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∫ x 2 + x + 2 x 2 - 1 d x

Passo 1

Primeiro vamos dividir o numerador pelo denominador para achar uma função com o denominador com o grau maior que o do numerador.

∫ 1 + x + 3 x 2 - 1 d x

Logo

∫ 1 d x + ∫ x + 3 x 2 - 1 d x

Vemos que as raízes do denominador são 1 e -1 , logo podemos reescrever a equação de forma mais fácil para resolver o problema.

∫ x + 3 ( x - 1 ) ( x + 1 ) d x

Para x diferente de 1 e -1.

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

x + 3 ( x - 1 ) ( x + 1 ) = A ( x - 1 ) + B ( x + 1 )

Isolando x + 3 , vamos achar

x + 3 = A x + 2 + B ( x - 2 )

Vemos que agora os valores 1 e -1 fazem parte do domínio. Substituindo esses valores na equação acima vamos achar os valores de A e B.

A = - 1 ;                     B = 2

Agora substituindo os valores de A e B, temos:

x + 3 ( x - 1 ) ( x + 1 ) = - 1 ( x - 1 ) + 2 ( x + 1 )

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

∫ x + 3 ( x - 1 ) ( x + 1 ) d x = ∫ 1 ( x - 1 ) d x - ∫ 2 ( x + 1 ) d x

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

∫ x + 3 ( x - 1 ) ( x + 1 ) d x = - ln ⁡ x + 1 + 2 l n ⁡ | x - 1 |

Resposta

∫ 1 d x + ∫ x + 3 x 2 - 1 d x = x - ln ⁡ x + 1 + 2 ln ⁡ x - 1 + c

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