Propriedades dos Limites

Teoria Completa

Fala aí, hoje vamos conversar sobre as propriedades dos limites.

Mas antes, vamos falar rapidamente sobre os limites. Quando estudamos limites estamos querendo saber qual o valor que uma função $f(x)$ qualquer tende quando o valor da variável $x$ tende para um número definido. Representamos assim:

$$\lim _{x\longrightarrow 3}~~x^2$$

Nesse exemplo nós temos a função $f(x)=x^2$ e queremos saber o valor que essa função tende quando o $x$ tende a $3$. Beleza, mas o que significa o $x$ tender a $3$?

Para entender isso, vamos atribuir alguns valores para $x$, cada vez mais próximos de $3$, e calcular a função para esses valores:

$$Se ~~~x=2~~\longrightarrow~~f(2)=2^2=4$$
$$Se ~~~x=2,5~~\longrightarrow~~f(2,5)=(2,5)^2=6,25$$
$$Se ~~~x=2,999~~\longrightarrow~~f(2,999)=(2,999)^2=8,994001$$

Quando mais $x$ se aproxima de $3$, mais $x^2$ se aproxima de $9$. E é exatamente isso que a gente quer saber quando calculamos um limite, qual valor a função se aproxima quando $x$ se aproxima de um valor definido. Então para esse nosso exemplo temos:

$$\lim _{x\longrightarrow 3}~~x^2=9$$

Show de bola?

Propriedades dos Limites

Existem algumas propriedades dos limites que facilitam a nossa vida na hora dos cálculos, e coisas para facilitar a nossa vida de universitário a gente adora, não é? hahaha. Então bora lá!

1°) O limite de uma constante é sempre igual a própria constante

$$Geral:~~\lim _{x\longrightarrow a}~c~=~c$$

EXEMPLO:

$$\lim _{x\longrightarrow 54}~~8~=~8$$

2°) Se a função que queremos calcular o limite é multiplicada por uma constante, podemos colocar a constante para "fora" do limite

$$Geral:~~\lim _{x\longrightarrow a}~~(c~ . ~f(x))~=~c~.\lim _{x\longrightarrow a}~~f(x)$$

EXEMPLO:

$$\lim _{x\longrightarrow 1}~~(2x^2+4x-2)~=~\lim _{x\longrightarrow 1}~~2.(x^2+2x-1)~=~2~.\lim _{x\longrightarrow 1}~~(x^2+2x-1)$$

3°) O limite da soma ou subtração de duas funções é igual a soma ou subtração dos limites:

$$Geral:~~\lim _{x\longrightarrow a}~~(f(x)~\pm \ g(x))~=~ \lim _{x\longrightarrow a}~~f(x)~\pm \ \lim _{x\longrightarrow a}~~g(x)$$

EXEMPLO:

$$\lim _{x\longrightarrow 1}~~(x-3)+\frac{(x+5)}{(x-9)}~=~\lim _{x\longrightarrow 1}~~(x-3)~+~\lim _{x\longrightarrow 1}~~\frac{(x+5)}{(x-9)}$$

4°) O limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites

$$Geral:~~\lim _{x\longrightarrow a}~~(f(x)g(x))~=~\lim _{x\longrightarrow a}~~f(x)~.~\lim _{x\longrightarrow a}~~g(x)$$

EXEMPLO:

$$\lim _{x\longrightarrow 1}~~(x-3)~.~\frac{(x+5)}{(x-9)}~=~\lim _{x\longrightarrow 1}~~(x-3)~.~\lim _{x\longrightarrow 1}~~\frac{(x+5)}{(x-9)}$$

5°) O limite da divisão de duas funções é igual a divisão dos limites

$$Geral:~~\lim_{x\longrightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}~=\frac{~\lim _{x\longrightarrow a}~~f(x)}{\lim _{x\longrightarrow a}~~g(x)}$$

EXEMPLO:

$$\lim_{x\longrightarrow a}\frac{sen~x}{(x-9)}~=\frac{~\lim _{x\longrightarrow 1}~~sen~x}{\lim _{x\longrightarrow 1}~~(x-9)}$$

6°) Para funções contínuas, você pode usar a seguinte relação:

$$Geral:~~\lim_{x\longrightarrow a} ~f(g(x))~=~f(\lim_{x\longrightarrow a} ~g(x))$$

EXEMPLOS:

$$\lim_{x\longrightarrow a}~\sqrt{x^3} =\sqrt{\lim_{x\longrightarrow a}~x^3}$$
$$\lim_{x\longrightarrow a}~e^{4x} =e^{\lim_{x\longrightarrow a}~4x}$$
$$\lim_{x\longrightarrow a}~sen~{x^2} =sen~({\lim_{x\longrightarrow a}~x^2})$$
$$\lim_{x\longrightarrow a}~ln~{x^3} =ln~({\lim_{x\longrightarrow a}~x^3})$$

Vídeo

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Avalie o seguinte limite:

l i m x → 1 2 x 2 e x  

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Passo 1

Uma das propriedades de limites nos permite dividir esse produto em dois limites:

l i m x → a f x g x   = l i m x → a f x . l i m x → a g x

Utilizando essa propriedade do limite de um produto temos:

l i m x → 1 2 x 2 e x   = l i m x → 1 2 x 2   × l i m x → 1 e x  

Passo 2

Nesse limite l i m x → 1 e x a exponencial e a raiz quadrada são funções contínuas (que iremos aprofundar em um outro tópico). Dito isso, vamos aplicar a seguinte propriedade para funções contínuas:

l i m x → a e x   = e l i m x → a x   = e a

Substituindo no nosso exemplo temos:

l i m x → 1 2 x 2 e x   = l i m x → 1 2 x 2   × l i m x → 1 e x = l i m x → 1 2 x 2   × e l i m x → 1 x

Substituindo:

l i m x → 1 2 x 2 e x = l i m x → 1 2 x 2   × e l i m x → 1 x = 2.1 ² × e 1 = 2 e

Resposta

l i m x → 1 2 x 2 e x   = 2 e

Exercício Resolvido #2

George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp.84-42

Suponha lim x → - 2 ⁡ p x = 4   ,   lim x → - 2 ⁡ r x = 0   e   lim x → - 2 ⁡ s x = - 3   . Determine:

a lim x → - 2 ⁡ p x + r x + s x

b lim x → - 2 ⁡ p x . r x . s x

c lim x → - 2 ⁡ - 4 p x + 5 r x s x

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Passo 1

a Pelas propriedades, teremos:

lim x → - 2 ⁡ p x + r x + s x = lim x → - 2 ⁡ p x + lim x → - 2 ⁡ r x + lim x → - 2 ⁡ s x

Com isso, podemos substituir os valores:

lim x → - 2 ⁡ p x + lim x → - 2 ⁡ r x + lim x → - 2 ⁡ s x = 4 + 0 + - 3

= 4 - 3 = 1

Passo 2

b Novamente, usamos as propriedades:

lim x → - 2 ⁡ p x . r x . s x = lim x → - 2 ⁡ p x lim x → - 2 ⁡ r x lim x → - 2 ⁡ s x

Basta substituir os valores agora:

lim x → - 2 ⁡ p x lim x → - 2 ⁡ r x lim x → - 2 ⁡ s x = 4 0 - 3

= 0

Passo 3

c Aplicando as propriedades dos limites:

lim x → - 2 ⁡ - 4 p x + 5 r x s x = lim x → - 2 ⁡ - 4 p x + lim x → - 2 ⁡ 5 r x s x

= - 4 lim x → - 2 ⁡ p x + lim x → - 2 ⁡ 5 r x lim x → - 2 ⁡ s x = - 4 lim x → - 2 ⁡ p x + 5 lim x → - 2 ⁡ r x lim x → - 2 ⁡ s x

Agora podemos substituir os valores:

- 4 lim x → - 2 ⁡ p x + 5 lim x → - 2 ⁡ r x lim x → - 2 ⁡ s x = - 4 4 + 5 0 - 3

= - 16

Resposta

a lim x → - 2 ⁡ p x + r x + s x = 1

b   lim x → - 2 ⁡ p x . r x . s x = 0

c   lim x → - 2 ⁡ - 4 p x + 5 r x s x = - 16

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Calcule o limite:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + ln ⁡ x

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Passo 1

Bom galera, a gente vai precisar usar todas as propriedades básicas de limites que vimos.

Vamos lá:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + ln ⁡ x

Primeiro, a propriedade da soma:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + ln ⁡ x = lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x

Beleza?

Vamos nos concentrar no limite mais a esquerda primeiro, por ele ser o mais difícil.

Passo 2

Então:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2

Usando a propriedade do quociente:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 = lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 lim x → 1 ⁡ cos ⁡ π x . e x 2

Agora, usando a propriedade do produto no denominador e no numerador:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 lim x → 1 ⁡ cos ⁡ π x . e x 2 = lim x → 1 ⁡ x 3 . lim x → 1 ⁡ x + x 2 lim x → 1 ⁡ cos ⁡ π x . lim x → 1 ⁡ e x 2

Show. Dali a gente já pode usar a substituição em algumas partes. Mas vamos antes colocar o limite pra dentro da raiz , da exponencial e da função cosseno, usando a propriedade das funções contínuas.

Obs: Você vai entender melhor o que são funções contínuas no capítulo de continuidades.

Então:

lim x → 1 ⁡ x 3 . lim x → 1 ⁡ x + x 2 lim x → 1 ⁡ cos ⁡ π x . lim x → 1 ⁡ e x 2 = lim x → 1 ⁡ x 3 . lim x → 1 ⁡ x + x 2 cos ( lim x → 1 ⁡ πx )   ⁡ . e lim x → 1 ⁡ x 2  

Show? Agora substituindo o valor 1 em cada expressão, chegamos a:

lim x → 1 ⁡ x 3 . lim x → 1 ⁡ x + x 2 cos ( lim x → 1 ⁡ πx )   ⁡ . e lim x → 1 ⁡ x 2   = 1 3 . 1 + 1 2 cos ⁡ π . 1 . e 1 2 = 2 - 1 . e = - 2 e

Passo 3

Bom, já calculamos um dos nossos limites iniciais. Voltando a expressão:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x

Vamos agora calcular o limite da direita:

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x = ln ⁡ 1 = 0

Bem mais fácil que o outro, né? Hehe.

Agora, voltando a expressão anterior:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x = - 2 e + 0 = - 2 e

Logo:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + ln ⁡ x = - 2 e

Viu? É simples. O importante é ir dividindo devagar, ao menos no início, quando estamos mais inseguros. Depois você vai fazer isso ai bem rápido. (:

Resposta

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + ln ⁡ x = - 2 e

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Calcule os limites:

lim x → - ∞ ⁡ 1 2 x + 3 arctg ⁡ 5 x + lim x → + ∞ ⁡ e - x ln ⁡ 1 x

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Passo 1

Repara, ali nós temos dois limites:

lim x → - ∞ ⁡ 1 2 x + 3 arctg ⁡ 5 x       ;       lim x → + ∞ ⁡ e - x ln ⁡ 1 x

Vou concentrar no primeiro deles, depois vemos o segundo.

lim x → - ∞ ⁡ 1 2 x + 3 arctg ⁡ 5 x

Passo 2

O termo com x no denominador vai desaparecer quando jogarmos ele a mais ou menos infinito, correto?

lim x → - ∞ ⁡ 1 2 x = 1 - ∞ = 0

Passo 3

Aqui uma peculiaridade. Aqui temos o caso raro do arco tangente que vai para π 2 quando seu argumento explode a + ∞ e - π 2 quando x → - ∞ . Nesse limite, caímos no segundo caso:

lim x → - ∞ ⁡ + 3 arctg ⁡ 5 x = + 3 arctg ⁡ - ∞

= 3 - π 2 = - 3 π 2

Passo 4

No segundo limite agora, caímos num cara que podemos substituir de primeira:

lim x → + ∞ ⁡ e - x ln ⁡ 1 x = e - ∞ ln ⁡ 1 ∞ = e - ∞ ln ⁡ 0

= 0 - ∞ = 0

Com isso,

lim x → - ∞ ⁡ 1 2 x + 3 arctg ⁡ 5 x + lim x → + ∞ ⁡ e - x ln ⁡ 1 x = 0 - 3 π 2 + 0

= - 3 π 2

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ 1 2 x + 3 arctg ⁡ 5 x + lim x → + ∞ ⁡ e - x ln ⁡ 1 x = - 3 π 2

Exercício Resolvido #5

George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp.84-58

Se lim x → 0 ⁡ f x x 2 = 1 , determine:

a lim x → 0 ⁡ f x

b lim x → 0 ⁡ f x x

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Passo 1

(a)

Aqui, a ideia é aplicar a propriedade dos limites. Se fizermos aparecer aquele limite que nos foi dado no enunciado poderemos substituí-lo por 1 , certo? Dessa forma, vou forçar o limite do enunciado a aparecer, multiplicando em cima e embaixo por x 2 :

lim x → 0 ⁡ f x = lim x → 0 ⁡ f x x 2 x 2 = lim x → 0 ⁡ f x x 2 lim x → 0 ⁡ x 2

Aproveitei e já apliquei a propriedade do produto.

Passo 2

Do enunciado, temos que lim x → 0 ⁡ f x x 2 = 1 . Assim, substituindo x → 0 no outro limite teremos:

lim x → 0 ⁡ f x x 2 lim x → 0 ⁡ x 2 = 1 0 2

= 0

Passo 3

(b)

Novamente, resolver esse cara passa só pelo uso das propriedades, forçando o limite que já conhecemos a aparecer:

lim x → 0 ⁡ f x x = lim x → 0 ⁡ f x x . x x = lim x → 0 ⁡ f x x 2 lim x → 0 ⁡ x

Passo 4

Do enunciado, temos que lim x → 0 ⁡ f x x 2 = 1 . Assim, substituindo x → 0 no outro limite teremos:

lim x → 0 ⁡ f x x 2 lim x → 0 ⁡ x = 1 0

= 0

Resposta

a   lim x → 0 ⁡ f x = 0

b   lim x → 0 ⁡ f x x = 0

Exercício Resolvido #6

UFF, Cálculo IA-Lista 5, GMA, 2008-1, Questão 1.

Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x → - ∞ ( ⁡ x n - x n - 1 )  

Obs: considere n ∈ N

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Passo 1

Pra fazer essa análise, primeiro vamos deixar essa função com uma cara mais fácil de trabalhar. Para isso vamos usar uma propriedade de multiplicação de potências.

Quando temos uma multiplicação de potências com a mesma base, a gente repete a base e soma os expoentes, como no exemplo abaixo:

x . x n - 1 = x 1 + n - 1 = x n

Agora vamos aplicar isso a nossa função:

x n - x n - 1 = ( x . x n - 1 - 1 . x n - 1 ) = x - 1 x n - 1

Note que transformamos que o x n em x . x n - 1 , e depois colocamos o x n - 1 em evidência.

Essa mudança é importante para a gente poder abrir o termo do limite da seguinte forma,

lim x → - ∞ ( ⁡ x n - x n - 1 )   = lim x → - ∞ ⁡ x - 1 x n - 1

Tendo ainda, pela propriedade do produto:

lim x → - ∞ ⁡ x - 1 x n - 1 = lim x → - ∞ ⁡ x - 1 lim x → - ∞ ⁡ x n - 1

Agora vamos analisar os limites por parte, começando pelo limite de x - 1 quando x → - ∞ . Neste caso, nós temos x tendendo a um número muuuuuuuuuito grande negativo. Então o esse limite irá para - ∞ .

lim x → - ∞ ⁡ x - 1 = - ∞

Para a segunda parte vamos ter que analisar os sinais dos “infinitos”.

Passo 2

Agora vamos resolver a parte do lim x → - ∞ ⁡ x n - 1 .

Aqui o resultado dependerá do grau de n ser par ou ímpar. Então vamos achar um resultado para cada tipo de n . Não entendeu? Vem comigo!

Para n ímpar, teremos n - 1 par. Para facilitar a gente pode substituir por valores e verificar esse resultado. Exemplo:

n = 3 ⇒ x n - 1 =   x 3 - 1 = x 2

Relembrando um pouco sobre potências, todo número elevado a um número par terá um sinal positivo. Ou seja,

n   í m p a r ⇒ x n - 1 → + ∞       ,   s e   x → - ∞

Nesse caso, como temos x n - 1 como polinômio de grau par, fica:

lim x → - ∞ ( ⁡ x n - x n - 1 )   = lim x → - ∞ ⁡ x - 1 x n - 1

= lim x → - ∞ ⁡ x - 1 lim x → - ∞ ⁡ x n - 1 = - ∞ ∞

= - ∞

Repara que já calculamos o resultado de lim x → - ∞ ⁡ x - 1 no Passo 1. E o agora vimos que o lim x → - ∞ ⁡ x n - 1 =   + ∞ . Como infinito é um número muuuuuuuuito grande, essa multiplicação também será muuuuuuuuito grande, basta saber se ele será positivo ou negativo. Toda multiplicação de um número negativo por um positivo será um número negativo.

Passo 3

Para n par, teremos n - 1 ímpar. Para facilitar a gente pode substituir por valores e verificar esse resultado. Exemplo:

n = 4 ⇒ x n - 1 =   x 4 - 1 = x 3

Agora o expoente é impar, então o resultado terá o mesmo sinal da base. Ou seja,

n   p a r ⇒ x n - 1 → - ∞       ,   s e   x → - ∞

Nesse caso, como temos x n - 1 como polinômio de grau ímpar, fica:

lim x → - ∞ ( ⁡ x n - x n - 1 )   = lim x → - ∞ ⁡ x - 1 x n - 1

= lim x → - ∞ ⁡ x - 1 lim x → - ∞ ⁡ x n - 1 = - ∞ - ∞

= + ∞

Repara que o sinal mudou e agora o lim x → - ∞ ⁡ x n - 1 é igual a - ∞ . E toda multiplicação de um número negativo por outro número negativo será um número positivo.

Passo 4

Agora vamos fazer a análise para n = 0 . Repara,

lim x → - ∞ ( ⁡ x 0 - x 0 - 1 ) = lim x → - ∞ ⁡ 1 - 1 x

= 1 - 0 = 1

Resposta

n   í m p a r   ;   lim x → - ∞ ( ⁡ x n - x n - 1 )   = - ∞

n   p a r   ;   lim x → - ∞ ( ⁡ x n - x n - 1 )   = ∞

n = 0   ;   lim x → - ∞ ( ⁡ x n - x n - 1 )   = 1

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