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2 – 20. Diferencie a função.15. f u = ln ⁡ u 1 + ln ⁡ 2 u

Passo 1

A primeira coisa de devemos fazer, para derivar essa função, é usar a regra da razão:

f ' u = d d u ln ⁡ u ⋅ 1 + ln ⁡ 2 u - d d u 1 + ln ⁡ 2 u ⋅ ln ⁡ u 1 + ln ⁡ 2 u 2

Temoa que resolver as dusa derivadas que apareceram no numerador:

A primeira é a derivada do ln ⁡ u que, como visto nesse capitulo, é igual a 1 / u :

d d u ln ⁡ u = 1 u

Já a segunda é

d d u 1 + ln ⁡ 2 u = d d u 1 + d d u ln ⁡ 2 u

d d u 1 + ln ⁡ 2 u = d d u ln ⁡ 2 u

Para resolver essa derivada devemos usar a regra da cadeia, ela diz que a derivada de uma função composta vai ser a derivada da função de fora, vezes a derivada da função de dentro:

d d u ln ⁡ 2 u = ln ⁡ 2 u ' ⋅ d d u 2 u

Como vimos antes, a derivada do logaritimo natural é:

d d u ln ⁡ 2 u = 1 2 u ⋅ 2

d d u ln ⁡ 2 u = 1 u

Agora vamos substituir essas derivadas na função:

f ' u = 1 u ⋅ 1 + ln ⁡ 2 u - 1 u ⋅ ln ⁡ u 1 + ln ⁡ 2 u 2

Simplificando:

f ' u = 1 + ln ⁡ 2 u - ln ⁡ u u ⋅ 1 + ln ⁡ 2 u 2

Usando uma das propriedades dos logaritimos que fiz:

log ⁡ a b = log ⁡ a + log ⁡ b

Podemos reescrever a função:

f ' u = 1 + ln ⁡ 2 + ln ⁡ u - ln ⁡ u u ⋅ 1 + ln ⁡ 2 u 2

Então a derivada de nossa função fica:

f ' u = 1 + ln ⁡ 2 u ⋅ 1 + ln ⁡ 2 u 2

Resposta

f ' u = 1 + ln ⁡ 2 u ⋅ 1 + ln ⁡ 2 u 2

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