Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

Teoria Completa

Introdução

Para as integrais simples, a região em que integramos é sempre um intervalo, certo? Seja da variável x ou y . Porém, quando temos duas variáveis, a história já é outra: nosso domínio pode ser diversos tipos de área. Bom você já viu como calcular integrais duplas sobre retângulos, mas e se quisermos integrar em uma região qualquer? Tem um teorema que nos permite fazer isso.

Imagine uma região  D fechada, representada na figura abaixo em verde. Ela sempre estará contida dentro de um retângulo maior R = a , b × [ c , d ] , certo?

Vamos definir, então, uma função  f  que seja assim:

F x , y = f x , y ,     s e   x , y   e s t i v e r   d e n t r o   d e   D 0 ,       s e   x , y   e s t i v e r   f o r a   d e   D ,   m a s   d e n t r o   d e   R  

Sendo assim, podemos dizer que é verdade que:

∬ D   f x , y   d A = ∬ R   F x , y   d A

Pensa bem: nossa função  F tem valor nulo fora de   D , portanto, essa região "a mais" não acrescenta nada para a nossa Integral. Não é?

Agora, para calcularmos a integral nessa região, vamos separá-la em integrais simples:

∬ R   F x , y   d A = ∫ a b   ∫ c d F x , y   d y   d x

Acontece que, quando nossa região não é um retângulo, não podemos descrevê-la apenas por intervalos de números a , b , c e d , pois ela não será limitada por retas, mas sim por funções, curvas como x 2 = y , por exemplo. Ok, e agora? O que fazer?

Sem problemas, digamos que x varie entre dois números ( x máximo e x mínimo) e y varie entre as funções g 1 x e g 2 x . Quando y está fora desse intervalo [ g 1 x , g 2 x ] temos F x , y = 0 , certo? Enquanto dentro, temos F x , y = f ( x , y ) . Assim, podemos escrever a integral em D como:

∫ a b   ∫ c d F x , y   d y   d x = ∫ a b   ∫ g 1 ( x ) g 2 ( x ) f x , y   d y   d x

Em resumo, é isso aqui o que você precisa saber! Também podemos escrever como integrais iteradas as integrais duplas em regiões que não são retângulos, a diferença é que teremos funções nos limites de integração para uma das variáveis.

Mas porque apenas para uma das variáveis? Pensa bem, depois que nós resolvermos a integral de dentro, vai sobrar apenas uma integral simples, não é? E os limites de integração de uma integral simples são números! Como você já está cansado de ver. Vamos ver melhor como isso funciona daqui a pouco.

Tipos de regiões

Bom, você acabou de ver que, para integrarmos em regiões gerais, devemos ter uma variável limitada por constantes e a outra, por funções. Agora, é fundamental que você saiba como escrever a região de integração. Para entendermos isso melhor, vamos dividir as regiões em 2 tipos:

Regiões do Tipo I: são as regiões contínuas em  x , o que significa que precisamos apenas dos valores inicial e final dessa variável ( a e b ). Neste caso, o intervalo de integração de  y será dado por duas funções de x  ( g 1 ( x ) e g 2 ( x ) ). Descrevemos essas regiões assim:

D = { x , y | a ≤ x ≤ b ,   g 1 x ≤ y ≤ g 2 x }

Graficamente, uma região genérica desse tipo é assim:

Você pode pensar dessa forma: em cima e embaixo a região é limitada por funções (as curvas em azul), já na esquerda e na direita, por números (as retas tracejadas). Visualizou?

A integral sobre esse tipo de região é, então, escrita dessa forma (como já vimos):

∫ a b   ∫ g 1 ( x ) g 2 ( x ) f x , y   d y   d x

Exemplo: Calcule ∬ D   x   d x   d y , onde D é a região entre a parábola y = x 2 e a reta y = 2 x .

Primeiramente, precisamos escrever matematicamente essa região.

Olhando para figura abaixo, vemos que x varia entre 0 e 2 (onde a reta e a parábola se encontram), enquanto y varia entre as duas funções. Logo, podemos escrever a região como:

D = { x , y | 0 ≤ x ≤ 2 ,   x 2 ≤ y ≤ 2 x }

Repara que y é maior ou igual à função “de baixo” (em azul) e menor ou igual à “de cima” (em rosa).

Nossa integral passa a ser, então:

∫ 0 2   ∫ x 2 2 x x   d y   d x =

= ∫ 0 2   x   y x 2   2 x d x =

= ∫ 0 2   ( 2 x 2 - x 3 ) d x =

= 2 x 3 3 - x 4 4 0 2 = 16 3 - 16 4 = 16 12 = 4 3

Nada demais, né? Beleza, vamos continuar.

Regiões do Tipo II: são o oposto das regiões do tipo I, portanto, contínuas em  y . Ou seja, em  y , temos um intervalo definido (números). Já em x , a região é limitada por funções. Elas podem ser escritas assim:

D = { x , y | c ≤ y ≤ d ,   h 1 y ≤ x ≤ h 2 y }

O gráfico de uma região genérica desse tipo seria assim:

Se você reparar, na esquerda e na direita, a região é limitada por funções (as curvas em azul), já em cima e embaixo, por números (as retas tracejadas).

Com o mesmo raciocínio que usamos nas regiões do tipo I, concluímos que as integrais para as regiões do tipo II podem ser escritas assim:

∫ c d   ∫ h 1 ( y ) h 2 ( y ) f x , y   d x   d y

Exemplo: Calcule ∬ D   x   d x   d y , onde D é a região entre a parábola x = y 2 e a reta x = 1 .

Vamos começar tentando esboçar a região D . Vamos fazer um esboço para entender melhor a questão. Observando a equação da parábola, vemos que o termo elevado ao quadrado é o y , não o x , como costumamos ver. Isso quer dizer que essa parábola está “virada de lado”, com eixo de simetria paralelo ao x . Como o número que multiplica y 2 é positivo, ela está virada para a direita (onde x é positivo). Vamos, então, ter algo parecido com isso

Observe que a interseção entre a reta e a parábola ocorre nos pontos y = - 1   e   y = 1 . Veja, também, que o x é sempre maior ou igual a parábola (a esquerda) e menor ou igual a reta (a direita). Assim, podemos dizer que

∫ - 1 1 ∫ y 2 1 x d x d y =

= ∫ - 1 1 x 2 2 y 2 1 d y =

= 1 2 ∫ - 1 1 1 - y 4 d y =

= 1 2 y - y 5 5 - 1 1 = 4 5

OBS: Algumas regiões podem ser escritas tanto como tipo I como tipo II. Nesse caso, você decide a forma que achar mais simples ou melhor para a questão! Em ambos os exemplos podíamos ter optado tanto por tipo I quanto por tipo II.

Cálculo de Áreas

Imagina que queremos calcular a área de uma região R . A gente já viu que essa bendita integral dupla representa um volume, certo? Então, mas de um jeito geral os volumes são dados por

V = A b h

Onde A b é a área da base e h é a altura do sólido. Agora, se a nossa altura for 1, ou seja, h = 1 , vamos ter que o volume coincide com a área da base! Assim, o truque para obter uma área é imaginar um sólido de altura 1 cuja base seja a área que queremos e ai o volume (integral dupla) vai coincidir com a área desejada, ou seja, é só fazer:

A = ∬ R 1 d A

Cálculo de Massa

Às vezes a gente quer calcular a massa de uma chapa em forma de parábola, D (sim, pessoas estranhas fazem isso). Para fazer isso, vamos precisar da densidade dessa placa que vamos representar por δ . Só fica atento a uma coisa: normalmente, a gente pensa em densidade como massa sobre o volume. Uma chapa fininha não tem volume, na verdade, essa densidade será massa/área

δ = M A

Onde M   é a massa da placa e A a área da placa. Você já trabalhou muito com densidade em física, mas lá ela era um número constante. Aqui, ela pode variar de ponto a ponto da placa, ou seja, δ = δ ( x , y ) . Então, para calcular a massa de D , podemos pensar num elemento bem pequenino (que tal um com área d A ?) e dizer que sua massa pequenina, d M , é:

d M = δ x , y d A

Advinha o que faremos agora? Vamos somar a massa de cada pedacinho para obter a massa da placa toda

M D = ∬ D δ x , y d A = ∬ D δ x , y d x d y

A integral acima se resolve da mesma forma que fizemos no exemplo, a diferença é que a função a ser integrada agora é δ x , y .

Beleza? Vamos ver uns exercícios agora!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Lista 21 - UERJ – Cálculo 2 – exercício 3a

Determine o esboço da região do plano x y sobre a qual a integral é calculada:

∫ 1 2 ∫ x 2 4 x - x 2 f ( x , y ) d y d x

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Passo 1

Vamos analisar os intervalos de integração que temos para x :

1 ≤ x ≤ 2

No gráfico, é o seguinte:

Passo 2

Agora para y :

x 2 ≤ y ≤ 4 x - x 2

Isso quer dizer que temos as curvas y = x 2 e y = 4 x - x 2 limitando nossa região. A primeira, nós sabemos que é uma parábola com concavidade para cima e que passa pela origem, sem grandes novidades:

Agora vamos ver a outra curva, y = 4 x - x 2 .

Como temos y de um lado e x 2 do outro, sabemos que também é uma parábola, mas repare no sinal negativo de x 2 . Isso significa que a concavidade da parábola está voltada para baixo.

E mais: temos esse termo 4 x , que significa que ela está deslocada de alguma forma. Vamos calcular suas raízes para entender melhor:

y = 4 x - x 2 = 0

x 4 - x = 0

x = 0 x = 4

Ela passa então pelos pontos ( 0,0 ) e ( 4,0 ) . Vamos desenhar isso aqui:

Passo 3

Agora vamos identificar a região:

Beleza? Tranquilo, né?

Resposta

Exercício Resolvido #2

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE Learning, 2010, pp. 920

Calcule

∬ D   x + 2 y d A

Onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2 x 2 e y = 1 + x 2 .

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Passo 1

Primeiramente, vamos fazer um esboço para entender melhor o que está sendo pedido. Como as duas parábolas tem o coeficiente do termo x 2 positivos, elas estão viradas para cima. Fazendo y = 0 , descobriremos suas raízes.

0 = 2 x 2   → x = 0

0 = 1 + x 2   → x 2 = - 1

A segunda parábola não possui raízes reais, portanto, não corta o eixo x .

Passo 2

Como essa região está limitada em y por duas equações (a parábola vermelha e a azul) e em x por 2 números, podemos escrevê-la como do tipo I.

Em y teremos: 2 x 2 ≤ y ≤ 1 + x 2

Para descobrir intervalo em x , devemos fazer e interseção entre as equações das parábolas y = 2 x 2 e y = 1 + x 2 , encontraremos 2 valores.

2 x 2 = 1 + x 2

x 2 = 1

x = ± 1

Assim, descobrimos que x varia entre - 1 e 1 (onde as curvas se encontram). Podemos, então, escrever a região como:

D = { ( x , y ) | - 1 ≤ x ≤ 1 ;   2 x 2 ≤ y ≤ 1 + x 2 }  

Passo 3

Vamos, então, substituir em nossa integral os valores que acabamos de encontrar para o domínio.

Cuidado com a ordem de integração!Lembre-se de que as funções ficam na integral de dentro, enquanto os números ficam na de fora.

∫ - 1 1   ∫ 2 x 2 1 + x 2 x + 2 y d y d x

Passo 4

Agora vamos integrar em relação a y (integral de dentro):

= ∫ - 1 1   x y + 2 y 2 2 y = 2 x 2 y = 1 + x 2 d x

= ∫ - 1 1   [ x 1 + x 2 + 1 + x 2 2 ] - x 2 x 2 + 2 x 2 2 d x =

= ∫ - 1 1 [   x + x 3 + 1 + 2 x 2 + x 4 ] - 2 x 3 + 4 x 4 d x =

= ∫ - 1 1 x + x 3 + 1 + 2 x 2 + x 4 - 2 x 3 - 4 x 4 d x =

= ∫ - 1 1 - 3 x 4 - x 3 + 2 x 2 + x + 1   d x =

Passo 5

Está na hora, então, de integrar em relação a x :

= - 3 x 5 5 - x 4 4 + 2 x 3 3 + x 2 2 + x x = - 1 x = 1 =

= - 3 . 1 5 5 - 1 4 4 + 2 . 1 3 3 + 1 2 2 + 1 - - 3 - 1 5 5 - - 1 4 4 + 2 - 1 3 3 + - 1 2 2 + - 1 =

= - 3 5 - 1 4 + 2 3 + 1 2 + 1 - 3 5 - 1 4 - 2 3 + 1 2 - 1 =

= - 3 5 - 1 4 + 2 3 + 1 2 + 1 - 3 5 + 1 4 + 2 3 - 1 2 + 1 =

= - 6 5 + 4 3 + 2 =

= - 18 + 20 + 30 15 =

Resposta

32 15

Exercício Resolvido #3

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 921

Calcule ∬ D   x y   d A , onde D é a região limitada pela reta y = x - 1 e pela parábola y 2 = 2 x + 6 .

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Passo 1

Vamos fazer um esboço para entender melhor a questão.

Observando a equação da parábola, vemos que o termo elevado ao quadrado é o y , não o x , como costumamos ver. Isso quer dizer que essa parábola está “virada de lado”, com eixo de simetria paralelo ao x .

Como o número que multiplica y 2 é positivo, ela está virada para a direita (onde x é positivo)

Fazendo x = 0 , vemos que a parábola possui raízes (corta o eixo y ):

y 2 = 6   → y = ± 6

Agora precisamos analisar a reta. Como o número que multiplica o x é positivo, ela está virada para a direita.

O que estamos fazendo é uma análise rápida das equações do domínio, você não deve se preocupar em fazer um gráfico perfeito! Isso é apenas para termos uma noção do formato da área na hora de escrevê-la.

Passo 2

Essa região pode ser escrita tanto como tipo I como II. Porém, no primeiro caso seria preciso dividi-la em duas, pois na esquerda ela está limitada em cima e embaixo pela parábola e na direita, pela parábola e pela reta. Já se escrevermos como tipo II, a questão fica mais simples, pois teremos apenas a parábola na esquerda e a reta na direita.

É importante que você faça essas análises, para evitar contas desnecessárias!

Escrevendo como tipo II, então, precisamos colocar as equações da reta e da parábola em função de y , isolando o x :

y = x - 1 → x = y + 1

y 2 = 2 x + 6 → x = ( y 2 - 6 ) 2

Assim, teremos: ( y 2 - 6 ) 2 ⏟ v e r m e l h o ≤ x ≤ y + 1 ⏟ a z u l

Para encontrar o intervalo de y , temos que fazer a interseção entre as duas funções, igualando uma à outra.

y + 1 = ( y 2 - 6 ) 2

y 2 2 - y - 4 = 0

y 2 - 2 y - 8 = 0

Resolvendo

y = - - 2 ± - 2 2 - 4 - 8 1 2.1 = 2 ± 4 + 32 2 = 2 ± 36 2 = 2 ± 6 2 = 1 ± 3

y = - 2 y = 4

Portanto, temos - 2 ≤ y ≤ 4 e nosso domínio será:

D = ( x , y ) | - 2 ≤ y ≤ 4 ; ( y 2 - 6 ) 2 ≤ x ≤ y + 1  

Passo 3

Vamos substituir esses valores na integral

∫ - 2 4   ∫ ( y 2 - 6 ) 2 y + 1 x y   d x d y

Passo 4

Agora vamos integrar em relação a x :

= ∫ - 2 4   x 2 2 y x = ( y 2 - 6 ) 2 x = y + 1 d y =

= ∫ - 2 4     y + 1 2 2 y - y 2 - 6 2 4 2 y   d y =

= ∫ - 2 4 y 3 + 2 y 2 + y 2 - y 5 - 12 y 3 + 36 y 8   d y =

= ∫ - 2 4   4 y 3 + 8 y 2 + 4 y - y 5 + 12 y 3 - 36 y 8   d y =

= ∫ - 2 4   - y 5 8 + 2 y 3 + y 2 - 4 y   d y =

Passo 5

Vamos integrar, então, em relação a y :

= - y 6 48 + y 4 2 + y 3 3 - 2 y 2 y = - 2 y = 4 =

- 4096 48 + 256 2 + 64 3 - 32 - - 64 48 + 16 2 - 8 3 - 8 =

= - 64 + 128 - 32 - - 4 + 8 - 8 =

= 32 + 4 =

= 36

Resposta

36

Exercício Resolvido #4

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 169

Calcule ∬ D   x + y d x d y , onde D é o triângulo de vértices (-1,0), (0,1) e (1,0).

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Passo 1

Vamos fazer um esboço desse triângulo para visualizar melhor o problema

Passo 2

Devemos, agora, escrever essa região de forma matemática. Perceba y varia entre 2 números: 0 e 1 , assim, temos 0 ≤ y ≤ 1 . Já em x , essa área é limitada na esquerda pela reta azul e na direita pela vermelha, certo? Assim, podemos escrever essa região como do tipo II, basta encontrar as equações dessas retas.

Para a reta azul

Temos dois pontos que pertencem a essa reta, ( - 1,0 ) e ( 0,1 ) , vamos substituí-los na equação geral de uma reta: y = a x + b . Teremos:

0 = - a + b 1 = b

0 = - a + 1

a = 1

Substituindo a e b , vemos que a reta será escrita como y = x + 1 . Porém, como nossa região será escrita como do tipo II, devemos isolar o x , ou seja, achar x em função de y .

x = y - 1

Para a reta vermelha

Usando o mesmo raciocínio para descobrir a equação dessa reta, vamos substituir os pontos ( 0,1 ) e ( 1,0 ) na equação geral da reta. Teremos:

1 = b 0 = a + b

a = - 1

Substituindo a e b , encontramos y = - x + 1 . Isolando novamente o x , teremos:

x = 1 - y

Assim, o domínio será escrito como:

D = { ( x , y ) | 0 ≤ y ≤ 1 ; y - 1 ≤ x ≤ 1 - y }

Passo 3

Agora vamos montar a integral! Basta substituir os intervalos que acabamos de encontrar.

∬ D   x + y d x d y = ∫ 0 1   ∫ y - 1 1 - y x + y   d x d y =

Passo 4

Devemos, então, integrar em relação a x :

= ∫ 0 1   x 2 2 + x y x = y - 1 x = 1 - y d y =

= ∫ 0 1   1 - y 2 2 + 1 - y y - y - 1 2 2 + y - 1 y   d y =

= ∫ 0 1   ( 1 - 2 y + y 2 ) 2 + y - y 2 - ( y 2 - 2 y + 1 ) 2 + y 2 - y   d y =

= ∫ 0 1 ( 1 - 2 y + y 2 ) 2 + y - y 2 - ( y 2 - 2 y + 1 ) 2 - y 2 + y   d y =

∫ 0 1 1 2 - y + y 2 2 + y - y 2 - y 2 2 + y - 1 2 - y 2 + y   d y =

= ∫ 0 1 - 2 y 2 + 2 y   d y =

Passo 5

Vamos integrar, então, em relação a y :

= - 2 y 3 3 + 2 y 2 2 y = o y = 1 =

= - 2 × 1 3 + 1 - 0 =

Resposta

1 3

Exercício Resolvido #5

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009

Suponha que uma lâmina com densidade f ocupe a região D do plano x y . Calcule a massa total m sabendo que D é a região triangular de vértices 0,0 , 3,0 , ( 3,5 ) e a densidade δ em cada ponto P = x , y ∈   D é igual à distância de P ao eixo y

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Passo 1

Sabemos, pela definição de cálculo de massa por integrais duplas, que podemos achar a massa de uma lâmina fazendo a seguinte integral:

m = ∬ D δ x , y d A

Portanto, para resolver esse problema, vamos precisar determinar os limites de integração da nossa região D ! Depois é só jogar na integral.

Vamos lá então, o exercício diz que a nossa região D é um triângulo com os vértices 0,0 , 3,0 , ( 3,5 ) certo? Mas isso não nos diz muito sobre os limites de integração, vamos ter que achar as retas associadas a esses pontos. No gráfico fica assim:

Perceba também que, quando ele fala que a densidade é igual a distância de cada ponto P ao eixo y , o que ele está nos falando é que

δ x , y = x