Quociente de Funções com x → Infinito

Teoria Completa

Responde aí, como resolve esse limite?

lim x → ∞ ⁡ x 3 + x + 1 x 2 + x + 1

Você pode pensar que:

lim x → ∞ ⁡ x 3 + x + 1 x 2 + x + 1 = ∞ ∞ = 1

Bom, você NÃO pode fazer isso. Não é porque as duas tendem ao infinito que elas crescem igualmente. x 2 , por exemplo, cresce bem menos que x 3 , substitua uns valores e veja que é verdade.

Calculando os limites

Assim, a dica para essas questões é verificar o maior grau do denominador no denominador e o maior do numerador no numerador.

Olhando lá para o limite do exemplo, vemos que grau de cima é 3 e o de baixo é 2 . Devemos, portanto, colocar em evidência o x 3 em cima, no numerador, e o x 2 embaixo, no denominador, já que eles são os maiores graus.

lim x → ∞ ⁡ x 3 + x + 1 x 2 + x + 1 = lim x → ∞ ⁡ x 3 1 + 1 x 2 + 1 x 3 x 2 1 + 1 x + 1 x 2

Dividiremos os graus de cima e de baixo que foram evidenciados:

lim x → ∞ ⁡ x 3 1 + 1 x 2 + 1 x 3 x 2 1 + 1 x + 1 x 2 = lim x → ∞ ⁡ x 1 + 1 x 2 + 1 x 3 1 + 1 x + 1 x 2

Depois da divisão, todos os termos com x no denominador vão parar 0 e sobrarão apenas constantes e o grau de x que concluímos:

lim x → ∞ ⁡ x 1 + 1 x 2 + 1 x 3 1 + 1 x + 1 x 2 = lim x → ∞ ⁡ x lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x 2 + 1 x 3 1 + 1 x + 1 x 2

= ∞ 1 + 0 + 0 1 + 0 + 0 = ∞

Quando há raiz

lim x → - ∞ ⁡ x + 1 4 x 2 + 8 x

Quando temos raiz, vamos deixar os termos de maior grau em evidência e tirar o que podemos da raiz:

lim x → - ∞ ⁡ x + 1   4 x 2 + 8 x = lim x → - ∞ ⁡ x 1 + 1 x x 2 4 + 8 x = lim x → - ∞ ⁡ x 1 + 1 x | x | 4 + 8 x

Como temos uma raiz par, o termo sai com um módulo. Muita atenção aqui, pois isso pode mudar o sinal do limite! Veja que x está indo para menos infinito, um número negativo, logo x = - x :

lim x → - ∞ ⁡ x 1 + 1 x | x | 4 + 8 x = lim x → - ∞ ⁡ x 1 + 1 x - x 4 + 8 x = lim x → - ∞ ⁡ 1 + 1 x - 4 + 8 x = - 1 2

Dica importantíssima:

Em questões desse tipo é bom se guiar em quem tem o maior grau, comparando numerador e denominador; se o grau de cima for maior a função irá para ± ∞ , se for o mesmo vai para uma constante, se o de baixo for maior vai a zero.

Quociente de Funções Exponenciais

Cara, como vamos resolver esse aqui

lim x → ∞ ⁡ 3 x - 2 x 4 x + 5

Então, a gente vai ter algo parecido com ∞ / ∞ !

Qual foi a boa que eu te ensinei? Colocar o termo de maior grau em evidência em cima e embaixo né? Aqui é parecido, mas não é o expoente que você vai olhar afinal é tudo x . Você vai olhar para a base de cada função!

No numerador a maior base é 3 e no denominador é 4 , então vamos colocar esses caras em evidência desse jeito:

lim x → ∞ ⁡ 3 x - 2 x 4 x + 5 = lim x → ∞ ⁡ 3 x 3 x 3 x - 2 x 3 x 4 x 4 x 4 x + 5 4 x = lim x → ∞ ⁡ 3 x 1 - 2 3 x 4 x 1 + 5 1 4 x

Juntamos o termo em evidência de cima com o de baixo!

lim x → ∞ ⁡ 3 x 1 - 2 3 x 4 x 1 + 5 1 4 x = lim x → ∞ ⁡ 3 x 4 x 1 - 2 3 x 1 + 5 1 4 x = lim x → ∞ ⁡ 3 4 x 1 - 2 3 x 1 + 5 1 4 x

Zeramos as exponenciais de base menor que 1:

lim x → ∞ ⁡ 3 4 x 1 - 2 3 x 1 + 5 1 4 x = 0 1 - 0 1 + 5 0 = 0

É isso pessoal! Vamos para os exercícios.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Determine o limite abaixo

lim x → ∞ ⁡ x 3 - x 2 + x - 1 x 2 + 2 x + 5 + x 5 + 3 x 2 - x 2 x 5 - 4 x 3 + 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Substituindo, temos uma indeterminação:

lim x → ∞ ⁡ x 3 - x 2 + x - 1 x 2 + 2 x + 5 + x 5 + 3 x 2 - x 2 x 5 - 4 x 3 + 1 = ∞ ∞ + ∞ ∞

Vamos resolvê-las separadamente.

Passo 2

Para a primeira fração, o maior grau de cima é 3 e de baixo é 2 . Colocando-os em evidência fica assim:

lim x → ∞ ⁡ x 3 - x 2 + x - 1 x 2 + 2 x + 5 = lim x → ∞ ⁡ x 3 1 - 1 x + 1 x 2 - 1 x 3 x 2 1 + 2 x + 5 x 2

= lim x → ∞ ⁡ ( x ) 1 - 1 x + 1 x 2 - 1 x 3 1 + 2 x + 5 x 2

Então, os termos com x no denominador zeram. Com x no numerador, explodem para infinito. Dessa maneira, ficamos assim:

lim x → ∞ ⁡ x 1 - 1 x + 1 x 2 - 1 x 3 1 + 2 x + 5 x 2 = ∞ 1 - 0 + 0 - 0 1 + 0 + 0

Vemos, portanto, que este cara explode para ,

lim x → ∞ ⁡ x 3 - x 2 + x - 1 x 2 + 2 x + 5 = ∞

Passo 3

Para o outro quociente, o maior grau é 5 , tanto no numerador quanto no denominador. Colocando-os em evidência fica assim:

lim x → ∞ ⁡ x 5 + 3 x 2 - x 2 x 5 - 4 x 3 + 1 = lim x → ∞ ⁡ x 5 1 + 3 x 3 - 1 x 4 x 5 2 - 4 x 2 + 1 x 5

= lim x → ∞ ⁡ 1 + 3 x 3 - 1 x 4 2 - 4 x 2 + 1 x 5

Então, os termos com x no denominador zeram. Dessa maneira, ficamos assim:

lim x → ∞ ⁡ 1 + 3 x 3 - 1 x 4 2 - 4 x 2 + 1 x 5 = 1 + 0 - 0 2 - 0 + 0

Passo 4

O primeiro cara explode para e o outro converge para 1 2 . Então,

lim x → ∞ ⁡ x 3 - x 2 + x - 1 x 2 + 2 x + 5 + x 5 + 3 x 2 - x 2 x 5 - 4 x 3 + 1 = ∞

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x 3 - x 2 + x - 1 x 2 + 2 x + 5 + x 5 + 3 x 2 - x 2 x 5 - 4 x 3 + 1 = ∞

Exercício Resolvido #2

George B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, 108 - 65

Calcule o limite:

lim x → ∞ ⁡ 2 x 5 3 - x 1 3 + 7 x 8 5 + 3 x + x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Substituindo, nós caímos em indeterminação:

lim x → ∞ ⁡ 2 x 5 3 - x 1 3 + 7 x 8 5 + 3 x + x = ∞ ∞

Passo 2

Para essa fração, o maior grau de cima é 5 3 e de baixo é 8 5 . Colocando-os em evidência fica (dica: colocando o termo em evidência em relação a outras potências de x basta subtrair o grau que se quer tirar, 5 3 ou 8 5 ):

lim x → ∞ ⁡ 2 x 5 3 - x 1 3 + 7 x 8 5 + 3 x + x = lim x → ∞ ⁡ x 5 3 2 - x - 4 3 + 7 x - 5 3 x 8 5 1 + 3 x - 3 5 + x - 11 10

= lim x → ∞ ⁡ x 5 3 2 - 1 x 4 3 + 7 x 5 3 x 8 5 1 + 3 x 3 5 + 1 x 11 10

Temos que juntar essa potência de x em evidência em cima com a de baixo.

x 5 3 x 8 5 = x 5 3 - 8 5 = x 25 - 24 15 = x 1 15

Passo 3

Então, os termos com x no denominador zeram. Já esse x 1 15 no numerador explodirá para infinito. Dessa maneira, ficamos assim:

lim x → ∞ ⁡ x 1 15 2 - 1 x 4 3 + 7 x 5 3 1 + 3 x 3 5 + 1 x 11 10 = ∞ 2 - 0 + 0 1 + 0 + 0

= ∞

Resposta

lim x → ∞ ⁡ 2 x 5 3 - x 1 3 + 7 x 8 5 + 3 x + x = ∞

Exercício Resolvido #3

CEFET - Cálculo 1 - P1 Roberto Sá 2012.2 - 1_c

Determine ou calcule os limites abaixo:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 + 2 x - 1 3 x 2 + x + 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Se começamos substituindo o valor do limite, encontraremos problema, vai ficar infinito sobre infinito:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 + 2 x - 1 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞

Passo 2

A saída melhor para essa situação é, reparando que o x de maior grau da função de cima é x 3 3 = x 1 e o de baixo é x 2 = x , botar a maior potência de x de cima e de baixo para fora. Lembrando, que ao tirar em evidência o x de uma raiz par (raiz quadrada, quarta, sexta, e assim por diante) temos que coloca-lo em módulo:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 + 2 x - 1 3 x 2 + x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x 3 1 + 2 x 2 - 1 x 3 3 x 2 1 + 1 x + 1 x 2

= lim x → + ∞ ⁡ ( x ) 1 + 2 x 2 - 1 x 3 3 x 1 + 1 x + 1 x 2

Passo 3

Nesse caso, temos x = x , pois trabalhamos com x tendendo a um valor positivo. Substituindo isso e que todos os termos com x no denominador irão zerar quando x → ∞ , teremos,

lim x → + ∞ ⁡ ( x ) 1 + 2 x 2 - 1 x 3 3 x 1 + 1 x + 1 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ 1 + 2 x 2 - 1 x 3 3 1 + 1 x + 1 x 2

= 1 + 0 - 0 3 1 + 0 + 0 = 1 3 1

= 1

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x 3 + 2 x - 1 3 x 2 + x + 1 = 1

Exercício Resolvido #4

UFF, Cálculo IA-Lista 5, GMA, 2008-1, Questão 3.

Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x → ∞ ⁡ x + x 2 x + 4  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Substituímos de início:

lim x → + ∞ ⁡ x + x 2 x + 4   = ∞ ∞

Passo 2

Para esse cara, notamos que o maior grau é o mesmo em cima e embaixo, é esse x dentro da raiz quadrada, ou seja, grau 1 1 2 = 1 2 . Botando em evidência vamos ter:

lim x → + ∞ ⁡ x + x 2 x + 4   = lim x → + ∞ ⁡ x 1 + 1 x 2 x 1 + 4 x   = lim x → + ∞ ⁡ x 1 + 1 x 2 x 1 + 4 x   = lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 x 2 1 + 4 x

Passo 3

Termos com potência de x no denominador zeram quando aplicamos esse limite, portanto:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 x 2 1 + 1 x = 1 + 0 2 1 + 0 = 1 2 1

= 1 2

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x + x 2 x + 4   = 1 2

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → + ∞ ⁡ x + 1 x + 2 … x + 8 x 2 + 1 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Em primeiro lugar, ao substituir vamos ter uma indeterminação ( ∞ / ∞ ) . Nenhuma novidade até aí:

lim x → + ∞ ⁡ x + 1 x + 2 … x + 8 x 2 + 1 4 = ∞ ∞

Passo 2

Bom, repara com a gente, pela progressão do numerador, teríamos ali oito termos com x + n , em que n vai de 1 até 8 .

Embaixo, temos um polinômio de grau 8 , já que temos um x 2 4 = x 8 .

Bom, se por um padrão colocarmos todos os x ' s de cima em evidência, quantos seriam?

lim x → + ∞ ⁡ x + 1 x + 2 … x + 8 x 2 + 1 4 = lim x → + ∞ ⁡ x 1 + 1 x x 1 + 2 x … x 1 + 8 x x 2 1 + 1 x 2 4

Um para cada termo multiplicando, ou seja, 8 termos x ! Lembrando, embaixo temos x 8 .

Passo 3

Rapaz, colocando cada x reunido, você concorda que teríamos um x para cada termo x + n ? Bom, com isso teríamos 8 vezes ali aparecendo o x no numerador!

lim x → + ∞ ⁡ x 1 + 1 x x 1 + 2 x … x 1 + 8 x x 2 1 + 1 x 2 4 = lim x → + ∞ ⁡ x 8 1 + 1 x 1 + 2 x … 1 + 8 x x 8 1 + 1 x 2 4

= lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 x 1 + 2 x … 1 + 8 x 1 + 1 x 2 4

Zeramos tudo com potência de x no denominador. Com isso:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 x 1 + 2 x … 1 + 8 x 1 + 1 x 2 4 = 1 + 0 1 + 0 … 1 + 0 1 + 0 4 = 1 1 … 1 1 4

= 1

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x + 1 x + 2 … x + 8 x 2 + 1 4 = 1

Exercício Resolvido #6

PUC-RJ – Cálculo 1 – P1 2015.1 – 3.b1

Determine lim n → ∞ ⁡ a n - 3 a n - 2 2 onde a n = n + 2 2 n + 1 n + 3 n + 4 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para simplificar o trabalho de calcular lim n → ∞ ⁡ a n - 3 a n - 2 2 podemos primeiramente calcular o valor de lim n → ∞ ⁡ a n = C e depois calcular

lim a n → C ⁡ a n - 3 a n - 2 2

Já que o único termo em função de n no limite é o próprio a n .

Passo 2

Calculando:

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ n + 2 2 n + 1 n + 3 n + 4 = ∞ ∞

Botamos em evidência os graus dos polinômios de cima e de baixo:

= lim n → ∞ ⁡ n 2 1 + 2 n 2 + 1 n n 2 1 + 3 n 1 + 4 n

= lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n 2 + 1 n 1 + 3 n 1 + 4 n

Agora é só substituir,

= 1 + 0 2 + 0 1 + 0 1 + 0

= 1 2 1 1

= 2

Passo 3

Agora basta calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n - 3 a n - 2 2

= lim a n → 2 ⁡ a n - 3 a n - 2 2

E se eu mudar esse a n aí para x ? Olha a cara que vai ficar

lim x → 2 ⁡ x - 3 x - 2 2 = - 1 0

Rapaz, o denominador zera e o numerador vai para - 1 . Acontece que se observarmos lateralmente perceberemos que, como o denominador tem uma potência quadrada (no caso, 2 ) ele se aproximará por valores positivos pelos dois lados. Multiplicado ao - 1 , ele explodirá para - ∞ . Logo, o limite não existirá, enfim.

lim n → ∞ ⁡ a n - 3 a n - 2 2 = - ∞

Resposta

lim n → ∞ ⁡ a n - 3 a n - 2 2 = - ∞

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