Introdução aos Limites e suas Propriedades

Teoria Completa

Afinal, o que é um limite? Mais especificamente, o que é isso?

lim x → 3 ⁡ x 2 = ?

É mais intuitivo do que pode parecer. À medida que o   x se aproxima de   3 , pra qual valor você acha que o x 2   vai se aproximar?

x = 2 → x 2 = 4

x = 2,5 → x 2 = 6,25

x = 2,999 → x 2 = 8,994001

Bom, tá parecendo que ele se aproxima de 9 , certo? Parabéns, você calculou o seu primeiro limite! O limite é o valor do qual a função se aproxima quando sua variável tende a um valor. Vamos aproveitar para já introduzir um pouco de notação. Por exemplo:

lim x → 3 ⁡ x 2 = ?

É lido assim: limite de   x 2   com (ou para) x   tendendo a   3 .

Aliás, 3 2 é justamente igual a 9 . Dá vontade de simplesmente substituir o   3 ali no lugar do   x , não é? Pois é isso mesmo que devemos fazer! Neste caso,

lim x → 3 ⁡ x 2 = 3 2 = 9

Em TODAS as questões dessa matéria de limites a primeira coisa que você deve fazer é substituir o valor da variável na função.

Propriedades Básicas do Limite.

Vou te mostrar umas propriedades de limites para facilitar sua vida. Enunciamos aí as principais propriedades:

lim x → a ⁡ c = c

lim x → a ⁡ c ⋅ f x = c ⋅ lim x → a ⁡ f x

lim x → a ⁡ f x ± g x = lim x → a ⁡ f x ± lim x → a ⁡ g x

lim x → a ⁡ f x g x = lim x → a ⁡ f x   .   lim x → a ⁡ g x

lim x → a ⁡ f x g x = lim x → a ⁡ f x lim x → a ⁡ g x

Apenas para f contínua, teremos:

lim x → a ⁡ f g x = f lim x → a ⁡ g x

Mas o que são funções contínuas? Relaxe, você não precisa saber exatamente o que elas são agora, pois temos um capítulo inteiro só pra isso. Por enquanto, lembre-se que você pode usar a propriedade anterior em funções como:

  • Raízes:
  • lim x → a ⁡ x 3 = lim x → a ⁡ x 3 = a 3

  • Exponenciais:
  • lim x → a ⁡ e 4 x = e lim x → a ⁡ 4 x = e 4 a

  • Funções trigonométricas:
  • lim x → a ⁡ sen ⁡ x 2 = sen ⁡ lim x → a ⁡ x 2 = sen ⁡ a 2

  • Funções logarítmicas:

lim x → a ⁡ ln ⁡ x 3 = ln ⁡ lim x → a ⁡ x 3 = ln ⁡ a 3

Indeterminações

Utilizar essas regras só se torna um problema quando elas não forem válidas, ou seja, quando tivermos indeterminações. Agora, que diabos são essas indeterminações?

Existem vários tipos de indeterminações, dentre as quais as mais comuns são:

  • 0 0
  • ∞ ∞
  • ∞ ⋅ 0
  • 0 0
  • ∞ 0
  • 1 ∞
  • ∞ - ∞

Quando chegamos numa indeterminação, isto significa que a propriedade, neste caso, não é válida! Resultado: temos que voltar do ponto inicial e manipular a função para chegar em algo que seja válido aplicar as propriedades, conforme veremos nos exercícios.

Operando com ± ∞

Recorrentemente, você terá que aplicar limites de funções com x tendendo a + ∞ ou - ∞ . Isso pode dar uma complicada em determinado momento. Você pode pensar que tudo cairá em indeterminação, o que nem sempre é verdade. Por isso, separamos um guia para você entender como se substitui e faz “contas” com o . Sendo C uma constante:

C ± ∞ = 0  

  0 C = 0  

± ∞ C = ± ∞

OBS: Nesse terceiro termo do caso 1, você deve olhar para o sinal do infinito e do C para determinar o sinal do "infinito" resultante.

Temos também que:

2   e + ∞ = ∞     ;   e - ∞ = 0

3 ± ∞ 0 = ± ∞

4 sen ⁡ ± ∞ n ã o   e x i s t e     ;   cos ⁡ ± ∞ = n ã o   e x i s t e

5   + ∞ n = + ∞     ;   - ∞ n = + ∞ ,     s e   n   é   p a r - ∞ ,     s e   n   é   í m p a r

6 ln ⁡ + ∞ = + ∞

7 arctg ⁡ + ∞ = π 2     ;   arctg ⁡ - ∞ = - π 2

Esses cobrem todos os casos possíveis. Tá bem? Então tá bem. HAHAHA. VAMOS PARA OS EXERCÍCIOS AGORA!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Avalie o seguinte limite:

lim x → 1 ⁡ 2 x 2 e x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Utilizando a propriedade do limite de um produto:

lim x → 1 ⁡ 2 x 2 e x = lim x → 1 ⁡ 2 x 2 × lim x → 1 ⁡ e x

Passo 2

Como tanto a exponencial quanto a raiz quadrada são funções contínuas, pela propriedade de funções contínuas:

lim x → 1 ⁡ 2 x 2 e x = 2 × 1 2 × e lim x → 1 ⁡ x

Substituindo:

lim x → 1 ⁡ 2 x 2 e x = 2 × e 1

Resposta

lim x → 1 ⁡ 2 x 2 e x = 2 e

Exercício Resolvido #2

George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp.84-42

Suponha lim x → - 2 ⁡ p x = 4   ,   lim x → - 2 ⁡ r x = 0   e   lim x → - 2 ⁡ s x = - 3   . Determine:

a lim x → - 2 ⁡ p x + r x + s x

b lim x → - 2 ⁡ p x . r x . s x

c lim x → - 2 ⁡ - 4 p x + 5 r x s x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a Pelas propriedades, teremos:

lim x → - 2 ⁡ p x + r x + s x = lim x → - 2 ⁡ p x + lim x → - 2 ⁡ r x + lim x → - 2 ⁡ s x

Com isso, podemos substituir os valores:

lim x → - 2 ⁡ p x + lim x → - 2 ⁡ r x + lim x → - 2 ⁡ s x = 4 + 0 + - 3

= 4 - 3 = 1

Passo 2

b Novamente, usamos as propriedades:

lim x → - 2 ⁡ p x . r x . s x = lim x → - 2 ⁡ p x lim x → - 2 ⁡ r x lim x → - 2 ⁡ s x

Basta substituir os valores agora:

lim x → - 2 ⁡ p x lim x → - 2 ⁡ r x lim x → - 2 ⁡ s x = 4 0 - 3

= 0

Passo 3

c Aplicando as propriedades dos limites:

lim x → - 2 ⁡ - 4 p x + 5 r x s x = lim x → - 2 ⁡ - 4 p x + lim x → - 2 ⁡ 5 r x s x

= - 4 lim x → - 2 ⁡ p x + lim x → - 2 ⁡ 5 r x lim x → - 2 ⁡ s x = - 4 lim x → - 2 ⁡ p x + 5 lim x → - 2 ⁡ r x lim x → - 2 ⁡ s x

Agora podemos substituir os valores:

- 4 lim x → - 2 ⁡ p x + 5 lim x → - 2 ⁡ r x lim x → - 2 ⁡ s x = - 4 4 + 5 0 - 3

= - 16

Resposta

a lim x → - 2 ⁡ p x + r x + s x = 1

b   lim x → - 2 ⁡ p x . r x . s x = 0

c   lim x → - 2 ⁡ - 4 p x + 5 r x s x = - 16

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Calcule o limite:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + ln ⁡ x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom galera, a gente vai precisar usar todas as propriedades básicas de limites que vimos.

Vamos lá:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + ln ⁡ x

Primeiro, a propriedade da soma:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + ln ⁡ x = lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x