Enunciado

  1. Use o Teorema da Diferença Constante (4.8.3) para mostrar que, se f ' x = g ' ( x ) em cada x do intervalo ( - ∞ ,   + ∞ ) , e se f e g têm o mesmo valor em algum ponto x 0 , então f x = g ( x ) em cada x de ( - ∞ , + ∞ ) .
  2. Use o resultado de (a) para confirmar a identidade trigonométrica s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 .

Passo 1

(a) O teorema da diferença constante diz que se duas funções f e g são diferenciáveis num intervalo e f ' x = g ' ( x ) (como no enunciado), podemos dizer que f x - g x = k , onde k é uma constante.

O enunciado quer que a gente parta dessa informação para provar que se f e g tem algum ponto em comum, significa que elas são iguais.

Passo 2

Vamos olhar com carinho essa relação dada pelo Teorema. Se f ' x = g ' x :

f x - g x = k

E isso acontece para todos os valores de x . Para qualquer x , teremos o mesmo k .

Agora pensa comigo: se para um x 0 , temos

f x 0 = g x 0

f x 0 - g x 0 = 0

Ou seja, k = 0 . Se isso acontece para um valor de x , pelo teorema, isso vai acontecer para todos os valores de x , porque o valor de k é sempre o mesmo.

O que implica em:

f x = g ( x )

Passo 3

(b) Vamos usar o Teorema para provar que s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1   faz sentido.

Comparando essa relação com a equação do teorema:

f x - g x = 1

f x = s e n 2 x

g x = - cos 2 ⁡ x

k = 1

A gente só tem que provar que para todos os valores de x , f ' x = g ' ( x ) .

Passo 4

Calculando as derivadas:

f ' x = 2   s e n   x cos ⁡ x

g ' x = - 2 cos ⁡ x   - s e n   x = 2   s e n   x cos ⁡ x

Ih, olha só, as derivadas são iguais. Então essa relação realmente faz sentido.

Resposta

  prova nos passos

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