x 2,1 , f y 2,1 = 3 , - 3

Passo 2

Agora vamos achar a derivada da parametrização, ou seja, como a parametrização é σ u , v , vamos ter

∂ σ ∂ x = ∂ x ∂ u , ∂ y ∂ u

∂ x ∂ u = 1

∂ y ∂ u = v

Agora achamos essas derivadas no ponto u = 1 e v = 1

∂ σ ∂ x = 1,1

Passo 3

A derivada vai ficar

∂ g ∂ u = ∇ f ∙ ∂ σ ∂ x = 3 , - 3 ∙ 1,1 = 3 - 3 = 0

Passo 4

Vamos agora achar a derivada de segunda ordem, primeiro vamos reescrever o vetor gradiente para um ponto qualquer u , v

∇ f u , v = f x u + v , u v , f y u + v , u v

Agora vamos reescrever a derivada da parametrização para um ponto u , v também

∂ σ ∂ x = 1 , v

Aplicando a regra da cadeia vamos ter

∂ g ∂ u = ∇ f ∙ ∂ σ ∂ x = f x u + v , u v , f y u + v , u v ∙ 1 , v = f x u + v , u v + v f y u + v , u v

Precisamos agora derivar isso em relação a v

∂ ∂ v f x u + v , u v + v f y u + v , u v = ∂ ∂ v f x u + v , u v + ∂ ∂ v v f y u + v , u v + v ∂ ∂ v f y u + v , u v =

∂ ∂ v f x u + v , u v + f y u + v , u v + v ∂ ∂ v f y u + v , u v

Passo 5

Vamos começar achando ∂ ∂ v f x u + v , u v usando a regra da cadeia, precisamos da derivada da parametrização que já temos e o vetor gradiente de f x que vai ser

∇ f x = f x x , f x y

Aplicando em um ponto qualquer u , v

∇ f x u , v = f x x u + v , u v , f x y u + v , u v

Lembrando que

∂ σ ∂ x = 1 , v

Vamos ter

∂ ∂ v f x u + v , u v = f x x u + v , u v , f x y u + v , u v ∙ 1 , v

⇒ f x x u + v , u v + v f x y u + v , u v

Passo 6

Vamos fazer agora ∂ ∂ v f y u + v , u v usando a regra da cadeia, precisamos da derivada da parametrização que já temos e o vetor gradiente de f x que vai ser

∇ f y = f y x , f y y

Aplicando em um ponto qualquer u , v

∇ f y u , v = f y x u + v , u v , f y y u + v , u v

Lembrando que

∂ σ ∂ x = 1 , v

Vamos ter

∂ ∂ v f y u + v , u v = f y x u + v , u v , f y y u + v , u v ∙ 1 , v

⇒ f y x u + v , u v + v f y y u + v , u v

Passo 7

Vamos juntar a porra toda, vai ficar horrível mas vamos lá

∂ 2 g ∂ u ∂ v = ∂ ∂ v f x u + v , u v + f y u + v , u v + v ∂ ∂ v f y u + v , u v

⇒ f x x u + v , u v + v f x y u + v , u v + f y u + v , u v + f y x u + v , u v + v f y y u + v , u v

Precisamos agora trocar u = 1 e v = 1

f x x 1 + 1,1.1 + 1 f x y 1 + 1,1.1 + f y 1 + 1,1.1 + f y x 1 + 1,1.1 + 1 f y y 1 + 1,1.1

∂ 2 g ∂ u ∂ v 1,1 = f x x 2,1 + f x y 2,1 + f y 2,1 + f y x 2,1 + f y y 2,1

∂ 2 g ∂ u ∂ v 1,1 = 0 + 1 - 3 + 1 + 2 = 1

Resposta

∂ g ∂ u 1,1 = 0

∂ 2 g ∂ u ∂ v 1,1 = 1

Exercício Resolvido #3

UFF, Cálculo 2B, Listas, Lista 6, questão 16

Sejam z = z x , y , z de classe C 2 em R 2 , x = e u cos ⁡ v e y = e u sen ⁡ v .

Suponha que

∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 = 0

Calcule

∂ 2 z ∂ u 2 + ∂ 2 z ∂ v 2

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Passo 1

Não se assuste com a cara desse maluco, vamos primeiro achar a primeira derivada em relação a u e depois a primeira derivada em relação a v . Antes de mais nada devemos fazer o gradiente de z

∇ z = ∂ z ∂ x , ∂ z ∂ y

Agora vamos achar esse gradiente para u e v

∇ z = ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v , ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

Passo 2

Calculando o gradiente de x :

x = e u cos ⁡ v

∇ x u , v = ∂ x ∂ u , ∂ x ∂ v = ( e u cos ⁡ v , - e u sen ⁡ v )

Calculando o gradiente de y :

y = e u sen ⁡ v

∇ y u , v = ∂ y ∂ u , ∂ y ∂ v = ( e u sen ⁡ v , e u cos ⁡ v )

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia vamos ter

∂ z ∂ u = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ u

∂ z ∂ u = e u cos ⁡ v ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u sen ⁡ v ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

Passo 4

Precisamos agora derivar isso em relação a u para achar a segunda derivada disso em relação a u . Segura que lá vem regra do produto com regra da cadeia:

∂ 2 z ∂ u 2 = ∂ ∂ u e u cos ⁡ v ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u cos ⁡ v ∂ ∂ u ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + ∂ ∂ u e u sen ⁡ v ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u sen ⁡ v ∂ ∂ u ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

∂ 2 z ∂ u 2 = e u cos ⁡ v ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u cos ⁡ v ∂ ∂ u ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u sen ⁡ v ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u sen ⁡ v ∂ ∂ u ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

Temos que achar aquelas derivadas separadas ali, vamos fazer isso por partes no próximo passo

Passo 5

Começando com ∂ ∂ u ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v . Isso, nada mais é que z x u .

Aplicando a regra da cadeia,

∂ ∂ u ∂ z ∂ x = z x u = ∂ z x ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ z x ∂ y ∂ y ∂ u

Porque a derivada parcial em relação a x , z x , é uma função de x e y , mas x e y são funções de u e v , certo?

Precisamos do vetor gradiente de ∂ z ∂ x , que vai ser

∇ z x = ∂ 2 z ∂ x 2 , ∂ 2 z ∂ x ∂ y = ∂ z x ∂ x , ∂ z x ∂ y = z x x , z y x

Aplicando em um ponto qualquer

∇ ∂ z ∂ x u , v = ∂ 2 z ∂ x 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v , ∂ 2 z ∂ x ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

Lembrando que

∂ x ∂ u = e u cos ⁡ v

E

∂ y ∂ u = e u sen ⁡ v

Vamos ter

∂ ∂ u ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v = ∂ z x ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ z x ∂ y ∂ y ∂ u

∂ ∂ u ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v = e u cos ⁡ v ∂ 2 z ∂ x 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u sen ⁡ v ∂ 2 z ∂ x ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

Passo 6

Indo para ∂ ∂ u ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v , que é o mesmo que z y u , aplicando a regra da cadeia

∂ ∂ u ∂ z ∂ y = z y u = ∂ z y ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ z y ∂ y ∂ y ∂ u

Precisamos do vetor gradiente de ∂ z ∂ y , que vai ser

∇ ∂ z ∂ y = ∇ z y = ∂ 2 z ∂ x ∂ y , ∂ 2 z ∂ y 2 = z y x , z y y

Aplicando em um ponto qualquer

∇ ∂ z ∂ y u , v = ∂ 2 z ∂ x ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v , ∂ 2 z ∂ y 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

Lembrando que

∂ x ∂ u = e u cos ⁡ v

E

∂ y ∂ u = e u sen ⁡ v

Vamos ter

∂ ∂ u ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v = ∂ z y ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ z y ∂ y ∂ y ∂ u

∂ ∂ u ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v = e u cos ⁡ v ∂ 2 z ∂ x ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u sen ⁡ v ∂ 2 z ∂ y 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

Passo 7

Vamos agora juntar essa bagunça toda,

∂ 2 z ∂ u 2 = e u cos ⁡ v ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u cos ⁡ v ∂ ∂ u ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u sen ⁡ v ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u sen ⁡ v ∂ ∂ u ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v

∂ 2 z ∂ u 2 = e u cos ⁡ v ∂ z ∂ x e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u cos ⁡ v e u cos ⁡ v ∂ 2 z ∂ x 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u sen ⁡ v ∂ 2 z ∂ x ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u sen ⁡ v ∂ z ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u sen ⁡ v e u cos ⁡ v ∂ 2 z ∂ x ∂ y e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v + e u sen ⁡ v ∂ 2 z ∂ y 2 e u cos ⁡ v , e u sen ⁡ v