Curvas de Nível

Teoria Completa

Fala aí, bem vindo ao RespondeAí! Nessa página estaremos interessados em discutir funções de várias variáveis.

Uma função de uma variável é daquele tipo que já conhecemos, onde um ponto $x$ te leva a um ponto $y$ por exemplo:

$$f(x)=y$$

Uma função de duas variáveis, seria dois valores $x$ e $y$ por exemplo, que te levariam para um terceiro valor $z$:

$$f(x,y)=z$$

Uma função de duas variáveis muitas vezes é representado no $\R^3$, nesse caso teríamos uma função de superfície.

A função de várias variáveis, poderia ser escrita como:

$$f(x_1,x_2,...,x_n)=y$$

Ou seja, um conjunto $\{x_1,x_2,...,x_n\}$ te leva para um número $y$. A gente só vai encontrar o valor de $y$ depois que "escolhermos" cada um dos $x_1$, $x_2$, ...

As funções de várias variáveis tem aplicação em computação, física e matemática aplicada, mas para nós meros estudantes de cálculo na faculdade, elas serão importantes quando formos estudar integrais duplas e integrais triplas, quando aprendermos a calcular a área de superfície ou o volume de sólidos!

Interpretação Gráfica

Vamos falar rapidamente sobre como podemos entender as funções em relação ao espaço vetorial que elas ocupam:

A função de uma variável, vai ser a representação de uma curva, que só tem 1 dimensão!

A função de duas variáveis, vai ser uma superfície que tem duas dimensões.

E a função de três variáveis, que representa um sólido e que por isso tem três dimensões.

Por último vamos fazer um exercício!

Exercício

Vamos dar uma olhada em um exercício de Funções de Várias Variáveis do nosso site! Aproveite nossa resoluções Passo a Passo para não ficar com dúvida em nenhum exercício!

Seja $f(x,y)=3x+2y$. Calcule:

a) $f(1,1)$

b) $f(a,x)$

c) $\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$

d) $\frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k}$

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Considere a função

f x , y , z = x 2 y + 3 z y - x + 3

Calcule os valores de f nos pontos:

a) 0 ,   1 ,   0

b) - 1 ,   2 ,   4

c) 3 ,   - 3 ,   3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Pra cada ponto basta substituir os valores dados de x , y e z na função.

a)

f 0 ,   1 ,   0 = 0 2 . 1 + 3.0 . 1 - 0 + 3

⇒ f 0 ,   1 ,   0 = 0 + 0 - 0 + 3

⇒ f 0 ,   1 ,   0 = 3

Tranquilo? Vamos continuar!

Passo 2

b)

f - 1 ,   2 ,   4 = - 1 2 . 2 + 3.4 . 2 - - 1 + 3

⇒ f - 1 ,   2 ,   4 = 2 + 24 + 1 + 3

⇒ f - 1 ,   2 ,   4 = 30

Beleza, agora vamos pra letra c).

Passo 3

f 3 ,   - 3 ,   3 = 3 2 . - 3 + 3.3 . - 3 - 3 + 3

⇒ f 3 ,   - 3 ,   3 = - 27 - 27

⇒ f 3 ,   - 3 ,   3 = - 54

Sem mistério né?

Resposta

a) 3

b) 30

c) - 54

Exercício Resolvido #2

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um Curso de Cálculo – Volume 2, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 2001, p. 152 - 1

Seja f x , y = 3 x + 2 y . Calcule

a) f 1 , - 1

b) f a ,   x

c) f x + h ,   y - f x , y h

d) f x ,   y + k - f x , y k

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Basta substituir os valores na função!

a)

f 1 , - 1 = 3.1 + 2 . - 1

→ f 1 , - 1 = 3 - 2

→ f 1 , - 1 = 1

Passo 2

b)

Agora temos que calcular f x ,   y no ponto a ,   x . É como se o a fizesse o papel de x e o x fizesse o papel de y . Não muda nada, só basta ter cuidado pra não confundir os “ x ”:

f a ,   x = 3 a + 2 x

Passo 3

c)

Que tal a gente começar calculando f x + h ,   y ?

f x + h ,   y = 3 x + h + 2 y

→ f x + h ,   y = 3 x + 3 h + 2 y

Passo 4

Então vamos ter

f x + h ,   y - f x , y h = 3 x + 3 h + 2 y - 3 x + 2 y h

Ajeitando um pouco, isso dá:

3 x - 3 x + 2 y - 2 y + 3 h h = 3 h h

→ f x + h ,   y - f x , y h = 3

Passo 5

Essa daqui vai ser bem parecida. Temos

f x ,   y + k = 3 x + 2 y + k

→ f x ,   y + k = 3 x + 2 y + 2 k

Passo 6

Então nossa conta vai ser:

f x ,   y + k - f x , y k = 3 x + 2 y + 2 k - 3 x - 2 y k

⇒ f x ,   y + k - f x , y k = 2 k k = 2

Resposta

a) 1

b) 3 a + 2 x

c) 3

d) 2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas