Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.8 - Ex. 25
Utilize coordenadas esféricas.
Determine o centroide do sólido do exercício 25.
Passo 1
O sólido do exercício 25 é limitado pelo plano e pelos hemisférios e . Note que podemos descrever a região entre esses hemisférios fazendo .
Como o sólido é limitado pelo plano , devemos ter que o ângulo polar só varre os dois primeiros quadrantes: . Como pode ser negativo, o ângulo azimutal varia livremente: .
Além disso, devido a simetria com relação ao plano , as componentes e do centroide serão nulas: . Supondo que a distribuição de massa do sólido é uniforme (sólido homogêneo):
Passo 2
Usando que , temos que
Portanto
Calculando cada integral:
Assim,
Passo 3
O volume será a metade da região entre as esferas:
Portanto
Resposta
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