Região Retangular e Teorema de Fubini

Teoria Completa

Definição

Até aqui você já aprendeu o que são integrais de funções de uma variável e diversas técnicas chatas e trabalhosas para as calcular. Agora, vamos levar essa ideia para mais dimensões: Integrais de funções de duas variáveis (calma, não chore). Como assim? Antes, você calculava integrais de funções do tipo f x = x 2 + x , certo? Agora, vamos ver como integrar funções de x e y , como f x , y = x 2 + x + y 2 . Não é tão bizarro quanto parece :D

Vamos pegar uma função real  f x , y = z > 0 , (a superfície azul da figura, por exemplo) e o domínio  R , (o retângulo hachurado embaixo dela). A superfície, o retângulo  R  e os planos laterais  x = a , x = b , y = c y = d ,  formam uma região fechada, certo? (um bloco, dá uma olhada). 

Lembra que você aprendeu que, para as funções de uma variável, a integral pode ser representada pela área entre a função e o eixo coordenado ( x ) ? Aqui, temos algo parecido: o que chamamos de Integral Dupla de  f  em  R  é exatamente o volume dessa região que fica embaixo de f , escrevemos assim: 

V = ∬ R f x , y   d x   d y  ou   ∬ R f x , y   d A

(sendo A   a área de R ).

O que você acabou de ver é a interpretação geométrica de integral dupla.Agora, vamos definir esse conceitode forma mais matemática (eba!!), como fizemos com as Integrais Simples.

Vamos pegar nossa função  f x , y = z > 0 e a região   R = a , b × [ c , d ] (ou seja,  a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d ). Nós queremos calcular o volume V da região e, para isso, vamos dividir a área de R  em vários sub-retângulos. Faremos isso repartindo o intervalo  x  em   n partes e o y em  m partes, criando uma “malha” como você vê abaixo:

Até aqui sem muito mistério, né? Beleza, vamos lá.

Para um ponto arbitrário ( x i j ,   y i j ) de cada um desses sub-retângulos (um ponto qualquer mesmo), temos um valor correspondente de  f representado acima deles. Formamos, assim, várias colunas no domínio  R , que, se somadas, aproximam o valor do volume V , dá uma olhada:

Cada uma dessas “caixas” tem volume dado pelo valor da área da sua base  Δ A  vezes sua altura  f , ou seja, v = f ( x i j ,   y i j ) Δ A , certo? Se somarmos todos esses pequenos volumes, temos a Soma Dupla de Riemann(muito parecida com o que você viu para uma variável):

∑ i = 1 m ∑ j = i n f ( x i j ,   y i j ) Δ A

A soma é dupla porque temos duas dimensões, x e y !

Nossa intuição nos diz que, quanto menores esses sub-intervalos (e, portanto, menores essas "caixas"), melhor será essa aproximação de V . Assim, vamos fazer  m  e  n   tender ao infinito, o que nos dá exatamente a definição de Integral dupla.

∬ R f ( x , y ) d A = lim m ,  n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n f ( x i j ,   y i j ) Δ A

É claro que, nesse caso, nossa função  f é positiva e, portanto, essa integral dupla representa o volume abaixo dela. Contudo, podem ocorrer casos em que teremos funções que assumem números negativos. Sem problemas! A integral existe, apenas não representa um volume. Tínhamos algo parecido com as integrais simples, lembra? Quando a função se encontrava abaixo do eixo y , sua integral em x era um número negativo.

Propriedades

Partindo da definição de integral dupla, podemos deduzir algumas das suas propriedades fundamentais, que são, basicamente, as mesmas das Integrais Simples:

Linearidade: A Integral da soma é a soma das integrais (da mesma forma, temos que a integral da subtração é a subtração das integrais) e podemos colocar a constante para fora da integral

∬ R c 1 f x , y ± c 2 g x , y   d x   d y = c 1 ∬ R f x , y   d x   d y ± c 2 ∬ R g x , y   d x   d y

Exemplo: ∬ R 2 x 3 + 4 y cos ⁡ x   d x   d y = 2 ∬ R x 3   d x   d y + 4 ∬ R y cos ⁡ x d x   d y

Monotonicidade: WTF?! Calma! Se temos duas funções tal que f > g , temos

∬ R f x , y   d x   d y > ∬ R g x , y d x   d y

O que faz sentido, né? Pensa bem, se  f  está mais "afastada" do plano  x y , o volume embaixo dela será maior que o abaixo de g . Repare que ambas as funções estão sendo integradas em R .

Aditividade: essa propriedade é bem intuitiva! Se temos uma região R que pode ser dividida em várias regiões a , b , c temos que

∬ R f x , y d x d y = ∬ a f x , y d x d y + ∬ b f x , y d x d y + ∬ c f x , y d x d y

Ou seja, podemos integrar separadamente em cada parte da região R , o que vai ser muito útil para a gente mais à frente!

Integrais iteradas

Agora você sabe que o que são integrais duplas, mas surge a questão: como calculá-las? Agora a coisa ficou séria. Tem um teorema muito simples (e importante!) que facilitará sua vida, é o Teorema de Fubini, que transforma as integrais duplas em duas integrais simples, que nós sabemos calcular. Segundo ele, se  f  é contínua em um retângulo  R = a , b × [ c , d ] , então:

∬ R f x , y   d x   d y = ∫ a b ∫ c d f x , y   d y d x = ∫ c d ∫ a b f x , y   d x d y

Repara só, nós temos uma integral em x , com limites de integração a e b e uma em y , com limites c e d , o que faz muito sentido, não é? Já que o retângulo é R = a , b × [ c , d ] .

Esse Teorema é muito útil, pois nos permite não apenas integrar a função em  x e y separadamente, como também trocar essa ordem de integração. Só que fique atento, pois esse truque de trocar a ordem de integração só pode ser feito desse jeito quando R é um retângulo, caso contrário veremos mais a frente como mudar a ordem.

Nas questões que você vai resolver, as integrais não serão escritas com esses colchetes, então, é importante que você se lembre de que sempre deve começar pela integral de dentro! Em regiões mais complexas, essa ordem faz muita diferença.

Então se quisermos calcular ∬ R x y   d x   d y , sendo R a região do plano x y tal que 0 ≤ x ≤ 4 e 2 ≤ y ≤ 3 , temos, pelo teorema de Fubini, que podemos montar essas integrais simples

∫ 2 3 ∫ 0 4 x y   d x   d y

Note que o intervalo da integral de fora se refere a d y , enquanto o de dentro, a d x . Agora, você deve resolver a integral de dentro, esquecendo, por enquanto, a de fora. Como você vai integrar em x , considere a variável y como se fosse uma constante (mesmo conceito que utilizamos em derivadas parciais).

∫ 2 3 ∫ 0 4 x y   d x d y

→ ∫ 0 4 x y   d x = y x 2 2 x = 0 x = 4 = 8 y

Agora sim, integraremos em y , substituindo o valor que encontramos na 1ª integral:

→ ∫ 2 3 [ 8 y ] d y = 8 y 2 2 y = 2 y = 3 = 20

Assim:

∫ 2 3 ∫ 0 4 x y   d x   d y = 20

Expandir

Exercício Resolvido #1

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 915

Calcule o valor da integral dupla

∬ R   x - 3 y 2   d A ,

onde R = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 2 ,   1 ≤ y ≤ 2 } .

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Passo 1

Vamos desmembrar a integral utilizando o Teorema de Fubini.

∬ R   x - 3 y 2   d A = ∫ 1 2 ∫ 0 2 x - 3 y 2 d x   d y

Note que o intervalo da integral de fora está de acordo com d y e o da de dentro, com d x . E se você quisesse integrar ao contrário? Sem problemas, basta o intervalo estar de acordo:

∫ 0 2 ∫ 1 2 x - 3 y 2 d y   d x

Você encontrará o mesmo valor! Nesse exercício, vamos optar pela 1ª opção.

Passo 2

Agora você deve integrar em relação a x ,   ou seja, resolver a integral de dentro (tomando y como constante).

∫ 1 2 ∫ 0 2 x - 3 y 2   d x d y

∫ 0 2 x - 3 y 2 d x =

=   x 2 2 - 3 x y 2 x = 0 x = 2 =

= 4 2 - 3 2 y 2 - 0 =

= 2 - 6 y 2

Passo 3

Devemos, então, integrar em relação a y , substituindo o valor que encontramos no passo 2.

∫ 1 2   2 - 6 y 2   d y =

= 2 y - 6 y 3 3 y = 1 y = 2 =

= 2 2 - 2 ( 8 ) - 2 ( 1 ) - 2 ( 1 )   =

= 4 - 16 - 2 - 2 = - 12

Resposta

- 12

Exercício Resolvido #2

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2004, pp. 164

Calcule

∬ R   x sen ⁡ y - y e x   d x   d y

onde R = - 1,1 × [ 0 , π / 2 ] .

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Passo 1

A primeira coisa a entender direitinho é esse retângulo R , ele deu dois intervalos, o primeiro em x e o segundo em y , a ordem é sempre essa não esqueça disso.

x ∈ - 1,1

y ∈ 0 , π 2

Vamos separar a integral dupla em integrais iteradas:

∫ 0 π / 2   ∫ - 1 1 x sen ⁡ y - y e x   d x   d y

Passo 2

Agora, vamos calcular a integral de dentro em relação a x (lembre-se, tome y como constante!)

∫ 0 π 2   ∫ - 1 1 x sen ⁡ y - y e x   d x d y =