Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

Teoria Completa

Introdução

Para as integrais simples, a região em que integramos é sempre um intervalo, certo? Seja da variável x ou y . Porém, quando temos duas variáveis, a história já é outra: nosso domínio pode ser diversos tipos de área. Bom você já viu como calcular integrais duplas sobre retângulos, mas e se quisermos integrar em uma região qualquer? Tem um teorema que nos permite fazer isso.

Imagine uma região  D fechada, representada na figura abaixo em verde. Ela sempre estará contida dentro de um retângulo maior R = a , b × [ c , d ] , certo?

Vamos definir, então, uma função  f  que seja assim:

F x , y = f x , y ,     s e   x , y   e s t i v e r   d e n t r o   d e   D 0 ,       s e   x , y   e s t i v e r   f o r a   d e   D ,   m a s   d e n t r o   d e   R  

Sendo assim, podemos dizer que é verdade que:

∬ D   f x , y   d A = ∬ R   F x , y   d A

Pensa bem: nossa função  F tem valor nulo fora de   D , portanto, essa região "a mais" não acrescenta nada para a nossa Integral. Não é?

Agora, para calcularmos a integral nessa região, vamos separá-la em integrais simples:

∬ R   F x , y   d A = ∫ a b   ∫ c d F x , y   d y   d x

Acontece que, quando nossa região não é um retângulo, não podemos descrevê-la apenas por intervalos de números a , b , c e d , pois ela não será limitada por retas, mas sim por funções, curvas como x 2 = y , por exemplo. Ok, e agora? O que fazer?

Sem problemas, digamos que x varie entre dois números ( x máximo e x mínimo) e y varie entre as funções g 1 x e g 2 x . Quando y está fora desse intervalo [ g 1 x , g 2 x ] temos F x , y = 0 , certo? Enquanto dentro, temos F x , y = f ( x , y ) . Assim, podemos escrever a integral em D como:

∫ a b   ∫ c d F x , y   d y   d x = ∫ a b   ∫ g 1 ( x ) g 2 ( x ) f x , y   d y   d x

Em resumo, é isso aqui o que você precisa saber! Também podemos escrever como integrais iteradas as integrais duplas em regiões que não são retângulos, a diferença é que teremos funções nos limites de integração para uma das variáveis.

Mas porque apenas para uma das variáveis? Pensa bem, depois que nós resolvermos a integral de dentro, vai sobrar apenas uma integral simples, não é? E os limites de integração de uma integral simples são números! Como você já está cansado de ver. Vamos ver melhor como isso funciona daqui a pouco.

Tipos de regiões

Bom, você acabou de ver que, para integrarmos em regiões gerais, devemos ter uma variável limitada por constantes e a outra, por funções. Agora, é fundamental que você saiba como escrever a região de integração. Para entendermos isso melhor, vamos dividir as regiões em 2 tipos:

Regiões do Tipo I: são as regiões contínuas em  x , o que significa que precisamos apenas dos valores inicial e final dessa variável ( a e b ). Neste caso, o intervalo de integração de  y será dado por duas funções de x  ( g 1 ( x ) e g 2 ( x ) ). Descrevemos essas regiões assim:

D = { x , y | a ≤ x ≤ b ,   g 1 x ≤ y ≤ g 2 x }

Graficamente, uma região genérica desse tipo é assim:

Você pode pensar dessa forma: em cima e embaixo a região é limitada por funções (as curvas em azul), já na esquerda e na direita, por números (as retas tracejadas). Visualizou?

A integral sobre esse tipo de região é, então, escrita dessa forma (como já vimos):

∫ a b   ∫ g 1 ( x ) g 2 ( x ) f x , y   d y   d x

Exemplo: Calcule ∬ D   x   d x   d y , onde D é a região entre a parábola y = x 2 e a reta y = 2 x .

Primeiramente, precisamos escrever matematicamente essa região.

Olhando para figura abaixo, vemos que x varia entre 0 e 2 (onde a reta e a parábola se encontram), enquanto y varia entre as duas funções. Logo, podemos escrever a região como:

D = { x , y | 0 ≤ x ≤ 2 ,   x 2 ≤ y ≤ 2 x }

Repara que y é maior ou igual à função “de baixo” (em azul) e menor ou igual à “de cima” (em rosa).

Nossa integral passa a ser, então:

∫ 0 2   ∫ x 2 2 x x   d y   d x =

= ∫ 0 2   x   y x 2   2 x d x =

= ∫ 0 2   ( 2 x 2 - x 3 ) d x =

= 2 x 3 3 - x 4 4 0 2 = 16 3 - 16 4 = 16 12 = 4 3

Nada demais, né? Beleza, vamos continuar.

Regiões do Tipo II: são o oposto das regiões do tipo I, portanto, contínuas em  y . Ou seja, em  y , temos um intervalo definido (números). Já em x , a região é limitada por funções. Elas podem ser escritas assim:

D = { x , y | c ≤ y ≤ d ,   h 1 y ≤ x ≤ h 2 y }

O gráfico de uma região genérica desse tipo seria assim:

Se você reparar, na esquerda e na direita, a região é limitada por funções (as curvas em azul), já em cima e embaixo, por números (as retas tracejadas).

Com o mesmo raciocínio que usamos nas regiões do tipo I, concluímos que as integrais para as regiões do tipo II podem ser escritas assim:

∫ c d   ∫ h 1 ( y ) h 2 ( y ) f x , y   d x   d y

Exemplo: Calcule ∬ D   x   d x   d y , onde D é a região entre a parábola x = y 2 e a reta x = 1 .

Vamos começar tentando esboçar a região D . Vamos fazer um esboço para entender melhor a questão. Observando a equação da parábola, vemos que o termo elevado ao quadrado é o y , não o x , como costumamos ver. Isso quer dizer que essa parábola está “virada de lado”, com eixo de simetria paralelo ao x . Como o número que multiplica y 2 é positivo, ela está virada para a direita (onde x é positivo). Vamos, então, ter algo parecido com isso

Observe que a interseção entre a reta e a parábola ocorre nos pontos y = - 1   e   y = 1 . Veja, também, que o x é sempre maior ou igual a parábola (a esquerda) e menor ou igual a reta (a direita). Assim, podemos dizer que

∫ - 1 1 ∫ y 2 1 x d x d y =

= ∫ - 1 1 x 2 2 y 2 1 d y =

= 1 2 ∫ - 1 1 1 - y 4 d y =

= 1 2 y - y 5 5 - 1 1 = 4 5

OBS: Algumas regiões podem ser escritas tanto como tipo I como tipo II. Nesse caso, você decide a forma que achar mais simples ou melhor para a questão! Em ambos os exemplos podíamos ter optado tanto por tipo I quanto por tipo II.

Cálculo de Áreas

Imagina que queremos calcular a área de uma região R . A gente já viu que essa bendita integral dupla representa um volume, certo? Então, mas de um jeito geral os volumes são dados por

V = A b h

Onde A b é a área da base e h é a altura do sólido. Agora, se a nossa altura for 1, ou seja, h = 1 , vamos ter que o volume coincide com a área da base! Assim, o truque para obter uma área é imaginar um sólido de altura 1 cuja base seja a área que queremos e ai o volume (integral dupla) vai coincidir com a área desejada, ou seja, é só fazer:

A = ∬ R 1 d A

Cálculo de Massa

Às vezes a gente quer calcular a massa de uma chapa em forma de parábola, D (sim, pessoas estranhas fazem isso). Para fazer isso, vamos precisar da densidade dessa placa que vamos representar por δ . Só fica atento a uma coisa: normalmente, a gente pensa em densidade como massa sobre o volume. Uma chapa fininha não tem volume, na verdade, essa densidade será massa/área

δ = M A

Onde M   é a massa da placa e A a área da placa. Você já trabalhou muito com densidade em física, mas lá ela era um número constante. Aqui, ela pode variar de ponto a ponto da placa, ou seja, δ = δ ( x , y ) . Então, para calcular a massa de D , podemos pensar num elemento bem pequenino (que tal um com área d A ?) e dizer que sua massa pequenina, d M , é:

d M = δ x , y d A

Advinha o que faremos agora? Vamos somar a massa de cada pedacinho para obter a massa da placa toda

M D = ∬ D δ x , y d A = ∬ D δ x , y d x d y

A integral acima se resolve da mesma forma que fizemos no exemplo, a diferença é que a função a ser integrada agora é δ x , y .

Beleza? Vamos ver uns exercícios agora!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Lista 21 - UERJ – Cálculo 2 – exercício 3a

Determine o esboço da região do plano x y sobre a qual a integral é calculada:

∫ 1 2 ∫ x 2 4 x - x 2 f ( x , y ) d y d x

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Passo 1

Vamos analisar os intervalos de integração que temos para x :

1 ≤ x ≤ 2

No gráfico, é o seguinte:

Passo 2

Agora para y :

x 2 ≤ y ≤ 4 x - x 2

Isso quer dizer que temos as curvas y = x 2 e y = 4 x - x 2 limitando nossa região. A primeira, nós sabemos que é uma parábola com concavidade para cima e que passa pela origem, sem grandes novidades:

Agora vamos ver a outra curva, y = 4 x - x 2 .

Como temos y de um lado e x 2 do outro, sabemos que também é uma parábola, mas repare no sinal negativo de x 2 . Isso significa que a concavidade da parábola está voltada para baixo.

E mais: temos esse termo 4 x , que significa que ela está deslocada de alguma forma. Vamos calcular suas raízes para entender melhor:

y = 4 x - x 2 = 0

x 4 - x = 0

x = 0 x = 4

Ela passa então pelos pontos ( 0,0 ) e ( 4,0 ) . Vamos desenhar isso aqui:

Passo 3

Agora vamos identificar a região:

Beleza? Tranquilo, né?

Resposta

Exercício Resolvido #2

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE Learning, 2010, pp. 920

Calcule

∬ D   x + 2 y d A

Onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2 x 2