Substituição Simples

Teoria Completa

Quando realmente nos aprofundamos nas aulas de Cálculo na faculdade, muitas vezes nos deparamos com problemas cabeludos e entre os tópicos que os professores nos ensinam tem vários que falam sobre métodos de integração.

No RespondeAi, nós temos tópicos exclusivos dedicados a cada um dos métodos ensinados na faculdade para a resolução de integrais, com conteúdo preparado especialmente para você. Nessa página estaremos interessados especificamente em explicar o método da substituição simples.

Substituição Simples

Vamos começar com um bom exemplo, imagina se cai na sua prova para resolver a seguinte integral:

$$\int x^2\sqrt{5+x^3}\text{ }dx$$

E ai, o que você faz? Se prepara que eu vou te dar o Passo a Passo para não ficar perdido quando tiver que resolver uma integral por substituição simples:

Passo 1

Identificar dentro da integral duas partes diferentes, onde uma deve se relacionar com a outra a partir de uma derivada. Olha só...

No nosso exemplo podemos dividir a integral nesses dois termos:

$$x^2$$
$$\sqrt{(5+x^3)}$$

Dentro da raiz, temos a expressão, $(5+x^3)$, calculando a derivada dessa expressão:

$$(5+x^3)'=3x^2$$

Então a única diferença entre o primeiro termo e a derivada do segundo termo é o $3$ multiplicando o $x^2$. Esse já é um bom indicio que realmente temos que usar om método da substituição simples para resolver essa integral.

Passo 2

Começar a mudança de variável que vai permitir fazermos a substituição. Então vamos fingir que esquecemos que estamos derivando em relação a $x$ e fazer uma substituição para variável $u$.

Para fazer isso o que está dentro do argumento da raiz deve ser renomeado para $u$, acompanha aqui:

$$u=5+x^3$$

Passo 3

Calcular a diferencial $du$.

No nosso exemplo:

$$du=3x^2\text{ }dx$$

Passo 4

Organizar a expressão de $du$ para ficar igualzinha ao primeiro termo e a parte que "sobrou" da nossa integral no Passo 1.

No nosso exemplo, vamos deixar a expressão com a seguinte cara:

$$\frac{du}{3}=x^2\text{ }dx$$

Passo 5

Efetuar a substituição na integral.

Sabemos que $5+x^3=u$ como fizemos no Passo 2, e que $x^2\text{ }dx=\frac{du}{3}$, então:

$$\int \sqrt{5+x^3}×x^2\text{ }dx=\int \sqrt{u} ×\text{ }\frac{du}{3} $$

Passo 6

Verificar se não sobrou nenhum $x$ na integral. Em caso afirmativo a substituição foi feita corretamente.

No nosso exemplo encontramos, após a substituição simples, a integral:

$$\int \sqrt{u} \text{ }\frac{du}{3} $$

Passo 7

Resolver a integral em relação a $u$, como já sabemos fazer.

No nosso exemplo:

$$\int \sqrt{u} \text{ }\frac{du}{3} =\frac{1}{3}×\int u^{\frac{1}{2}} \text{ }du =\frac{1}{3}×(\frac{2u^\frac{3}{2}}{3}+C)=\frac{2u^\frac{3}{2}}{9}+C$$

Passo 8

Retornar para a variável inicial após a resolução.

Escrevemos que $u=5+x^3$, então voltando a variável para $x$:

$$\int x^2\sqrt{5+x^3}\text{ }dx=\frac{2u^\frac{3}{2}}{9}+C=\frac{2(5+x^3)^\frac{3}{2}}{9}+C=\frac{2}{9}\sqrt{(5+x^3)^3}+C$$

📢OBS: Muitas vezes, você tem que investigar, analisar e reescrever algebricamente sua integral para encontrar como dividi-la em diferentes termos para aplicar a substituição.

Existem várias possibilidades para o método da substituição simples, ou seja, o que você vai escolher para substituir como $u$ pode ser:

  • Argumento de uma função trigonométrica
  • A própria função trigonométrica
  • Função exponencial ou o argumento dela
  • Função logarítmica ou o argumento dela

Entre outras opções.... O importante é perceber a relação entre um dos termos que você separou e a derivada do outro termo. Vamos olhar mais um exemplo de integral:

$$\int cos(x^5)5x^4\text{ }dx$$

Nesse aqui a gente pode perceber que $5x^4$ é a derivada de $x^5$. Então a partir dessa relação que encontramos e fazendo os Passos 1, 2, definimos o termo que será substituído :

$$u=x^5$$

E com o Passo 3:

$$du = 5x^4\text{ }dx$$

No Passo 5 nossa integral fica:

$$\int cos(u)\text{ }du$$

E agora sabemos calcular! Só não esquece de voltar para a variável $x$ depois de calcular a integral, hein!.

Outro exemplo:

$$\int e^{cos(x)+2}sen(x)\text{ }dx$$

Nesse caso o que vamos querer substituir será:

$$u=cos(x)+2$$

Porque quando derivarmos $u$ vamos encontrar algo parecido com que está na nossa integral, olha:

$$du=-sen(x)\text{ }dx$$

E reescreveremos a integral após a substituição na forma:

$$\int e^{u}\text{ }du$$

E mais uma vez, depois de calcular não esquece de voltar para a variável inicial! Nesse caso teríamos:

$$\int e^{u}\text{ }du = e^u + C =e^{cos(x)+2} + C$$

Legal né? Acho que você já está craque em entender como fazer substituição simples, que tal testar suas habilidades em alguns exercícios? No nosso site você encontra diversos exercícios com resolução em texto e em vídeo de problemas de substituição simples, porque você não aproveita e da uma olhada em uma dessas resoluções em vídeos aqui em baixo?

Exercícios

Confere esse exercício de substituição simples, para você não ficar mais perdido na matéria! São menos de 10 minutinhos, e se quiser você ainda pode aumentar a velocidade!

Expandir

Exercício Resolvido #1

PUC-RJ - Cálculo B - P1 2014.2 – 3.a

Calcule a integral:

∫ c o s   π x   x 2 d x

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Passo 1

Vamos reescrever essa integral desse modo para ser mais fácil de visualizar:

∫ c o s   π x   x 2 d x = ∫ 1 x 2   c o s   π x     d x

O primeiro passo para aplicar método da substituição simples é identificar, dentro da integral, uma parte que seja a derivada da outra a menos de uma constante. Beleza?!

Observe que temos

1 x 2

multiplicando o cosseno de π x .

A derivada de

π x

É

- π x 2 = π - 1 x 2

Show de bola?!

Desse modo, conseguimos identificar uma parte dentro da integral - 1 x 2 que é a derivada a menos de uma constante de outra parte da integral π x , beleza?!

Passo 2

Agora vamos realizar a substituição utilizando de π x , que chamaremos de u .

Assim,

u = π x

Agora vamos derivar u :

d u = - π x 2 d x

Show de bola?!

Estamos prontos para fazer a substituição de u . Porém, para substituir d u temos que isolar 1 x 2 , pois este é o termo que na integral:

1 x 2 d x = - 1 π d u

Passo 3

Retornando à nossa integral, vamos fazer as substituições acima:

∫ 1 x 2   c o s   π x     d x = ∫ - 1 π   c o s   u d u

Podemos tirar as constantes de dentro da integral:

∫ - 1 π   c o s   u d u = - 1 π ∫ c o s u d u

Sabemos que ∫ c o s ( x ) = s e n ( x ) , então:

- 1 π ∫ c o s u d u = - 1 π s e n   u + C

Não podemos esquecer de acrescentar a constante C todas as vezes que trabalharmos com integrais indefinidas!!

Passo 4

Só falta agora substituir o valor de u de volta para x :

- 1 π s e n   u + C = - s e n   π x π + C  

Pronto! Conseguimos resolver a integral pelo método da substituição!!

Resposta

∫ c o s   π x   x 2 d x = - s e n π x   π + C

Exercício Resolvido #2

UFRJ - Cálculo 1 - P2 2009.2 - 2a

Calcule as integrais abaixo:

∫ e 3 a r c t g t t 2 + 1 d t

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Passo 1

O intuito de resolver uma integral por substituição simples é de transformar uma integral mais difícil em uma mais simples de resolver. E como fazer isso?

Bem, neste problema a gente consegue  identificar dentro da integral uma parte que é derivada da outra. Então, a melhor forma de ser resolver essa integral é por substituição simples. Ainda não percebeu? Vamos com calma.

A derivada de arctg ⁡ ( t ) é 1 1 + t 2 . Assim sendo, convém utilizarmos a substituição.

Se eu chamar o argumento da função exponencial de u , o termo que vai sobrar na integral é igual à sua derivada, a menos de uma constante. Não tem mistério! Não parece que vai sobrar nenhum termo com t   na integral fazendo essa substituição!

Com a prática, você vai conseguir visualizar melhor. O importante é você estar familiarizado com as integrais imediatas, para ter esse olho de lince na hora de identificar esse tipo de coisa!

Passo 2

Fazendo a substituição:

u = 3   a r c t g   ( t ) → d u = 3 1 + t 2 d t

Repara que ainda não podemos substituir d u na integral, pois temos um 3 multiplicando 1 1 + t 2 d t . Então nós vamos passar o 3 para o outro lado dividindo.

Passo 3

Pronto! Agora, eu já posso fazer a substituição na minha integral,

∫ e 3 a r c t g t t 2 + 1 d t =   ∫ 1 3   e u   d u  

Passo 4

Agora que já temos uma integral mais simples é só calcular.

∫ 1 3   e u   d u = 1 3 e u + C

A essa altura, cuidado para não se esquecer de adicionar a constante C de integração, heim!

Passo 5

Para finalizar, nós temos que voltar com o t , substituindo ele no resultado. Lembra que,

u = 3   a r c t g   ( t )

Então, voltando para t :

∫ e 3 arctg ⁡ ( t ) t 2 + 1 d t = 1 3 e 3 arctg ⁡ ( t ) + C

Resposta

∫ e 3 arctg ⁡ ( t ) t 2 + 1 d t = 1 3 e 3 arctg ⁡ ( t ) + C

Exercício Resolvido #3

UFRJ - Cálculo 1 - P2 2014.2 - 1 I c

Calcule a seguinte integral:

∫ 0 1 ln ⁡ x 2 + 2 x + 1 x + 1 d x

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Passo 1

Bom, o pulo do gato dessa integral é você enxergar aquele termo ali dentro do l n com olhos diferentes. Vê se ele não parece muito com um produto notável do tipo x + a 2 :

x 2 + 2 x + 1 = x + 1 2

Depois de perceber isso, você reescreve a integral que você vai visualizar uma substituição espertinha que pode ser feita ali:

∫ 0 1 ln ⁡ x 2 + 2 x + 1 x + 1 d x =   ∫ 0 1 ln ⁡ [ x + 1 2 ] x + 1 d x

Passo 2

Repara que eu tenho x + 1 2   dentro do   l n e que eu tenho ( x + 1 ) no denominador da função. Repara também que a derivada de x + 1 é igual a 1 ?

Então porque não chamar x + 1 de u ?

Não está parecendo que vai sobrar nenhum termo em x , não é mesmo?

Fazendo a substituição:

u = x + 1 → d u = d x

Fazendo a substituição, ficamos com a seguinte integral indefinida (relaxa, que eu não esqueci os limites de integração, eu só vou deixar para escrevê-los depois para facilitar):

∫ ln ⁡ [ x + 1 2 ] x + 1 d x = ∫ ln ⁡ [ u 2 ] u d u

Usando as propriedades de logaritmo, podemos descer aquele 2 que tá ali no expoente, né?

∫ ln ⁡ [ u 2 ] u d u =   ∫ 2  ln ⁡ u u d u

Passo 3

E agora? De cara, ainda não sabemos resolver essa integral, mas vamos lembrar que a derivada de ln ⁡ u   é 1 u ?

Então por que não aplicar uma nova substituição?

t = ln ⁡ ( u ) → d t = d u u

∫ 2   t   d t

Essa integral é imediata: integral de polinômio!

∫ 2   t   d t = 2 t 2 2 = t 2

Repare que eu não coloquei a constante C porque eu vou calcular a integral definida. A integral indefinida foi apenas uma ferramenta para eu calcular a integral definida. Mas ela não é a resposta final. Por isso não me preocupei com a constante.

Antes de usar o Teorema Fundamental do Cálculo, eu tenho que voltar para a variável original, que era x . Como eu fiz duas substituições seguidas, primeiro eu volto para u e depois para x .

Passo 4

Voltando de t   para u (lembrando que t = ln ⁡ ( u ) ) .

∫ 2  ln ⁡ u u d u = ln ⁡ u 2

Voltando agora de u para x (lembrando que u = x + 1 ):

∫ ln ⁡ [ x + 1 2 ] x + 1 d x = ln ⁡ x + 1 2

Passo 5

Agora que tenho a integral indefinida, posso calcular a definida (pronto, aqui eu volto com os limites de integração):

∫ ln ⁡ [ x + 1 2 ] x + 1 d x = ln ⁡ x + 1 2

∫ 0 1 ln ⁡ x 2 + 2 x + 1 x + 1 d x = ln ⁡ 2 2 - ln ⁡ 1 2

Talvez você não lembre, mas ln ⁡ 1 = 0 .

∫ 0 1 ln ⁡ x 2 + 2 x + 1 x + 1 d x = ln ⁡ 2 2 = ln 2 ⁡ 2

Passo 6

Então pessoal, a gente já resolveu a questão. Mas existe uma segunda forma de calcular essa integral. Como é o primeiro exercício de substituição com integral definida que estamos resolvendo, vou fazer dos dois jeitos para te provar que tanto faz!

Nessa forma, você vai recalcular os limites de integração em função de  u .

Fazendo a substituição:

u = x + 1 → d u = d x

Então, inicialmente os limites são:

L i m i t e s :     x i n f e r i o r = 0 ;     x s u p e r i o r = 1

Para recalcular os limites, basta substituir o x , na expressão de u

L i m i t e s :     u i n f e r i o r = 0 + 1 = 1 ;     u s u p e r i o r = 1 + 1 = 2

Aí fica assim,

∫ 0 1 ln ⁡ [ x + 1 2 ] x + 1 d x = ∫ 1 2 ln ⁡ [ u 2 ] u d u = ∫ 1 2 2 ln ⁡ ( u ) u d u

Passo 7

Passo 8

Fazendo a nova substituição:

t = ln ⁡ ( u ) → d t = d u u

Troco novamente os limites de integração para a nova variável:

L i m i t e s :     t i n f e r i o r = ln ⁡ 1 = 0 ;     t s u p e r i o r = ln ⁡ ( 2 )

Observe que nessa forma de resolver, como os limites de integração já estão trocados, eu não preciso voltar para x , posso resolver direto:

∫ 1 2 2 ln ⁡ u u d u = 2 ∫ 0 ln ⁡ 2 t   d t = 2 t 2 2 [ ln ⁡ 2 0

= ln ⁡ 2 2 - 0 2 = ln 2 ⁡ 2

A resposta deu igual, como era de se esperar!! Mais um indício de que fizemos tudo certinho!

Passo 9

Resposta

∫ 0 1 ln ⁡ x 2 + 2 x + 1 x + 1 d x = ln 2 ⁡ 2

Exercício Resolvido #4

PUC-RJ - Cálculo B - P4 2014.2 - 1 h

h   ∫ x 2 5 x - x 2 d x

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Passo 1

Então pessoal, algumas vezes a gente não vai conseguir enxergar de cara qual substituição faremos, mas se dermos uma mexidinha na função já fica mais fácil de visualizar.

Colocando x em evidência temos,

x 2 5 x - x 2 = x 2 x 5 - x = x 5 - x

Então a integral fica assim:

∫ x 2 5 x - x 2 d x = ∫ x 5 - x d x

Passo 2

Agora vamos para substituição! A ideia aqui é jogar o “termo mais extenso” ( 5 - x ) para cima.

Repara como podemos fazer isso,

u = 5 - x → d u = - d x    

Repara que podemos chamar x = 5 - u .

∫ x 5 - x d x = ∫ - 5 - u d u u = ∫ - 5 u + u u   d u

Repara que ao substituir na integral ficamos com um “termo mais extenso” 5 - u em cima. Com isso podemos separar a fração em uma soma

∫ - 5 - u d u u = ∫ - 5 u + u u   d u = ∫ - 5 d u u + ∫ 1   d u

= - 5 ln ⁡ u + u

Voltando para variável x :

∫ x 2 5 x - x 2 d x = = - 5 ln ⁡ 5 - x + 5 - x

Ajeitando a equação e colocando a nossa constante de integração C (que é um número qualquer), temos

= - x - 5 ln ⁡ 5 - x + C

Resposta

∫ x 2 5 x - x 2 d x = - x - 5 ln ⁡ 5 - x + C

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria

Resolva a integral definida

∫ 1 e d x x 9 - ln 2 ⁡ x

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Passo 1

Eu sei que essa integral assusta bastante no início. Mas repara bem. Temos um l n ali escondido no denominador. E temos também um 1 x .

Opa, lembra que a derivada de ln ⁡ x é 1 x ?

Fazendo a substituição:

u = ln ⁡ x → d u = 1 x d x

Calculando a integral indefinida:

∫ d u 9 - u 2

Passo 2

A integral ainda não está muito simples de resolver, então vamos fazer outra substituição.

Foca na raiz do tipo a 2 - u 2 .

Você concorda que podemos reescrever esse termo da raiz como:

9 - u 2 = 9 1 - u 2 9 = 3   1 - u 3 2

Aí a integral fica assim:

∫ d u 9 - u 2 = ∫ d u 3   1 - u 3 2

Ok, mas o que isso me traz de vantagem?

Acompanha aqui comigo: se eu chamar u 3 de uma nova variável t , olha como fica a carinha dessa integral:

t = u 3 → d t = 1 3 d u

d u = 3   d t

Reescrevendo nossa integral ficamos com,

∫ 3   d t 3 1 - t 2 = ∫ d t 1 - t 2

E agora?

Bom, temos uma integral imediata: 1 1 - t 2 é a derivada de a r c s e n   t

Lembra?

∫   d t 1 - t 2 = arcsen ⁡ t + C

Bom, eu sei que parece meio chutado isso aí e que você deve estar pensando que você nunca ia enxergar essa manipulação e essa substituição a serem feitas, mas confia em mim: com o tempo você vai pegando a manha e, depois de fazer muitos exercícios, inevitavelmente, situações parecidas vão acontecer e você vai começar a identificá-las. Aí você vai poder se considerar craque e tirar a maior onda!

Passo 3

Bom, mas a questão ainda não acabou. Queremos uma integral definida. Achamos a primitiva em t . Mas agora temos que voltar para a variável original, que era x , para então aplicar os limites de integração.

Voltando de t   para u :

∫ d u 9 - u 2 = arcsen ⁡ u 3 + C

Agora voltando agora de u para x :

∫ d x x 9 - ln 2 ⁡ x = arcsen ⁡ ln ⁡ x 3 + C

Repare que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a integral indefinida foi mais uma ferramenta para calcular a integral. O que eu quero é a integral definida, mas estou colocando para ficar mais certinho.

Passo 4

Agora que tenho a integral indefinida, posso calcular a definida:

∫ d x x 9 - ln 2 ⁡ x = arcsen ⁡ ln ⁡ x 3 = F ( x )

∫ 1 e d x x 9 - ln 2 ⁡ x = F e - F ( 1 )

Isso é equivalente a escrever assim:

∫ 1 e d x x 9 - ln 2 ⁡ x = arcsen ⁡ ln ⁡ x 3 e - arcsen ⁡ ln ⁡ x 3 1

∫ 1 e d x x 9 - ln 2 ⁡ x = arcsen ⁡ ln ⁡ e 3 - arcsen ⁡ ln ⁡ 1 3

∫ 1 e d x x 9 - ln 2 ⁡ x = arcsen ⁡ 1 3 - arcsen ⁡ 0

∫ 1 e d x x 9 - ln 2 ⁡ x = arcsen ⁡ 1 3

Resposta

∫ 1 e d x x 9 - ln 2 ⁡ x = arcsen ⁡ 1 3

Exercício Resolvido #6

UFRJ - Cálculo 1 - P2 2014.2 - 1 II

Determine o valor de R tal que

∫ 1 R d x x 3 + x = 1

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Passo 1

A gente tem que resolver esse cara aí, em função de R , e igualar a expressão a 1 .

Se liga que a integral não é bobinha não. Aquela raiz cúbica vai complicar a nossa vida. Para tentar facilitar, a gente pode pegar esse x 3 e chamar ele de uma outra variável u .

u = x 3 → d u = d x 3 x 3 2

Agora, para substituir esse d x ali eu precisaria deixar ele separado, assim:

d x = 3 x 3 2 d u

Ué, não pode sobrar nenhum x na minha substituição final, correto? Sim, lembra que u = x 3 :

d x = 3 u 2 d u

Só mais uma coisinha se u = x 3 , então podemos elevar ambos os lados ao cubo e obter

x = u 3

Por fim, vamos recalcular os limites de integração já que nossa variável agora é u , substituindo:

L i m i t e s : u i n f e r i o r = 1 3 = 1 ;     u s u p e r i o r = R 3

Passo 2

Agora, vamos substituir tudo e montar a integral:

∫ 1 R d x x 3 + x = ∫ 1 R 3 3 u 2 d u u + u 3 = 3 ∫ 1 R 3 u 2 u ( 1 + u 2 ) d u = 3 ∫ 1 R 3 u ( 1 + u 2 ) d u

Repara, essa integral nós sabemos! O termo de cima é um múltiplo da derivada do debaixo. Vou pegar então esse pedaço de baixo e substituir de novo:

t = 1 + u 2 → d t = 2 u   d u ,     u   d u = d t 2

L i m i t e s :   t i n f e r i o r = 1 + 1 2 = 2 ;     t s u p e r i o r = 1 + R 3 2

3 ∫ 1 R 3 u 1 + u 2 d u = 3 ∫ 2 1 + R 3 2 d t 2 t = 3 2 ln ⁡ t   [ 1 + R 3 2 2

Parece que piorou, né? Mas fica calmo, que a expressão só tá grande. Então vamos substituir os limites de integração tranquilamente. Seguindo,

= 3 2 ln ⁡ 1 + R 3 2 - ln ⁡ 2 = 3 2 ln ⁡ 1 + R 3 2 2

Parece que piorou né?

Passo 3

Ok, agora que resolvemos precisamos matar o valor de R pela relação lá de cima:

3 2 ln ⁡ 1 + R 3 2 2 = 1

ln ⁡ 1 + R 3 2 2 = 2 3 = ln ⁡ e 2 3

Lembrando que ln ⁡ e = 1

1 + R 3 2 2 = e 2 3

R 3 2 = 2 e 2 3 - 1

R = 2 e 2 3 - 1 3 2

Resposta

R = 2 e 2 3 - 1 3 2

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