Integrais Trigonométricas

Teoria Completa

Identidades Trigonométricas

Muitas integrais podem ser calculadas manipulando o integrando através de identidades trigonométricas, como:

sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

1 + tg 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ

1 + cotg 2 ⁡ θ = cossec 2 ⁡ θ

sen ⁡ ( x ± y ) = sen ⁡ x ⋅ cos ⁡ y ± sen ⁡ y ⋅ cos ⁡ x

cos ⁡ x ± y = cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ y ∓ sen ⁡ x ⋅ sen ⁡ y

Tente gravar pelo menos essas que são as principais! A partir delas ainda dá pra achar outras identidades:

sen ⁡ ( 2 x ) = 2 sen ⁡ x ⋅ cos ⁡ x

cos ⁡ 2 x = cos 2 ⁡ x - sen 2 ⁡ x = 2 cos 2 ⁡ x - 1 = 1 - 2 sen 2 ⁡ x

cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

sen 2 ⁡ x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

sen ⁡ x ⋅ cos ⁡ y = 1 2 sen ⁡ x + y + sen ⁡ ( x - y )

cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ y = 1 2 cos ⁡ x + y + cos ⁡ x - y

sen ⁡ x ⋅ sen ⁡ y = 1 2 [ cos ⁡ x - y - cos ⁡ x + y ]

Potências envolvendo seno e cosseno

Caso 1:

Por exemplo, na integral

∫ sen 2 ⁡ ( x ) ⋅ cos 3 ⁡ ( x ) d x

a potência do cosseno é ímpar. Vamos fazer o seguinte:

∫ sen 2 ⁡ ( x ) ⋅ cos 2 ⁡ x ⋅ cos ⁡ ( x ) d x = ∫ sen 2 ⁡ ( x ) ⋅ 1 - sen 2 ⁡ ( x ) ⋅ cos ⁡ ( x ) d x

Agora lançamos a substituição:

u = sen ⁡ x ⇒ d u = cos ⁡ x d x

Aí sobra uma integral tranquilinha de resolver:

∫ u 2 ⋅ 1 - u 2 d u = ∫ u 2 - u 4 d u

Caso 2:

Vamos calcular a integral

∫ sen 2 ⁡ x ⋅ cos 2 ⁡ x d x

Usando a identidade:

∫ 1 - cos ⁡ 2 x 2 ⋅ 1 + cos ⁡ 2 x 2 d x = 1 4 ∫ 1 - cos 2 ⁡ 2 x d x

Aplicando de novo pro cos ²   ⁡ 2 x , vai dar

1 4 ∫ 1 - 1 2 - cos ⁡ 4 x 2 d x

Agora é só utilizar uma substituição u = 4 x   e partir pro abraço!

Obs.: também dá pra usar a relação

sen ⁡ x ⋅ cos ⁡ x = 1 2 sen ⁡ 2 x

Potências envolvendo tangente e secante ou cotangente e cossecante

Caso 1:

Vejamos um exemplo:

∫ tg 3 ⁡ x ⋅ sec 6 ⁡ x d x

Temos que n é par e m é ímpar, então nesse caso vai dar até pra escolher entre as substituições u = tg ⁡ x e u = sec ⁡ x .

Calma, galera! Não há necessidade disso, vamos resolver das duas formas.

forma: u = t g ⁡ x ⇒ d u = sec ²   ⁡ x d x

∫ tg 3 ⁡ x ⋅ sec 6 ⁡ x d x

= ∫ tg 3 ⁡ x ⋅ sec 4 ⁡ x ⋅ sec 2 ⁡ x d x = ∫ tg 3 ⁡ x ⋅ 1 + tg 2 ⁡ x 2 ⋅ sec 2 ⁡ x d x

= ∫ u 3 1 + u 2 2 d u = ∫ u 3 + 2 u 5 + u 7 d u

2ª forma: u = sec ⁡ x ⇒ d u = sec  ⁡ x tg ⁡ x d x

∫ tg 3 ⁡ x ⋅ sec 6 ⁡ x d x

= ∫ tg 2 ⁡ x ⋅ sec 5 ⁡ x ⋅ sec ⁡ x ⋅ tg ⁡ x d x = ∫ sec 2 ⁡ x - 1 sec 5 ⁡ x ⋅ sec ⁡ x ⋅ tg ⁡ x d x

= ∫ u 2 - 1 u 5 d u = ∫ u 7 - u 5 d u

Caso 2:

Vamos calcular a seguinte integral:

∫ tg 2 ⁡ x ⋅ sec 3 ⁡ x d x

A ideia aqui é usar a identidade trigonométrica pra eliminar qualquer tangente da expressão, deixando somente as secantes. Então vamos escrever ela assim:

∫ ( sec 2 ⁡ x - 1 ) ⋅ sec 3 ⁡ x d x = ∫ sec 5 ⁡ x d x - ∫ sec 3 ⁡ x d x

Depois disso, em vez de uma substituição faremos uma integração por partes, usando

d v = sec 2 ⁡ x d x

Isso tudo que fizemos pra tangente/secante vale o mesmo pra dupla cotangente/cossecante. ;)

Integrais envolvendo produtos de seno e cosseno

Nesses casos, vamos usar as seguintes identidades:

sen ⁡ ( x ) ⋅ cos ⁡ ( y ) = 1 2 sen ⁡ ( x + y ) + sen ⁡ x - y

cos ⁡ ( x ) ⋅ cos ⁡ ( y ) = 1 2 cos ⁡ x + y + cos ⁡ x - y

sen ⁡ ( x ) ⋅ sen ⁡ ( y ) = 1 2 [ cos ⁡ x - y - cos ⁡ x + y ]

Essas fórmulas são chatas de gravar, mas olha um exemplo de como isso facilita nossa vida:

∫ sen ⁡ ( 5 x ) ⋅ cos ⁡ 2 x d x = ∫ 1 2 sen ⁡ ( 7 x ) + sen ⁡ ( 3 x ) d x

Bem melhor, né?

Agora vem comigo ver uns exercícios! ;)

Expandir

Exercício Resolvido #1

James Stewart Vol. I – 6ª ed. Exercício 38 da seção 5.4

Calcule a integral.

∫ 0 π 3 sen ⁡ θ + sen ⁡ θ tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

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Passo 1

O enunciado nos pede para calcularmos a integral definida. Ou seja, o resultado deve ser um número!

Para isso, vamos usar o teorema da variação total:

∫ a b F ' ( θ ) d θ = F b - F ( a )

Portanto, primeiro vamos calcular a integral indefinida F . Depois, basta substituir θ por π / 3 e 0 e fazer o cálculo.

F = ∫ sen ⁡ θ + sen ⁡ θ tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 2

Para o cálculo de uma integral indefinida é legal manipularmos o integrando para encontrarmos integrais indefinidas conhecidas - aquelas que apresentamos na teoria e que é bom você decorar : )

Salta aos olhos que o integrando é composto de funções trigonométricas. Logo, temos que manipular o integrando para obtermos integrais trigonométricas conhecidas. São elas:

∫ sen ⁡ x d x = - cos ⁡ x + C

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + C

∫ sec 2 ⁡ x d x = tg ⁡ x + C

∫ cossec 2 ⁡ x   d x = - cotg ⁡ x + C

∫ sec ⁡ x ⋅ tg ⁡ x d x = sec ⁡ x + C

∫ cossec ⁡ x ⋅ cotg ⁡ x d x = - cossec ⁡ x + C

Também é legal manipularmos o integrando para acabarmos com o denominador. Repare que nenhuma das integrais conhecidas de funções trigonométricas possui denominador!

Passo 3

∫ sen ⁡ θ + sen ⁡ θ tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ sen ⁡ θ 1 + tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Como 1 + tg 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ :

= ∫ sen ⁡ θ . sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ =

= ∫ sen ⁡ θ d θ = - cos ⁡ θ + C

Então:

F θ = - cos ⁡ θ

F π 3 = - cos ⁡ π 3 = - 1 2

F 0 = - cos ⁡ 0 = - 1

Portanto:

∫ 0 π 3 sen ⁡ θ + s e n θ tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = - 1 2 - - 1 = 1 2

Dica:

É importante conhecermos as principais identidades trigonométricas para simplificarmos os integrandos de funções trigonométricas.

Nesse caso, foi preciso conhecer a seguinte identidade:

sec 2 ⁡ x = 1 + tg 2 ⁡ x

Outra identidade do mesmo tipo é:

cossec 2 ⁡ x = 1 + cotg 2 ⁡ x

Resposta

∫ 0 π 3 sen ⁡ θ + sen ⁡ θ tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = 1 2

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Calcule as seguintes integrais.

∫ cos 5 ⁡ ( e x ) sen 4 ⁡ ( e x ) e x d x

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Passo 1

Repara que temos um produto de seno com cosseno com potências. Só que não está exatamente isso, tem aquele e x ali no mesmo. Então vamos usar substituição primeiro

e x = y

Derivando

e x d x = d y

Nossa integral vai ficar

∫ cos 5 ⁡ ( y ) sen 4 ⁡ ( y ) d y

Agora podemos usar a integração trigonométrica.

Passo 2

Repara que esse é o caso que o expoente de cos ⁡ y é ímpar. Então vamos separar um cos ⁡ y na integral e fazer igual fizemos na teoria

Dando uma arrumada na integral

∫ cos 4 ⁡ ( y ) sen 4 ⁡ ( y ) cos ⁡ y d y

Fazendo o mesmo raciocínio que vimos na teoria, fazemos

cos 2 ⁡ y = 1 - sen 2 ⁡ y

A Integral fica

∫ 1 - sen 2 ⁡ y 2 sen 4 ⁡ ( y ) cos ⁡ y d y

Usando a integração trigonométrica:

v = sen ⁡ y → d v = cos ⁡ y d y

Aplicando:

∫ 1 - sen 2 ⁡ y 2 sen 4 ⁡ y cos ⁡ y d y = ∫ 1 - v 2 2 v 4 d v

Passo 3

Precisamos resolver

∫ 1 - v 2 2 v 4 d v

Abrindo essa conta

∫ 1 - v 2 2 v 4 d v = ∫ v 4 - 2 v 6 + v 8 d v

Então

∫ v 4 - 2 v 6 + v 8 d v = v 5 5 - 2 v 7 7 + v 9 9 + C

Passo 4

Voltando para y

v = sen ⁡ y

v 5 5 - 2 v 7 7 + v 9 9 + C = sen 5 ⁡ y 5 - 2 sen 7 ⁡ y 7 + sen 9 ⁡ y 9 + C

Calma que ainda não acabou, precisamos voltar para x agora

y = e x

sen 5 ⁡ e x 5 - 2 sen 7 ⁡ e x 7 + sen 9 ⁡ e x 9 + C

Resposta

sen 5 ⁡ e x 5 - 2 sen 7 ⁡ e x 7 + sen 9 ⁡ e x 9 + C

Exercício Resolvido #3

James Stewart Vol. I – 6ª ed. Exercício 49 da seção 7.2

Calcule a integral:

∫ t sec 2 ⁡ t 2 tg 4 ⁡ ( t 2 ) d t

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Passo 1

Repara comigo que o termo t 2 aparece muitas vezes e a sua derivada é 2 t   d t , que aparece parecido. Logo, é bom fazer uma substituição.

Note, também, que aparece a expressão tg m ⁡ ( x ) sec n ⁡ ( x ) d x , com n par. Isso nos faz pensar em usar a integração trigonométrica.

Logo, iremos, primeiro, usar a substituição e, depois, a integração trigonométrica. Siga-me.

Passo 2

∫ t sec 2 ⁡ t 2 tg 4 ⁡ ( t 2 ) d t

u = t 2 → d u = 2 t   d t → t   d t = 1 2 d u

Substituindo:

∫ 1 2 sec 2 ⁡ ( u ) tg 4 ⁡ ( u )   d u

Passo 3

Usando a integração trigonométrica:

v = tg ⁡ u → d v = sec 2 ⁡ ( u ) d u

Aplicando:

∫ 1 2 v 4 d v = 1 2 ⋅ 1 5 v 5 + C =

= 1 10 tg 5 ⁡ ( u ) + C =

= 1 10 tg 5 ⁡ ( t 2 ) + C

Resposta

∫ t sec 2 ⁡ t 2 tg 4 ⁡ ( t 2 ) d t = 1 10 tg 5 ⁡ ( t 2 ) + C

Exercício Resolvido #4

Integrais trigonométricas

Calcule a integral do produto ou quociente de potenciais de funções trigonométricas.

∫ tg 5 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x

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Passo 1

Opa temos uma integral bem bonita né? Só que não... Vamos começar escrevendo aquela raiz como potência.

sec 3 ⁡ x = sec 3 / 2 ⁡ x

∫ tg 5 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x = ∫ tg 5 ⁡ x sec 3 / 2 ⁡ x d x = ∫ tg 5 ⁡ x sec - 3 / 2 ⁡ x d x

Opa temos a nossa potência ali. Um dos casos que vimos na teoria é com a tangente elevado a um número ímpar. Não importa que a potência da secante seja essa parada meio louca.

Vamos lá

Passo 2

Temos que começar separando tg ⁡ x sec ⁡ x

∫ tg 5 ⁡ x sec - 3 / 2 ⁡ x d x = ∫ tg 5 - 1 ⁡ x sec - 3 / 2 - 1 ⁡ x tg ⁡ x sec ⁡ x d x

∫ tg 4 ⁡ x sec - 5 / 2 ⁡ x tg ⁡ x sec ⁡ x d x

Vamos agora fazer

tg 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1

A nossa integral vai ficar

∫ sec 2 ⁡ x - 1 2 sec - 5 / 2 ⁡ x tg ⁡ x sec ⁡ x d x

Agora fazemos

v = sec ⁡ x

Derivando

d v = sec ⁡ x tg ⁡ x d x

Vamos ter

∫ v 2 - 1 2 v - 5 / 2 d v

Passo 3

Vamos agora resolver essa integral, primeiro abrindo esse polinômio

∫ v 3 / 2 - 2 v - 1 / 2 + v - 5 / 2 d v

Agora vamos ter

∫ v 3 / 2 - 2 v - 1 / 2 + v - 5 / 2 d v = v 5 / 2 5 / 2 - 2 v 1 / 2 1 / 2 + v - 3 / 2 - 3 / 2 + C = 2 5 v 5 / 2 - 4 v 1 / 2 - 2 3 v - 3 / 2 + C

Passo 4

Precisamos voltar para x

v = sec ⁡ x

2 5 v 5 / 2 - 4 v 1 / 2 - 2 3 v - 3 / 2 + C = 2 5 sec 5 / 2 ⁡ x - 4 sec 1 / 2 ⁡ x - 2 3 sec - 3 / 2 ⁡ x + C

Resposta

2 5 sec 5 / 2 ⁡ x - 4 sec 1 / 2 ⁡ x - 2 3 sec - 3 / 2 ⁡ x + C

Exercício Resolvido #5

CEFET - Cálculo 1 - P2 Túlio 2014.1 - 4

Sabendo-se que m e n são números inteiros positivos, mostre que

∫ - 1 1 cos ⁡ ( n π x ) cos ⁡ ( m π x ) d x = 0 ,     m ≠ n 1 ,     m = n

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Passo 1

-

Bom, esse é um daqueles casos clássicos de Integral Trigonométrica. Tenho que buscar uma forma de, através de relações trigonométricas, simplificar a cara dessa integral aí. Tem uma que me vem à cabeça que trabalha justamente isso, um produto entre cossenos, olha:

cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ y = 1 2 cos ⁡ x + y + cos ⁡ x - y

Nesse caso aí, fica desse jeito:

cos ⁡ ( n π x ) cos ⁡ ( m π x ) = 1 2 { cos ⁡ π x n + m + cos ⁡ π x n - m }

Reescrevendo na equação agora.

∫ - 1 1 cos ⁡ ( n π x ) cos ⁡ ( m π x ) d x = ∫ - 1 1 1 2 { cos ⁡ π x n + m + cos ⁡ π x n - m } d x

Faça o seguinte, estudante: olhe para o gráfico do cosseno de - π até π .

Reparou que a função é espelhada? É aquela chamada função par, quando f x = f ( - x ) .

Nesse caso, observando a integral como área, a gente nota que uma integral do cosseno de limites de integração múltiplos de π vai zerar, pois a porção de área acima do eixo x será sempre igual à de baixo.

Poréeeeeem, isso não acontecerá apenas em um caso. Adivinha que caso é esse?

cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ y = cos 2 ⁡ x

Que acontece quando x = y . Nesse caso, o gráfico não tem parte negativa, já que cos 2 ⁡ x será inteiramente positivo, sempre. Dessa forma, apenas para provar, vamos fazer a integral quando m = n :

∫ - 1 1 cos ⁡ ( n π x ) cos ⁡ ( m π x ) d x = ∫ - 1 1 cos 2 ⁡ ( n π x ) d x

Abrindo por essa relação fica tranquilo:

cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

∫ - 1 1 cos 2 ⁡ n π x d x = ∫ - 1 1 1 + cos ⁡ 2 n π x 2 d x = x 2 + sen ⁡ 2 n π x 4 n π [ 1 - 1

= 1 2 + sen ⁡ 2 n π 4 n π - - 1 2 + sen ⁡ - 2 n π 4 n π = 1 2 + 1 2 + sen ⁡ 2 n π 4 n π - sen ⁡ - 2 n π 4 n π

= 1