Continuidade

Teoria Completa

Continuidade

O conceito da continuidade não é difícil: visualmente, uma função é contínua quando ela não é feita de pedacinhos, ou seja, ela é (como a palavra sugere) uma linha só, sem nenhuma interrupção.

Uma ponte importante com o assunto de limites laterais é a definição matemática da continuidade. Uma função é contínua num ponto x = a quando:

lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a )

Ou seja, olhando para o domínio todo, se a tendência dela é igual ao seu valor em todos os pontos, ela é dita contínua em todo seu domínio (ou seja, para todo a ). Faz sentido, não? Mas para começar a falar em continuidade, precisamos que o limite da f ( x ) exista! E quando isto acontece? Quando os limites laterais são iguais:

lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a - ⁡ f ( x )

Agora, se os limites laterais são iguais, a função será necessariamente contínua? Olhe esse exemplo aqui:

f x = x 2 ,       x ≠ 3 10 ,       x = 3

Pois é. Esta função tem o valor 10 quando x = 3 , mas é igual à função x 2 em todo o resto da reta real. O gráfico dessa função é assim:

lim x → 3 ⁡ x 2 = 9

Mas f 3 = 10 .

Portanto, a função f é descontínua no ponto em que x = 3 , pois a função não está tendendo para o seu valor.

Resolvendo questões

Vão aparecer para você dois tipos principais de questões sobre continuidade:

1 Questão perguntando se a função é contínua em um certo ponto:

Para resolver esse primeiro tipo, basta que você aplique a condição de continuidade no ponto determinado (digamos, no ponto x = a ), ou seja:

lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a - ⁡ f ( x ) = f a

2 Questão perguntando se a função é contínua em todo domínio.

f x = x 2 ,     x ≤ 0 x ,     x > 0

Nesse caso, para que a função seja contínua em todo o domínio, temos que garantir que a função é contínua em x < 0 , x > 0 e em x = 0 . Ou seja, precisamos analisar a continuidade de x 2 em x < 0 e de x em x > 0

Existem funções que são sempre contínuas em seus domínios, ou seja, você não precisa fazer a análise para esses casos. Essas funções são:

  1. Polinômios, para todo R .
  2. Funções raízes, para x ≥ 0 em raízes pares x 2 ,   x 4 … ;   e todo R para impares.
  3. Funções seno e cosseno, para todo R .
  4. Funções Trigonométricas Inversas, como a r c s e n ,   a r c t g , etc. Para todo R .
  5. Funções exponenciais, para todo R .
  6. Funções logarítmicas, para todo x > 0 .
  7. Funções com razão de polinômios, exceto nos pontos onde o denominador zera.

Como x 2 e x são contínuas, como vimos. Resta testar para x = 0 , aí é só ver se:

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = f 0

Se for verdade, então será contínua. Nesse caso, isso é verdade e a função será contínua.

Expandir

Exercício Resolvido #1

CEFET - Cálculo 1 - P1 Roberto Sá 2012.2 – 3

Determine as constantes A e B para que a função abaixo seja contínua em x 0 = 2 .

f x = x 3 - x 2 + x - 1 ,     x > 2 A ,     x = 2 B - x 2 ,     x < 2

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Passo 1

Queremos fazer valer a continuidade nesse ponto, portanto:

lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a - ⁡ f ( x ) = f a

lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = f 2

Passo 2

Para que ela seja contínua nesse ponto, temos que garantir que seus limites laterais sejam iguais, bem como o próprio valor da função no ponto, ou seja:

lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = f 2

Antes do x = 2 , a função é dada pela lei ( x 3 - x 2 + x - 1 ) . Bem no ponto ela vale ( A ) , enquanto depois desse valor sua formação é dada por ( B - x 2 ) . Agora, basta resolver e matar o valor das constantes.

lim x → 2 + ⁡ ( x 3 - x 2 + x - 1 ) = lim x → 2 - ⁡ ( B - x 2 ) = A

2 3 - 2 2 + 2 - 1 = B - 2 2 = A

8 - 4 + 2 - 1 = B - 4 = A

5 = B - 4 = A

A = 5   ; B = 9

Resposta

A = 5   ; B = 9

Exercício Resolvido #2

UFF, Cálculo IA-Lista 5, GMA, 2008-1, Questão 21.

Verifique se a função é contínua no ponto indicado. Justifique a resposta.

f t = 1 - t 1 - t 3                       s e     t ≠ 1 3 / 2                                       s e   t = 1

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Passo 1

Para que esse cara seja contínuo em t = 1 precisamos que:

lim t → 1 ⁡ f t = f 1

Já temos que f 1 = 3 2 . A questão se resume a verificar se

lim t → 1 ⁡ 1 - t 1 - t 3

Também valerá 3 2 .

Passo 2

Ao substituir t → 1 cairemos numa indeterminação do tipo 0 0 . Como encontramos ali duas diferenças, uma envolvendo raiz quadrada e outra envolvendo raiz cúbica, faz sentido calcular o limite através da multiplicação de seus conjugados. Para o termo de cima, teríamos:

1 - t = 1 - t 1 + t 1 + t = 1 - t 1 + t 1 + t

= 1 2 - t 2 1 + t = 1 - t 1 + t

Para o termo de baixo, com raiz cúbica, faremos o seguinte:

1 - t 3 = 1 - t 3 1 + t 3 + t 3 2 1 + t 3 + t 3 2 = 1 - t 3 1 + t 3 + t 3 2 1 + t 3 + t 3 2

= 1 3 - t 3 3 1 + t 3 + t 3 2 = 1 - t 1 + t 3 + t 3 2

Passo 3

Voltando tudo ao limite:

lim t → 1 ⁡ 1 - t 1 - t 3 = lim t → 1 ⁡ 1 - t 1 + t 1 - t 1 + t 3 + t 3 2 = lim t → 1 ⁡ 1 + t 3 + t 3 2 1 + t

= 1 + 1 3 + 1 3 2 1 + 1 = 1 + 1 + 1 1 + 1 = 3 2

Enfim, comprovamos que

lim t → 1 ⁡ 1 - t 1 - t 3 = 3 2

E, portanto, a função será contínua.

Resposta

A   f u n ç ã o   é   c o n t í n u a   e m   t = 1

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Calcule o valor das constantes a e b para que a função abaixo seja contínua em x = 0 .

f ( x ) = 1 x + 2 ,       s e   x < 0 a ,       s e   x = 0 sen ⁡ ( b x ) x ,       s e   x > 0

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Passo 1

Para que a função seja contínua em x = 0 , precisamos que:

lim x → 0 ⁡ f ( x ) = f ( 0 )

No caso, temos que:

f 0 = a

Mas não somente isso, precisamos também garantir que o limite exista, e isso só ocorre se os limites laterais forem iguais, ou seja:

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ f x

Passo 2

Portanto, fazendo pela esquerda:

lim x → 0 - ⁡ 1 x + 2 = 1 2

Fazendo pela direita:

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ ( b x ) x = sen ⁡ 0 0 = 0 0

Portanto, para fugir da indeterminação nós calculamos ele pelo Limite Fundamental Trigonométrico:

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ ( b x ) x = lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ b x x b b

b lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ b x b x = b 1 = b

Passo 3

Devemos ter então que:

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ f x = f 0

b = 1 2 = a

Resposta

a = b = 1 2

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Calcule a constante A para que a função abaixo seja contínua:

f x = sen ⁡ 1 x - x + x ,       x < 0 cos ⁡ x - A ,       x ≥ 0

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Passo 1

No domínio x ≥ 0 , temos uma constante e um cosseno, sendo sua composição uma função contínua. Já no domínio x < 0 , a função é uma composição de funções contínuas, já que polinômios e senos são contínuos, a raiz ali tem seu argumento positivo ou nulo, pois é a raiz de um número negativo vezes - 1 , e o único ponto onde o argumento do seno é descontínuo é 0 , onde muda a lei de formação e observaremos com mais calma agora.

Resumindo: A função é contínua em x ≠ 0 . Para ela ser contínua, basta que achemos que ela é contínua também em x = 0 .

Sabemos que, para que a função seja contínua em x = 0 , precisamos que:

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = f ( 0 )

Passo 2

Aplicando pela direita o limite, temos:

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x - A

Como se trata de uma função contínua:

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x - A = 1 - A

Pelo lado esquerdo, temos:

lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = lim x → 0 - ⁡ sen ⁡ 1 x - x + x

Se tentarmos aplicar propriedades de limites, teremos um problema. Distribuindo o limite pelas funções:

lim x → 0 - ⁡ sen ⁡ 1 x × lim x → 0 - ⁡ - x + lim x → 0 - ⁡ x

O que acontece aqui é que não conseguimos avaliar o limite de sen ⁡ 1 x , pois:

lim x → 0 - ⁡ 1 x = - ∞

E não possuímos nenhuma informação acerca de sen ⁡ ( - ∞ ) . Essa função não é definida à medida que o x vai para infinito ou menos infinito. O único jeito de atacar esse problema é com o Teorema do Confronto:

- 1 ≤ sen ⁡ 1 x ≤ 1

Independentemente do argumento do seno, essa relação acima vale. Multiplicando tudo por - x :

- - x ≤ sen ⁡ 1 x - x ≤ - x

Puxando o limite:

lim x → 0 - ⁡ - - x ≤ lim x → 0 - ⁡ sen ⁡ 1 x - x ≤ lim x → 0 - ⁡ - x

Como temos que:

lim x → 0 - ⁡ - - x = lim x → 0 - ⁡ - x = 0

Pois a raiz é uma função contínua. Então segue que:

lim x → 0 - ⁡ sen ⁡ 1 x - x = 0

Gerando que

lim x → 0 - ⁡ sen ⁡ 1 x - x + x = 0 + 0 = 0

Passo 3

Substituindo no limite original, pelas propriedades de limites:

lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = lim x → 0 - ⁡ sen ⁡ 1 x - x + x = 0

Portanto, como os limites tem que ser iguais:

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 - ⁡ f ( x )

1 - A = 0

A = 1

Resposta

A = 1

Exercício Resolvido #5

UFF - Cálculo IA - P1 Marlene 2013.2 – 3

Considere

f x = a 2 sen ⁡ 4 x x   s e x < 0 b s e x = 0 b 2 + 1 - cos ⁡ x x sen ⁡ 1 x s e x > 0

Determine os pares ordenados a , b de forma que essa função seja contínua em x = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para termos a função contínua em x = 0 necessitamos que

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ f x = f 0

Onde f 0 = b . Assim, queremos:

lim x → 0 + ⁡ b 2 + 1 - cos ⁡ x x sen ⁡ 1 x = lim x → 0 - ⁡ a 2 sen ⁡ 4 x x = b

Passo 2

Começamos com o limite de valores menores que x = 0 :

lim x → 0 - ⁡ a 2 sen ⁡ 4 x x

Tem uma cara de Limite Fundamental Trigonométrico, né? Vamos apostar nisso, forçar aparecer um 4 embaixo e substituí-lo

lim x → 0 - ⁡ a 2 sen ⁡ 4 x x = lim x → 0 - ⁡ a 2 sen ⁡ 4 x x 4 4 = 4 a 2 lim x → 0 - ⁡ sen ⁡ 4 x 4 x

= 4 a 2 1 = 4 a 2

Passo 3

Vamos calcular agora o limite para x > 0 :

lim x → 0 + ⁡ b 2 + 1 - cos ⁡ x x sen ⁡ 1 x = b 2 + lim x → 0 + ⁡ 1 - cos ⁡ x x sen ⁡ 1 x

Nesse limite aí, repara que teríamos uma indeterminação dentro do seno e um 0 0 fora:

lim x → 0 + ⁡ 1 - cos ⁡ x x sen ⁡ 1 x = sen ⁡ ∞ 0 0

Para resolver o problema do seno, uso o Teorema do Confronto com ele:

- 1 ≤ sen ⁡ 1 x ≤ 1

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x - 1 x ≤ lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x sen ⁡ 1 x x ≤ lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 x

Agora basta calcular o seguinte:

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x

Passo 4

Repara que esse cara pode ser multiplicado pelo seu conjugado para dar em alguma coisa função de seno:

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x 1 + cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ x x 1 + cos ⁡ x

Você deve lembrar que, pela relação fundamental da Trigonometria, sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 . Com isso, colocando o seno ao quadrado em evidência teríamos:

lim x → 0 ⁡ sen 2 ⁡ x x 1 + cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sen 2 ⁡ x x 2 lim x → 0 ⁡ x 1 + cos ⁡ x

Repara que eu multipliquei um x em cima e embaixo, para poder aparecer o limite fundamental ao quadrado no primeiro cara:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x 2 lim x → 0 ⁡ x 1 + cos ⁡ x = 1 2 0 1 + cos ⁡ 0

= 0

Passo 5

Com isso, concluímos que

lim x → 0 ⁡ - 1 - cos ⁡ x x = lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x = 0

Logo,

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x - 1 x ≤ lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x sen ⁡ 1 x x ≤ lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 x

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x sen ⁡ 1 x x = 0

E

lim x → 0 + ⁡ b 2 + 1 - cos ⁡ x x sen ⁡ 1 x = b 2 + 0

= b 2

Passo 6

Juntando o que calculamos, queremos:

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ f x = f 0

b 2 = 4 a 2 = b

Para os valores de b , acharemos:

b 2 = b → b 2 - b = 0

b b - 1 = 0

b 1 = 0   ; b 2 = 1

Como teríamos

4 a 2 = b → a 2 = b 4

a = ± b 2

a 1 = b 1 2 = 0 2 = 0

a 2 + = b 2 2 = 1 2 = 1 2

a 2 - = - b 2 2 = - 1 2 = - 1 2

Achamos os pares 0,0 e 1 2 , 1 , - 1 2 , 1 gerando que a função seja contínua em x = 0 .

Resposta

0,0     ;     1 2 , 1 ;   - 1 2 , 1

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