Teoria Completa
Fala aí, bem vindo ao RespondeAí! Nessa página estaremos interessados em discutir funções de várias variáveis.
Uma função de uma variável é daquele tipo que já conhecemos, onde um ponto $x$ te leva a um ponto $y$ por exemplo:
Uma função de duas variáveis, seria dois valores $x$ e $y$ por exemplo, que te levariam para um terceiro valor $z$:
Uma função de duas variáveis muitas vezes é representado no $\R^3$, nesse caso teríamos uma função de superfície.
A função de várias variáveis, poderia ser escrita como:
Ou seja, um conjunto $\{x_1,x_2,...,x_n\}$ te leva para um número $y$. A gente só vai encontrar o valor de $y$ depois que "escolhermos" cada um dos $x_1$, $x_2$, ...
As funções de várias variáveis tem aplicação em computação, física e matemática aplicada, mas para nós meros estudantes de cálculo na faculdade, elas serão importantes quando formos estudar integrais duplas e integrais triplas, quando aprendermos a calcular a área de superfície ou o volume de sólidos!
Interpretação Gráfica
Vamos falar rapidamente sobre como podemos entender as funções em relação ao espaço vetorial que elas ocupam:
A função de uma variável, vai ser a representação de uma curva, que só tem 1 dimensão!
A função de duas variáveis, vai ser uma superfície que tem duas dimensões.
E a função de três variáveis, que representa um sólido e que por isso tem três dimensões.
Por último vamos fazer um exercício!
Exercício
Vamos dar uma olhada em um exercício de Funções de Várias Variáveis do nosso site! Aproveite nossa resoluções Passo a Passo para não ficar com dúvida em nenhum exercício!
Seja $f(x,y)=3x+2y$. Calcule:
a) $f(1,1)$
b) $f(a,x)$
c) $\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$
d) $\frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k}$
Exercício Resolvido #1
Considere a função
Calcule os valores de nos pontos:
a)
b)
c)
Passo 1
Pra cada ponto basta substituir os valores dados de , e na função.
a)
Tranquilo? Vamos continuar!
Passo 2
b)
Beleza, agora vamos pra letra c).
Passo 3
Sem mistério né?
Resposta
a)
b)
c)
Exercício Resolvido #2
Seja . Calcule
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Basta substituir os valores na função!
a)
Passo 2
b)
Agora temos que calcular no ponto . É como se o fizesse o papel de e o fizesse o papel de . Não muda nada, só basta ter cuidado pra não confundir os “”:
Passo 3
c)
Que tal a gente começar calculando ?
Passo 4
Então vamos ter
Ajeitando um pouco, isso dá:
Passo 5
Essa daqui vai ser bem parecida. Temos
Passo 6
Então nossa conta vai ser:
Resposta
a)
b)
c)
d)