Mudança para Coordenadas Elípticas
Produzido por Arthur Melo de AlmeidaTeoria
Certas vezes, nas questões de integrais duplas, vamos encontrar regiões desse tipo:
Essa é uma elipse de coeficientes e . Se você reparar, a equação se parece muito com a da circunferência, a única diferença é que os coeficientes de e de são diferentes entre si. Nesses casos, utilizaremos um tipo de coordenadas muito semelhante com as polares: as coordenadas elípticas. O raciocínio é basicamente o mesmo!
Vamos usar as mesmas variáveis e , porém, com uma substituição diferente. Repare que, nesse exemplo acima, se fizermos:
Teremos:
Essa expressão representa, para as coordenadas, polares uma circunferência, enquanto para as elípticas, uma elipse. A região dentro da elipse passa a ser descrita, então, pelos intervalos e .
Para escrever as elipses dessa forma (a mais simples possível), temos, portanto, que fazer substituições com coeficientes diferentes.
Em outras palavras, você precisa buscar coeficientes para ) e que, quando elevados ao quadrado, “cancelem” os coeficientes de e da elipse. Assim, poderemos agrupar e a equação se transformará em . Portanto, se escrevermos a elipse dessa forma:
A substituição que faremos será:
O Jacobiano será então:
OBS: Você só terá se escrever a elipse dessa forma, com apenas o termo” ” depois do” ”. Caso contrário, o raio será a raiz do termo depois do “”, como na circunferência. É uma boa você escrever direto dessa forma quando der porque fica mais fácil fazer o desenho para visualizar a região.
Se a gente, por exemplo, tivesse escrito uma elipse como:
Poderíamos fazer a mudança como:
Levando para a equação da elipse, temos:
Sem mistério, viu? Temos em vez de .
Então: coordenadas elípticas são coordenadas polares com coeficientes diferentes de (no caso, chamamos os coeficientes da mudança de e ). Há quem chame essas coordenadas de polares também, mas nós vamos chamar de elípticas para não confundir, ok?
Beleza, então, quando tivermos regiões que envolvam elipses, vamos pensar logo nas coordenadas elípticas.
Podemos usar coordenadas elípticas também quando encontramos termos quadráticos com coeficientes diferentes, por exemplo:
Se a gente fizer a mudança:
Nós chegamos a isso aqui:
Muito melhor do que antes, não é? Claro que nesse exemplo a gente ainda teria que escrever a região de integração em coordenadas elípticas e tal, mas a mudança de variáveis simplifica muito nossa vida de qualquer forma.
OBS: Quando decidimos usar mudança de variável, devemos aplicar a mudança em todas as curvas do domínio. Assim, se o domínio for uma elipse acima da reta Devido a elipse, nós faríamos
Pois isso nos daria . Ainda precisamos descobrir como vai ficar a equação da reta, ou seja, devemos fazer
Assim, nossa região seria descrita por e Portanto, devemos substituir a mudança em todas as curvas.
O passo a passo desse tipo de questão é exatamente o mesmo das coordenadas polares, e os casos em que fazemos a mudança também são muito semelhantes, como já vimos; Então, se você já sabe polares, coordenadas elípticas vai ser bem tranquilo : )
Mudança qualquer junto com Mudança Elíptica
Certas vezes, não é tão simples enxergar que precisamos fazer uma mudança polar para resolver a questão. Por exemplo, digamos que você encontre uma região com essa cara:
E uma integral assim;
Ferrou né? Bom, repara que, na região de integração, nós temos um termo elevado ao quadrado somado a outro elevado ao quadrado, igual a um número. Isso não te lembra uma elipse? Se a gente chamar:
Nós temos uma elipse no plano :
Agora é só resolver como vimos acima!
Isso aí, vamos treinar agora!