Enunciado

3. Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no exemplo 7 ). Não determine os valores numéricos dos coeficientes .

a) ∫ 1 x 2 + x 4   d x

b) ∫ x 3 + 1 x 3 - 3 x 2 + 2 x   d x  

Passo 1

Fala aí! como vai? 😁

Nesse problema temos que decompor as funções de integração em frações parciais...

∫ 1 x 2 + x 4   d x ,     ∫ x 3 + 1 x 3 - 3 x 2 + 2 x   d x  

Lembra como fazemos isso? 😬

Quando temos uma integral cuja função de integração seja uma fração de dois polinômios, podemos tentar decompor a função de integração em frações parciais.

Essa técnica nos ajuda a simplificar a função de integração e consequentemente os nossos cálculos da integral...

Veja só! 😉

Passo 2

Primeiro vamos ver a letra (a), podemos isolar o x ² no denominador, desse jeitinho ó:

∫ 1 x 2 + x 4   d x = ∫ 1 x 2 1 + x 2   d x

Então quer dizer que temos dois polinômios, x ² e 1 + x 2 .

Para x ² , temos que a função x se repete duas vezes, isto é, x 2 = x . x . Logo, a decomposição dessa função será:

∆ x 2 = A x + B x 2

E para ( 1 + x 2 ) , temos uma função sem raízes reais, e de acordo com a propriedade, temos que sua decomposição será:

∆ 1 + x 2 = C x + D 1 + x 2

Portanto a decomposição por frações parciais fica assim:

∫ 1 x 2 + x 4   d x = A x + B x 2 + C x + D 1 + x 2

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Belezoca, agora para a letra (b), temos a seguinte função:

∫ x 3 + 1 x 3 - 3 x 2 + 2 x   d x  

Colocando o x em evidência e fatorando a equação do segundo grau, ficaríamos assim:

∫ x 3 + 1 x 3 - 3 x 2 + 2 x   d x   = ∫ x 3 + 1 x x 2 - 3 x   + 2   d x = ∫ x 3 + 1 x x - 1 x - 2   d x

No numerador temos um polinômio de grau 3 e em baixo também.

Podemos reescrever da seguinte maneira

x 3 + 1 x x - 1 x - 2 = x 3 x x - 1 x - 2 + 1 x x - 1 x - 2

x 3 + 1 x x - 1 x - 2 = x 2 x - 1 x - 2 + 1 x x - 1 x - 2

Isso seria a solução se não fosse esse termo que tem uma função do segundo grau no numerado e outra do segundo grau no denominador.

Temos que trabalhar nele um pouquinho. Tem algumas formas de fazer isso.

A que eu vou fazer vai ser somar e subtrair 1 no numerador para aparecer o termo x 2 - 1 assim

x 2 x - 1 x - 2 = x 2 - 1 + 1 x - 1 x - 2 = x 2 - 1 x - 1 x - 2 + 1 x - 1 x - 2

Aí podemos usar a diferença de quadrados x 2 - 1 = x + 1 x - 1

x 2 x - 1 x - 2 = x - 1 x + 1 x - 1 x - 2 + 1 x - 1 x - 2

x 2 x - 1 x - 2 = x + 1 x - 2 + 1 x - 1 x - 2

Assim a nossa fração original fica

x 3 + 1 x x - 1 x - 2 = x + 1 x - 2 + 1 x - 1 x - 2 + 1 x x - 1 x - 2

Bacana, não é? 😎

Passo 4

Agora sobrou um polinômio do primeiro grau no numerador e outro no denominador.

Vamos fazer mais um truquezinho. Vamos fazer aparecer x - 2 no numerador! Pra isso vamos somar e subtrair 2 no numerador!

x + 1 x - 2 = x - 2 + 1 + 2 x - 2 = x - 2 x - 2 + 3 x - 2

x + 1 x - 2 = 1 + 3 x - 2

Show! Agora a nossa fração fica assim

x 3 + 1 x x - 1 x - 2 = 1 + 3 x - 2 + 1 x - 1 x - 2 + 1 x x - 1 x - 2

Aí sim podemos escrever em termos de frações parciais! O primeiro e o segundo termo já estão direitinhos! O terceiro termo fica

1 x - 1 x - 2 = A x - 1 + B x - 2

O quarto fica

1 x x - 1 x - 2 = C x + D x - 1 + E x - 2

Finalmente a nosssa decomposição vai ficar:

∫ x 3 + 1 x 3 - 3 x 2 + 2 x   d x   = ∫ 1 + 3 x - 2 + A x - 1 + B x - 2 + C x + D x - 1 + E x - 2   d x  

Legal, né? O que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

∫ x 3 + 1 x 3 - 3 x 2 + 2 x   d x   = ∫ 1 + 3 x - 2 + A x - 1 + B x - 2 + C x + D x - 1 + E x - 2   d x  

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