Região Retangular e Teorema de Fubini

Teoria Completa

Definição

Até aqui você já aprendeu o que são integrais de funções de uma variável e diversas técnicas chatas e trabalhosas para as calcular. Agora, vamos levar essa ideia para mais dimensões: Integrais de funções de duas variáveis (calma, não chore). Como assim? Antes, você calculava integrais de funções do tipo f x = x 2 + x , certo? Agora, vamos ver como integrar funções de x e y , como f x , y = x 2 + x + y 2 . Não é tão bizarro quanto parece :D

Vamos pegar uma função real  f x , y = z > 0 , (a superfície azul da figura, por exemplo) e o domínio  R , (o retângulo hachurado embaixo dela). A superfície, o retângulo  R  e os planos laterais  x = a , x = b , y = c y = d ,  formam uma região fechada, certo? (um bloco, dá uma olhada). 

Lembra que você aprendeu que, para as funções de uma variável, a integral pode ser representada pela área entre a função e o eixo coordenado ( x ) ? Aqui, temos algo parecido: o que chamamos de Integral Dupla de  f  em  R  é exatamente o volume dessa região que fica embaixo de f , escrevemos assim: 

V = R f x , y   d x   d y  ou   R f x , y   d A

(sendo A   a área de R ).

O que você acabou de ver é a interpretação geométrica de integral dupla.Agora, vamos definir esse conceitode forma mais matemática (eba!!), como fizemos com as Integrais Simples.

Vamos pegar nossa função  f x , y = z > 0 e a região   R = a , b × [ c , d ] (ou seja,  a x b e c y d ). Nós queremos calcular o volume V da região e, para isso, vamos dividir a área de R  em vários sub-retângulos. Faremos isso repartindo o intervalo  x  em   n partes e o y em  m partes, criando uma “malha” como você vê abaixo:

Até aqui sem muito mistério, né? Beleza, vamos lá.

Para um ponto arbitrário ( x i j ,   y i j ) de cada um desses sub-retângulos (um ponto qualquer mesmo), temos um valor correspondente de  f representado acima deles. Formamos, assim, várias colunas no domínio  R , que, se somadas, aproximam o valor do volume V , dá uma olhada:

Cada uma dessas “caixas” tem volume dado pelo valor da área da sua base  Δ A  vezes sua altura  f , ou seja, v = f ( x i j ,   y i j ) Δ A , certo? Se somarmos todos esses pequenos volumes, temos a Soma Dupla de Riemann(muito parecida com o que você viu para uma variável):

i = 1 m j = i n f ( x i j ,   y i j ) Δ A

A soma é dupla porque temos duas dimensões, x e y !

Nossa intuição nos diz que, quanto menores esses sub-intervalos (e, portanto, menores essas "caixas"), melhor será essa aproximação de V . Assim, vamos fazer  m  e  n   tender ao infinito, o que nos dá exatamente a definição de Integral dupla.

R f ( x , y ) d A = lim m ,  n i = 1 m j = 1 n f ( x i j ,   y i j ) Δ A

É claro que, nesse caso, nossa função  f é positiva e, portanto, essa integral dupla representa o volume abaixo dela. Contudo, podem ocorrer casos em que teremos funções que assumem números negativos. Sem problemas! A integral existe, apenas não representa um volume. Tínhamos algo parecido com as integrais simples, lembra? Quando a função se encontrava abaixo do eixo y , sua integral em x era um número negativo.

Propriedades

Partindo da definição de integral dupla, podemos deduzir algumas das suas propriedades fundamentais, que são, basicamente, as mesmas das Integrais Simples:

Linearidade: A Integral da soma é a soma das integrais (da mesma forma, temos que a integral da subtração é a subtração das integrais) e podemos colocar a constante para fora da integral

R c 1 f x , y ± c 2 g x , y   d x   d y = c 1 R f x , y   d x   d y ± c 2 R g x , y   d x   d y

Exemplo: R 2 x 3 + 4 y cos x   d x   d y = 2 R x 3   d x   d y + 4 R y cos x d x   d y

Monotonicidade: WTF?! Calma! Se temos duas funções tal que f > g , temos

R f x , y   d x   d y > R g x , y d x   d y

O que faz sentido, né? Pensa bem, se  f  está mais "afastada" do plano  x y , o volume embaixo dela será maior que o abaixo de g . Repare que ambas as funções estão sendo integradas em R .

Aditividade: essa propriedade é bem intuitiva! Se temos uma região R que pode ser dividida em várias regiões a , b , c temos que

R f x , y d x d y = a f x , y d x d y + b f x , y d x d y + c f x , y d x d y

Ou seja, podemos integrar separadamente em cada parte da região R , o que vai ser muito útil para a gente mais à frente!

Integrais iteradas

Agora você sabe que o que são integrais duplas, mas surge a questão: como calculá-las? Agora a coisa ficou séria. Tem um teorema muito simples (e importante!) que facilitará sua vida, é o Teorema de Fubini, que transforma as integrais duplas em duas integrais simples, que nós sabemos calcular. Segundo ele, se  f  é contínua em um retângulo  R = a , b × [ c , d ] , então:

R f x , y   d x   d y = a b c d f x , y   d y d x = c d a b f x , y   d x d y

Repara só, nós temos uma integral em x , com limites de integração a e b e uma em y , com limites c e d , o que faz muito sentido, não é? Já que o retângulo é R = a , b × [ c , d ] .

Esse Teorema é muito útil, pois nos permite não apenas integrar a função em  x e y separadamente, como também trocar essa ordem de integração. Só que fique atento, pois esse truque de trocar a ordem de integração só pode ser feito desse jeito quando R é um retângulo, caso contrário veremos mais a frente como mudar a ordem.

Nas questões que você vai resolver, as integrais não serão escritas com esses colchetes, então, é importante que você se lembre de que sempre deve começar pela integral de dentro! Em regiões mais complexas, essa ordem faz muita diferença.

Então se quisermos calcular R x y   d x   d y , sendo R a região do plano x y tal que 0 x 4 e 2 y 3 , temos, pelo teorema de Fubini, que podemos montar essas integrais simples

2 3 0 4 x y   d x   d y

Note que o intervalo da integral de fora se refere a d y , enquanto o de dentro, a d x . Agora, você deve resolver a integral de dentro, esquecendo, por enquanto, a de fora. Como você vai integrar em x , considere a variável y como se fosse uma constante (mesmo conceito que utilizamos em derivadas parciais).

2 3 0 4 x y   d x d y

0 4 x y   d x = y x 2 2 x = 0 x = 4 = 8 y

Agora sim, integraremos em y , substituindo o valor que encontramos na 1ª integral:

2 3 [ 8 y ] d y = 8 y 2 2 y = 2 y = 3 = 20

Assim:

2 3 0 4 x y   d x   d y = 20

Expandir

Exercício Resolvido #1

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 915

Calcule o valor da integral dupla

R   x - 3 y 2   d A ,

onde R = { ( x , y ) | 0 x 2 ,   1 y 2 } .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos desmembrar a integral utilizando o Teorema de Fubini.

R   x - 3 y 2   d A = 1 2 0 2 x - 3 y 2 d x   d y

Note que o intervalo da integral de fora está de acordo com d y e o da de dentro, com d x . E se você quisesse integrar ao contrário? Sem problemas, basta o intervalo estar de acordo:

0 2 1 2 x - 3 y 2 d y   d x

Você encontrará o mesmo valor! Nesse exercício, vamos optar pela 1ª opção.

Passo 2

Agora você deve integrar em relação a x ,   ou seja, resolver a integral de dentro (tomando y como constante).

1 2 0 2 x - 3 y 2   d x d y

0 2 x - 3 y 2 d x =

=   x 2 2 - 3 x y 2 x = 0 x = 2 =

= 4 2 - 3 2 y 2 - 0 =

= 2 - 6 y 2

Passo 3

Devemos, então, integrar em relação a y , substituindo o valor que encontramos no passo 2.

1 2   2 - 6 y 2   d y =

= 2 y - 6 y 3 3 y = 1 y = 2 =

= 2 2 - 2 ( 8 ) - 2 ( 1 ) - 2 ( 1 )   =

= 4 - 16 - 2 - 2 = - 12

Resposta

- 12

Exercício Resolvido #2

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2004, pp. 164

Calcule

R   x sen y - y e x   d x   d y

onde R = - 1,1 × [ 0 , π / 2 ] .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A primeira coisa a entender direitinho é esse retângulo R , ele deu dois intervalos, o primeiro em x e o segundo em y , a ordem é sempre essa não esqueça disso.

x - 1,1

y 0 , π 2

Vamos separar a integral dupla em integrais iteradas:

0 π / 2   - 1 1 x sen y - y e x   d x   d y

Passo 2

Agora, vamos calcular a integral de dentro em relação a x (lembre-se, tome y como constante!)

0 π / 2   - 1 1 x sen y - y e x   d x d y = 0 π / 2   x 2 2 sen y - y e x x = - 1 x = 1 d y =

= 0 π / 2   1 2 sen y - y e - 1 2 sen y - y e d y =

= 0 π / 2   - y e + y e   d y

Passo 3

Integraremos, então, em relação a y :

0 π / 2   - y e + y e   d y = - e y 2 2 + y 2 2 e y = 0 y = π 2 =

= 1 2 - e π 2 4 + π 2 4 e - 0 =

Resposta

π 2 8 - e + 1 e

Exercício Resolvido #3

Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, Cálculo – Volume II, 8ª ed. Porto Alegre: ARTMED EDITORA S.A, 2005, pag 1035-59.

Calcule

R   x y 2 d A

na região R mostrada na figura abaixo,

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bem, vamos começar escrevendo essa região, ok? Para isso, vamos dividí-la em 3 partes:

Chamando o retângulo verde de R 1 , o amarelo de R 2 e o azul de R 3 , temos o seguinte:

R   x y 2 d A = R 1   x y 2 d A + R 2   x y 2 d A + R 3   x y 2 d A

Passo 2

Agora, vamos encontrar os inter valos de cada integral.

Para o retângulo verde, temos:

- 2 x 2 ;             1 y 2

Para o amarelo:

- 2 x - 1 ;             0 y 1

Para o azul:

1 x 2 ;             0 y 1

Passo 3

Aplicando o Teorema de Fubini, temos:

R   x y 2 d A = 1 2 - 2 2 x y 2 d x d y + 0 1 - 2 - 1 x y 2 d x d y + 0 1 1 2 x y 2 d x d y

Repare que a ordem dos intervalos está de acordo com a ordem dos diferenciais!

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral de dentro, integrando em x :

R   x y 2 d A = 1 2 x 2 2 y 2 x = - 2 x = 2 d y + 0 1 x 2 2 y 2 x = - 2 x = - 1 d y + 0 1 x 2 2 y 2 x = 1 x = 2 d y

R   x y 2 d A = 1 2 y 2 2 - 2 d y + 0 1 y 2 1 2 - 2 d y + 0 1 y 2 2 - 1 2 d y

R   x y 2 d A = - 3 2 0 1 y 2 d y + 3 2 0 1 y 2 d y

R   x y 2 d A = 0 1 y 2 d y 3 2 - 3 2 = 0

Resposta

0

Exercício Resolvido #4

Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, Cálculo – Volume II, 8ª ed. Porto Alegre: ARTMED EDITORA S.A, 2005, pág 1035-59.

Se

f x , y = 10.000 e y 1 + x 2

representar a “densidade populacional” de certo tipo de bactéria no plano x y , onde x e y são medidos em centímetros, encontre a população total de bactérias dentro do retângulo - 5 x 5 e - 2 y 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos pensar: se f ( x , y ) é a densidade populacional em termos de área, f representa quantas bactéricas existem por centímetro quadrado em cada ponto ( x , y ) . Então, para encontrar a quantidade de bactérias existente em uma área, precisamos integrar a função densidade nessa região, certo? Isso porque densidade vezes área é igual à quantidade de bactérias.

Temos o seguinte:

P = R   f ( x , y ) d A = R   10.000 e y 1 + x 2 d A

Onde R é o retângulo - 5 x 5 e - 2 y 0 .

Passo 2

Vamos desmembrar a integral utilizando o Teorema de Fubini.

R   10.000 e y 1 + x 2   d A = - 5 5 - 2 0 10.000 e y 1 + x 2 d y   d x

Note que o intervalo da integral de fora está de acordo com d x e o da de dentro, com d y . E se você quisesse integrar ao contrário? Sem problemas, basta o intervalo estar de acordo.

Passo 3

Agora você deve integrar em relação a y ,   ou seja, resolver a integral de dentro (tomando x como constante).

= - 5 5 - 2 0 10.000 e y 1 + x 2   d y d x =

Como x é constante, podemos tirar 10000 1 + x 2 da integral, fica assim

= - 5 5 10.000 1 + x 2 - 2 0 e y d y d x

= - 5 5 10.000 1 + x 2   e y y = - 2 y = 0 d x =

= - 5 5 10.000 1 + x 2 e 0 1 - e - 2 d x =

Tirando tudo que é constante da integral

= 10.000 1 - e - 2 - 5 5 1 1 + x 2 d x

Passo 4

Devemos, então, integrar em relação a x :

= 10.000 1 - e - 2 - 5 5 1 1 + x 2 d x =

Agora, para essa integral que restou, temos que nos lembrar do seguinte:

x = x ,         x 0 - x ,               x < 0

Perceba que os limites da integral são - 5 x 5 . Ou seja, temos parte que x 0 e parte que x < 0 , precisamos separar isso! Olha como fica

= 10.000 1 - e - 2 - 5 0 1 1 - x 2 d x + 0 5 1 1 + x 2 d x

O sinal ficou trocado porque na primeira integral temos x < 0 , enquanto na segunda temos x 0

Passo 5

Vamos começar fazendo

- 5 0 1 1 - x 2 d x

Vamos resolver primeiro sem os limites pra organizar melhor

1 1 - x 2 d x

Aqui, vamos fazer a seguinte substituição

1 - x 2 = u

Assim

- d x 2 = d u d x = - 2 d u

Assim, temos

1 1 - x 2 d x = 1 u - 2 d u = - 2 1 u d u = - 2 ln u

Voltando para x

- 2 ln u = - 2 ln 1 - x 2

Agora, olhando para os limites de integração

- 5 0 1 1 - x 2 d x = - 2 ln 1 - x 2 x = - 5 x = 0 = - 2 ln 1 0 + 2 ln 1 - - 5 2 = 0 + 2 ln 7 2

Passo 6

Agora, vamos ver a outra integral

0 5 1 1 + x 2 d x

Vamos resolver primeiro sem os limites pra organizar melhor

1 1 + x 2 d x

Aqui, vamos fazer a seguinte substituição

1 + x 2 = u

Assim

d x 2 = d u d x = 2 d u

Assim, temos

1 1 + x 2 d x = 1 u 2 d u = 2 1 u d u = 2 ln u

Voltando para x

2 ln u = 2 ln 1 + x 2

Agora, olhando para os limites de integração

0 5 1 1 + x 2 d x = 2 ln 1 + x 2 x = 0 x = 5 = 2 ln 1 + 5 2 - 2 ln 1 0 = 2 ln 7 2

Passo 7

Voltando para a integral que tínhamos

10.000 1 - e - 2 - 5 0 1 1 - x 2 d x + 0 5 1 1 + x 2 d x

Vamos colocar o resultado

10.000 1 - e - 2 - 5 0 1 1 - x 2 d x + 0 5 1 1 + x 2 d x = 10.000 1 - e - 2 2 ln 7 2 + 2 ln 7 2 =

40.000 1 - e - 2 ln 7 2

Resposta

40.000 1 - e - 2 ln 7 2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas