Introdução aos Limites e suas Propriedades

Resumo Completo

Afinal, o que é um limite? Mais especificamente, o que é isso?

lim x 3 x 2 = ?

É mais intuitivo do que pode parecer. À medida que o   x se aproxima de   3 , pra qual valor você acha que o x 2   vai se aproximar?

x = 2 x 2 = 4

x = 2,5 x 2 = 6,25

x = 2,999 x 2 = 8,994001

Bom, tá parecendo que ele se aproxima de 9 , certo? Parabéns, você calculou o seu primeiro limite! O limite é o valor do qual a função se aproxima quando sua variável tende a um valor. Vamos aproveitar para já introduzir um pouco de notação. Por exemplo:

lim x 3 x 2 = ?

É lido assim: limite de   x 2   com (ou para) x   tendendo a   3 .

Aliás, 3 2 é justamente igual a 9 . Dá vontade de simplesmente substituir o   3 ali no lugar do   x , não é? Pois é isso mesmo que devemos fazer! Neste caso,

lim x 3 x 2 = 3 2 = 9

Em TODAS as questões dessa matéria de limites a primeira coisa que você deve fazer é substituir o valor da variável na função.

Propriedades Básicas do Limite.

Vou te mostrar umas propriedades de limites para facilitar sua vida. Enunciamos aí as principais propriedades:

lim x a c = c

lim x a c f x = c lim x a f x

lim x a f x ± g x = lim x a f x ± lim x a g x

lim x a f x g x = lim x a f x   .   lim x a g x

lim x a f x g x = lim x a f x lim x a g x

Apenas para f contínua, teremos:

lim x a f g x = f lim x a g x

Mas o que são funções contínuas? Relaxe, você não precisa saber exatamente o que elas são agora, pois temos um capítulo inteiro só pra isso. Por enquanto, lembre-se que você pode usar a propriedade anterior em funções como:

  • Raízes:
  • lim x a x 3 = lim x a x 3 = a 3

  • Exponenciais:
  • lim x a e 4 x = e lim x a 4 x = e 4 a

  • Funções trigonométricas:
  • lim x a sen x 2 = sen lim x a x 2 = sen a 2

  • Funções logarítmicas:

lim x a ln x 3 = ln lim x a x 3 = ln a 3

Indeterminações

Utilizar essas regras só se torna um problema quando elas não forem válidas, ou seja, quando tivermos indeterminações. Agora, que diabos são essas indeterminações?

Existem vários tipos de indeterminações, dentre as quais as mais comuns são:

  • 0 0
  • 0
  • 0 0
  • 0
  • 1
  • -

Quando chegamos numa indeterminação, isto significa que a propriedade, neste caso, não é válida! Resultado: temos que voltar do ponto inicial e manipular a função para chegar em algo que seja válido aplicar as propriedades, conforme veremos nos exercícios.

Operando com ±

Recorrentemente, você terá que aplicar limites de funções com x tendendo a + ou - . Isso pode dar uma complicada em determinado momento. Você pode pensar que tudo cairá em indeterminação, o que nem sempre é verdade. Por isso, separamos um guia para você entender como se substitui e faz “contas” com o . Sendo C uma constante:

C ± = 0  

  0 C = 0  

± C = ±

OBS: Nesse terceiro termo do caso 1, você deve olhar para o sinal do infinito e do C para determinar o sinal do "infinito" resultante.

Temos também que:

2   e + =     ;   e - = 0

3 ± 0 = ±

4 sen ± n ã o   e x i s t e     ;   cos ± = n ã o   e x i s t e

5   + n = +     ;   - n = + ,     s e   n   é   p a r - ,     s e   n   é   í m p a r

6 ln + = +

7 arctg + = π 2     ;   arctg - = - π 2

Esses cobrem todos os casos possíveis. Tá bem? Então tá bem. HAHAHA. VAMOS PARA OS EXERCÍCIOS AGORA!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Elaboração Própria

Avalie o seguinte limite:

lim x 1 2 x 2 e x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Utilizando a propriedade do limite de um produto:

lim x 1 2 x 2 e x = lim x 1 2 x 2 × lim x 1 e x

Passo 2

Como tanto a exponencial quanto a raiz quadrada são funções contínuas, pela propriedade de funções contínuas:

lim x 1 2 x 2 e x = 2 × 1 2 × e lim x 1 x

Substituindo:

lim x 1 2 x 2 e x = 2 × e 1

Resposta

lim x 1 2 x 2 e x = 2 e

Exercício Resolvido #2

Enunciado

George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp.84-42

Suponha lim x - 2 p x = 4   ,   lim x - 2 r x = 0   e   lim x - 2 s x = - 3   . Determine:

a lim x - 2 p x + r x + s x

b lim x - 2 p x . r x . s x

c lim x - 2 - 4 p x + 5 r x s x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a Pelas propriedades, teremos:

lim x - 2 p x + r x + s x = lim x - 2 p x + lim x - 2 r x + lim x - 2 s x

Com isso, podemos substituir os valores:

lim x - 2 p x + lim x - 2 r x + lim x - 2 s x = 4 + 0 + - 3

= 4 - 3 = 1

Passo 2

b Novamente, usamos as propriedades:

lim x - 2 p x . r x . s x = lim x - 2 p x lim x - 2 r x lim x - 2 s x

Basta substituir os valores agora:

lim x - 2 p x lim x - 2 r x lim x - 2 s x = 4 0 - 3

= 0

Passo 3

c Aplicando as prorpriedades dos limites:

lim x - 2 - 4 p x + 5 r x s x = lim x - 2 - 4 p x + lim x - 2 5 r x s x

= - 4 lim x - 2 p x + lim x - 2 5 r x lim x - 2 s x = - 4 lim x - 2 p x + 5 lim x - 2 r x lim x - 2 s x

Agora podemos substituir os valores:

- 4 lim x - 2 p x + 5 lim x - 2 r x lim x - 2 s x = - 4 4 + 5 0 - 3

= - 16

Resposta

a lim x - 2 p x + r x + s x = 1

b   lim x - 2 p x . r x . s x = 0

c   lim x - 2 - 4 p x + 5 r x s x = - 16

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Elaboração Própria

Calcule o limite:

lim x 1 x 3 x + x 2 cos π x . e x 2 + ln x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Bom galera, a gente vai precisar usar todas as propriedades básicas de limites que vimos.

Vamos lá:

lim x 1 x 3 x + x 2 cos π x . e x 2 + ln x

Primeiro, a propriedade da soma:

lim x 1 x 3 x + x 2 cos π x . e x 2 + ln x = lim x 1 x 3 x + x 2 cos π x . e x 2 + lim x 1 ln x

Beleza?

Vamos nos concentrar no limite mais a esquerda primeiro, por ele ser o mais difícil.

Passo 2

Então:

lim x 1 x 3 x + x 2 cos π x . e x 2

Usando a propriedade do quociente:

lim x 1 x 3 x + x 2 cos π x . e x 2 = lim x 1 x 3 x + x 2 lim x 1 cos π x . e x 2

Agora, usando a propriedade do produto no denominador e no numerador:

lim x 1 x 3 x + x 2 lim x 1 cos π x . e x 2 = lim x 1 x 3 . lim x 1 x + x 2 lim x 1 cos π x . lim x 1 e x 2

Show. Dali a gente já pode usar a substituição em algumas partes. Mas vamos antes colocar o limite pra dentro da raiz , da exponencial e da função cosseno, usando a propriedade das funções contínuas.

Obs: Você vai entender melhor o que são funções contínuas no capítulo de continuidades.

Então:

lim x 1 x 3 . lim x 1 x + x 2 lim x 1 cos π x . lim x 1 e x 2 = lim x 1 x 3 . lim x 1 x + x 2 cos ( lim x 1 πx )   . e lim x 1 x 2  

Show? Agora substituindo o valor 1 em cada expressão, chegamos a:

lim x 1 x 3 . lim x 1 x + x 2 cos ( lim x 1 πx )   . e lim x 1 x 2   = 1 3 . 1 + 1 2 cos π . 1 . e 1 2 = 2 - 1 . e = - 2 e

Passo 3

Bom, já calculamos um dos nossos limites iniciais. Voltando a expressão:

lim x 1 x 3 x + x 2 cos π x . e x 2 + lim x 1 ln x

Vamos agora calcular o limite da direita:

lim x 1 ln x = ln 1 = 0

Bem mais fácil que o outro, né? Hehe.

Agora, voltando a expressão anterior:

lim x 1 x 3 x + x 2 cos π x . e x 2 + lim x 1 ln x = - 2 e + 0 = - 2 e

Logo:

lim x 1 x 3 x + x 2 cos π x . e x 2 + ln x = - 2 e

Viu? É simples. O importante é ir dividindo devagar, ao menos no início, quando estamos mais inseguros. Depois você vai fazer isso ai bem rápido. (:

Resposta

lim x 1 x 3 x + x 2 cos π x . e x 2 + ln x = - 2 e

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Elaboração Própria

Calcule os limites:

lim x - 1 2 x + 3 arctg 5 x + lim x + e - x ln 1 x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Repara, ali nós temos dois limites:

lim x - 1 2 x + 3 arctg 5 x       ;       lim x + e - x ln 1 x

Vou concentrar no primeiro deles, depois vemos o segundo.

lim x - 1 2 x + 3 arctg 5 x

Passo 2

O termo com x no denominador vai desaparecer quando jogarmos ele a mais ou menos infinito, correto?

lim x - 1 2 x = 1 - = 0

Passo 3

Aqui uma peculiaridade. Aqui temos o caso raro do arco tangente que vai para π 2 quando seu argumento explode a + e - π 2 quando x - . Nesse limite, caímos no segundo caso:

lim x - + 3 arctg 5 x = + 3 arctg -

= 3 - π 2 = - 3 π 2

Passo 4

No segundo limite agora, caímos num cara que podemos substituir de primeira:

lim x + e - x ln 1 x = e - ln 1 = e - ln 0

= 0 - = 0

Com isso,

lim x - 1 2 x + 3 arctg 5 x + lim x + e - x ln 1 x = 0 - 3 π 2 + 0

= - 3 π 2

Resposta

lim x - 1 2 x + 3 arctg 5 x + lim x + e - x ln 1 x = - 3 π 2

Exercício Resolvido #5

Enunciado

George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp.84-58

Se lim x 0 f x x 2 = 1 , determine:

a lim x 0 f x

b lim x 0 f x x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

(a)

Aqui, a ideia é aplicar a propriedade dos limites. Se fizermos aparecer aquele limite que nos foi dado no enunciado poderemos substituí-lo por 1 , certo? Dessa forma, vou forçar o limite do enunciado a aparecer, multiplicando em cima e embaixo por x 2 :

lim x 0 f x = lim x 0 f x x 2 x 2 = lim x 0 f x x 2 lim x 0 x 2

Aproveitei e já apliquei a propriedade do produto.

Passo 2

Do enunciado, temos que lim x 0 f x x 2 = 1 . Assim, substituindo x 0 no outro limite teremos:

lim x 0 f x x 2 lim x 0 x 2 = 1 0 2

= 0

Passo 3

(b)

Novamente, resolver esse cara passa só pelo uso das propriedades, forçando o limite que já conhecemos a aparecer:

lim x 0 f x x = lim x 0 f x x . x x = lim x 0 f x x 2 lim x 0 x

Passo 4

Do enunciado, temos que lim x 0 f x x 2 = 1 . Assim, substituindo x 0 no outro limite teremos:

lim x 0 f x x 2 lim x 0 x = 1 0

= 0

Resposta

a   lim x 0 f x = 0

b   lim x 0 f x x = 0

Exercício Resolvido #6

Enunciado

UFF, Cálculo IA-Lista 5, GMA, 2008-1, Questão 1.

Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x - ( x n - x n - 1 )  

Obs: considere n N

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Pra fazer essa análise, os segredos estão em um detalhe: abrir o termo do limite da seguinte forma,

x n - x n - 1 = ( x . x n - 1 - 1 . x n - 1 ) = x - 1 x n - 1

lim x - ( x n - x n - 1 )   = lim x - x - 1 x n - 1

Tendo ainda, pela propriedade do produto:

lim x - x - 1 x n - 1 = lim x - x - 1 lim x - x n - 1

Agora, basta a gente analisar os sinais dos “infinitos”. Lembrando que para o limite de x - 1 quando x - , temos um polinômio de grau ímpar, que sempre irá explodir para - , ou seja:

lim x - x - 1 = -

Passo 2

Agora o resultado dependerá do grau de n ser par ou ímpar, vamos achar um resultado para cada tipo de n . Não entendeu? Vem comigo!

Para n ímpar, teremos n - 1 par.

n   í m p a r x n - 1 +       ,   s e   x -

Nesse caso, como temos x n - 1 como polinômio de grau par, fica:

lim x - ( x n - x n - 1 )   = lim x - x - 1 x n - 1

= lim x - x - 1 lim x - x n - 1 = -

= -

Passo 3

Para n par, teremos n - 1 ímpar.

n   p a r x n - 1 -       ,   s e   x -

Nesse caso, como temos x n - 1 como polinômio de grau ímpar, fica:

lim x - ( x n - x n - 1 )   = lim x - x - 1 x n - 1

= lim x - x - 1 lim x - x n - 1 = - -

=

Passo 4

O único caso fora desses é o caso com n = 0 . Repara,

lim x - ( x 0 - x 0 - 1 ) = lim x - 1 - 1 x

= 1 - 0 = 1

Passo 5

Vamos analisar agora o caso com n = 1 . Voltando lá no nosso limite:

lim x - ( x n - x n - 1 )  

Também podemos escrever ele assim:

lim x - x n 1 - 1 x  

E no caso de n = 1 :

lim x - x n 1 - 1 x   = lim x - x 1 - 1 x   = - 1 - 0 = -

Resposta

n   í m p a r   ;   lim x - ( x n - x n - 1 )   = -

n   p a r   ;   lim x - ( x n - x n - 1 )   =

n = 0   ;   lim x - ( x n - x n - 1 )   = 1

n = 1 ;   lim x - ( x n - x n - 1 )   = -

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