Integrais Trigonométricas

Teoria Completa

Introdução

Imagine só que a gente precise resolver essa integral aqui:

∫ sen 2 ⁡ ( x ) ⋅ cos 3 ⁡ ( x ) d x

Se a gente tentar usar métodos de integração que aprendemos até agora, sem mexer nessa expressão não vamos chegar a nenhuuum!

Mas caaalma Carminha, a gente não aprendeu todos aqueles métodos à toa, vamos usar muito eles aqui. Só que antes de usarmos eles, vamos precisar manipular as expressões trigonométricas de forma a ajudar a nossa vida!

Identidades Trigonométricas

Pra manipular essas expressões é legal que nós saibamos algumas identidades trigonométricas, aqui vão as mais importantes:

Tente gravar pelo menos essas que são as principais! A partir delas ainda dá pra achar outras identidades:

Quando usar as identidades trigonométricas?

Pra entender bem vamos abrir em alguns casos bem macetados e aí vamos resolvendo uns exemplos, beleza?

Caso 1: Potências envolvendo seno e cosseno com pelo menos uma delas sendo ímpar.

A ideia é seguir isso aqui:

Por exemplo, na integral

∫ sen 2 ⁡ ( x ) ⋅ cos 3 ⁡ ( x ) d x

Vamos fazer o seguinte:

∫ sen 2 ⁡ x ⋅ cos 2 ⁡ x ⋅ cos ⁡ x d x

= ∫ sen 2 ⁡ ( x ) ⋅ 1 - sen 2 ⁡ ( x ) ⋅ cos ⁡ ( x ) d x

Agora lançamos a substituição simples:

u = sen ⁡ x ⇒ d u = cos ⁡ x d x

Aí sobra uma integral tranquilinha de resolver:

∫ u 2 ⋅ 1 - u 2 d u = ∫ u 2 - u 4 d u

= u 3 3 - u 5 5 + C

Voltando u = s e n   x , temos

s e n 3 x 3 - s e n 5 x 5 + C

Caso 2: Potências envolvendo seno e cosseno sendo elas pares.

Nesse caso usamos as seguintes identidades:

Vamos calcular a integral

∫ sen 2 ⁡ x ⋅ cos 2 ⁡ x d x

Usando as identidades

cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2   e   s e n 2   x = 1 - c o s ⁡ ( 2 x ) 2

A nossa integral fica:

∫ sen 2 ⁡ x ⋅ cos 2 ⁡ x d x = ∫ 1 - cos ⁡ 2 x 2 ⋅ 1 + cos ⁡ 2 x 2 d x

Isso dá pra gente

∫ 1 - cos ⁡ 2 x ⋅ ( 1 + cos ⁡ 2 x ) 4 d x

Fazendo a distributiva, temos

∫ 1 + cos ⁡ 2 x - cos ⁡ 2 x - cos 2 ⁡ 2 x 4

Cortando os c o s ⁡ ( 2 x ) e jogando a constante que ta dividindo pra fora, temos

= 1 4 ∫ 1 - cos 2 ⁡ 2 x d x

Aplicando de novo pro cos ² ⁡ 2 x , vai dar

1 4 ∫ 1 - 1 2 - cos ⁡ 4 x 2 d x

Agora é só utilizar uma substituição simples u = 4 x   e partir pro abraço!

Observação: também dá pra usar a relação

sen ⁡ x ⋅ cos ⁡ x = 1 2 sen ⁡ 2 x

Se os expoentes do seno e do cosseno fossem ímpares a gente ia usar o mesmo método do Caso 1!

Caso 3: Potências envolvendo tangente e secante ou cotangente e cossecante com n par ou m ímpar.

Saca só qual é o bizu nesses casos:

Vejamos um exemplo:

∫ tg 3 ⁡ x ⋅ sec 6 ⁡ x d x

Temos que n é par e m é ímpar, então nesse caso vai dar até pra escolher entre as substituições u = tg ⁡ x e u = sec ⁡ x .

Então só pra não ter dúvida, vamos resolver das duas formas.

forma: u = t g ⁡ x ⇒ d u = sec ²   ⁡ x d x

∫ tg 3 ⁡ x ⋅ sec 6 ⁡ x d x

= ∫ tg 3 ⁡ x ⋅ sec 4 ⁡ x ⋅ sec 2 ⁡ x d x = ∫ tg 3 ⁡ x ⋅ 1 + tg 2 ⁡ x 2 ⋅ sec 2 ⁡ x d x

= ∫ u 3 1 + u 2 2 d u = ∫ u 3 + 2 u 5 + u 7 d u

2ª forma: u = sec ⁡ x ⇒ d u = sec  ⁡ x tg ⁡ x d x

∫ tg 3 ⁡ x ⋅ sec 6 ⁡ x d x

= ∫ tg 2 ⁡ x ⋅ sec 5 ⁡ x ⋅ sec ⁡ x ⋅ tg ⁡ x d x = ∫ sec 2 ⁡ x - 1 sec 5 ⁡ x ⋅ sec ⁡ x ⋅ tg ⁡ x d x

= ∫ u 2 - 1 u 5 d u = ∫ u 7 - u 5 d u

Em ambos os casos é só resolver a integral em que chegamos, e te garanto que vamos chegar em expressões equivalentes.

Caso 4: Potências envolvendo tangente e secante ou cotangente e cossecante com m par e n ímpar.

Vamos calcular a seguinte integral:

∫ tg 2 ⁡ x ⋅ sec 3 ⁡ x d x

A ideia aqui é usar a identidade trigonométrica pra eliminar qualquer tangente da expressão, deixando somente as secantes. Então vamos reescrever ela assim:

∫ ( sec 2 ⁡ x - 1 ) ⋅ sec 3 ⁡ x d x = ∫ sec 5 ⁡ x d x - ∫ sec 3 ⁡ x d x

Depois disso, em vez de uma substituição faremos uma integração por partes, usando:

d v = sec 2 ⁡ x d x

Vamos usar isso nas duas integrais, vai dar um pouco de conta, mas dá certo!

Isso tudo que fizemos pra tangente/secante vale o mesmo pra dupla cotangente/cossecante. ;)

Se os dois expoentes da tangente e da secante fossem ímpares a gente ia usar o mesmo método do Caso 3

Caso 5: Integrais envolvendo produto de seno e cosseno;

Nesses casos, vamos usar as seguintes identidades:

sen ⁡ ( x ) ⋅ cos ⁡ ( y ) = 1 2 sen ⁡ ( x + y ) + sen ⁡ x - y

cos ⁡ ( x ) ⋅ cos ⁡ ( y ) = 1 2 cos ⁡ x + y + cos ⁡ x - y

sen ⁡ ( x ) ⋅ sen ⁡ ( y ) = 1 2 [ cos ⁡ x - y - cos ⁡ x + y ]

Essas fórmulas são chatas de gravar, mas elas facilitam muito nossa vida porque elas transformam produto de funções trigonométricas em soma de funções trigonométricas, olha só esse exemplo:

∫ sen ⁡ ( 5 x ) ⋅ cos ⁡ 2 x d x = ∫ 1 2 sen ⁡ ( 7 x ) + sen ⁡ ( 3 x ) d x

Agora é só quebrar em duas integrais:

∫ sen ⁡ ( 5 x ) ⋅ cos ⁡ 2 x d x = 1 2 ∫ sin ⁡ 7 x d x + ∫ sin ⁡ 3 x d x

Bem melhor né?

Agora vem comigo ver uns exercícios! ;)

Expandir

Exercício Resolvido #1

James Stewart Vol. I – 6ª ed. Exercício 38 da seção 5.4

Calcule a integral.

∫ 0 π 3 sen ⁡ θ + sen ⁡ θ tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O enunciado nos pede para calcularmos a integral definida. Ou seja, o resultado deve ser um número!

Para isso, vamos usar o teorema da variação total:

∫ a b F ' ( θ ) d θ = F b - F ( a )

Portanto, primeiro vamos calcular a integral indefinida F . Depois, basta substituir θ por π / 3 e 0 e fazer o cálculo.

F = ∫ sen ⁡ θ + sen ⁡ θ tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 2

Para o cálculo de uma integral indefinida é legal manipularmos o integrando para encontrarmos integrais indefinidas conhecidas - aquelas que apresentamos na teoria e que é bom você decorar : )

Salta aos olhos que o integrando é composto de funções trigonométricas. Logo, temos que manipular o integrando para obtermos integrais trigonométricas conhecidas. São elas:

∫ sen ⁡ x d x = - cos ⁡ x + C

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + C

∫ sec 2 ⁡ x d x = tg ⁡ x + C

∫ cossec 2 ⁡ x   d x = - cotg ⁡ x + C