Teorema do Confronto

Teoria Completa

Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche)

Então, temos mais um limite para você:

lim x → + ∞ ⁡ sen ⁡ x x  

Como que se calcula isso? Para tal, pense num sandubão maneiro. O recheio tem que estar sempre entre um pão e outro, certo? Assim, quanto mais próximo um pão do outro, menor a quantidade recheio entre eles.

Vamos botar matemática no meio para não dar muita fome e deixar isso mais claro. Imagine, então, que você quer calcular o limite de h ( x ) (será nosso recheio) para x → a e você sabe que:

f x ≤ h x ≤ g x

Ou seja, h x está entre f x e g x (os pães). Agora, você poderia jogar o limite em tudo, assim:

lim x → a ⁡ f x ≤ lim x → a ⁡ h x ≤ lim x → a ⁡ g x

Se, por acaso, tivermos que:

lim x → a ⁡ f x = lim x → a ⁡ g x = L

Então,

lim x → a ⁡ h x = L

Pois h x está entre as duas outras funções. Esse teorema é muito útil principalmente quando trabalhamos com seno e cosseno e eles não existem no limite, como é o caso do primeiro exemplo.

Agora, vamos tentar resolvê-lo. Você sabe que o seno é limitado, por definição, da seguinte maneira:

- 1 ≤ sen ⁡ x ≤ 1

Isso vale para qualquer valor de x . Se multiplicarmos por 1 / x e aplicarmos o limite ficaria assim::

- 1 x ≤ sen ⁡ x x ≤ 1 x ⟹ lim x → + ∞ ⁡ - 1 x ≤ l i m x → + ∞ sen ⁡ x x ≤ lim x → + ∞ ⁡ 1 x

0 ≤ l i m x → + ∞ sen ⁡ x x ≤ 0

Com isso, segue que:

lim x → + ∞ ⁡ sen ⁡ x x = 0

Teorema do confronto sem trigonométricas

Nem sempre o teorema do confronto aparece com funções trigonométricas, como em:

lim x → ∞ ⁡ f x x

Se f x é limitada entre esses valores :

2 ≤ f x ≤ 5

Então:

lim x → ∞ ⁡ 2 x ≤ lim x → ∞ ⁡ f x x ≤ lim x → ∞ ⁡ 5 x ⟹ 0 ≤ lim x → ∞ ⁡ f x x ≤ 0

Logo, pelo teorema do confronto:

lim x → ∞ ⁡ f x x = 0

Então a dica é: Veja se há alguma função no limite que está limitada, aplique as inequações e manipule até chegar no limite desejado.

Vamos fixar? Vem para os exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

UERJ – Cálculo 1 – Lista de Limites do Professor Roger - 7

Calcule o limite:

lim x → 0 ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x 1 3  

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Passo 1

Substituindo esse cara, olha como fica:

lim x → 0 ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x 1 3   = 0 2 sen ⁡ 1 0 = 0 sen ⁡ ∞

Não sei para onde vai esse seno de infinito... Parceiro, não tem o que inventar: É Teorema do Sanduíche e acabou.

Passo 2

Como eu sei que o seno necessariamente está no intervalo [ - 1 ; 1 ] , ou seja:

- 1 ≤ sen ⁡ 1 x 1 3 ≤ 1

Então eu digo isso:

lim x → 0 ⁡ x 2 ( - 1 ) ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x 1 3 ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 ( 1 )

E se você substituir o x nesses dois limites da ponta, veja lá:

lim x → 0 ⁡ x 2 ( - 1 ) = lim x → 0 ⁡ x 2 ( 1 ) = 0

Mesmo resultado. Assim, pelo Teorema, chegamos num resultado:

lim x → 0 ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x 1 3 = 0

Resposta

lim x → 0 ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x 1 3 = 0

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Resolva o limite:

lim x → + ∞ ⁡ sen ⁡ x 2 + ln ⁡ 5 x x + 2 x - 4

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Passo 1

Meu amigo, o limite parece um monstro. Quando você vir um ln ⁡ x dentro de um sen ⁡ x cheio de polinômio em volta, certamente vai dar um arrepio na nuca e um calafrio no corpo, por que isso não é coisa de gente sã.

Mas calma, para fugir dessa você só precisa de um pouco de malandragem!

Vamos ver, usando umas propriedades dos limites, podemos chegar aqui:

lim x → + ∞ ⁡ sen ⁡ x 2 + ln ⁡ 5 x x + 2 x - 4 =   sen ⁡ lim x → ∞ ⁡ x 2 + ln ⁡ 5 lim x → ∞ ⁡ x lim x → ∞ ⁡ x + 2 lim x → ∞ ⁡ x - 4

A criatura tá ficando maior ainda! Espera, vamos analisar para onde iria cada pedaço da função e aí pensar no limite do todo, certo? NÃO! Não precisa analisar mais nada dentro do sen ⁡ x se eu estiver levando o argumento do seno para o + ∞ . Esse é total indicador de que devo usar o Teorema do Confronto!

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + ln ⁡ 5 x x + 2 → ∞     ;     lim x → + ∞ ⁡ sen ⁡ x 2 + ln ⁡ 5 x x + 2

Passo 2

Se todo sen ⁡ x está sempre entre - 1 e 1 , posso dizer que:

- 1 ≤ sen ⁡ x ≤ 1

- 1 ≤ sen ⁡ x 2 + ln ⁡ 5 x x + 2 ≤ 1

Dividindo tudo por ( x - 4 ) :

- 1 x - 4 ≤ sen ⁡ x 2 + ln ⁡ 5 x x + 2 x - 4 ≤ 1 x - 4

Analisando ao mesmo tempo os limites de - 1 / ( x - 4 ) e de 1 / ( x - 4 ) , teríamos isso aqui:

lim x → + ∞ ⁡ - 1 x - 4 = lim x → + ∞ ⁡ 1 x - 4 = 0

Sabendo que se os limites das bordas forem iguais esse limite é o mesmo da função central, eu mato o monstro de 7 cabeças:

lim x → + ∞ ⁡ sen ⁡ x 2 + ln ⁡ 5 x x + 2 x - 4 = 0

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ sen ⁡ x 2 + ln ⁡ 5 x x + 2 x - 4 = 0

Exercício Resolvido #3

CEFET-RJ – Cálculo à uma Variável – P1 2014.2 Professor Romulo – 1a

Use as propriedades de limite para calcular

lim x → + ∞ ⁡ x 3 x + sen ⁡ x 2 x 2 - 5 x sen ⁡ x + 1

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Passo 1

Substituindo o limite dá problema:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 x + sen ⁡ x 2 x 2 - 5 x sen ⁡ x + 1 = ∞ ∞

Com o detalhe de termos senos de infinito, um indício de Teorema do Confronto!

Passo 2

Vou começar da seguinte forma: coloco em evidência em cima e embaixo um x 2 , que é o maior grau de polinômio que eu vejo ali. Arranco ele daí, acompanha aqui:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 x + sen ⁡ x 2 x 2 - 5 x sen ⁡ x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 3 + sen ⁡ x x x 2 2 - 5 sen ⁡ x x + 1 x 2

= lim x → + ∞ ⁡ 3 + sen ⁡ x x 2 - 5 sen ⁡ x x + 1 x 2

Tranquilo até aí, né?

Passo 3

Repara no seguinte, indo para o infinito nós já temos um termo que desaparece. É o 1 / x 2 , certo? Beleza, qual é a única coisa com a qual eu devo me preocupar agora? Esse negócio estranho aí de seno sobre x :

sen ⁡ x x

Você pode não ter reparado ainda, mas esse é o caso mais clássico de Teorema do Confronto! Aliás, na nossa Teoria tem uma explicação detalhada justamente desse limite, e você verá que ele vai para zero, já que temos um x crescendo muito e um seno limitado entre - 1 e 1 .

lim x → + ∞ ⁡ sen ⁡ x x = 0

Dessa forma, todos os termos com formato de função ali vão desaparecer, já que só temos dois desse limite, duas constantes e um termo com x no denominador, que vai zerar quando x → ∞ . Se eu olhar para o que sobra vou matar o limite:

lim x → + ∞ ⁡ 3 + sen ⁡ x x 2 - 5 sen ⁡ x x + 1 x 2 = 3 2

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x 3 x + sen ⁡ x 2 x 2 - 5 x sen ⁡ x + 1 = 3 2

Exercício Resolvido #4

UFRJ - Cálculo 1 - P1 2012.2 - 1b

Considere uma função y = f x satisfazendo

f x - 7 x 2 + 5 x x + 2 x 2 + 16 ≤ 1 x 2

Para todo x ≠ 0 . Calcule, para essa função,

lim x → - ∞ ⁡ f x   e   lim x → + ∞ ⁡ f x

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Passo 1

Essa relação que foi dada pode ser escrita como

- 1 x 2 ≤ f x - 7 x 2 + 5 x x + 2 x 2 + 16 ≤ 1 x 2

Vamos começar encontrando

lim x → + ∞ ⁡ f x

Como

lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 = 0

Teremos, pelo teorema do sanduíche,

lim x → + ∞ ⁡ f x - 7 x 2 + 5 x x + 2 x 2 + 16 = 0

Passo 2

Pelas propriedades de limite

lim x → + ∞ ⁡ f x - 7 x 2 + 5 x x + 2 x 2 + 16 = lim x → + ∞ ⁡ f x - lim x → + ∞ ⁡ 7 x 2 + 5 x x + 2 x 2 + 16 = 0

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ 7 x 2 + 5 x x + 2 x 2 + 16

Como estamos fazendo x → + ∞

x = x

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ 7 x 2 + 5 x 2 + 2 x 2 + 16 = lim x → + ∞ ⁡ 12 x 2 + 2 x 2 + 16

Passo 3

Vamos agora calcular

lim x → + ∞ ⁡ 12 x 2 + 2 x 2 + 16

Como, neste caso, o x está tendendo ao infinito, podemos nos utilizar da técnica de colocar a maior potência de x em evidência em cima e embaixo, tanto no denominador quanto no numerador:

lim x → + ∞ ⁡ 12 x 2 + 2 x 2 + 16 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 12 + 2 / x 2 x 2 1 + 16 / x 2

lim x → + ∞ ⁡ x 2 12 + 2 / x 2 x 2 1 + 16 / x 2 = lim x → + ∞ ⁡ 12 + 2 / x 2 1 + 16 / x 2

Pelas propriedades de limite

lim x → + ∞ ⁡ 12 + 2 / x 2 1 + 16 / x 2 = 12 + lim x → + ∞ ⁡ 2 / x 2 1 + lim x → + ∞ ⁡ 16 / x 2

12 + lim x ��� + ∞ ⁡ 2 / x 2 1 + lim x → + ∞ ⁡ 16 / x 2 = 12 + 0 1 + 0 = 12

Com isso,

lim x → + ∞ ⁡ f x = 12

Passo 4

Vamos agora calcular

lim x → - ∞ ⁡ f x

Como

lim x → - ∞ ⁡ 1 x 2 = 0

As contas vão ser iguais a do limite que calculamos ali em cima, só tendo uma pequena diferença, como estamos fazendo x → - ∞

x = - x

Vamos ter então

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ 7 x 2 - 5 x 2 + 2 x 2 + 16 = lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 + 16

Passo 5

Vamos agora calcular

lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 + 16

Como, neste caso, o x está tendendo ao infinito, podemos nos utilizar de uma técnica que consiste de colocar a maior potência de x em evidência, tanto no denominador quanto no numerador:

lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 + 16 = lim x → - ∞ ⁡ x 2 2 + 2 / x 2 x 2 1 + 16 / x 2

lim x → - ∞ ⁡ x 2 2 + 2 / x 2 x 2 1 + 16 / x 2 = lim x → - ∞ ⁡ 2 + 2 / x 2 1 + 16 / x 2

Pelas propriedades de limite

lim x → - ∞ ⁡ 2 + 2 / x 2 1 + 16 / x 2 = 2 + lim x → - ∞ ⁡ 2 / x 2 1 + lim x → - ∞ ⁡ 16 / x 2

2 + lim x → - ∞ ⁡ 2 / x 2 1 + lim x → - ∞ ⁡ 16 / x 2 = 2 + 0 1 + 0 = 2

Portanto,

lim x → - ∞ ⁡ f x = 2

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ f x = 2

lim x → + ∞ ⁡ f x = 12

Exercício Resolvido #5

UFF, Cálculo IA-Lista 5, GMA, 2008-1, Questão 15.

Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x → 0 + ⁡ c o s 1 x s e n x + 1 - 1 x  

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Passo 1

Começo substituindo o valor do limite:

lim x → 0 + ⁡ c o s 1 x s e n x + 1 - 1 x   = cos ⁡ ∞ sen ⁡ 0 0

Acontece que não sabemos como convergirá esse cosseno aí. Mas um problema de cada vez, primeiro vamos olhar para o termo dentro do seno e tentar definir para onde ele converge:

lim x → 0 + ⁡ x + 1 - 1 x = 0 0

Passo 2

Para resolver esse cara a melhor saída é multiplicar pelo conjugado do cara de cima e cortar com o de baixo:

lim x → 0 + ⁡ x + 1 - 1 x = lim x → 0 + ⁡ x + 1 - 1 x x + 1 + 1 x + 1 + 1

= lim x → 0 + ⁡ x + 1 - 1 x x + 1 + 1 = lim x → 0 + ⁡ x x x + 1 + 1

Corta o x de cima com o x de baixo:

lim x → 0 + ⁡ x x x + 1 + 1 = lim x → 0 + ⁡ x x + 1 + 1

= 0 0 + 1 + 1 = 0

Conclusão,

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x + 1 - 1 x = sen ⁡ 0 = 0

Passo 3

Agora a ideia é observar que o cos ⁡ 1 x está delimitado entre - 1 e 1 , como todo cosseno.

- 1 ≤ cos ⁡ 1 x ≤ 1

Logo,

- lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x + 1 - 1 x ≤ lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x + 1 - 1 x cos ⁡ 1 x ≤ lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x + 1 - 1 x

Porém, como já vimos no primeiro passo,

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x + 1 - 1 x = 0

Então os limites da ponta vão zerar. Com isso, o limite central será:

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x + 1 - 1 x cos ⁡ 1 x = 0

Resposta

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x + 1 - 1 x cos ⁡ 1 x = 0

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