Enunciado

  1. Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que, se f for diferenciável em um intervalo aberto, e se f ' x ≥ M em cada x do intervalo, então
  2. f x - f y ≥ M | x - y |

    Com quaisquer x e y do intervalo.

  3. Use o resultado de (a) para mostrar que

t g   x - t g   y ≥ x - y

Para quaisquer x e y no intervalo - π 2 , π 2 .

(c)Use o resultado de (b) para mostrar que

t g   x + t g   y ≥ x + y

Com quaisquer valores de x   e y no intervalo - π 2 , π 2 .

Passo 1

(a) Precisamos usar o Teorema do Valor Médio:

f ' c = f b - f a b - a

Para provar a inequação do enunciado. Vem comigo!

Passo 2

Considerando que x e y pertencem ao mesmo domínio I , podemos escrever que para um valor c ,   que também pertence a I , o teorema do valor médio pode ter essa carinha:

f ' c = f x - f y x - y

Jogando x - y para o lado esquerdo:

f ' c x - y = f x - f ( y )

Jogando o módulo dos dois lados:

f x - f y = f ' c x - y

Como f ' x ≥ M , podemos escrever:

f x - f y = f ' c x - y ≥ M x - y

Que era o que precisávamos provar.

Passo 3

(b) A gente já provou que f x - f y ≥ M x - y

E pelo enunciado, temos que f x = t g   x . Mas quem é M ?

M é o valor mínimo que a derivada de f pode atingir. Vamos achar esse valor. Calculando a derivada:

f ' x = sec 2 ⁡ x

Essa função está sempre entre 1 e vai ao infinito, por isso o valor mínimo que temos na derivada é 1 . Logo, M = 1 , e:

t g x - t g y ≥ | x - y |

Passo 4

(c) Se considerarmos que há um valor - y , que pertence ao intervalo do enunciado, e substituímos ele na relação que achamos em (b):

t g x - t g - y ≥ | x + y |

Lembrando que para a tangente:

t g - y = - t g y

Assim:

t g x + t g y ≥ | x + y |

Pronto! Conseguimos provar!

Resposta

Prova nos passos

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