Integração por Partes

Teoria Completa

Quando integrar por partes?

Imagina que o professor pede pra gente resolver a seguinte integral:

∫ x e 4 x d x

Em um caso como esse a gente pode tentar usar a substituição simples maaaaaas vou logo avisando que ela não ajuda muito a gente não.

E é nessas horas que a Integração por Partes salva nóis. Nós vamos pensar em usar ela principalmente quando aparecer algo do tipo: produto de funções de tipos diferentes (logarítmica, inversa, polinomial, trigonométrica, exponencial, ...), sendo uma delas fácil de integrar e a outra mais fácil de derivar.

Mas afinal o que é a Integração por Partes?

Ela é basicamente uma jeito da gente “quebrar” nossa integral em duas partes de forma inteligente, pra gente conseguir resolver a integral.

Para entender melhor vamos continuar tentando resolver ∫ x e 4 x d x . Pra isso a gente vai ter que lembrar da Regra do Produto na derivação. Se derivarmos o termo que aparece dentro da integral, x e 4 x , vai ficar assim:

x e 4 x ' = x ' . e 4 x + x . ( e 4 x ) '

Lembra que podemos trocar x ' por d x ? Fica assim então:

x e 4 x ' = d x . e 4 x + x . ( 4 d x . e 4 x )

x e 4 x ' = d x . e 4 x + 4 x e 4 x d x

Agora só de onda vamos integrar cada um desses termos ∫ x e 4 x ' = ∫ e 4 x d x + 4 ∫ x e 4 x d x

Opaaaa vocês tão vendo o que eu to vendo? Apareceu ali no cantinho justamente a integral que a gente queria calcular! Vamos isolar ela:

4 ∫ x e 4 x d x = ∫ x e 4 x ' -   ∫ e 4 x d x

E mais, aparece um termo que é a integral de uma derivada, mas elas são funções inversas lembra? Então uma meio que “anula” a outra:

4 ∫ x e 4 x d x = x e 4 x - ∫ e 4 x d x

E agora ficou beeeem mais simples de resolver nosso problema, basta resolver essa integral do canto e aí fica assim:

4 ∫ x e 4 x d x = x e 4 x - 1 4 e 4 x + C

Então, dividindo todo mundo por 4:

∫ x e 4 x d x = 1 4 x e 4 x - 1 16 e 4 x + C

Mas será que todas as vezes que formos usar a integração por partes vamos ter que dar essa volta toda? Nada disso! Temos um método sensacional pra você nunca esquecer, de forma genérica a gente escreve isso tudo que a gente fez assim:

Mas daonde surgiu esse u e esse   v   né? É ai que entra aquela história de uma função ser fácil de integrar e a outra fácil de derivar. Mas calma, vamos ver como escolher esses caras.

Passo a Passo

Pra entender melhor vamos fazer um passo a passo de resolução da mesma integral:

∫ x e 4 x d x

Mas usando Integração por Partes de forma macetada, vamos nessa:

  • Passo 1: Precisamos olhar pra expressão da nossa integral e escolher dentre aquele produto de funções a que seja mais fácil de derivar e vamos chamar ela de u ,   e aí a que for mais fácil de integrar vamos chamar de d v . Quer um macete pra facilitar na hora de escolher??
  • É o seguinte: vamos escolher o u nessa ordem: LIATE.

    L logarítmica ( ln ⁡ x )

    I inversa trigonométrica ( arcsen ⁡ x , arctg ⁡ x ,   … )

    A algébrica (ou polinomial) ( x n )

    T trigonométrica ( sen ⁡ x , cos ⁡ x , sec ⁡ x , ...)

    E exponencial ( e x )

    Então como nossa Integral é ∫ x e 4 x d x , ficamos com:

    u = x     ( a l g é b r i c a )

    d v = e 4 x d x     ( e x p o n e n c i a l )

  • Passo 2: Calcular o d u derivando u , no nosso exemplo:
  • u = x

                                d u = d x

  • Passo 3: Calcular v , e pra isso vamos integrar o d v , fica assim:
  • ∫ d v = ∫ e 4 x d x

    v = 1 4 e 4 x

  • Passo 4: Fazer ∫ u d v = u v - ∫ v d u
  • ∫ x e 4 x d x = x . 1 4 e 4 x - ∫ 1 4 e 4 x d x

  • Passo 5: Verificar como calcular a integral ∫ v d u . Se necessário, aplique a Integração por partes novamente nesse termo. Caso pareça que não vai dar em lugar nenhum, volte para o passo 1 e tente outro u e d v .
  • Nesse caso tá tranquilo, dá pra calcular diretamente esse nova integral que apareceu!

  • Passo 6: Calcular ∫ v d u e obter o resultado!

∫ 1 4 e 4 x d x = 1 4 ⋅ 1 4 e 4 x = 1 16 e 4 x

Então nossa integral original fica:

∫ x e 4 x d x = 1 4 x e 4 x - 1 16 e 4 x + C

Sem esquecer da constante, hein? :p

Opa opaaa chegamos exatamente na mesma resposta que tínhamos chegado anteriormente, legal né?

Então meus amiguxos é so seguir esse passo a passo aí que vai dar bom! Mas você precisa ter isso bem decoradinho.

Observação: Para integrar a função ln ⁡ x também usamos a integração por partes. Mas a gente falou que pra usar integração por partes tem um produto dentro da integral lembra? Nesse caso vamos falar que o ln ⁡ x está sendo multiplicado por 1 , olha só:

∫ ln ⁡ x d x = ∫ 1 . ln ⁡ x   d x

Aí é só fazer o mesmo: chamar ln ⁡ x de u e 1 d x de d v e seguir o passo a passo 😊

E de onde vem essa formulhinha?

Caaaaso você esqueca a fórmula (o que eu espero que não aconteca hehe), temos como chegar nela usando a Regra do Produto, vamos fazer igual fizemos lá em cima mas agora de forma literal:

f x ⋅ g x ' = f ' x ⋅ g x + f x ⋅ g ' x

Seja u = f ( x ) e v = g ( x ) . Então:

u v ' = d u   v + u   d v ⇒ u   d v = u v ' - v   d u ⇒ ∫ u d v = u v - ∫ v d u

Então, essa expressão é a “fórmula” da integração por partes. De novo:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Agora para ter certeza de que você não vai esquecer:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Gravou? Sério, esquece o dia do aniversário da sua mãe, mas não esquece isso aí, se não você não ter que deduzir na hora da prova e isso pode ser chato.

Integral por partes – O Retorno

Existem alguns casos em que você vai integrar por partes feliz da vida achando que tá abafando e de repente você vai voltar para a integral que você tinha no início (entedeu o por quê de ‘O Retorno’? hehe) e aí você não vai entender nada, vai achar que está rodando em círculos. Maaaas é assim mesmo, ainda dá pra resolver ela! :D

Um caso bem clássico é uma função exponencial multiplicada por uma função trigonométrica, por exemplo (fica tranquilo que não vamos usar nada específico de integrais trigonométricas 😊):

∫ e 3 x sen ⁡ 5 x d x

Nesses casos, você nem precisa se fixar tanto à regrinha do LIATE, qualquer uma das duas funções pode ser o u .

Vamos chamar de u a função exponencial, ok? Vamos aplicandos nosso passo a passo lembra? Precisamos achar o d u derivando u , e achar o v integrando o d v :

u = e 3 x → d u = 3   e 3 x d x

d v = sen ⁡ 5 x d x → v = - 1 5 cos ⁡ ( 5 x )

Aplicando a fórmula, vai dar:

∫ e 3 x sen ⁡ 5 x d x = - 1 5 e 3 x cos ⁡ 5 x + 3 5 ∫ e 3 x cos ⁡ 5 x d x  

Atenção! Observe que caímos novamente numa integral que é o produto de uma função exponencial e de uma função trigonométrica:

∫ e 3 x c o s   5 x d x

Então vamos integrar por partes novamente!

Um detalhe bem importante: agora não tem mais como escolher, temos que manter a escolha da primeira integração e chamar de u a função exponencial. E aí novamente vamos achar o d u derivando u , e achar o v integrando o d v :

u = e 3 x → d u = 3   e 3 x d x

d v = cos ⁡ 5 x d x → v = 1 5 s e n   ( 5 x )

Aí vamos aplicar a fórmula novamente mas pra essa segunda integral:

∫ e 3 x c o s   5 x d x = 1 5 e 3 x   s e n   5 x - 3 5 ∫ s e n   5 x . e 3 x d x

Percebe que voltamos para a mesma integral que eu tinha no enunciado e que era justamente a que a gente queria resolver?

Relaxa amiguxo que não fizemos trabalho à toa! Vamos voltar à integral original e acompanha aqui comigo:

∫ e 3 x s e n   5 x d x = - 1 5 e 3 x cos ⁡ 5 x + 3 5 ∫ e 3 x cos ⁡ 5 x d x  

Substituindo a integral que achamos aí dentro fica assim:

∫ e 3 x s e n   5 x d x = - 1 5 e 3 x cos ⁡ 5 x + 3 5   1 5 e 3 x   s e n   5 x   - 3 5 ∫ s e n   5 x . e 3 x d x  

∫ e 3 x s e n   5 x d x = - 1 5 e 3 x cos ⁡ 5 x + 3 25   e 3 x   s e n   5 x   - 9 25 ∫ s e n   5 x . e 3 x d x  

Agora olha que lindo: eu posso simplesmente passar a integral que é igual à integral original para o outro lado, “isolando” a integral que eu quero resolver:

∫ e 3 x s e n   5 x d x + 9 25 ∫ s e n   5 x . e 3 x d x   = - 1 5 e 3 x cos ⁡ 5 x + 3 25   e 3 x   s e n   5 x

Depois é só desenvolver isso aí:

34 25 ∫ s e n   5 x . e 3 x d x   = - 1 5 e 3 x cos ⁡ 5 x + 3 25   e 3 x   s e n   5 x

No fim vai dar:

∫ s e n   5 x . e 3 x d x   = - 5 34 e 3 x cos ⁡ 5 x + 3 34   e 3 x   s e n   5 x + C

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Agora é só treinar muito com os exercícios! Vambora?

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Calcule a integral.

∫ x 2 cos ⁡ 3 x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Fazer por partes é a boa, função polinomial, algébrica ( x 2 ) e uma função trigonométrica ( cos ⁡ 3 x ).Vamos seguir os passos da integração por partes.

Passo 2

∫ x 2 cos ⁡ 3 x d x

1. Chamar uma parte da integral de u e outra de d v , LIATE!

u = x 2     ( a l g é b r i c a l ,   A ) d v = c o s   3 x   d x     ( t r i g o n o m é t r i c a ,   T )