Centro de Massa e Centroide de Sólidos

Teoria Completa

Centro de Massa

Como já vimos para as regiões planas, podemos entender o centro de massa de um corpo como o ponto em que podemos considerar que toda a sua massa se concentra.

Como assim? Se nós temos um corpo de três dimensões (um cubo, por exemplo) e queremos tratá-lo em um problema como uma massa pontual, esse ponto deve ser o centro de massa.

Beleza, agora vamos escrever isso matematicamente. Sendo δ ( x , y , z ) a densidade de massa desse volume, nós sabemos que sua massa é dada pela integração dessa função na região volumétrica V ocupada por esse corpo:

M = ∭ V δ ( x , y , z ) d V

O primeiro momento em relação ao plano x y é dado pela integração dessa densidade multiplicada pela distância de cada ponto da placa ao plano (repare que essa distância é exatamente igual a z ). Portanto:

M x y = ∭ V   z   δ ( x , y , z ) d V

Você pode interpretar essa expressão como   M x = ∭ V   z d m , ou seja, a soma de cada diferencial de massa da placa multiplicado pelo seu braço de alavanca z .

O momento em relação ao plano x z segue o mesmo raciocínio, a distância de cada ponto da placa a esse eixo será dada por y :

M x z = ∭ V   y   δ ( x , y , z ) d V

Para o plano y z , a distância é x : M y z = ∭ V   x   δ ( x , y , z ) d V

Então, nós temos que as coordenadas do centro de massa são dadas por:

x - = M y z M = ∭ V   x   δ ( x , y , z ) d V ∭ V δ ( x , y , z ) d V

y - = M x z M = ∭ V   y   δ ( x , y , z ) d V ∭ V δ ( x , y , z ) d V

z - = M x y M = ∭ V   z   δ ( x , y , z ) d V ∭ V δ ( x , y , z ) d V

Você pode pensar nessas expressões como médias ponderadas, onde o peso é a massa da placa. Como assim?

M y z não é dado pela multiplicação, em cada ponto do sólido, entre a massa do ponto e a coordenada x ? Se nós somamos M y z para cada ponto do sólido e dividimos pela massa total do mesmo, nós temos uma “coordenada x média”, certo? Esse é o conceito de centro de massa.

Para ficar mais fácil de memorizar aquelas expressões pense no seguinte: o denominador é sempre a integral da densidade no volume (o que nos dá a massa), enquanto o numerador é a integral dessa densidade multiplicada pela coordenada do centroide que queremos.

Bom, nesse tipo de questão, então você precisa basicamente encontrar a massa M da região e o momentos momentos M y z ,   M x z e M x y e, em seguida, fazer a relação entre esses valores.

Para cara uma dessas grandezas você terá que montar e resolver uma integral tripla, usando os mesmos conceitos que você já conhece.

Centroide

Definimos o centroide como o centro geométrico de uma região. Como assim?! Calma, da mesma forma que o centro de massa pode ser interpretado como uma média ponderada onde o peso é a massa da região, podemos ver o centroide como uma média onde o peso é o volume.

Seguindo esse mesmo raciocínio, nós temos o volume de uma região V :

V = ∭ V   d V

Então, as coordenadas do centroide de uma região plana são dadas por:

x c = ∭ V   x   d V ∭ V   d V

y c = ∭ V   y   d V ∭ V   d V

z c = ∭ V   z   d V ∭ V   d V

Viu que é muito parecido com o centro de massa, não é? Repare que quando δ x , y , z = c o n s t a n t e , as expressões são exatamente iguais. Isso quer dizer que, em regiões com densidade constante, homogênea, o centro de massa e o centroide (centro geométrico) coincidem.

Esses dois tipos de questão são extremamente parecidos. O passo a passo é o mesmo, a diferença será se a densidade aparecerá ou não nas expressões.

Você vai montar essas quatro integrais (pense nas médias ponderadas para se lembrar das fórmulas) e resolvê-las como qualquer outra integral tripla que você já fez: usando mudança esférica, cilíndríca, etc quando necessário. Vamos ver um exemplo

Exemplo: Determine o centro de massa do cubo 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1 , cuja densidade no ponto ( x , y , z ) é ρ x , y , z = x .

Passo 1: Como nós sabemos, as coordenadas do centro de massa de um sólido são dadas por:

x - = M y z M

y - = M x z M

z - = M x y M

Onde M y z , M x z   e   M x y são momentos e M é a massa total do sólido. Então, vamos calcular cada um desses termos separadamente.

Passo 2: Primeiro, vamos calcular a massa M . Se a função densidade é ρ , então M = ∭ W   ρ x , y , z d V = ∭ W   x d V

Como é um cubo, podemos escrever direto 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1 na integral:

M = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 x d x d y d z

Resolvendo isso aí, temos

M = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 2 2 0 1 d y d z

M = 1 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 d y d z

M = 1 2 ∫ 0 1 y 0 1 d z

M = 1 2 ∫ 0 1 d z

M = 1 2 z 0 1 = 1 2

Passo 3: Agora vamos calcular os momentos.

M y z = ∭ w   x ρ ( x , y , z ) d V = ∭ w   x 2 d V

Substituindo os intervalos:

M y z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 2 d x d y d z

M y z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 3 3 0 1 d y d z

M y z = 1 3 ∫ 0 1 ∫ 0 1 d y d z = 1 3

Passo 4: Agora o M x y

M x y = ∭ w   z ρ ( x , y , z ) d V = ∭ w   z x d V

Substituindo os intervalos:

M x y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 z x d x d z d y

M x y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 2 2 z 0 1 d z d y

M x y = 1 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 z   d z d y

M x y = 1 2 ∫ 0 1 z 2 2 0 1 d y

M x y = 1 4 ∫ 0 1 d y = 1 4

Passo 5: Por último o M x z

M x z = ∭ w   y ρ ( x , y , z ) d V = ∭ w   y x d V

Substituindo os intervalos:

M x z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 y x d x d y d z

M x z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 2 2 y 0 1 d y d z

M x z = 1 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 y   d y d z

M x z = 1 2 ∫ 0 1 y 2 2 0 1 d z

M x z = 1 4 ∫ 0 1 d z = 1 4

Passo 6: Show, agora vamos juntar isso tudo para encontrar o centro de massa:

x - = M y z M = 1 / 3 1 / 2 = 2 3

y - = M x z M = 1 / 4 1 / 2 = 1 2

z - = M x y M = 1 / 4 1 / 2 = 1 2  

x - , y - , z - = 2 3 , 1 2 , 1 2

O conceito novo desse capítulo basicamente são essas fórmulas! O resto você já conhece. Vamos treinar um pouco agora!

Expandir

Exercício Resolvido #1

UNICAMP - Cálculo 2 - P2 2014 Noite – 4

Determine o centro de massa do cubo 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1 , cuja densidade no ponto ( x , y , z ) é ρ x , y , z = x .

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Passo 1

Como nós sabemos, as coordenadas do centro de massa de um sólido são dadas por:

x - = M y z m

y - = M x z m

z - = M x y m

Onde M são momentos e m é a massa total do sólido. Então vamos calcular cada um desses termos separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa m . Se a função densidade é ρ , então m = ∭ W   ρ x , y , z d V = ∭ W   x d V

Como é um cubo, podemos escrever direto 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1 na integral:

m = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 x d x d y d z

Resolvendo isso aí, temos

m = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 2 2 0 1 d y d z

m = 1 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 d y d z

m = 1 2 ∫ 0 1 y 0 1 d z

m = 1 2 ∫ 0 1 d z

m = 1 2 z 0 1 = 1 2

Passo 3

Agora vamos calcular os momentos.

M y z = ∭ w   x ρ ( x , y , z ) d V = ∭ w   x 2 d V

Substituindo os intervalos:

M y z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 2 d x d y d z

M y z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 3 3 0 1 d y d z

M y z = 1 3 ∫ 0 1 ∫ 0 1 d y d z = 1 3

Passo 4

Por último

M x y = ∭ w   z ρ ( x , y , z ) d V = ∭ w   x z d V

Substituindo os intervalos:

M y z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 x z d x d z d y

M y z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 2 2 z 0 1 d z d y

M y z = 1 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 z   d z d y

M y z = 1 2 ∫ 0 1 z 2 2 0 1 d y

M y z = 1 4 ∫ 0 1 d y = 1 4

Passo 5

Temos:

M y x = ∭ w   y ρ ( x , y , z ) d V = ∭ w   x y d V

Substituindo os intervalos:

M y z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 x y d x d y d z

M y z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 2 2 y 0 1 d y d z

M y z = 1 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 y   d y d z

M y z = 1 2 ∫ 0 1 y 2 2 0 1 d z

M y z = 1 4 ∫ 0 1 d z = 1 4

Passo 6

Show, agora vamos juntar isso tudo para encontrar o centro de massa:

x - = M y z m = 1 / 3 1 / 2 = 2 3

y - = M x z m = 1 / 4 1 / 2 = 1 2

z - = M x y m = 1 / 4 1 / 2 = 1 2  

x - , y - , z - = 2 3 , 1 2 , 1 2

Resposta

x - , y - , z - = 2 3 , 1 2 , 1 2

Exercício Resolvido #2

George B. Thomas e Weir Hass Giordano, Cálculo –Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil ltda., 2009, pp. 436-13.

Seja uma região sólida no primeiro octante é limitada pelos planos coordenados e pelo plano x + y + z = 2 . A densidade do sólido é δ x , y , z = 2 x . Encontre a massa do sólido e o centro de massa.

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Passo 1

Primeiro vamos determinar os limites das variáveis, o solido é

Então vamos começar fazendo,

0 ≤ x ≤ 2

Ao fixar um valor de x , temos que y vai variar da seguinte forma

0 ≤ y ≤ 2 - x

Para entender isso, vamos olhar o plano x y , ele é limitado pelos eixos coordenados e pela reta y = 2 - x .   Agora para um ponto ( x ,   y ) determinado, a varável z vai variar da seguinte forma

0 ≤ z ≤ 2 - x - y

Agora que já temos os limites das variáveis no sólido, vamos ir para as integrais que usamos para calcular a massa e o centro de massa!

Passo 2

A massa do sólido é dada por,

M = ∭ W δ x , y , z d x d y d z = ∭ W ( 2 x ) d x d y d z

M = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x ∫ 0 2 - x - y 2 x   d z d y d x

M = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x 2 x ⋅ ( 2 - x - y )   d y d x = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x ( 4 x - 2 x 2 - 2 x y )   d y d x  

M = ∫ 0 2 4 x - 2 x 2 - 2 x ⋅ y 2 2 0 2 - x d x = ∫ 0 2 4 x - 2 x 2 - 2 x ⋅ 2 - x 2 2 d x

M = ∫ 0 2 x 3 - 4 x 2 + 4 x d x = x 4 4 - 4 x 3 3 + 2 x 2 0 2 = 4 3

M = 4 3

Passo 3

Agora vamos calcular os momentos,

M x y = ∭ W   z δ ( x , y , z ) d V = ∭ W   2 x z d V  

M x y = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x ∫ 0 2 - x - y 2 x z   d z d y d x = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x x ⋅ 2 - x - y 2   d y d x  

M x y = ∫ 0 2 x ⋅ - 2 - x - y 3 3 0 2 - x d x = ∫ 0 2 x ⋅ 2 - x 3 3   d x

M x y = ∫ 0 2 8 x - 12 x 2 + 6 x 3 - x 4 3 d x = 1 3 4 x 2 - 4 x 3 + 3 x 4 2 - x 5 5 0 2

M x y = 8 15

M x z = ∭ W   y δ ( x , y , z ) d V = ∭ W   2 x y d V  

Como a equação é simétrica em y e z , ou seja, se trocarmos y por z e vice versa as equações não se alteram, temos que

M x z = 8 15

Agora, por último temos

M y z = ∭ W   x δ x , y , z d V = ∭ W   2 x 2 d V  

M y z = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x ∫ 0 2 - x - y 2 x 2   d z d y d x = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x 2 x 2 ⋅ 2 - x - y   d y d x

M y z = ∫ 0 2 2 x 2 ⋅ - 2 - x - y 2 2 0 2 - x d x = ∫ 0 2 2 x 2 ⋅ 2 - x 2 2 d x = ∫ 0 2 2 x - x 2 2 d x

M y z = ∫ 0 2 4 x 2 - 4 x 3 + x 4 d x = 4 x 3 3 - x 4 + x 5 5 0 2 = 16 15

M y z = 16 15

Passo 4

Já temos os momentos, agora vamos encontraro centro de massa:

x - = M y z M = 4 5

y - = M x z M = 2 5

z - = M x y M = 2 5

Assim,

C . M .   = 4 5 , 2 5 , 2 5

Resposta

M = 4 3

C . M .   = 4 5 , 2 5 , 2 5

Exercício Resolvido #3

George B. Thomas e Weir Hass Giordano, Cálculo –Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil ltda., 2009, pp. 451-67.

Um sólido de densidade constante é limitado abaixo pelo plano z = 0 , acima pelo cone z = r , r ≥ 0 e dos lados pelo cilindro r = 1 . Encontre o centro de massa.

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Passo 1

Como temos um sólido limitado por um cilindro, vamos usar as coordenadas cilíndricas para resolver nosso problema! As coordenadas cilíndricas são r ,   θ e z .

x = r ⋅ cos ⁡ θ y = r ⋅ s e n   θ z = z

Pelos limites do sólido temos que

0 ≤ z ≤ r

Pelos lados dentro do cilindro r = 1 ,

0 ≤ r ≤ 1

Agora falta a variável θ ,

0 ≤ θ ≤ 2 π

Pronto, agora vamos calcular a integral que no da a massa e o centro de massa!

Passo 2

Para calcular o centro de massa precisamos encontrar a massa do sólido e os momentos! Como a densidade é constante e não sabemos seu valor, vamos chamas ela de δ . Em coordenadas cilíndricas a massa é dada por,

M = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 r δ r d z d r d θ   = δ ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r ⋅ r   d r d θ  

M = δ ∫ 0 2 π r 3 3 0 1   d θ = 2 π ⋅ 1 3 = δ 2 π 3  

Passo 3

Agora o calculo dos momentos,

M x y = δ ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 r z ⋅ r d z d r d θ   =   δ ∫ 0 2 π ∫ 0 1 z 2 2 0 r ⋅ r d r d θ = δ ∫ 0 2 π ∫ 0 1 z 2 2 0 r ⋅ r d r d θ

M x y = δ ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 2 d r d θ = δ ⋅ 2 π ⋅ r 4 8 0 1 = δ ⋅ π 4

Como o sólido é simétrico em relação ao eixo z