Funções de Várias Variáveis

Resumo Completo

O que é?

Vamos lembrar o que é uma função de uma variável:

Uma função que relaciona um número x a outro número f ( x ) :

x f ( x )

Exemplo:

f x = x + 1

Legal!

Agora, não é difícil entender que uma função de duas variáveis relaciona dois números: x e y a outro número f ( x ,   y ) :

x ,   y f ( x ,   y )

Exemplo:

f x ,   y = x + y

Alguns valores:

E o gráfico dessa função será uma superfície:

z = f ( x ,   y )

E, na prática, vai ser uma das superfícies que já estudamos!

Não vou entrar em detalhes sobre os gráficos aqui, mas por exemplo:

f x ,   y = x 2 + y 2

z = x 2 + y 2

Essa superfície é o paraboloide circular!

É só isso, mesmo, não tem mistério nenhum! :)

Da mesma forma, uma função de três variáveis associa três números x , y e z a um único número f ( x , y , z ) .

Por exemplo:

f x , y , z = x + y + z

No caso de funções de três variáveis nós não vamos desenhar o gráfico!

Pense assim:

Função de uma variável – gráfico é uma curva (1 dimensão) – coordenadas cartesianas em 2D ( x y )

Função de duas variáveis – gráfico é uma superfície (2 dimensões) – coordenadas cartesianas em 3D ( x y z )

Função de três variáveis – gráfico é um sólido (3 dimensões) – plano cartesiano 4D

E assim por diante...

Entendeu a analogia? É só isso!

Uma coisa importante é que até se uma função não depende de uma das variáveis isso não muda o número de dimensões do gráfico dela. Entendeu? Não entendeu? Calma que isso vai ficar mais claro com uns exemplos!

Dá uma olhada nessa função:

f x , y = x 2 + 3

Por estar escrito f x , y sabemos que f é uma função de 2 variáveis, mas na prática ela só depende de uma, x ! Ou seja, pra calcular os valores dessa função não precisamos de y .

Maaas, e era isso que eu queria ressaltar, o gráfico de f é uma superfície, e não uma curva! O que eu falei lá em cima vale pra qualquer função!

Até mesmo se tivermos, por exemplo:

g x , y , z = π

Os valores de g não dependem nem de x , nem de y e nem de z , mas g é uma função de 3 variáveis, então seu gráfico é um sólido no plano 4D. Beleza?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Elaboração própria

Considere a função

f x , y , z = x 2 y + 3 z y - x + 3

Calcule os valores de f nos pontos:

a) 0 ,   1 ,   0

b) - 1 ,   2 ,   4

c) 3 ,   - 3 ,   3

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Pra cada ponto basta substituir os valores dados de x , y e z na função.

a)

f 0 ,   1 ,   0 = 0 2 . 1 + 3.0 . 1 - 0 + 3

f 0 ,   1 ,   0 = 0 + 0 - 0 + 3

f 0 ,   1 ,   0 = 3

Tranquilo? Vamos continuar!

Passo 2

b)

f - 1 ,   2 ,   4 = - 1 2 . 2 + 3.4 . 2 - - 1 + 3

f - 1 ,   2 ,   4 = 2 + 24 + 1 + 3

f - 1 ,   2 ,   4 = 30

Beleza, agora vamos pra letra c).

Passo 3

f 3 ,   - 3 ,   3 = 3 2 . - 3 + 3.3 . - 3 - 3 + 3

f 3 ,   - 3 ,   3 = - 27 - 27

f 3 ,   - 3 ,   3 = - 54

Sem mistério né?

Resposta

a) 3

b) 30

c) - 54

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um Curso de Cálculo – Volume 2, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 2001, p. 152 - 1

Seja f x , y = 3 x + 2 y . Calcule

a) f 1 , - 1

b) f a ,   x

c) f x + h ,   y - f x , y h

d) f x ,   y + k - f x , y k

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Basta substituir os valores na função!

a)

f 1 , - 1 = 3.1 + 2 . - 1

f 1 , - 1 = 3 - 2

f 1 , - 1 = 1

Passo 2

b)

Agora temos que calcular f x ,   y no ponto a ,   x . É como se o a fizesse o papel de x e o x fizesse o papel de y . Não muda nada, só basta ter cuidado pra não confundir os “ x ”:

f a ,   x = 3 a + 2 x

Passo 3

c)

Que tal a gente começar calculando f x + h ,   y ?

f x + h ,   y = 3 x + h + 2 y

f x + h ,   y = 3 x + 3 h + 2 y

Passo 4

Então vamos ter

f x + h ,   y - f x , y h = 3 x + 3 h + 2 y - 3 x + 2 y h

Ajeitando um pouco, isso dá:

3 x - 3 x + 2 y - 2 y + 3 h h = 3 h h

f x + h ,   y - f x , y h = 3

Passo 5

Essa daqui vai ser bem parecida. Temos

f x ,   y + k = 3 x + 2 y + k

f x ,   y + k = 3 x + 2 y + 2 k

Passo 6

Então nossa conta vai ser:

f x ,   y + k - f x , y k = 3 x + 2 y + 2 k - 3 x - 2 y k

f x ,   y + k - f x , y k = 2 k k = 2

Resposta

a) 1

b) 3 a + 2 x

c) 3

d) 2

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