Enunciado

  1. Use o Teorema da Diferença Constante (4.8.3) para mostrar que, se f ' x = g ' ( x ) em cada x de ( - ∞ ,   + ∞ ) , e se f x 0 - g x 0 = c em algum ponto x 0 , então
  2. f x - g x = c

    Em cada x de ( - ∞ ,   + ∞ ) .

  3. Use o resultado de (a) para mostrar que a função
  4. h x = x - 1 3 - x 2 + 3 x - 3

    é constante em cada x de ( - ∞ ,   + ∞ ) e encontre a constante.

  5. Verifique o resultado de (b) multiplicando e simplificando a fórmula de h ( x ) .

Passo 1

(a) O teorema da diferença constante diz que se duas funções f e g são diferenciáveis num intervalo e f ' x = g ' ( x ) (como no enunciado), podemos dizer que f x - g x = k , onde k é uma constante.

O enunciado quer que a gente parta dessa informação para provar que se f - g é igual a uma constante em um ponto, isso acontece para todos os pontos.

Passo 2

Vamos olhar com carinho essa relação dada pelo Teorema. Se f ' x = g ' x :

f x - g x = k

E isso acontece para todos os valores de x da nossa função. Para qualquer x , teremos o mesmo k .

Agora pensa comigo: se para um x 0 , temos

f x 0 - g x 0 = c

Ou seja, k = c . Se isso acontece para um valor de x , pelo teorema, isso vai acontecer para todos os valores de x , porque o valor de k é sempre o mesmo.

O que implica em:

f x - g x = c

Passo 3

(b) Vamos usar o Teorema para provar que   h x = x - 1 3 - x 2 + 3 x - 3   na real é uma constante e descobrir que constante é essa.

Vemos que nossa função é igual a uma diferença de duas funções. Comparando essa função com a equação do teorema:

1 = f x - g x

f x = x - 1 3

g x = x 2 + 3 x - 3

k = h ( x )

A gente só tem que provar que para todos os valores de x , f ' x = g ' ( x ) .

Passo 4

Calculando as derivadas:

f ' x = 3 x - 1 2 = 3 x 2 - 6 x + 3

g x = x 2 + 3 x - 3 = x 3 - 3 x 2 + 3 x - 9

g ' x = 3 x 2 - 6 x + 3

Ih, olha só, as derivadas são iguais. Então temos que:

h x = f x - g x = c o n s t a n t e

Para qualquer valor de x , teremos a mesma constante. Então para descobrir essa constante podemos usar qualquer valor de x . Vamos usar x = 0 .

c o n s t a n t e = f 0 - g 0 = - 1 - 3 - 3 = 8

Aí! Conseguimos!

Passo 5

(c) Só simplicar a função h ( x ) :

h x = x - 1 3 - x 2 + 3 x - 3

h x = x 3 - 3 x 2 + 3 x - 1 - x 3 - 3 x 2 + 3 x - 9 = 8

Resposta

  1. prova nos passos
  2. k = 8
  3. h x = 8
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