Introdução aos Limites de Funções de Várias Variáveis

Teoria Completa

Certo, agora vamos voltar a falar de limites.

A ideia é a mesma da função de uma variável: pra qual valor a função tende quando nos aproximamos de certo ponto?

Neste caso, temos x e y tendendo, simultaneamente, para dois valores independentes. A notação do limite é esta:

lim x , y → ( x 0 , y 0 ) ⁡ f ( x , y )

Lê-se: limite de f ( x , y ) quando x tende para x 0 e y para y 0 .

No fundo, basta substituir diretamente os valores de x e y e ver o que acontece.

Por exemplo:

lim x , y → ( 1,2 ) ⁡ 2 x + 3 y =   ?

Substituindo os valores:

lim x , y → ( 1,2 ) ⁡ 2 x + 3 y =   2 1 + 3 ( 2 )

lim x , y → ( 1,2 ) ⁡ 2 x + 3 y =   2 + 6

⇒ lim x , y → ( 1,2 ) ⁡ 2 x + 3 y =   8

Só uma observação: as propriedades de soma, multiplicação, “passar o limite pra dentro”, de limites pra funções de 1 variável valem aqui também e pra você não ter que ficar caçando essas propriedades, vou dar uma lembradinha rápida nelas aqui:

lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) ⁡ c = c

lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) ⁡ c ⋅ f x , y = c ⋅ lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) ⁡ f x , y

lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) ⁡ f x , y ± g x , y = lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) ⁡ f x , y ± lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) ⁡ g x , y

lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) ⁡ f x , y g x , y = lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) ⁡ f x , y   .   lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) ⁡ g x , y

lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) ⁡ f x , y g x , y = lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) ⁡ f x , y lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) ⁡ g x , y

E, se f for composta, teremos:

lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) ⁡ f g x , y = f lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) ⁡ g x , y

Agora vamos ver uns exercícios? :)

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ, P2 2014.2, questão 5 (modificada)

Calcule o limite

lim x , y → 1,0 ⁡ x y x 2 + y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Então pessoal, quando vamos resolver um limite de uma função com varias variáveis, o primeiro passo é igual o de quando resolvemos um limite normal: substituir os valores!

Repara que o x está tendendo a 1 e o y está tendendo a 0 .

Então agora é só substituir o x pelo 1 e o y pelo 0 . Veja só como fica:

lim x , y → 1,0 ⁡ x y x 2 + y 2 = 1.0 1 2 + 0 2 = 0 1 = 0

Pronto! Depois de substituir, a gente calcula tudo normal. Resolvendo tudo chegamos que esse limite vai para zero!

Resposta

0

Exercício Resolvido #2

George B. Thomas, Cálculo – Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2009, p. 304 - 12

Calcule o limite

lim x , y → π 2 , 0 ⁡ cos ⁡ y + 1 y - sen ⁡ x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Substituindo os valores de x e y :

lim x , y → π 2 , 0 ⁡ cos ⁡ y + 1 y - sen ⁡ x = lim x , y → π 2 , 0 ⁡ cos ⁡ 0 + 1 0 - sen ⁡ π 2

O que vai dar:

lim x , y → π 2 , 0 ⁡ 1 + 1 - 1 = - 2

E é só isso! Molezinha né?

Resposta

- 2

Exercício Resolvido #3

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.81 – exemplo 3.9

Seja

f x , y = 2 x 2 y - 3 y 2 x + y

Calcule

lim x , y → ( - 1,2 ) ⁡ f ( x , y )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Substituímos os valores:

lim x , y → ( - 1,2 ) ⁡ 2 x 2 y - 3 y 2 x + y = 2 - 1 2 2 - 3 2 2 - 1 + 2

O que dá:

4 - 12 1 = 4 - 12 = - 8

Resposta

lim x , y → ( - 1,2 ) ⁡ f ( x , y ) = - 8

Exercício Resolvido #4

Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, Cálculo – Volume II, 8ª ed. Porto Alegre: ARTMED EDITORA S.A, 2005, p. 945 - 28

Determine

lim x , y → 0,1 ⁡ a r c t g x 2 + 1 x 2 + y - 1 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Substituindo os valores de x e y :

lim x , y → 0,1 ⁡ a r c t g x 2 + 1 x 2 + y - 1 2 = lim x , y → 0,1 ⁡ a r c t g 0 + 1 0 + 1 - 1 2

Uma função a r c t g t me fornece o valor cuja tagente seja igual a t . Repare que o termo dentro da arctangente tende pra + ∞ .

Deste modo, temos que buscar qual valor cuja tangente vai para o infinito.

Passo 2

Lembra que a função tangente é uma razão de seno e cosseno?

tg ⁡ t = se n ⁡ t cos ⁡ t  

Note, que quando o cosseno for zero, os valores de tangente vão tender ao infinito. E o cosseno n π 2 é igual a zero, onde n é qualquer número inteiro.

Vamos olhar o gráfico da função tangente para entender melhor seu comportamento:

Repara que ela vai para infinito para x = π 2 + 2 π k ,     k ∈ N .

Assim, temos

" a r c t g + ∞ = π 2 + 2 k π   ,     k ∈ N "

Botei as aspas porque não dá pra tratar o infinito como se fosse um número! Mas escrevendo a resposta bonitinha, temos que

lim x , y → 0,1 ⁡ a r c t g x 2 + 1 x 2 + y - 1 2 = π 2 +   2 k π

Resposta

lim x , y → 0,1 ⁡ a r c t g x 2 + 1 x 2 + y - 1 2 = π 2 +   2 k π   ,     k ∈ N  

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