Teoria
Introdução
Neste tópico nós vamos aprender a determinar a área delimitada de algumas curvas!
Então vamos com um exemplo: como determinar a área delimitada pela curva abaixo?
Calma! Vamos passo a passo.
Repara que nós temos os termos . Quando a gente tiver esses termos elevado ao quadrado, a dica é usar coordenadas polares. Então ficará assim,
Se introduzirmos essa mudança na expressão da curva, temos
Usando a propriedade e , temos
Nós chamamos de curvas polares, todas essas curvas nas quais podemos aplicar as coordenadas polares. Elas, normalmente, são difíceis de serem desenhadas, então fica difícil de achar a variação do ângulo .
Por isso, vou te contar o segredo por trás do truque de mágica, a gente sempre pode considerar essa variação aqui:
Onde é o ângulo inicial. A gente aqui vai adotar que para todos os casos. Dessa forma, só poderemos ter valores de entre 0 e . Não entendeu nada? Vamos seguir com o exemplo,
Temos que e , então,
Se lembrarmos lá do círculo trigonométrico a gente vai concluir que existem mais intervalos que são válidos como, por exemplo:
Ok, mas devemos analisar e não . Então devemos dividir todo mundo por 2. Assim, os ângulos que satisfazem a primeira condição são
Agora, lembra da segunda condição? Devemos garantir que, no máximo, . Vemos, então, que os únicos ângulos que satisfazem as duas condições, ao mesmo tempo, são
Estamos acabando, acredite em mim! A variação de é dado pelos intervalos acima e a variação de é Então, já estamos aptos a montar as integrais. Lembrando que a integral aplicando mudança de coordenadas polares tem a seguinte cara,
Mas para cada intervalo de , nós vamos ter uma integral e vamos precisar do somatório delas.
Agora é só resolver essas integrais e somar o resultado. Quer ver qual é essa figura? Olha um esboço dela aqui:
Curvas Polares na forma parametrizada
Galera, se liga em outra coisa agora! Muitas vezes a questão te dá curva parametrizada. Então como a gente faz?
Olha esse exemplo e temos quer calcular a área limitada por ele:
O macetinho aqui é comparar essa expressão de cima com essa aqui embaixo
Repara só que da expressão equivale ao da expressão . Como vimos acima . Deste modo,
Agora, acharemos a variação de . Como qualquer ângulo pode satisfazer essa condição teríamos
Mas, pela segunda condição vamos ter, na verdade,
Então, jogando novamente na formula de mudanças de coordenadas polares, a área pedida pode ser calculada com
Vamos escrever um passo a passo então?
Passo 1: escrever a mudança polar ou elíptica e não esquecer do jacobiano.
Passo 2: introduzir a mudança na equação da curva que foi dada e obter o valor de máximo.
Passo 3: usar as hipóteses e para achar a real variação de .
Passo 4: escrever os limites de integração.
Passo 5: montar e resolver as integrais
Agora partiu exercícios. That’s all Folks.