Enunciado

Se f x = x 4 - 2 x 3 + 2 x 2 - x então f ' x = 4 x 3 - 6 x 2 + 4 x - 1 . Prove, pelo teorema de Rolle, que a equação a segui tem pelo menos uma raiz real no intervalo aberto ( 0 ,   1 ) :

4 x 3 - 6 x 2 + 4 x - 1 = 0

Passo 1

Observe que f é uma função polinomial, portanto é contínua e derivável para todo número real. Em particular, também será contínua no intervalo [ 0 ,   1 ] e derivável em ( 0 ,   1 ) .

Passo 2

Vamos observar o comportamento de f nos extremos do intervalo [ 0 ,   1 ] .

→ x = 0 :

f 0 = 0 4 - 2 0 3 + 2 0 2 - 0 = 0

→ x = 1 :

f 1 = 1 4 - 2 1 3 + 2 1 2 - 1 = 1 - 2 + 2 - 1 = 0

Como f 0 = f ( 1 ) , pelo teorema de Rolle temos que existe c ∈ ( 0 ,   1 ) tal que f ' c = 0 .

Assim, existe c ∈ ( 0 ,   1 ) tal que 4 x 3 - 6 x 2 + 4 x - 1 = 0 , como queríamos mostrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja g x = x e x - e x . Encontre f ( x ) , tal que f ' x = g ' ( x ) e f 1 = 2 .
Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que, se f for diferenciável em um intervalo aberto, e se f ' x ≥ M em cada x do intervalo, então f x - f y ≥ M | x - y | Com quaisquer x e y do intervalo.Use
Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que y - xy - x 2 x Se 0xy .Use o resultado de (a) para mostrar que, se 0xy , então x y1 2 x + y . (a média aritmética é maior que a média geométrica)
Use o Teorema da Diferença Constante (4.8.3) para mostrar que, se f ' x = g ' ( x ) em cada x do intervalo ( - ∞ ,+ ∞ ) , e se f e g têm o mesmo valor em algum ponto x 0 , então f x = g ( x ) em cada
Use o Teorema da Diferença Constante (4.8.3) para mostrar que, se f ' x = g ' ( x ) em cada x de ( - ∞ ,+ ∞ ) , e se f x 0 - g x 0 = c em algum ponto x 0 , então f x - g x = c Em cada x de ( - ∞ ,+ ∞