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∫ 5 x 2 - 11 x + 5 x 3 - 4 x 2 + 5 x - 2 d x

Passo 1

Primeiro vamos arranjar a equação de forma mais conveniente para resolver as frações parcias. Esse passo é feito manipulando as funções, fazendo que ela fique de forma mais agradável para gente, geralmente usamos as raízes para reescrever as equações.

∫ 5 x 2 - 11 x + 5 ( x - 1 ) 2 ( x - 2 ) d x

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

5 x 2 - 11 x + 5 ( x - 1 ) 2 ( x - 2 ) = A ( x - 1 ) 2 + B ( x - 1 ) + C ( x - 2 )

Isolando   5 x 2 - 11 x + 5 , vamos achar

5 x 2 - 11 x + 5 = A x - 2 + B ( x - 1 ) ( x - 2 ) + C ( x - 1 ) 2

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = 5 ;                     B = 4 ;                   C = 1

Agora substituindo os valores de A, B e C, temos:

5 x 2 - 11 x + 5 ( x - 1 ) 2 ( x - 2 ) = 5 ( x - 1 ) 2 + 4 ( x - 1 ) + 1 ( x - 2 )

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

∫ 5 x 2 - 11 x + 5 ( x - 1 ) 2 ( x - 2 ) d x = ∫ 5 ( x - 1 ) 2 d x + ∫ 4 ( x - 1 ) d x + ∫ 1 ( x - 2 ) d x

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

∫ 5 x 2 - 11 x + 5 ( x - 1 ) 2 ( x - 2 ) d x = 1 / ( 1   -   x )   +   3   l n ⁡ | - 2   +   x |   +   2   l n ⁡ | - 1   +   x |

Resposta

∫ 5 x 2 - 11 x + 5 x 3 - 4 x 2 + 5 x - 2 d x = 1 / ( 1   -   x )   +   3   l n ⁡ | - 2   +   x |   +   2   l n ⁡ | - 1   +   x | + c

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Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →