Propriedade Dos Limites

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Bora conversar sobre as Propriedades dos Limites com o Responde Aí?

-Vamooos!

Então sigam-me os bons! 👇

1º) Limite de Uma Constante

Essa primeira propriedade diz que, o limite de uma constante é sempre igual a própria constante, ou seja:

Essa propriedade não tem mistério! Mas, vamos olhar um exemplo pra ficar mais claro!

Exemplo:

Como é uma constante, seu limite sempre vai ser , independente pra onde esta tendendo!

2º) Limite de uma Soma ou Subtração

O limite da soma ou subtração de duas funções é igual a soma ou subtração dos limites podemos escrever a segunda propriedade de uma forma geral:

Exemplo:

Pra ficar mais claro, da uma olhada nesse exemplo:

Ainda não acabou! Maaas, se você preferir você pode conferir nosso conteúdo em vídeo! 👇

Ou continua comigo em texto mesmo!

3º) Limite de um Produto

A propriedade do limite de um produto diz que: O limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites, ou seja:

Exemplo:

4º) Limite de um Quociente

O limite da divisão de duas funções é igual a divisão dos limites, assim:

Exemplo:

5º) Limite de Funções Contínuas

Para funções contínuas, você pode usar a seguinte relação:

Essa propriedade são várias propriedades dos limites em uma só! Confira os exemplos!

Exemplo: Limite de uma Raiz

Exemplo: Limite de um Exponencial

Exemplo: Limite de uma Função Trigonométrica

Exemplo: Limite de um Logaritmo

Bora praticar o que aprendemos de Propriedades dos limites, com exercícios?!

2º) Limite de uma Soma ou Subtração

3º) Limite de um Produto

4º) Limite de um Quociente

5º) Limite de Funções Contínuas

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Avalie o seguinte limite:

l i m x → 1 2 x 2 e x  

Passo 1

Uma das propriedades de limites nos permite dividir esse produto em dois limites:

l i m x → a f x g x   = l i m x → a f x . l i m x → a g x

Utilizando essa propriedade do limite de um produto temos:

l i m x → 1 2 x 2 e x   = l i m x → 1 2 x 2   × l i m x → 1 e x  

Passo 2

Nesse limite l i m x → 1 e x a exponencial e a raiz quadrada são funções contínuas (que iremos aprofundar em um outro tópico). Dito isso, vamos aplicar a seguinte propriedade para funções contínuas:

l i m x → a e x   = e l i m x → a x   = e a

Substituindo no nosso exemplo temos:

l i m x → 1 2 x 2 e x   = l i m x → 1 2 x 2   × l i m x → 1 e x = l i m x → 1 2 x 2   × e l i m x → 1 x

Substituindo:

l i m x → 1 2 x 2 e x = l i m x → 1 2 x 2   × e l i m x → 1 x = 2.1 ² × e 1 = 2 e

Resposta

l i m x → 1 2 x 2 e x   = 2 e

Exercício Resolvido #2

Suponha lim x → - 2 ⁡ p x = 4   ,   lim x → - 2 ⁡ r x = 0   e   lim x → - 2 ⁡ s x = - 3   . Determine:

a lim x → - 2 ⁡ p x + r x + s x

b lim x → - 2 ⁡ p x . r x . s x

c lim x → - 2 ⁡ - 4 p x + 5 r x s x

Passo 1

Vamos lá! Pra resolver essa questão precisamos aplicar as propriedades do limite!

a Aqui a gente vai aplicar a propriedade da soma, que diz que o limite de uma soma é igual a soma dos limites:

lim x → - 2 ⁡ p x + r x + s x = lim x → - 2 ⁡ p x + lim x → - 2 ⁡ r x + lim x → - 2 ⁡ s x

Com isso, podemos substituir os valores:

lim x → - 2 ⁡ p x + lim x → - 2 ⁡ r x + lim x → - 2 ⁡ s x = 4 + 0 + - 3

= 4 - 3 = 1

Passo 2

b Aqui a gente vai aplicar a propriedade do produto, que diz que o limite de um produto é o produto dos limites:

lim x → - 2 ⁡ p x . r x . s x = lim x → - 2 ⁡ p x lim x → - 2 ⁡ r x lim x → - 2 ⁡ s x

Basta substituir os valores agora:

lim x → - 2 ⁡ p x lim x → - 2 ⁡ r x lim x → - 2 ⁡ s x = 4 0 - 3

= 0

Passo 3

c Aqui vamos aplicar a propriedade da soma, que a gente viu na letra (a), e a propriedade do quociente, que diz que o limite de uma divisão é a divisão dos limites:

lim x → - 2 ⁡ - 4 p x + 5 r x s x = lim x → - 2 ⁡ - 4 p x + lim x → - 2 ⁡ 5 r x s x

= - 4 lim x → - 2 ⁡ p x + lim x → - 2 ⁡ 5 r x lim x → - 2 ⁡ s x = - 4 lim x → - 2 ⁡ p x + 5 lim x → - 2 ⁡ r x lim x → - 2 ⁡ s x

Agora podemos substituir os valores:

- 4 lim x → - 2 ⁡ p x + 5 lim x → - 2 ⁡ r x lim x → - 2 ⁡ s x = - 4 4 + 5 0 - 3

= - 16

Resposta

a lim x → - 2 ⁡ p x + r x + s x = 1

b   lim x → - 2 ⁡ p x . r x . s x = 0

c   lim x → - 2 ⁡ - 4 p x + 5 r x s x = - 16

Exercício Resolvido #3

Aplique as propriedades dos limites e calcule o limite:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + ln ⁡ x

Passo 1

Bom galera, a gente vai precisar usar todas as propriedades básicas de limites que vimos para quebrar essa funçãozona em funções mais simples.

Vamos lá:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + ln ⁡ x

Primeiro, a propriedade da soma, que diz que o limite de uma soma é a soma dos limites:

lim x → 1 ⁡ p x + r x = lim x → 1 ⁡ p x + lim x → 1 ⁡ r x

Aplicando temos:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + ln ⁡ x = lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x

Beleza?

Vamos nos concentrar no limite da esquerda primeiro, por ele ser o mais difícil.

Passo 2

Então temos:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2

Usando a propriedade do quociente, que diz o limite de uma divisão é a divisão dos limites, ficamos com:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 = lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 lim x → 1 ⁡ cos ⁡ π x . e x 2

Agora, usando a propriedade do produto, que diz que o limite de um produto é o produto dos limites, no denominador e no numerador ficamos com:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 lim x → 1 ⁡ cos ⁡ π x . e x 2 = ( lim x → 1 ⁡ x 3 ) . ( lim x → 1 ⁡ x + x 2 ) ( lim x → 1 ⁡ cos ⁡ π x ) . ( lim x → 1 ⁡ e x 2 )

Show! Agora substituindo o valor 1 em cada expressão, chegamos a:

lim x → 1 ⁡ x 3 . lim x → 1 ⁡ x + x 2 cos ( lim x → 1 ⁡ πx )   ⁡ . e lim x → 1 ⁡ x 2   = 1 3 . 1 + 1 2 cos ⁡ π . 1 . e 1 2 = 2 - 1 . e = - 2 e

Passo 3

Bom, já calculamos um dos nossos limites iniciais. Voltando a expressão:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x

Vamos agora calcular o limite da direita, que tava faltando:

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x = ln ⁡ 1 = 0

Bem mais fácil que o outro, né? Hehe.

Agora, voltando a expressão anterior:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x = - 2 e + 0 = - 2 e

Logo:

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + ln ⁡ x = - 2 e

Viu? É simples. O importante é ir dividindo devagar, ao menos no início, quando estamos mais inseguros. Depois você vai fazer isso ai bem rápido. (:

Resposta

lim x → 1 ⁡ x 3 x + x 2 cos ⁡ π x . e x 2 + ln ⁡ x = - 2 e

Exercício Resolvido #4

Calcule os limites:

lim x → - ∞ ⁡ 1 2 x + 3 arctg ⁡ 5 x + lim x → + ∞ ⁡ e - x ln ⁡ 1 x

Passo 1

Repara, ali nós temos dois limites:

lim x → - ∞ ⁡ 1 2 x + 3 arctg ⁡ 5 x       ;       lim x → + ∞ ⁡ e - x ln ⁡ 1 x

Vou concentrar no primeiro deles, depois vemos o segundo.

lim x → - ∞ ⁡ 1 2 x + 3 arctg ⁡ 5 x

Passo 2

O termo com x no denominador vai desaparecer quando jogarmos ele a mais ou menos infinito, correto?

lim x → - ∞ ⁡ 1 2 x = 1 - ∞ = 0

Passo 3

Aqui uma peculiaridade. Aqui temos o caso raro do arco tangente que vai para π 2 quando seu argumento explode a + ∞ e - π 2 quando x → - ∞ . Nesse limite, caímos no segundo caso:

lim x → - ∞ ⁡ + 3 arctg ⁡ 5 x = + 3 arctg ⁡ - ∞

= 3 - π 2 = - 3 π 2

Passo 4

No segundo limite agora, caímos num cara que podemos substituir de primeira:

lim x → + ∞ ⁡ e - x ln ⁡ 1 x = e - ∞ ln ⁡ 1 ∞ = e - ∞ ln ⁡ 0

= 0 - ∞ = 0

Com isso,

lim x → - ∞ ⁡ 1 2 x + 3 arctg ⁡ 5 x + lim x → + ∞ ⁡ e - x ln ⁡ 1 x = 0 - 3 π 2 + 0

= - 3 π 2

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ 1 2 x + 3 arctg ⁡ 5 x + lim x → + ∞ ⁡ e - x ln ⁡ 1 x = - 3 π 2

Exercício Resolvido #5

Se lim x → 0 ⁡ f x x 2 = 1 , determine:

a lim x → 0 ⁡ f x

b lim x → 0 ⁡ f x x

Passo 1

(a)

Aqui, a ideia é aplicar a propriedade dos limites. Se fizermos aparecer aquele limite que nos foi dado no enunciado poderemos substituí-lo por 1 , certo? Dessa forma, vou forçar o limite do enunciado a aparecer, multiplicando em cima e embaixo por x 2 :

lim x → 0 ⁡ f x = lim x → 0 ⁡ f x x 2 x 2 = lim x → 0 ⁡ f x x 2 lim x → 0 ⁡ x 2

Aproveitei e já apliquei a propriedade do produto.

Passo 2

Do enunciado, temos que lim x → 0 ⁡ f x x 2 = 1 . Assim, substituindo x → 0 no outro limite teremos:

lim x → 0 ⁡ f x x 2 lim x → 0 ⁡ x 2 = 1 0 2

= 0

Passo 3

(b)

Novamente, resolver esse cara passa só pelo uso das propriedades, forçando o limite que já conhecemos a aparecer:

lim x → 0 ⁡ f x x = lim x → 0 ⁡ f x x . x x = lim x → 0 ⁡ f x x 2 lim x → 0 ⁡ x

Passo 4

Do enunciado, temos que lim x → 0 ⁡ f x x 2 = 1 . Assim, substituindo x → 0 no outro limite teremos:

lim x → 0 ⁡ f x x 2 lim x → 0 ⁡ x = 1 0

= 0

Resposta

a   lim x → 0 ⁡ f x = 0

b   lim x → 0 ⁡ f x x = 0

Exercício Resolvido #6

Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x → - ∞ ⁡ x n - x n - 1  

Obs: considere n ∈ N

Passo 1

Pra fazer essa análise, primeiro vamos deixar essa função com uma cara mais fácil de trabalhar. Para isso vamos usar uma propriedade de multiplicação de potências.

Quando temos uma multiplicação de potências com a mesma base, a gente repete a base e soma os expoentes, como no exemplo abaixo:

x . x n - 1 = x 1 + n - 1 = x n

Agora vamos aplicar isso a nossa função:

x n - x n - 1 = ( x . x n - 1 - 1 . x n - 1 ) = x - 1 x n - 1

Note que transformamos que o x n em x . x n - 1 , e depois colocamos o x n - 1 em evidência.

Essa mudança é importante para a gente poder abrir o termo do limite da seguinte forma,

lim x → - ∞ ⁡ x n - x n - 1   = lim x → - ∞ ⁡ x - 1 x n - 1

Tendo ainda, pela propriedade do produto:

lim x → - ∞ ⁡ x - 1 x n - 1 = lim x → - ∞ ⁡ x - 1 lim x → - ∞ ⁡ x n - 1

Agora vamos analisar os limites por parte, começando pelo limite de x - 1 quando x → - ∞ . Neste caso, nós temos x tendendo a um número muuuuuuuuuito grande negativo. Então o esse limite irá para - ∞ .

lim x → - ∞ ⁡ x - 1 = - ∞

Para a segunda parte vamos ter que analisar os sinais dos “infinitos”.

Passo 2

Agora vamos resolver a parte do lim x → - ∞ ⁡ x n - 1 .

Aqui o resultado dependerá do grau de n ser par ou ímpar. Então vamos achar um resultado para cada tipo de n . Não entendeu? Vem comigo!

Para n ímpar, teremos n - 1 par. Para facilitar a gente pode substituir por valores e verificar esse resultado. Exemplo:

n = 3 ⇒ x n - 1 =   x 3 - 1 = x 2

Relembrando um pouco sobre potências, todo número elevado a um número par terá um sinal positivo. Ou seja,

n   í m p a r ⇒ x n - 1 → + ∞       ,   s e   x → - ∞

Nesse caso, como temos x n - 1 como polinômio de grau par, fica:

lim x → - ∞ ( ⁡ x n - x n - 1 )   = lim x → - ∞ ⁡ x - 1 x n - 1

= lim x → - ∞ ⁡ x - 1 lim x → - ∞ ⁡ x n - 1 = - ∞ ∞

= - ∞

Repara que já calculamos o resultado de lim x → - ∞ ⁡ x - 1 no Passo 1. E o agora vimos que o lim x → - ∞ ⁡ x n - 1 =   + ∞ . Como infinito é um número muuuuuuuuito grande, essa multiplicação também será muuuuuuuuito grande, basta saber se ele será positivo ou negativo. Toda multiplicação de um número negativo por um positivo será um número negativo.

Passo 3

Para n par, teremos n - 1 ímpar. Para facilitar a gente pode substituir por valores e verificar esse resultado. Exemplo:

n = 4 ⇒ x n - 1 =   x 4 - 1 = x 3

Agora o expoente é impar, então o resultado terá o mesmo sinal da base. Ou seja,

n   p a r ⇒ x n - 1 → - ∞       ,   s e   x → - ∞

Nesse caso, como temos x n - 1 como polinômio de grau ímpar, fica:

lim x → - ∞ ( ⁡ x n - x n - 1 )   = lim x → - ∞ ⁡ x - 1 x n - 1

= lim x → - ∞ ⁡ x - 1 lim x → - ∞ ⁡ x n - 1 = - ∞ - ∞

= + ∞

Repara que o sinal mudou e agora o lim x → - ∞ ⁡ x n - 1 é igual a - ∞ . E toda multiplicação de um número negativo por outro número negativo será um número positivo.

Passo 4

Agora vamos fazer a análise para n = 0 . Repara,

lim x → - ∞ ( ⁡ x 0 - x 0 - 1 ) = lim x → - ∞ ⁡ 1 - 1 x

= 1 - 0 = 1

Resposta

n   í m p a r   ;   lim x → - ∞ ⁡ x n - x n - 1   = - ∞

n   p a r   ;   lim x → - ∞ ⁡ x n - x n - 1   = ∞