Teoria Completa
Fala aí, bem vindo ao RespondeAí! Nessa página vamos te falar o que são as Integrais Trigonométricas, e te mostrar quais delas costumam cair mais na sua prova, tudo para fazer você mandar bem em cálculo!
Se você quer apenas uma tabela dá uma olhada nessa nossa página exclusiva: Tabela de Integrais
Todos nós já decoramos, ou de alguma forma conseguimos lembrar que:
Mas as Integrais Trigonométricas que mais aparecem nas nossas provas são sem dúvidas as que envolvem a multiplicação entre as funções $sen$ e $cos$ e normalmente apresentam uma carinha desse tipo aqui:
Para resolver esse tipo de integral temos toda a explicação no nosso conteúdo para assinantes, então aqui vamos focar nos macetes que pode usar para resolvê-los:
Caso 1: $m$ ou $n$ ímpar
Caso 2: $m$ e $n$ par
Vamos ver um exemplo de cada:
Vamos primeiro calcular a seguinte integral que representa o Caso 1:
Passo 1
Vamos reescrever nossa equação usando a identidade trigonométrica $sen^2(x)+cos^2(x)=1$, separando um $cos^2$, dessa forma:
Passo 2
Agora fazemos a substituição simples:
Passo 3
E ai fica fácil de resolver:
Passo 4
Voltando para a variável $x$:
Agora um solução para da seguinte integral para o Caso 2:
Passo 1
Essa é muito interessante porque da muita vontade de usar a relação trigonométrica $sen^2(x)+cos^2(x)=1$, mas pode tentar ai, que não vai funcionar, e para resolvê-las temos que usando as identidades de $sen^2(x)$ e $cos^2(x)$:
Passo 2
Fazendo a multiplicação distributiva e reorganizando a integral ficamos com:
Passo 3
Ainda temos um $cos^2$ então temos que aplicar de novo a propriedade do $cos^2(x)$ da seguinte forma:
Passo 4
Agora conseguimos usar uma substituição simples $u=4x$ e partir para o abraço.
O resultado é:
No nosso material para assinantes você encontra mais explicações sobre integrais que contém $tg(x)$, $sec(x)$ ou que contém $cotg(x)$ e $cossec(x)$, e também como resolver integrais que tenham $sen(nx)$ e $cos(mx)$. Confere nossos planos! Mas para não deixar você na mão segue aqui em baixo um de nossos exercícios resolvidos!
Exercício
Confere aqui um de nossos vídeos de exercício do tópico de Integrais Trigonométricas preparado por um de nossos Experts especialmente para você mandar bem na sua prova de Cálculo:
Calcule a integral trigonométrica:
Exercício Resolvido #1
Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado nos pede para calcularmos a integral definida. Ou seja, o resultado deve ser um número!
Para isso, vamos usar o teorema da variação total:
Portanto, primeiro vamos calcular a integral indefinida . Depois, basta substituir por e e fazer o cálculo.
Passo 2
Para o cálculo de uma integral indefinida é legal manipularmos o integrando para encontrarmos integrais indefinidas conhecidas - aquelas que apresentamos na teoria e que é bom você decorar : )
Salta aos olhos que o integrando é composto de funções trigonométricas. Logo, temos que manipular o integrando para obtermos integrais trigonométricas conhecidas. São elas:
Também é legal manipularmos o integrando para acabarmos com o denominador. Repare que nenhuma das integrais conhecidas de funções trigonométricas possui denominador!
Passo 3
Como :
Então:
Portanto:
Dica:
É importante conhecermos as principais identidades trigonométricas para simplificarmos os integrandos de funções trigonométricas.
Nesse caso, foi preciso conhecer a seguinte identidade:
Outra identidade do mesmo tipo é:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Calcule as seguintes integrais.
Passo 1
Repara que temos um produto de seno com cosseno com potências. Só que não está exatamente isso, tem aquele ali no mesmo. Então vamos usar substituição primeiro
Derivando
Nossa integral vai ficar
Agora podemos usar a integração trigonométrica.
Passo 2
Repara que esse é o caso que o expoente de é ímpar. Então vamos separar um na integral e fazer igual fizemos na teoria
Dando uma arrumada na integral
Fazendo o mesmo raciocínio que vimos na teoria, fazemos
A Integral fica
Usando a integração trigonométrica:
Aplicando:
Passo 3
Precisamos resolver
Abrindo essa conta
Então
Passo 4
Voltando para
Calma que ainda não acabou, precisamos voltar para agora
Resposta
Exercício Resolvido #3
Calcule a integral:
Passo 1
Repara comigo que o termo aparece muitas vezes e a sua derivada é , que aparece parecido. Logo, é bom fazer uma substituição.
Note, também, que aparece a expressão , com par. Isso nos faz pensar em usar a integração trigonométrica.
Logo, iremos, primeiro, usar a substituição e, depois, a integração trigonométrica. Siga-me.
Passo 2
Substituindo:
Passo 3
Usando a integração trigonométrica:
Aplicando:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Calcule a integral do produto ou quociente de potenciais de funções trigonométricas.
Passo 1
Opa temos uma integral bem bonita né? Só que não... Vamos começar escrevendo aquela raiz como potência.
Opa temos a nossa potência ali. Um dos casos que vimos na teoria é com a tangente elevado a um número ímpar. Não importa que a potência da secante seja essa parada meio louca.
Vamos lá
Passo 2
Temos que começar separando
Vamos agora fazer
A nossa integral vai ficar
Agora fazemos
Derivando
Vamos ter
Passo 3
Vamos agora resolver essa integral, primeiro abrindo esse polinômio
Agora vamos ter
Passo 4
Precisamos voltar para
Resposta
Exercício Resolvido #5
Sabendo-se que e são números inteiros positivos, mostre que
Passo 1
Bom, esse é um daqueles casos clássicos de Integral Trigonométrica. Tenho que buscar uma forma de, através de relações trigonométricas, simplificar a cara dessa integral aí. Tem uma que me vem à cabeça que trabalha justamente isso, um produto entre cossenos, olha:
Parece que complicou, mas quando a gente transforma um produto em uma soma, a gente facilita a nossa integral.
Então nossa função fica desse jeito:
Agora vamos analisar e .
Passo 2
Vamos começar com e substituir na fórmula,
Pronto, agora temos vamos integrar
Pronto! Provado que a integral vale para .
Passo 3
Agora vamos para . A nossa integral fica assim,
Aplicando as propriedades de integral podemos escrever assim,
Galera, lembra que e são números inteiros? Então o que teremos dentro seno sempre será um , onde é qualquer número inteiro. Ou seja, o nosso seno vai sempre zerar. Então teremos,
Pronto! Agora provamos que a integral vale para .
Resposta
Exercício Resolvido #6
Calcule a integral definida
Passo 1
Essa integral está tensa, eu mesmo tentei resolver ela assim e não saia de jeito nenhum. Vai que eu me pergunto porque não fazer o simples, vamos trocar por . Vamos resolver a integral como indefinida e depois nos preocupamos com os limites de integração beleza?
Porque coloquei assim? Bem se fizermos
Vamos ter uma integral com substituição simples de boa de fazer
Repara que temos seno e a derivada do seno que é cosseno, então vamos aplicar o passo a passo da substituição simples
Passo 2
Chamar a função que identificamos de
Achar a sua diferencial
Deixar a diferencial igual ao que temos na integral. Neste caso já está igual
Substituir na integral
Essa integral vamos resolver por outra substituição. Ela lembra muito a derivada de arco seno, lembra qual é?
Passo 3
Vamos fazer
Porquê dessa forma vamos ter dentro da raiz.
Agora vamos achar sua diferencial
Agora vamos deixar essa diferencial igual ao que temos na integral, neste caso já está igual.
Agora vamos substituir
Agora nos resolvemos a integral
Vamos des-substituir agora
E precisamos des-substituir de novo para o valor de
Passo 4
Mas a nossa integral é definida, então precisamos fazer