Enunciado

Utilize coordenadas esféricas.

Determine o centroide do sólido do exercício 25.

Passo 1

O sólido do exercício 25 é limitado pelo plano x z e pelos hemisférios y = 9 - x 2 - z 2 e y = 16 - x 2 - y 2 . Note que podemos descrever a região entre esses hemisférios fazendo 3 ≤ ρ ≤ 4 .

Como o sólido é limitado pelo plano x z , devemos ter que o ângulo polar só varre os dois primeiros quadrantes: 0 ≤ θ ≤ π . Como z pode ser negativo, o ângulo azimutal varia livremente: 0 ≤ θ ≤ π .

Além disso, devido a simetria com relação ao plano x z , as componentes x e z do centroide serão nulas: x - = z - = 0 . Supondo que a distribuição de massa do sólido é uniforme (sólido homogêneo):

y - = 1 V ∭ D y   d V

Passo 2

Usando que y = ρ   s e n   ϕ   s e n   θ , temos que

y - = 1 V ∫ 2 3 d ρ ∫ 0 π d θ ∫ 0 π ρ 3   s e n 2 ϕ   s e n   θ   d ϕ

Portanto

y - = 1 V ∫ 3 4 ρ 3   d ρ ∫ 0 π s e n   θ   d θ ∫ 0 π s e n 2 ϕ   d ϕ

Calculando cada integral:

∫ 0 π s e n   θ   d θ = - cos ⁡ θ 0 π = 2

∫ 0 π s e n 2 ϕ   d ϕ = ∫ 0 π 1 - cos ⁡ 2 ϕ 2   d ϕ = π 2

∫ 3 4 ρ 3   d ρ = 1 4 3 4 - 2 4 = 1 4 256 - 81 = 175 4

Assim,

y - = 1 V ⋅ 227 4 ⋅ 2 ⋅ π 2 = 1 V ⋅ 175 π 4

Passo 3

O volume será a metade da região entre as esferas:

V = 1 2 4 π 3 ⋅ 4 3 - 4 π 3 ⋅ 3 3 = 2 π 3 64 - 27 = 74 π 3

Portanto

y - = 3 74 π ⋅ 175 π 4 = 525 296

Resposta

0 , 525 296 ,   0

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