Enunciado

Suponha que a função f seja contínua em [ a ,   b ] e f ' x = 1 para todo x em ( a ,   b ) . Prove que f x = x - a + f ( a ) para todo x em [ a ,   b ] .

Passo 1

Como f é contínua em [ a ,   b ] e, por hipótese, derivável em ( a ,   b ) , pelo teorema do valor médio temos que existe c ∈ ( a ,   b ) tal que:

f ' c = f b - f ( a ) b - a

Passo 2

Por hipótese temos que f ' x = 1 para todo x em ( a ,   b ) , então f ' c = 1 . Assim:

f ' c = 1 = f b - f ( a ) b - a ⇒

f b - f a b - a = 1 ⇒

f b - f a = b - a ⇒

f b = b - a + f ( a )

Passo 3

Fazendo x = b , temos:

f x = x - a + f ( a )

Como queríamos mostrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que p ( x ) seja um polinômio não constante com zeros em x = a e em x = b . Explique como o Teorema do Valor Extremo junto ao Teorema de Rolle podem ser usados para mostrar que p tem algum pon
1 ) Sejam P (x, y) e Q (x, y) de classe C1 num aberto Ω de ℝ2. Seja B ⊂ Ωum retângulo de lados paralelos aos eixos e de comprimentos Δx e Δy.Prove que existe (s, t) ∈ B tal que ∮ γ P d x + Q d y= ∂ Q
Mostre que, se f for diferenciável em um intervalo aberto e se f ' x ≠ 0 no intervalo, a equação f x = 0 pode ter no máximo uma raiz no intervalo.
Use o resultado do Exercício 30 para mostrar o seguinte:A equação x 3 + 4 x - 1 = 0 tem exatamente uma raiz real.
Use o resultado do Exercício 30 para mostrar o seguinte:(b) Se b 2 - 3 a c0 e se a ≠ 0 , então a equação a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 Tem exatamente uma raiz real.