Integração por Partes

Teoria Completa

Quando integrar por partes?

Esse método é recomendado quando temos um produto de funções de tipos diferentes (logarítmica, inversa, polinomial, trigonométrica, exponencial, ...), sendo uma delas fácil de integrar e a outra mais fácil de derivar.

Para que você entenda de onde ele nasce, o método da integração por partes vem da Regra do Produto na derivação. Lembrando essa regra:

f x g x ' = f ' x g x + f x g ' x

Seja u = f ( x ) e v = g ( x ) . Então:

u v ' = d u   v + u   d v u   d v = u v ' - v   d u u d v = u v - v d u

Essa expressão é a “fórmula” da integração por partes. De novo:

u d v = u v - v d u

Agora para ter certeza de que você não vai esquecer:

u d v = u v - v d u

u d v = u v - v d u

u d v = u v - v d u

Gravou? Sério, esquece o dia do aniversário da sua mãe, mas não esquece isso aí.

Por exemplo, vamos calcular a integral

x e 2 x d x

Passo 1. Chamar uma parte da integral de u e outra de d v , de modo que o u seja o mais difícil de ser integrado ou o mais fácil de derivar. O macete é escolher o u nessa ordem: LIATE.

L logarítmica ( ln x )

I inversa trigonométrica ( arcsen x , arctg x ,   )

A algébrica (ou polinomial) ( x n )

T trigonométrica ( sen x , cos x , sec x , ...)

E exponencial ( e x )

Então, nesse caso:

u = x     ( a l g é b r i c a )

d v = e 2 x d x     ( e x p o n e n c i a l )

Passo 2. Calcular d u derivando u e calcular v integrando d v .

d u = 1   d x = d x

v = 1 2 e 2 x

Passo 3. Fazer u d v = u v - v d u

x e 2 x d x = x . 1 2 e 2 x - 1 2 e 2 x d x

Passo 4. Verificar como calcular a integral v d u . Se necessário, aplique a Integração por partes novamente nesse termo. Caso pareça que não vai dar em lugar nenhum, volte para o passo 1 e tente outro u e d v .

Nesse caso tá tranquilo, dá pra calcular diretamente esse nova integral que apareceu!

Passo 5. Calcular v d u e obter o resultado!

1 2 e 2 x d x = 1 2 1 2 e 2 x = 1 4 e 2 x x e 2 x d x = x 2 e 2 x - 1 4 e 2 x + C

Sem esquecer da constante, hein? :p

Observação: Para integrar a função ln x também usamos a integração por partes. Afinal, é como se eu tivesse um polinômio x 0 vezes a função logarítmica, beleza?

ln x d x = x 0 ln x   d x

Aí é só fazer o mesmo: chamar ln x de u e o polinômio 1 de d v ;)

Integral por partes com equação

Existem alguns casos em que você vai integrar por partes feliz da vida achando que tá abafando e de repente você vai voltar para a integral que você tinha no início e não vai entender nada, vai achar que está rodando em círculos. Mas é assim mesmo! :D

Um caso bem clássico é uma função exponencial multiplicada por uma função trigonométrica, por exemplo:

e 3 x sen 5 x d x

Nesses casos, você nem precisa se fixar tanto à regrinha do LIATE, qualquer uma das duas funções pode ser o u .

Vou chamar de u a função exponencial, ok?

u = e 3 x d u = 3   e 3 x d x

d v = sen 5 x d x v = - 1 5 cos ( 5 x )

Aplicando a fórmula, vai dar:

e 3 x sen 5 x d x = - 1 5 e 3 x cos 5 x + 3 5 e 3 x cos 5 x d x  

Observa que eu caí novamente numa integral que é o produto de uma função exponencial e de uma função trigonométrica:

e 3 x c o s   5 x d x

Então vamos integrar por partes novamente!

Um detalhe bem importante: agora não tem mais como escolher, temos que manter a escolha da primeira integração e chamar de u a função exponencial.

u = e 3 x d u = 3   e 3 x d x

d v = cos 5 x d x v = 1 5 s e n   ( 5 x )

Assim,

e 3 x c o s   5 x d x = 1 5 e 3 x   s e n   5 x - 3 5 s e n   5 x . e 3 x d x

Percebe que voltei para a mesma integral que eu tinha no enunciado e que era justamente a que eu queria resolver?

Relaxa que você não fez trabalho à toa! Vamos voltar à integral original e acompanha aqui comigo:

e 3 x s e n   5 x d x = - 1 5 e 3 x cos 5 x + 3 5 e 3 x cos 5 x d x  

e 3 x s e n   5 x d x = - 1 5 e 3 x cos 5 x + 3 5   1 5 e 3 x   s e n   5 x   - 3 5 s e n   5 x . e 3 x d x  

e 3 x s e n   5 x d x = - 1 5 e 3 x cos 5 x + 3 25   e 3 x   s e n   5 x   - 9 25 s e n   5 x . e 3 x d x  

Agora olha que lindo: eu posso simplesmente passar a integral que é igual à integral original para o outro lado, “isolando” a integral que eu quero resolver:

e 3 x s e n   5 x d x + 9 25 s e n   5 x . e 3 x d x   = - 1 5 e 3 x cos 5 x + 3 25   e 3 x   s e n   5 x

Depois é só desenvolver isso aí! No fim vai dar:

s e n   5 x . e 3 x d x   = - 5 34 e 3 x cos 5 x + 3 34   e 3 x   s e n   5 x + C

Curtiu essa rataria? ;)

Agora é só treinar muito com os exercícios! Vambora?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Calcule a integral.

x 2 cos 3 x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Fazer por partes é a boa, função polinomial, algébrica ( x 2 ) e uma função trigonométrica ( cos 3 x ).Vamos seguir os passos da integração por partes.

Passo 2

x 2 cos 3 x d x

1. Chamar uma parte da integral de u e outra de d v , LIATE!

u = x 2     ( a l g é b r i c a l ,   A ) d v = c o s   3 x   d x     ( t r i g o n o m é t r i c a ,   T )

2. Calcular d u derivando u . E calcular v integrando d v .

d u = 2 x   d x v = 1 3 sen 3 x

3. Fazer u d v = u v - v d u

x 2 cos 3 x d x = 1 3 x 2 sen 3 x - 2 3 x sen 3 x d x =

= 1 3 x 2 sen 3 x - 2 3 x sen 3 x d x

4. Verificar como calcular a integral v d u . É para calcular por partes de novo!! Se prepare para, às vezes, ter que usar a integração por partes duas ou mais vezes num mesmo problema.

Passo 3

5. Calcular!

Vamos chamar x sen 3 x d x de I .

Calculando I por partes:

u = x d u = d x d v = sen 3 x v = - 1 3 cos 3 x

Então:

I = - 1 3 x cos 3 x - - 1 3 cos 3 x d x = - 1 3 x cos 3 x + 1 3 cos 3 x d x =

= - 1 3 x cos 3 x + 1 9 sen 3 x

Logo:

x 2 cos 3 x d x = 1 3 x 2 sen 3 x - 2 3 - 1 3 x cos 3 x + 1 9 sen 3 x =

= 1 3 x 2 sen 3 x + 2 9 x cos 3 x - 2 27 sen 3 x + C

Resposta

x 2 cos 3 x d x = 1 3 x 2 sen 3 x + 2 9 x cos 3 x - 2 27 sen 3 x + C

Exercício Resolvido #2

PUC-RJ - Cálculo 1 - P4 2010.1 - 2 a

Calcule:

x arctg x 2 d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Cara, não tem erro, x 2 ' = 2 x , correto? Então podemos fazer uma substituição que resolve bastante coisa:

t = x 2 d t = 2 x   d x     ;     x   d x = d t 2

x arctg x 2 d x = arctg t d t 2

= 1 2 arctg t d t

Agora tudo se resume em fazer a integral desse arco-tangente. Bom, nesse cara aí temos uma inversa trigonométrica e um polinômio (considerando que está multiplicado por 1 , um polinômio de grau 0 ), a boa é seguir pela integral por partes.

Passo 2

Pelo LIATE escolhemos o nosso u sendo a Inversa trigonométrica e a algébrica, polinomial, será nosso d v :

u = arctg t d u = d t 1 + t 2

d v = d t v = t

Agora é só usar a fórmula da integral por partes:

arctg t d t = t arctg t - t   d t 1 + t 2

Passo 3

A integral que sobrou pode ser resolvida por substituição:

y = 1 + t 2

d y = 2 t   d t t   d t = d y 2

Fica assim,

t   d t 1 + t 2 = d y 2 y = ln y 2

= ln 1 + t 2 2

Passo 4

Então a integral toda fica assim:

1 2 arctg t d t = 1 2 t arctg t - ln 1 + t 2 2 + C

Como t = x 2 :

x arctg x 2 d x = 1 2 x 2 arctg x 2 - ln 1 + x 4 2 + C

Resposta

x arctg x 2 d x = 1 2 x 2 arctg x 2 - ln 1 + x 4 2 + C

Exercício Resolvido #3

UERJ – Cálculo 1 - Lista Integrais Professora Renata - 3

Calcule a Integral:

x 4 ln x 2 d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Como polinômio desse jeito e logarítmica não tem nenhuma relação direta, vou pensar em Integral por partes. Pelo LIATE eu devo chamar o log. de u e o resto vai ser d v :

u = ln x 2           ;           d u = 2 ln x x d x

d v = x 4 d x           ;           v = x 5 5

x 4 ln x 2 d x = ln x 2 x 5 5 - x 5 5 2 ln x x d x

1 5 x 5 ln x 2 - 2 x 4 ln x d x

Passo 2

Sobrou uma integral que novamente mistura log e polinômio. Mesmo processo, amigo:

u = ln x         ;           d u = d x x

d v = x 4 d x           ;           v = x 5 5

x 4 ln x d x = ln x x 5 5 - x 5 5 d x x = ln x x 5 5 - 1 5 x 5 5

Passo 3

Vou trazer de volta para a equação inicial:

x 4 ln x 2 d x = 1 5 x 5 ln x 2 - 2 x 4 ln x d x

= 1 5 x 5 ln x 2 - 2 ln x x 5 5 + 2 x 5 25

= x 5 5 ln x 2 - 2 ln x 5 + 2 25

Colocando a constante no final da integral: x 4 ln x 2 d x = x 5 5 ln x 2 - 2 ln x 5 + 2 25 + C

Resposta

x 4 ln x 2 d x = x 5 5 ln x 2 - 2 ln x 5 + 2 25 + C

Exercício Resolvido #4

USP - Cálculo 1 - P3 2012 - 1 b

Calcule:

  sec 2 x ln cos x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Como eu não vejo nenhuma substituição de cara para resolver esse cara, eu vou pensar que esse é um produto entre uma trigonométrica e um logaritmo, funções que não dialogam diretamente. A resolução de integrais que mexe com integrais de funções diferentes misturadas é a resolução por partes. Vamos seguir o LIATE para escolha do u para aplicar nossa fórmula da integral por partes, L de logaritmo vem antes de T de trigonométrica, então o u será o log. O que sobrar será d v :

u = ln cos x d u = cos x ' cos x

= - sen x cos x = - tg x d x

d v = sec 2 x d x v = tg x

sec 2 x ln cos x d x = ln cos x tg x - tg x - tg x d x

Passo 2

Agora é só resolver a integral que sobrou do lado esquerdo:

ln cos x tg x - tg x - tg x d x

= ln cos x tg x + tg 2 x d x

Sabemos que tg 2 x não tem uma integral direta, porém sec 2 x até tem. Se há uma relação trigonométrica que diz que 1 + tg 2 x = sec 2 x , podemos reescrever tudo assim:

= ln cos x tg x + - 1 + sec 2 x d x

= ln cos x tg x - x + tg x + C

Resposta

sec 2 x ln cos x d x = ln cos x tg x - x + tg x + C

Exercício Resolvido #5

USP - Cálculo 1 - P3 2014.1 – 1a

Calcule as seguintes integrais:

  ln ( x 2 + 4 x + 5 ) d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, ln ( x ) é um negócio meio complicado de integrar de primeira. A saída é reparar que o d x ali é como se fosse um polinômio de grau 0 e notar a total diferença entre as duas funções. Sendo assim, cabe usar a Integral por Partes! Pelo LIATE, Logaritmo é a nossa primeira opção para escolher o u , correto?

u = ln ( x 2 + 4 x + 5 )   ; d v = d x

d u = 2 x + 4 x 2 + 4 x + 5 d x     ; v = x

ln ( x 2 + 4 x + 5 ) d x = u . v - v . d u

ln ( x 2 + 4 x + 5 ) d x = ln x 2 + 4 x + 5 ( x ) - ( x ) 2 x + 4 x 2 + 4 x + 5 d x

ln x 2 + 4 x + 5 ( x ) - 2 ( x 2 + 2 x ) x 2 + 4 x + 5 d x

A partir de agora só precisamos resolver essa integral e pronto.

Passo 2

Repara que temos fração com grau dois em cima e grau dois embaixo. Vamos dividir esse polinômio aí e então tentar integrá-lo.

( x 2 + 2 x ) x 2 + 4 x + 5 = x 2 + 4 x + 5 + ( - 2 x - 5 ) x 2 + 4 x + 5 = 1 + ( - 2 x - 5 ) x 2 + 4 x + 5

Ok, já melhorou. Mas e para integrar esse negócio?

( - 2 x - 5 ) x 2 + 4 x + 5

Aí vem o pulo do gato, repara na substituição que eu vou fazer:

( - 2 x - 5 ) x 2 + 4 x + 5 d x = ( - 2 x - 5 ) ( x 2 + 4 x + 4 ) + 1 d x = ( - 2 x - 5 ) x + 2 2 + 1 d x

y = x + 2   ; d y = d x

( - 2 x - 5 ) x + 2 2 + 1 d x = ( - 2 ( y - 2 ) - 5 ) y 2 + 1 d y = ( - 2 y - 1 ) y 2 + 1 d y

- 2 y y 2 + 1 d y - 1 y 2 + 1 d y

= - ln y 2 + 1 - arctg y = - ln ( x 2 + 4 x + 5 ) - arctg x + 2

Foi?

Passo 3

Bom, vamos voltar para o pedaço de antes:

ln x 2 + 4 x + 5 d x = ln x 2 + 4 x + 5 x - 2 x 2 + 2 x x 2 + 4 x + 5 d x

ln ( x 2 + 4 x + 5 ) d x = ln x 2 + 4 x + 5 ( x ) - 2 1 + - 2 x - 5 x 2 + 4 x + 5 d x

= ln x 2 + 4 x + 5 ( x ) - 2 x - ln x 2 + 4 x + 5 - arctg x + 2

ln x 2 + 4 x + 5 x + 2 - 2 x + 2 arctg x + 2 + C

Resposta

ln ( x 2 + 4 x + 5 ) d x = ln x 2 + 4 x + 5 x + 2 - 2 x + 2 arctg x + 2 + C

Exercício Resolvido #6

Elaboração própria

Resolva a integral:

e 2 x sen x   d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A tentativa do método da integração por partes é super recomendada aqui, pois trata-se de um produto de uma função exponencial ( e 2 x ) por uma função trigonométrica ( sen x ).

Vamos seguir os passos da integração por partes.

Passo 2

e 2 x sen x   d x

1. Chamar uma parte da integral de u e outra de d v . LIATE!

u = sen x     ( t r i g o n o m é t r i c a ,   T ) d v = e 2 x d x         ( e x p o n e n c i a l ,   E )

2. Calcular d u derivando u . E calcular v integrando d v .

d u = cos x d x v = 1 2 e 2 x

3. Fazer u d v = u v - v d u

e 2 x sen x d x = 1 2 e 2 x sen x - 1 2 e 2 x cos x d x

4. Verificar como calcular a integral v d u . Vamos ter que usar o método da integração por partes de novo. Repare que temos um produto, de novo, de uma função exponencial por uma função trigonométrica

Passo 3

5. Calcular!

Seja I = 1 2 e 2 x cos x d x .

Calculando pelo método da integração por partes:

u = cos x d u = - sen x   d x d v = 1 2 e 2 x d x v = 1 4 e 2 x

Então:

I = 1 4 e 2 x cos x - - 1 4 e 2 x sen x   d x =

= 1 4 e 2 x cos x + 1 4 e 2 x sen x   d x

Passo 4

Ora, olhe onde chegamos! Temos que calcular a integral do enunciado. Repare:

e 2 x sen x d x = 1 2 e 2 x sen x - 1 4 e 2 x cos x - 1 4 e 2 x sen x   d x

Parece que chegamos em uma encruzilhada! Mas, não! Com um olhar mais atento, podemos perceber que podemos tratar   e 2 x sen x   d x como uma variável a ser calculada. Assim, multiplico tudo por 4 :

4 e 2 x sen x d x = 2 e 2 x sen x - e 2 x cos x - e 2 x sen x d x

5 e 2 x sen x d x = 2 e 2 x sen x - e 2 x cos x

e 2 x sen x d x = 2 5 e 2 x sen x - 1 5 e 2 x cos x + C

Resposta

e 2 x sen x d x = 2 5 e 2 x sen x - 1 5 e 2 x cos x + C

Exercício Resolvido #7

Elaboração própria

Resolva a integral:

e sen x cos sen x cos x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A tentativa do método da integração por partes é super recomendada aqui, pois trata-se de um produto de uma função exponencial por uma função trigonométrica.

Vamos seguir os passos da integração por partes.

Mas repara que antes temos que fazer uma substituição, temos sen x no exponencial e dentro de um dos cossenos. E cos x do lado de fora, que é a sua derivada. Então vamos começar fazendo a substituição

y = sen x

d y = cos x d x

A nossa integral fica

e y cos y d y

Passo 2

e y cos y d y

1. Chamar uma parte da integral de u e outra de d v . LIATE!

u = cos y     ( t r i g o n o m é t r i c a ,   T ) d v = e y d y         ( e x p o n e n c i a l ,   E )

2. Calcular d u derivando u . E calcular v integrando d v .

d u = - sen y d y v = e y

3. Fazer u d v = u v - v d u

e y cos y d y = e y cos y + e y sen y d y

Passo 3

4. Verificar como calcular a integral v d u . Vamos ter que usar o método da integração por partes de novo. Repare que temos um produto, de novo, de uma função exponencial por uma função trigonométrica

Passo 4

5. Calcular!

e y sen y d y

Calculando pelo método da integração por partes:

u = sen y     ( t r i g o n o m é t r i c a ,   T ) d v = e y d y         ( e x p o n e n c i a l ,   E )

Achando d u , v

d u = cos y d y v = e y

Então

e y sen y d y = e y sen y - e y cos y d y

Passo 5

Ora, olhe onde chegamos! Temos que calcular a integral do enunciado. Repare:

e y cos y d y = e y cos y + e y sen y - e y cos y d y

Parece que chegamos em uma encruzilhada! Mas, não! Com um olhar mais atento, podemos perceber que podemos tratar   e y cos y d y como uma variável a ser calculada. Assim,

2 e y cos y d y = e y cos y + e y sen y

e y cos y d y = e y cos y + e y sen y 2 + C

Não pode esquercer da constante

Passo 6

Vamos voltar para x agora

y = sen x

A nossa resposta vai ser

e sen x cos sen x + e sen x sen sen x 2 + C

Resposta

e sen x cos sen x + e sen x sen sen x 2 + C

Exercício Resolvido #8

UFF - Cálculo IIA – GMA – 2008.2 – Lista 3 - 12

Calcule a integral indicada, utilizando a técnica de integração por partes.

sen ( ln x ) d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Ele fala para usar integração por parte, então o que vamos fazer? Usar integração por partes rs.

1. Chamar uma parte da integral de u e outra de d v . LIATE!

Como nos temos uma função muito louca, vamos chamar essa de u e o resto de d v

u = sen ln x d v = d x    

2. Calcular d u derivando u . E calcular v integrando d v .

d u = cos ln x . 1 x d x v = x

Passo 2

3. Fazer u d v = u v - v d u

sen ( ln x ) d x = x sen ln x - x . cos ln x . 1 x d x

sen ( ln x ) d x = x sen ln x - cos ln x d x

4. Verificar como calcular a integral v d u : não é nada fácil, vamos tentar aplicar integral por partes de novo

Passo 3

5. Calcular!

cos ln x d x

Como nos temos uma função muito louca, vamos chamar essa de u e o resto de d v

u = cos ln x d v = d x    

Calcular d u derivando u . E calcular v integrando d v .

d u = - sen ln x . 1 x d x v = x

Passo 4

Fazer u d v = u v - v d u

cos ln x d x = x cos ln x - - x . sen ln x . 1 x d x

cos ln x d x = x cos ln x + sen ln x d x

Passo 5

Opa caímos na integral que temos, olha como está tu

sen ln x d x = x sen ln x - x cos ln x + sen ln x d x

sen ln x d x = x sen ln x - x cos ln x - sen ln x d x

Parece que chegamos em uma encruzilhada! Mas, não! Com um olhar mais atento, podemos perceber que podemos tratar   sen ln x d x como uma variável a ser calculada. Assim

sen ln x d x = x sen ln x - x cos ln x - sen ln x d x

2 sen ln x d x = x sen ln x - x cos ln x

sen ln x d x = x sen ln x - x cos ln x 2 + C

Não esquece a constante que você precisa somar no final.

Resposta

x sen ln x - x cos ln x 2 + C

Exercício Resolvido #9

Calcule a integral

x 2 senh x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A primeira coisa que a gente tem que notar nessa integral doida é o seguinte: ela é um produto de funções. Seja f x = g x . h x , podemos dizer que g x = x 2 e h x = sinh x .

Tá, mas e daí? Bem, agora que enxergamos isso, pensa comigo: qual método de integração tem tudo a ver com integral de produto de funções?

Pausa dramática

Integral por partes! Isso mesmo! Então vamos usar a propriedade:

u   d v = u v -   v   d u

Passo 2

Beleza, sabemos qual método de integração usar. Mas quem vai ser u , d u , v e d v ? Temos que escolher eles de forma que a segunda integral seja mais fácil de calcular que a primeira, beleza? Então se fizermos:

u = x 2   d u d x = 2 x   ; d u = 2 x d x

sinh x   d x = d v v = cosh x

A integral fica:

x 2 senh x d x = x 2 cosh x -   2 x cosh x d x

Passo 3

Ok, a segunda integral ainda não sabemos resolver de cara. Mas por que não fazer uma outra integração por partes? Dessa vez vamos escolher:

u = 2 x d u d x = 2   ; d u = 2 d x

cosh x   d x = d v v = sinh x  

A integral fica:

2 x cosh x d x = 2 x sinh x - 2 sinh x d x

E agora sim a gente consegue resolver a última integral:

2 sinh x d x = 2 cosh x

Passo 4

Os resultados dos passos anteriores foram:

x 2 senh x d x = x 2 cosh x -   2 x cosh x d x

2 x cosh x d x = 2 x sinh x - 2 sinh x d x

2 sinh x d x = 2 cosh x

Se juntarmos tudo chegamos na nossa resposta, que vai ser:

x 2 senh x d x =   x 2 cosh x -   2 x sinh x + 2 cosh x + C

x 2 senh x d x =   x 2 + 2 cosh x -   2 x sinh x + C

Resposta

x 2 senh x d x =   x 2 cosh x -   2 x sinh x + 2 cosh x + C

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas