Teoria

Introdução

Neste tópico nós vamos aprender a determinar a área delimitada de algumas curvas!

Então vamos com um exemplo: como determinar a área delimitada pela curva abaixo?

x 2 + y 2 2 = 2 x 2 - y 2

Calma! Vamos passo a passo.

Repara que nós temos os termos x 2   e   y 2 . Quando a gente tiver esses termos elevado ao quadrado, a dica é usar coordenadas polares. Então ficará assim,

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

J = r

Se introduzirmos essa mudança na expressão da curva, temos

x 2 + y 2 2 = 2 x 2 - y 2

r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sen 2 ⁡ θ 2 = 2 r 2 cos 2 ⁡ θ - r 2 sen 2 ⁡ θ

r 2 . cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ 2 = 2 ( r 2 . cos 2 ⁡ θ - s e n 2 θ )

Usando a propriedade cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 1 e cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ = cos ⁡ 2 θ , temos

r 4 = 2 r 2 cos ⁡ 2 θ → r 2 = 2 cos ⁡ 2 θ ∴ r = 2 cos ⁡ 2 θ

Nós chamamos de curvas polares, todas essas curvas nas quais podemos aplicar as coordenadas polares. Elas, normalmente, são difíceis de serem desenhadas, então fica difícil de achar a variação do ângulo θ .

Por isso, vou te contar o segredo por trás do truque de mágica, a gente sempre pode considerar essa variação aqui:

r ≥ 0   e   θ i ≤ θ ≤ θ i + 2 π

Onde θ i é o ângulo inicial. A gente aqui vai adotar que θ i = 0 para todos os casos. Dessa forma, só poderemos ter valores de θ entre 0 e 2 π . Não entendeu nada? Vamos seguir com o exemplo,

Temos que r = 2 cos ⁡ 2 θ e r ≥ 0 , então,

2 cos ⁡ 2 θ ≥ 0 → cos ⁡ 2 θ ≥ 0 ∴ - π 2 ≤ 2 θ ≤ π 2

Se lembrarmos lá do círculo trigonométrico a gente vai concluir que existem mais intervalos que são válidos como, por exemplo:

3 π 2 ≤ 2 θ ≤ 5 π 2

7 π 2 ≤ 2 θ ≤ 9 π 2

Ok, mas devemos analisar θ e não 2 θ . Então devemos dividir todo mundo por 2. Assim, os ângulos que satisfazem a primeira condição são

- π 4 ≤ θ ≤ π 4

3 π 4 ≤ θ ≤ 5 π 4

7 π 4 ≤ θ ≤ 9 π 4 ,

Agora, lembra da segunda condição? Devemos garantir que, no máximo, 0 ≤ θ ≤ 2 π . Vemos, então, que os únicos ângulos que satisfazem as duas condições, ao mesmo tempo, são

0 ≤ θ ≤ π 4 , 3 π 4 ≤ θ ≤ 5 π 4 , 7 π 4 ≤ θ ≤ 2 π

Estamos acabando, acredite em mim! A variação de θ é dado pelos intervalos acima e a variação de r é 0 ≤ r ≤ 2 cos ⁡ 2 θ . Então, já estamos aptos a montar as integrais. Lembrando que a integral aplicando mudança de coordenadas polares tem a seguinte cara,

A = ∬ f r , θ | J | d r d θ

Mas para cada intervalo de θ , nós vamos ter uma integral e vamos precisar do somatório delas.

A = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 cos ⁡ 2 θ r d r d θ + ∫ 3 π / 4 5 π / 4 ∫ 0 2 cos ⁡ 2 θ r d r d θ + ∫ 7 π / 4 2 π ∫ 0 2 cos ⁡ 2 θ r d r d θ

Agora é só resolver essas integrais e somar o resultado. Quer ver qual é essa figura? Olha um esboço dela aqui:

Curvas Polares na forma parametrizada

Galera, se liga em outra coisa agora! Muitas vezes a questão te dá curva parametrizada. Então como a gente faz?

Olha esse exemplo e temos quer calcular a área limitada por ele:

c θ = 1 + cos ⁡ θ cos ⁡ θ , 1 + cos ⁡ θ ) sen ⁡ θ                                 ( 1 )

O macetinho aqui é comparar essa expressão de cima ( 1 ) com essa aqui embaixo ( 2 )

c θ = r θ cos ⁡ θ ,   r θ sen ⁡ θ                               ( 2 )

Repara só que r θ da expressão ( 2 ) equivale ao 1 + cos ⁡ θ da expressão ( 1 ) . Como vimos acima r ≥ 0 . Deste modo,

r θ = 1 + cos ⁡ θ ≥ 0

cos ⁡ θ ≥ - 1

Agora, acharemos a variação de θ . Como qualquer ângulo pode satisfazer essa condição teríamos

- ∞ ≤ θ ≤ ∞

Mas, pela segunda condição vamos ter, na verdade,

0 ≤ θ ≤ 2 π

Então, jogando novamente na formula de mudanças de coordenadas polares, a área pedida pode ser calculada com

A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 + cos ⁡ θ r d r d θ  

Vamos escrever um passo a passo então?

Passo 1: escrever a mudança polar ou elíptica e não esquecer do jacobiano.

Passo 2: introduzir a mudança na equação da curva que foi dada e obter o valor de r máximo.

Passo 3: usar as hipóteses r ≥ 0 e 0 ≤ θ ≤ 2 π para achar a real variação de θ .

Passo 4: escrever os limites de integração.

Passo 5: montar e resolver as integrais

Agora partiu exercícios. That’s all Folks.

Curvas Polares na forma parametrizada

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