Integrais Trigonométricas

Teoria Completa

Fala aí, bem vindo ao RespondeAí! Nessa página vamos te falar o que são as Integrais Trigonométricas, e te mostrar quais delas costumam cair mais na sua prova, tudo para fazer você mandar bem em cálculo!

Se você quer apenas uma tabela dá uma olhada nessa nossa página exclusiva: Tabela de Integrais

Todos nós já decoramos, ou de alguma forma conseguimos lembrar que:

$$\int sen(x)~dx=-cos(x)+c$$
$$\int cos(x)~dx=sen(x)+c$$

Mas as Integrais Trigonométricas que mais aparecem nas nossas provas são sem dúvidas as que envolvem a multiplicação entre as funções $sen$ e $cos$ e normalmente apresentam uma carinha desse tipo aqui:

$$\int sen^m(\theta).cos^n(\theta)$$

Para resolver esse tipo de integral temos toda a explicação no nosso conteúdo para assinantes, então aqui vamos focar nos macetes que pode usar para resolvê-los:

Caso 1: $m$ ou $n$ ímpar

Caso 2: $m$ e $n$ par

Vamos ver um exemplo de cada:

Vamos primeiro calcular a seguinte integral que representa o Caso 1:

$$\int sen^2(x).cos^3(x)~dx$$

Passo 1

Vamos reescrever nossa equação usando a identidade trigonométrica $sen^2(x)+cos^2(x)=1$, separando um $cos^2$, dessa forma:

$$\int sen^2(x).cos^3(x)~dx=\int sen^2(x).cos^2(x).cos(x)~dx=\int sen^2(x).(1-sen^2(x)).cos(x)~dx$$

Passo 2

Agora fazemos a substituição simples:

$$u=sen(x) \rightarrow du=cos(x)dc$$

Passo 3

E ai fica fácil de resolver:

$$\int u^2.(1-u^2)~du=\int u^2-u^4~du=\frac{u^3}{3}-\frac{u^5}{5}+C$$

Passo 4

Voltando para a variável $x$:

$$\int sen^2(x).cos^3(x)~dx= \frac{sen^3(x)}{3}-\frac{sen^5(x)}{5}+C$$

Agora um solução para da seguinte integral para o Caso 2:

$$\int sen^2(x).cos^2(x)~dx$$

Passo 1

Essa é muito interessante porque da muita vontade de usar a relação trigonométrica $sen^2(x)+cos^2(x)=1$, mas pode tentar ai, que não vai funcionar, e para resolvê-las temos que usando as identidades de $sen^2(x)$ e $cos^2(x)$:

$$\int sen^2(x).cos^2(x)~dx = \int \frac{1-cos(2x)}{2}.\frac{1+ cos(2x)}{2}~dx$$

Passo 2

Fazendo a multiplicação distributiva e reorganizando a integral ficamos com:

$$\int \frac{1+cos(2x)-cos(2x)-cos^2(2x)}{4}~dx=\frac{1}{4}\int 1+cos^2(2x)$$

Passo 3

Ainda temos um $cos^2$ então temos que aplicar de novo a propriedade do $cos^2(x)$ da seguinte forma:

$$\frac{1}{4}\int 1+cos^2(2x)=\frac{1}{4}\int 1+\frac{1-cos(4x)}{2}$$

Passo 4

Agora conseguimos usar uma substituição simples $u=4x$ e partir para o abraço.

O resultado é:

$$\int sen^2(x).cos^2(x)~dx=\frac{1}{32}(u-sin(u))=\frac{1}{32}(4x-sin(4x))+C$$

No nosso material para assinantes você encontra mais explicações sobre integrais que contém $tg(x)$, $sec(x)$ ou que contém $cotg(x)$ e $cossec(x)$, e também como resolver integrais que tenham $sen(nx)$ e $cos(mx)$. Confere nossos planos! Mas para não deixar você na mão segue aqui em baixo um de nossos exercícios resolvidos!

Exercício

Confere aqui um de nossos vídeos de exercício do tópico de Integrais Trigonométricas preparado por um de nossos Experts especialmente para você mandar bem na sua prova de Cálculo:

Calcule a integral trigonométrica:

$$\int tan^2(x).sec^3(x)~dx$$

Exercício Resolvido #1

James Stewart Vol. I – 6ª ed. Exercício 38 da seção 5.4

Calcule a integral.

∫ 0 π 3 sen ⁡ θ + sen ⁡ θ tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

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Passo 1

O enunciado nos pede para calcularmos a integral definida. Ou seja, o resultado deve ser um número!

Para isso, vamos usar o teorema da variação total:

∫ a b F ' ( θ ) d θ = F b - F ( a )

Portanto, primeiro vamos calcular a integral indefinida F . Depois, basta substituir θ por π / 3 e 0 e fazer o cálculo.

F = ∫ sen ⁡ θ + sen ⁡ θ tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 2

Para o cálculo de uma integral indefinida é legal manipularmos o integrando para encontrarmos integrais indefinidas conhecidas - aquelas que apresentamos na teoria e que é bom você decorar : )

Salta aos olhos que o integrando é composto de funções trigonométricas. Logo, temos que manipular o integrando para obtermos integrais trigonométricas conhecidas. São elas:

∫ sen ⁡ x d x = - cos ⁡ x + C

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + C

∫ sec 2 ⁡ x d x = tg ⁡ x + C

∫ cossec 2 ⁡ x   d x = - cotg ⁡ x + C

∫ sec ⁡ x ⋅ tg ⁡ x d x = sec ⁡ x + C

∫ cossec ⁡ x ⋅ cotg ⁡ x d x = - cossec ⁡ x + C

Também é legal manipularmos o integrando para acabarmos com o denominador. Repare que nenhuma das integrais conhecidas de funções trigonométricas possui denominador!

Passo 3

∫ sen ⁡ θ + sen ⁡ θ tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ sen ⁡ θ 1 + tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Como 1 + tg 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ :

= ∫ sen ⁡ θ . sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ =

= ∫ sen ⁡ θ d θ = - cos ⁡ θ + C

Então:

F θ = - cos ⁡ θ

F π 3 = - cos ⁡ π 3 = - 1 2

F 0 = - cos ⁡ 0 = - 1

Portanto:

∫ 0 π 3 sen ⁡ θ + s e n θ tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = - 1 2 - - 1 = 1 2

Dica:

É importante conhecermos as principais identidades trigonométricas para simplificarmos os integrandos de funções trigonométricas.

Nesse caso, foi preciso conhecer a seguinte identidade:

sec 2 ⁡ x = 1 + tg 2 ⁡ x

Outra identidade do mesmo tipo é:

cossec 2 ⁡ x = 1 + cotg 2 ⁡ x

Resposta

∫ 0 π 3 sen ⁡ θ + sen ⁡ θ tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = 1 2

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Calcule as seguintes integrais.

∫ cos 5 ⁡ ( e x ) sen 4 ⁡ ( e x ) e x d x

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Passo 1

Repara que temos um produto de seno com cosseno com potências. Só que não está exatamente isso, tem aquele e x ali no mesmo. Então vamos usar substituição primeiro

e x = y

Derivando

e x d x = d y

Nossa integral vai ficar

∫ cos 5 ⁡ ( y ) sen 4 ⁡ ( y ) d y

Agora podemos usar a integração trigonométrica.

Passo 2

Repara que esse é o caso que o expoente de cos ⁡ y é ímpar. Então vamos separar um cos ⁡ y na integral e fazer igual fizemos na teoria

Dando uma arrumada na integral

∫ cos 4 ⁡ ( y ) sen 4 ⁡ ( y ) cos ⁡ y d y

Fazendo o mesmo raciocínio que vimos na teoria, fazemos

cos 2 ⁡ y = 1 - sen 2 ⁡ y

A Integral fica

∫ 1 - sen 2 ⁡ y 2 sen 4 ⁡ ( y ) cos ⁡ y d y

Usando a integração trigonométrica:

v = sen ⁡ y → d v = cos ⁡ y d y

Aplicando:

∫ 1 - sen 2 ⁡ y 2 sen 4 ⁡ y cos ⁡ y d y = ∫ 1 - v 2 2 v 4 d v

Passo 3

Precisamos resolver

∫ 1 - v 2 2 v 4 d v

Abrindo essa conta

∫ 1 - v 2 2 v 4 d v = ∫ v 4 - 2 v 6 + v 8 d v

Então

∫ v 4 - 2 v 6 + v 8 d v = v 5 5 - 2 v 7 7 + v 9 9 + C

Passo 4

Voltando para y

v = sen ⁡ y

v 5 5 - 2 v 7 7 + v 9 9 + C = sen 5 ⁡ y 5 - 2 sen 7 ⁡ y 7 + sen 9 ⁡ y 9 + C

Calma que ainda não acabou, precisamos voltar para x agora

y = e x

sen 5 ⁡ e x 5 - 2 sen 7 ⁡ e x 7 + sen 9 ⁡ e x 9 + C

Resposta

sen 5 ⁡ e x 5 - 2 sen 7 ⁡ e x 7 + sen 9 ⁡ e x 9 + C

Exercício Resolvido #3

James Stewart Vol. I – 6ª ed. Exercício 49 da seção 7.2

Calcule a integral:

∫ t sec 2 ⁡ t 2 tg 4 ⁡ ( t 2 ) d t

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Passo 1

Repara comigo que o termo t 2 aparece muitas vezes e a sua derivada é 2 t   d t , que aparece parecido. Logo, é bom fazer uma substituição.

Note, também, que aparece a expressão tg m ⁡ ( x ) sec n ⁡ ( x ) d x , com n par. Isso nos faz pensar em usar a integração trigonométrica.

Logo, iremos, primeiro, usar a substituição e, depois, a integração trigonométrica. Siga-me.

Passo 2

∫ t sec 2 ⁡ t 2 tg 4 ⁡ ( t 2 ) d t

u = t 2 → d u = 2 t   d t → t   d t = 1 2 d u

Substituindo:

∫ 1 2 sec 2 ⁡ ( u ) tg 4 ⁡ ( u )   d u

Passo 3

Usando a integração trigonométrica:

v = tg ⁡ u → d v = sec 2 ⁡ ( u ) d u

Aplicando:

∫ 1 2 v 4 d v = 1 2 ⋅ 1 5 v 5 + C =

= 1 10 tg 5 ⁡ ( u ) + C =

= 1 10 tg 5 ⁡ ( t 2 ) + C

Resposta

∫ t sec 2 ⁡ t 2 tg 4 ⁡ ( t 2 ) d t = 1 10 tg 5 ⁡ ( t 2 ) + C

Exercício Resolvido #4

Integrais trigonométricas

Calcule a integral do produto ou quociente de potenciais de funções trigonométricas.

∫ tg 5 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x

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Passo 1

Opa temos uma integral bem bonita né? Só que não... Vamos começar escrevendo aquela raiz como potência.

sec 3 ⁡ x = sec 3 / 2 ⁡ x

∫ tg 5 ⁡ x sec 3 ⁡ x d x = ∫ tg 5 ⁡ x sec 3 / 2 ⁡ x d x = ∫ tg 5 ⁡ x sec - 3 / 2 ⁡ x d x

Opa temos a nossa potência ali. Um dos casos que vimos na teoria é com a tangente elevado a um número ímpar. Não importa que a potência da secante seja essa parada meio louca.

Vamos lá

Passo 2

Temos que começar separando tg ⁡ x sec ⁡ x

∫ tg 5 ⁡ x sec - 3 / 2 ⁡ x d x = ∫ tg 5 - 1 ⁡ x sec - 3 / 2 - 1 ⁡ x tg ⁡ x sec ⁡ x d x

∫ tg 4 ⁡ x sec - 5 / 2 ⁡ x tg ⁡ x sec ⁡ x d x

Vamos agora fazer

tg 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1

A nossa integral vai ficar

∫ sec 2 ⁡ x - 1 2 sec - 5 / 2 ⁡ x tg ⁡ x sec ⁡ x d x

Agora fazemos

v = sec ⁡ x

Derivando

d v = sec ⁡ x tg ⁡ x d x

Vamos ter

∫ v 2 - 1 2 v - 5 / 2 d v

Passo 3

Vamos agora resolver essa integral, primeiro abrindo esse polinômio

∫ v 3 / 2 - 2 v - 1 / 2 + v - 5 / 2 d v

Agora vamos ter

∫ v 3 / 2 - 2 v - 1 / 2 + v - 5 / 2 d v = v 5 / 2 5 / 2 - 2 v 1 / 2 1 / 2 + v - 3 / 2 - 3 / 2 + C = 2 5 v 5 / 2 - 4 v 1 / 2 - 2 3 v - 3 / 2 + C

Passo 4

Precisamos voltar para x

v = sec ⁡ x

2 5 v 5 / 2 - 4 v 1 / 2 - 2 3 v - 3 / 2 + C = 2 5 sec 5 / 2 ⁡ x - 4 sec 1 / 2 ⁡ x - 2 3 sec - 3 / 2 ⁡ x + C

Resposta

2 5 sec 5 / 2 ⁡ x - 4 sec 1 / 2 ⁡ x - 2 3 sec - 3 / 2 ⁡ x + C

Exercício Resolvido #5

CEFET - Cálculo 1 - P2 Túlio 2014.1 - 4

Sabendo-se que m e n são números inteiros positivos, mostre que

∫ - 1 1 cos ⁡ ( n π x ) cos ⁡ ( m π x ) d x = 0 ,     m ≠ n 1 ,     m = n

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, esse é um daqueles casos clássicos de Integral Trigonométrica. Tenho que buscar uma forma de, através de relações trigonométricas, simplificar a cara dessa integral aí. Tem uma que me vem à cabeça que trabalha justamente isso, um produto entre cossenos, olha:

cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ y = 1 2 cos ⁡ x + y + cos ⁡ x - y

Parece que complicou, mas quando a gente transforma um produto em uma soma, a gente facilita a nossa integral.

Então nossa função fica desse jeito:

cos ⁡ ( n π x ) cos ⁡ ( m π x ) = 1 2 { cos ⁡ π x n + m + cos ⁡ π x n - m }

Agora vamos analisar m ≠ n e m = n .

Passo 2

Vamos começar com m = n e substituir na fórmula,

cos ⁡ ( n π x ) cos ⁡ ( n π x ) = 1 2 { cos ⁡ π x n + n + cos ⁡ π x n - n }

cos 2 ⁡ ( n π x ) = 1 2 { cos ⁡ π x 2 n + cos ⁡ 0 }

cos 2 ⁡ ( n π x ) = 1 2 { cos ⁡ π x 2 n + 1 }

Pronto, agora temos vamos integrar

∫ - 1 1 cos 2 ⁡ n π x d x = ∫ - 1 1 1 + cos ⁡ 2 n π x 2 d x = x 2 + sen ⁡ 2 n π x 4 n π [ 1 - 1

= 1 2 + sen ⁡ 2 n π 4 n π - - 1 2 + sen ⁡ - 2 n π 4 n π = 1 2 + 1 2 + sen ⁡ 2 n π 4 n π - sen ⁡ - 2 n π 4 n π

= 1

Pronto! Provado que a integral vale 1 para m = n .

Passo 3

Agora vamos para m ≠ n . A nossa integral fica assim,

∫ - 1 1 cos ⁡ ( n π x ) cos ⁡ ( m π x ) d x = ∫ - 1 1 1 2 { cos ⁡ π x n + m + cos ⁡ π x n - m } d x

Aplicando as propriedades de integral podemos escrever assim,

∫ - 1 1 cos ⁡ ( n π x ) cos ⁡ ( m π x ) d x = 1 2 ∫ - 1 1 { cos ⁡ π x n + m d x + ∫ - 1 1 cos ⁡ π x n - m d x

= 1 2 n + m π s e n π x n + m + n - m π s e n π x n - m - 1 1

Galera, lembra que m e n são números inteiros? Então o que teremos dentro seno sempre será um k π , onde k é qualquer número inteiro. Ou seja, o nosso seno vai sempre zerar. Então teremos,

∫ - 1 1 cos ⁡ ( n π x ) cos ⁡ ( m π x ) d x = 1 2 0 - 0 = 0

Pronto! Agora provamos que a integral vale 0 para m ≠ n .

Resposta

Exercício Resolvido #6

UFF - Cálculo IIA – GMA – 2008.2- Lista 5 - 25

Calcule a integral definida

∫ 0 π 4 d x 1 + 3 sec 2 ⁡ x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Essa integral está tensa, eu mesmo tentei resolver ela assim e não saia de jeito nenhum. Vai que eu me pergunto porque não fazer o simples, vamos trocar sec ⁡ x por 1 cos ⁡ x . Vamos resolver a integral como indefinida e depois nos preocupamos com os limites de integração beleza?

∫ d x 1 + 3 sec 2 ⁡ x = ∫ d x 1 + 3 cos 2 ⁡ x = ∫ d x cos 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x + 3 cos 2 ⁡ x = ∫ 1 cos 2 ⁡ x + 3 cos 2 ⁡ x d x

= ∫ 1 cos 2 ⁡ x + 3 cos 2 ⁡ x d x = ∫ cos 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x + 3 d x = ∫ cos ⁡ x cos 2 ⁡ x + 3 d x

Porque coloquei assim? Bem se fizermos

cos 2 ⁡ x = 1 - sen 2 ⁡ x

Vamos ter uma integral com substituição simples de boa de fazer

∫ cos ⁡ x cos 2 ⁡ x + 3 d x = ∫ cos ⁡ x 1 - sen 2 ⁡ x + 3 d x = ∫ cos ⁡ x 4 - sen 2 ⁡ x d x

Repara que temos seno e a derivada do seno que é cosseno, então vamos aplicar o passo a passo da substituição simples

Passo 2

Chamar a função que identificamos de u

u = sen ⁡ x

Achar a sua diferencial

d u = cos ⁡ x d x

Deixar a diferencial igual ao que temos na integral. Neste caso já está igual

Substituir na integral

∫ d u 4 - u 2

Essa integral vamos resolver por outra substituição. Ela lembra muito a derivada de arco seno, lembra qual é?

∫ d x 1 - x 2

Passo 3

Vamos fazer

u = 2 y

Porquê dessa forma vamos ter 1 - y 2 dentro da raiz.

Agora vamos achar sua diferencial

d u = 2 d y

Agora vamos deixar essa diferencial igual ao que temos na integral, neste caso já está igual.

Agora vamos substituir

∫ d u 4 - u 2 = ∫ 2 d y 4 1 - y 2 = ∫ d y 1 - y 2

Agora nos resolvemos a integral

∫ d y 1 - y 2 = arcsen ⁡ y + C

Vamos des-substituir agora

arcsen ⁡ y + C = arcsen ⁡ u 2 + C

E precisamos des-substituir de novo para o valor de x

arcsen ⁡ u 2 + C = arcsen ⁡ sen ⁡ x 2 + C

Passo 4

Mas a nossa integral é definida, então precisamos fazer

arcsen ⁡ sen ⁡ x 2 x = 0 π 4 = arcsen ⁡ sen ⁡ π 4 2 - arcsen ⁡ sen ⁡ 0 2 =

arcsen ⁡ 2 2 2 - arcsen ⁡ 0 2 = arcsen ⁡ 2 4 - 0 = arcsen ⁡ 2 4

Resposta

arcsen ⁡ 2 4

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