Teoria Completa
Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche)
Então, temos mais um limite para você:
Como que se calcula isso? Para tal, pense num sandubão maneiro. O recheio tem que estar sempre entre um pão e outro, certo? Assim, quanto mais próximo um pão do outro, menor a quantidade recheio entre eles.
Vamos botar matemática no meio para não dar muita fome e deixar isso mais claro. Imagine, então, que você quer calcular o limite de (será nosso recheio) para e você sabe que:
Ou seja, está entre e (os pães). Agora, você poderia jogar o limite em tudo, assim:
Se, por acaso, tivermos que:
Então,
Pois está entre as duas outras funções. Esse teorema é muito útil principalmente quando trabalhamos com seno e cosseno e eles não existem no limite, como é o caso do primeiro exemplo.
Agora, vamos tentar resolvê-lo. Você sabe que o seno é limitado, por definição, da seguinte maneira:
Isso vale para qualquer valor de . Se multiplicarmos por e aplicarmos o limite ficaria assim::
Com isso, segue que:
Teorema do confronto sem trigonométricas
Nem sempre o teorema do confronto aparece com funções trigonométricas, como em:
Se é limitada entre esses valores :
Então:
Logo, pelo teorema do confronto:
Então a dica é: Veja se há alguma função no limite que está limitada, aplique as inequações e manipule até chegar no limite desejado.
Vamos fixar? Vem para os exercícios!
Exercício Resolvido #1
Calcule o limite:
Passo 1
Substituindo esse cara, olha como fica:
Não sei para onde vai esse seno de infinito... Parceiro, não tem o que inventar: É Teorema do Sanduíche e acabou.
Passo 2
Como eu sei que o seno necessariamente está no intervalo , ou seja:
Então eu digo isso:
E se você substituir o nesses dois limites da ponta, veja lá:
Mesmo resultado. Assim, pelo Teorema, chegamos num resultado:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Resolva o limite:
Passo 1
Meu amigo, o limite parece um monstro. Quando você vir um dentro de um cheio de polinômio em volta, certamente vai dar um arrepio na nuca e um calafrio no corpo, por que isso não é coisa de gente sã.
Mas calma, para fugir dessa você só precisa de um pouco de malandragem!
Vamos ver, usando umas propriedades dos limites, podemos chegar aqui:
A criatura tá ficando maior ainda! Espera, vamos analisar para onde iria cada pedaço da função e aí pensar no limite do todo, certo? NÃO! Não precisa analisar mais nada dentro do se eu estiver levando o argumento do seno para o . Esse é total indicador de que devo usar o Teorema do Confronto!
Passo 2
Se todo está sempre entre e , posso dizer que:
Dividindo tudo por :
Analisando ao mesmo tempo os limites de e de , teríamos isso aqui:
Sabendo que se os limites das bordas forem iguais esse limite é o mesmo da função central, eu mato o monstro de 7 cabeças:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Use as propriedades de limite para calcular
Passo 1
Substituindo o limite dá problema:
Com o detalhe de termos senos de infinito, um indício de Teorema do Confronto!
Passo 2
Vou começar da seguinte forma: coloco em evidência em cima e embaixo um , que é o maior grau de polinômio que eu vejo ali. Arranco ele daí, acompanha aqui:
Tranquilo até aí, né?
Passo 3
Repara no seguinte, indo para o infinito nós já temos um termo que desaparece. É o , certo? Beleza, qual é a única coisa com a qual eu devo me preocupar agora? Esse negócio estranho aí de seno sobre :
Você pode não ter reparado ainda, mas esse é o caso mais clássico de Teorema do Confronto! Aliás, na nossa Teoria tem uma explicação detalhada justamente desse limite, e você verá que ele vai para zero, já que temos um crescendo muito e um seno limitado entre e .
Dessa forma, todos os termos com formato de função ali vão desaparecer, já que só temos dois desse limite, duas constantes e um termo com no denominador, que vai zerar quando . Se eu olhar para o que sobra vou matar o limite:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Considere uma função satisfazendo
Para todo . Calcule, para essa função,
Passo 1
Essa relação que foi dada pode ser escrita como
Vamos começar encontrando
Como
Teremos, pelo teorema do sanduíche,
Passo 2
Pelas propriedades de limite
Como estamos fazendo
Passo 3
Vamos agora calcular
Como, neste caso, o está tendendo ao infinito, podemos nos utilizar da técnica de colocar a maior potência de em evidência em cima e embaixo, tanto no denominador quanto no numerador:
Pelas propriedades de limite
Com isso,
Passo 4
Vamos agora calcular
Como
As contas vão ser iguais a do limite que calculamos ali em cima, só tendo uma pequena diferença, como estamos fazendo
Vamos ter então
Passo 5
Vamos agora calcular
Como, neste caso, o está tendendo ao infinito, podemos nos utilizar de uma técnica que consiste de colocar a maior potência de em evidência, tanto no denominador quanto no numerador:
Pelas propriedades de limite
Portanto,
Resposta
Exercício Resolvido #5
Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.
Passo 1
Começo substituindo o valor do limite:
Acontece que não sabemos como convergirá esse cosseno aí. Mas um problema de cada vez, primeiro vamos olhar para o termo dentro do seno e tentar definir para onde ele converge:
Passo 2
Para resolver esse cara a melhor saída é multiplicar pelo conjugado do cara de cima e cortar com o de baixo:
Corta o de cima com o de baixo:
Conclusão,
Passo 3
Agora a ideia é observar que o está delimitado entre e , como todo cosseno.
Logo,
Porém, como já vimos no primeiro passo,
Então os limites da ponta vão zerar. Com isso, o limite central será: