Continuidade

Teoria Completa

Continuidade

Já percebeu o quanto os professores ficam falando sobre funções continua? Sério esse negocio parece que está em tudo.

Tá, mas como nós podemos saber se uma função é continua?

Tem duas maneiras, olhando seu gráfico, ou usando a definição hehe.

Visualmente é simples, sabe quando você pega pra desenhar alguma coisa, ai você vai passando no lápis na folha e não tira?

É exatamente isso, uma função é contínua não tem interrupções, ela é bonitinha como essa aqui:

Ou seja, uma função é contínua quando ela não é feita de pedacinhos, ela é exatamente como a palavra sugere, uma linha só, sem nenhuma descontinuidade.

Olha aqui um exemplinho de uma função descontinua:

Imagine você riscando essa função, você começou do x = - 6 e foi até x = - 2 , ai tu tirou a mão do papel (ou seja, fez uma interrupção), e depois começou novamente mais em cima e foi ate x = 2 e novamente você faz outra interrupção. Sacou?

Essas quebras mostram uma função descontinua.

Definição matemática

Uma parte importante para o assunto de limites laterais é a definição matemática da continuidade. Uma função é contínua num ponto x = a quando:

lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a )

Ou seja, você olha para o domínio todo, se essa regrinha valer em todos os pontos, ela é contínua em todo seu domínio (ou seja, para todo a ).

Faz sentido, não? Mas para começar a falar em continuidade, precisamos que o limite da f ( x ) exista! E quando isto acontece? Quando os limites laterais são iguais:

lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a - ⁡ f ( x )

Agora, vamos pensar:

“Será que se os limites laterais são iguais, a função vai ser necessariamente contínua?”

Olhe esse exemplo aqui:

f x = x 2 ,       x ≠ 3 10 ,       x = 3

Pois é. Esta função tem o valor 10 quando x = 3 , mas é igual à função x 2 em todo o resto da reta real. O gráfico dessa função é assim:

Opa, temos uma interrupção, assim, dizemos que:

A função f é descontínua no ponto em que x = 3 , pois se jogarmos o limite

lim x → 3 ⁡ f ( x ) = 9

Mas f 3 = 10 , assim tua acabou de ver que a definição de continuidade deu errado nesse caso.

Então cuidadooooo, ter limites laterais iguais não quer dizer que a função é contínua.

Resolvendo questões

Aqui vai uma dica pra te ajudar a ver se uma função é continua ou não.

Existem funções que são sempre contínuas em seus domínios, ou seja, você não precisa fazer a análise para esses casos. Essas funções são:

  1. Polinômios, para todo R .
  2. Funções raízes, para x ≥ 0 em raízes pares x 2 ,   x 4 … ;   e todo R para impares.
  3. Funções seno e cosseno, para todo R .
  4. Funções Trigonométricas Inversas, como a r c s e n ,   a r c t g , etc. Para todo R .
  5. Funções exponenciais, para todo R .
  6. Funções logarítmicas, para todo x > 0 .
  7. Funções com razão de polinômios, exceto nos pontos onde o denominador zera.

Isso SEMPRE aparece. Se tu souber que essas funçõeszinhas são contínuas, tu consegue fazer todos os exercícios.

Vão aparecer para você dois tipos principais de questões sobre continuidade:

1 Questão perguntando se a função é contínua em um certo ponto:

Para resolver esse primeiro tipo, basta que você aplique a condição de continuidade no ponto determinado (digamos, no ponto x = a ), ou seja:

lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a - ⁡ f ( x ) = f a

2 Questão perguntando se a função é contínua em todo domínio.

f x = x 2 ,     x ≤ 0 x ,     x > 0

Nesse caso, para que a função seja contínua em todo o domínio, temos que garantir que a função é contínua em x < 0 , x > 0 e em x = 0 . Ou seja, precisamos analisar a continuidade de x 2 em x < 0 e de x em x > 0

Como x 2 e x são contínuas, como vimos. Resta testar para x = 0 , aí é só ver se:

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = f 0

Se for verdade, então será contínua. Nesse caso, isso é verdade e a função será contínua.

É isso, agora vamos dar aquela treinada básica hehe

Expandir

Exercício Resolvido #1

CEFET - Cálculo 1 - P1 Roberto Sá 2012.2 – 3

Determine as constantes A e B para que a função abaixo seja contínua em x 0 = 2 .

f x = x 3 - x 2 + x - 1 ,     x > 2 A ,     x = 2 B - x 2 ,     x < 2

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Passo 1

Queremos fazer valer a continuidade nesse ponto, portanto:

lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a - ⁡ f ( x ) = f a

lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = f 2

Passo 2

Para que ela seja contínua nesse ponto, temos que garantir que seus limites laterais sejam iguais, bem como o próprio valor da função no ponto, ou seja:

lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = f 2

Antes do x = 2 , a função é dada pela lei ( x 3 - x 2 + x - 1 ) . Bem no ponto ela vale ( A ) , enquanto depois desse valor sua formação é dada por ( B - x 2 ) . Agora, basta resolver e matar o valor das constantes.

lim x → 2 + ⁡ ( x 3 - x 2 + x - 1 ) = lim x → 2 - ⁡ ( B - x 2 ) = A

2 3 - 2 2 + 2 - 1 = B - 2 2 = A

8 - 4 + 2 - 1 = B - 4 = A

5 = B - 4 = A

A = 5   ; B = 9

Resposta

A = 5   ; B = 9

Exercício Resolvido #2

UFF, Cálculo IA-Lista 5, GMA, 2008-1, Questão 21.

Verifique se a função é contínua no ponto indicado. Justifique a resposta.

f t = 1 - t 1 - t 3                       s e     t ≠ 1 3 / 2                                       s e   t = 1

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Passo 1

Para que esse cara seja contínuo em t = 1 precisamos que:

lim t → 1 ⁡ f t = f 1

Já temos que f 1 = 3 2 . A questão se resume a verificar se

lim t → 1 ⁡ 1 - t 1 - t 3

Também valerá 3 2 .

Passo 2

Ao substituir t → 1 cairemos numa indeterminação do tipo 0 0 . Como encontramos ali duas diferenças, uma envolvendo raiz quadrada e outra envolvendo raiz cúbica, faz sentido calcular o limite através da multiplicação de seus conjugados. Para o termo de cima, teríamos:

1 - t = 1 - t 1 + t 1 + t = 1 - t 1 + t 1 + t

= 1 2 - t 2 1 + t = 1 - t 1 + t

Para o termo de baixo, com raiz cúbica, faremos o seguinte:

1 - t 3 = 1 - t 3 1 + t 3 + t 3 2 1 + t 3 + t 3 2 = 1 - t 3 1 + t 3 + t 3 2 1 + t 3 + t 3 2

= 1 3 - t 3 3 1 + t 3 + t 3 2 = 1 - t 1 + t 3 + t 3 2

Passo 3

Voltando tudo ao limite:

lim t → 1 ⁡ 1 - t 1 - t 3 = lim t → 1 ⁡ 1 - t 1 + t 1 - t 1 + t 3 + t 3 2 = lim t → 1 ⁡ 1 + t 3 + t 3 2 1 + t

= 1 + 1 3 + 1 3 2 1 + 1 = 1 + 1 + 1 1 + 1 = 3 2

Enfim, comprovamos que

lim t → 1 ⁡ 1 - t 1 - t 3 = 3 2

E, portanto, a função será contínua.

Resposta

A   f u n ç ã o   é   c o n t í n u a   e m   t = 1

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Calcule o valor das constantes a e b para que a função abaixo seja contínua em x = 0 .

f ( x ) = 1 x + 2 ,       s e   x < 0 a ,       s e   x = 0 sen ⁡ ( b x ) x ,       s e   x > 0

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Passo 1

Para que a função seja contínua em x = 0 , precisamos que:

lim x → 0 ⁡ f ( x ) = f ( 0 )

No caso, temos que:

f 0 = a

Mas não somente isso, precisamos também garantir que o limite exista, e isso só ocorre se os limites laterais forem iguais, ou seja:

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ f x

Passo 2

Portanto, fazendo pela esquerda:

lim x → 0 - ⁡ 1 x + 2 = 1 2

Fazendo pela direita:

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ ( b x ) x = sen ⁡ 0 0 = 0 0

Portanto, para fugir da indeterminação nós calculamos ele pelo Limite Fundamental Trigonométrico:

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ ( b x ) x = lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ b x x b b

b lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ b x b x = b 1 = b

Passo 3

Devemos ter então que:

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ f x = f 0