Inversão da Ordem de Integração – Coordenadas Cartesianas

Teoria Completa

Muitas vezes, uma integral parece muito complexa quando olhamos de primeira, mas quando trocamos sua ordem de integração percebemos que ela se torna muito mais fácil. Outras vezes, o próprio exercício vai dizer para você inverter essa ordem.

Mas o que é trocar a ordem de integração? Não é simplesmente inverter d x e d y ! NÃO!! SÓ PODEMOS FAZER ISSO EM REGIÕES RETANGULARES!! Em regiões mais gerais, você tem, também, que reescrever os intervalos de integração. Como assim? Olha só.

Vamos tomar um exemplo:

∫ 0 2   ∫ 4 - 2 x 4 - x 2 x   d y   d x

Essa região está escrita como tipo I (o intervalo de x são números e o de y equações), inverter sua ordem de integração significa escrevê-la como tipo II. Teremos algo assim:

∫ ? ?   ∫ ? ? x   d x   d y

Mas quais são os intervalos? Não tenta adivinhar! Faz um esboço para ver melhor.

Para desenhar a reta y = 4 - 2 x : encontre os pontos onde ela corta os eixos

Ela vai cortar o eixo x no ponto em que tiver y = 0 , certo? Então faremos:

0 = 4 - 2 x

x = 2

E vai cortar o eixo y no ponto em que x = 0

y = 4 - 2 × 0

y = 4

Para desenhar a parábola y = 4 - x 2 : como o número que multiplica o termo x 2 é negativo, você já sabe que a parábola está virada para baixo. Mas onde ela encontra a reta? Vamos igualar as duas equações para saber:

y reta = y parábola

4 - 2 x = 4 - x 2

x 2 - 2 x = 0

x x - 2 = 0

o u     x = 0 x - 2 = 0 ∴   x = 2

Portanto, um esboço do que se passa é algo assim

Agora, vamos reescrever os intervalos. O valor de y varia entre 0 e 4 como podemos ver pelo gráfico.

O de x deve variar entre as equações da reta e da parábola, porém, com x em função de y , ou seja

f 1 y ≤ x ≤ f 2 y

Para isso, precisamos do x isolado.

y = 4 - 2 x → x = 4 - y 2

y = 4 - x 2 → x = 4 - y (pois temos x > 0 )

Assim, a integral passa a ser:

∫ 0 4   ∫ 4 - y 2 4 - y x   d x d y

Note que os novos intervalos não são os outros invertidos! São completamente diferentes.

Beleza? Vamos ver uns exercícios agora!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria.

Troque a ordem de integração para calcular

∫ 0 1   ∫ y 1 e x 2   d x d y

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Passo 1

A região está escrita como tipo II, temos 0 ≤ y ≤ 1 e y ≤ x ≤ 1 . Antes de trocar essa ordem de integração, vamos fazer um esboço desse domínio.

Passo 2

Para escrever a região como tipo I, teremos x variando entre números. Pelo próprio gráfico, vemos que:

0 ≤ x ≤ 1

Pela figura, vemos também, que o limite inferior de y é 0 (o eixo x ), falta então, descobrir o superior. Para isso, basta escrever a equação da reta vermelha em função de x , o que é bem simples. Em vez de termos x = y , teremos y = x .

Então, o domínio passa a ser

D = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 1 ; 0 ≤ y ≤ x }

Passo 3

Vamos, agora, levar esses valores para a integral, invertendo a ordem d x d y .

∫ 0 1   ∫ 0 x e x 2   d y d x

Passo 4

Começaremos integrando em relação a y :

= ∫ 0 1   y e x 2 y = 0 y = x d x =

= ∫ 0 1   x e x 2 d x =

Passo 5

Agora vamos integrar em relação a x , fazendo a substituição x 2 = u .

2 x   d x = d u

= 1 2 ∫ 0 1   e x 2 ( 2 x   d x ) =

= 1 2 ∫ 0 1   e u   d u =

= 1 2 e u u = 0 u = 1 =

Resposta

1 2 ( e - 1 )

Exercício Resolvido #2

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 922

Calcule a integral iterada

∫ 0 1 ∫ x 1 sen ⁡   y 2 d y d x

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Passo 1

Vamos esboçar essa região de integração, que é bem simples. Repara que temos como limites de y a curva y = x e a curva y = 1 , enquanto x   varia de 0 a 1 .

Passo 2

Analisando a questão, percebemos que temos um problema: ∫ sen  ⁡ ( y 2 ) d y . Não sabemos calcular essa integral, por isso, usaremos um artifício para fugir dela, inverter a ordem de integração. Precisamos, então, reescrever a região acima como tipo II.

Pelo gráfico, vemos que y varia entre 0 e 1 e que x varia entre 0 e a reta vermelha ( y = x ). Pronto, basta levar esses valores para a integral de forma invertida, teremos:

∫ 0 1 ∫ 0 y s e n y d x d y

Você verá que essa troca facilitará muito nossa vida!

Passo 3

Vamos integrar, então, em relação a x :

∫ 0 1 ∫ 0 y s e n y d x d y =

∫ 0 1 x sen ⁡ ( y 2 ) x = 0 x = y d y =

∫ 0 1 y sen ⁡ ( y 2 ) d y =

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a y , fazendo a substituição y 2 = u . Temos 2 y d y = d u .

= 1 2 ∫ 0 1 sen ⁡ ( y 2 ) ( 2 y d y ) =

= 1 2 ∫ 0 1 sen ⁡ ( u ) d u =

= - 1 2 cos ⁡ u 0 1 =

= - 1 2 cos ⁡ 1 - cos ⁡ 0 =

1 2 1 - cos ⁡ 1

Resposta

1 2 1 - cos ⁡ 1

Exercício Resolvido #3

USP - Cálculo 3 - P1 - 2013 – 1a

Calcule a seguinte integral:

∫ 0 1 ∫ a r c t g ( y ) π 4 sec ⁡ x d x d y

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Passo 1

Vamos esboçar essa região de integração. Temos y variando de 0 até 1 e x desde x = a r c t g y → y = t g ( x ) até π / 4 :

Nossa região de integração é, portanto:

Passo 2

Analisando a questão, percebemos que temos um problema: ∫ sec ⁡ ( x ) d x . Não sabemos calcular essa integral. Por isso, usaremos um artifício para fugir dela, inverter a ordem de integração. Precisamos, então, reescrever a região acima como tipo I.

Pelo gráfico, vemos que x varia entre 0 e o x = a r c t g 1 = π / 4 e que y varia entre 0 e a curva verde ( y = t g ( x ) ). Pronto, basta levar esses valores para a integral de forma invertida, teremos:

∫ 0 π / 4   ∫ 0 t g ( x ) sec ⁡ ( x ) d y d x

Você verá que essa troca facilitará muito nossa vida!

Passo 3

Vamos integrar, então, em relação a y :

= ∫ 0 π / 4   y sec ⁡ x 0 t g   x d x =

= ∫ 0 π / 4   t g   x   sec ⁡ x d x =

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a x . Primeiro vamos abrir essas funções trigonométricas

Sabemos que

tg ⁡ x = sen ⁡ x cos ⁡ x

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

Logo,

∫ 0 π 4 t g x sec ⁡ x d x = ∫ 0 π 4 sen ⁡ x cos 2 ⁡ x d x

Fazendo u = cos ⁡ x → d u = - sen ⁡ x , vamos obter

∫ sen ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = ∫ - d u u 2 =

= u - 1 = 1 cos ⁡ x = sec ⁡ x

Aplicando os limites temos:

= sec ⁡ x 0 π / 4 =

= 2 - 1

Resposta

2 - 1

Exercício Resolvido #4

UFRJ - Cálculo 3 - P1 2011.1 – 1a

Considere a seguinte integral dupla

I = ∫ 0 a sen ⁡ b   ∫ y cotg ⁡ b a 2 - y 2 f x , y   d x d y

  1. Reescreva a integral com a ordem de integração invertida, sendo a > 0 ,   0 ≤ b ≤ π 2 .
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Passo 1

É muito importante esboçar essa região, para podermos visualizar melhor o problema. Vamos começar analisando o intervalo de x , repare que o limite superior é x = a 2 - y 2 . Se elevarmos os dois lados ao quadrado, passamos a ter:

x 2 + y 2 = a 2

Essa é a equação de uma circunferência de raio a . Como a raiz tem que ser positiva, vamos desenhar apenas a parte com x > 0 .

A outra equação que limita x é x = y cotg ⁡ b (ou y = x tg ⁡ b ), que nada mais é do que uma reta de coeficiente angular igual a tg ⁡ b – ou seja uma reta com ângulo de inclinação igual a b – que desenhamos abaixo em azul.

Agora vamos analisar os limites de y : temos 0 e ( a sen ⁡ b ) , ou seja, dois números. Mas ( a sen ⁡ b ) não é um valor qualquer de y , é exatamente o ponto em que a reta corta a circunferência, pois:

a cos ⁡ b 2 + a sen ⁡ b 2 = a 2  

Assim, o ponto ( a cos ⁡ b ,   a sen ⁡ b ) satisfaz as duas equações.

A região de integração é limitada pela reta na esquerda e pela circunferência na direita.

Passo 2

Para reescrever a região acima como tipo I, precisaremos dividi-la em duas, pois a região à esquerda de x = a cos ⁡ b , é limitada superiormente pela reta azul, mas a direita é limitada pela curva em vermelho. Como não temos uma continuidade, vamos chamar a parte da esquerda de D 1 e a da direita de D 2 .

Para D 1

O intervalo em x dessa região vai de 0 até ( a cos ⁡ b ) , onde y = a sen ⁡ b , portanto, temos 0 ≤ x ≤ a cos ⁡ b . Em y , temos 0 embaixo e a reta azul em cima. Assim, esse domínio será da seguinte forma:

D 1 = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ a cos ⁡ b ; 0 ≤ y ≤ x tg ⁡ b }

Perceba que escrevemos a equação da reta em função de x .

Para D 2

Os limites de x dessa região são ( a cos ⁡ b ) e a , o que significa: a   c o s   b ≤ x ≤ a . Em y , temos novamente 0 embaixo, mas agora, a parte de cima é limitada pela circunferência, então vamos escrever sua equação em função de x .

x 2 + y 2 = a 2   → y = a 2 - x 2

(Apenas a parte com y > 0 nos interessa)

Podemos, então, escrever esse domínio como:

D 2 = { ( x , y ) | a cos ⁡ b ≤ x ≤ a   ; 0 ≤ y ≤ a 2 - x 2 }

Passo 3

Finalmente, podemos reescrever a nossa integral:

I = ∫ 0 a sen ⁡ b   ∫ y cotg ⁡ b a 2 - y 2 f x , y d x d y = ∬ D 1   f x , y d y d x + ∬ D 2   f x , y d y d x =

Resposta

∫ 0 a cos ⁡ b     ∫ 0 x tg ⁡ b f x , y d y d x + ∫ a cos ⁡ b a       ∫ 0 a 2 - x 2 f x , y d y d x

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