Enunciado

  1. Se G x = 4 x 2 - x 3 , encontre G ' ( a ) e use-o para encontrar equações das retas tangentes à curva y = 4 x 2 - x 3 nos pontos ( 2 ,   8 ) e ( 3,9 ) .
  2. Ilustre a parte (a) traçando a curva e as retas tangentes na mesma tela.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

Essa é uma questão que fala sobre derivadas e retas tangentes. Então, no item (a) o enunciado nos pede para encontrar a derivada de G ( x ) , que é a função que ele nos deu, no ponto a . Isso significa que, usando a definição de derivada, vamos calcular:

G ' a = lim h → 0 ⁡ G a + h - G a h

Em seguida, vamos usar o resultado que encontrarmos para definir as equações das retas tangentes à curva y = 4 x 2 - x 3 nos pontos ( 2 ,   8 ) e ( 3,9 ) . Nós vamos fazer isso usando a equação da reta na forma:

y - G a = G ' a   .   ( x - a )

Depois de resolvida essa parte, vamos para o item (b), onde vamos apenas esboçar a curva G ( x ) junto com as retas tangentes que encontramos no item anterior.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada da função G ( x ) , usando a definição que vimos no passo anterior:

G ' a = lim h → 0 ⁡ G a + h - G a h

Nós sabemos que G x = 4 x 2 - x 3 , então a gente pode concluir que:

G a = 4 a 2 - a 3

G a + h = 4 ( a + h ) 2 - ( a + h ) 3

Beleza? A gente pega essas duas expressões e substitui no nosso limite, ficando desse jeitinho aqui:

G ' a = lim h → 0 ⁡ [ 4 a + h 2 - a + h 3 ] - ( 4 a 2 - a 3 ) h

Nós temos a nossa expressão para o limite e podemos resolvé-lo! Temos só que dar mais uma arrumada. Na nossa expressão, temos dois produtos notáveis: o quadrado da soma e o cubo da soma. Vou expandir esses produtos notáveis e vai ficar assim:

G ' a = lim h → 0 ⁡ [ 4 ( a 2 + 2 a h + h 2 ) - ( a 3 + 3 a 2 h + 3 a h 2 + h 3 ) - ( 4 a 2 - a 3 ) h

Fazendo as multiplicações necessárias e o jogo de sinal, vamos ter:

G ' a = lim h → 0 ⁡ 4 a 2 + 8 a h + 4 h 2 - a 3 - 3 a 2 h - 3 a h 2 - h 3 - 4 a 2 + a 3 h

Podemos eliminar a 3 com - a 3 e 4 a 2 com - 4 a 2 , ficando desse jeito aqui:

G ' a = lim h → 0 ⁡ 8 a h + 4 h 2 - 3 a 2 h - 3 a h 2 - h 3 h

Prontinho! Agora nosso limite ta arrumadão e pronto para ser resolvido!

Passo 3

Se fizermos a substituição h = 0 no limite, vamos ter uma indeterminação 0 0 . A gente consegue eliminar essa indeterminação colocando o h em evindencia no numerador da expressão e cancelando ele com o h do denominador, olha só:

G ' a = lim h → 0 ⁡ h   .   ( 8 a + 4 h - 3 a 2 - 3 a h - h 2 ) h

G ' a = lim h → 0 ⁡ ( 8 a + 4 h - 3 a 2 - 3 a h - h 2 )

Fazendo a substituição h = 0 , agora teremos isso aqui:

G ' a = 8 a + 4 ∙ 0 - 3 a 2 - 3 a ∙ 0 - 0 2

G ' a = 8 a - 3 a 2

Pronto! Encontramos uma expressão para G ' ( a ) .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as retas tangentes nos pontos ( 2 ,   8 ) e ( 3 ,   9 ) . A reta tangente é sempre dada por:

y - G a = G ' a   .   ( x - a )

Para o ponto ( 2 ,   8 ) , vamos ter a = 2 e G a = G 2 = 8 . Nossa expressão vai ficar assim:

y - G 2 = G ' 2   .   ( x - 2 )

y - 8 = G ' 2   .   ( x - 2 )

A gente calcula o G ’ ( 2 ) substituindo a = 2 na expressão de G ' ( a ) , sacou? Olha só:

G ' 2 = 8.2 - 3   . 2 2 = 4

Pronto, temos G ' ( 2 ) e ele vale 4 ! Substituindo na equação da reta tangente:

y - 8 = 4   .   ( x - 2 )

y =   4 x - 8 + 8

y = 4 x

Achamos a nossa primeira reta!

Passo 5

Vamos encontrar agora a reta para o ponto ( 3,9 ) . Olhando o par ordenado, a gente conclui que a = 3 e G a = G 3 = 9 . Nossa reta tangente vai ser essa aqui:

y - G 3 = G ' 3 ∙ ( x - 3 )

y - 9 = G ' 3 ∙ ( x - 3 )

Agora, temos que encontrar G ' ( 3 ) . Fazemos o mesmo que no passo anterior e usamos a expressão de derivada no ponto que encontramos, dá uma olhadinha:

G ' 3 = 8.3 - 3   . 3 2 = - 3

Substituindo G ' 3 = - 3 na equação da reta tangente:

y - 9 = - 3   .   ( x - 3 )

y = - 3 x + 9 + 9

y = - 3 x + 18

Uhul! Encontramos a nossa segunda reta tangente!

Passo 6

Agora só falta a gente desenhar o gráfico da nossa curva y = 4 x 2 - x 3 junto com as duas retas tangentes. Olha como vai ficar:

Em azul é a curva y = 4 x 2 - x 3 , um polinômio de 3 o grau. Em vermelho, temos a reta   y = 4 x , tangente no ponto ( 2 ,   8 ) . Por último, em amarelo, teremos a reta y = - 3 x + 18 , a qual será tangente no ponto ( 3 ,   9 ) .

Finalizamos nossa questão aqui! Ela é trabalhosa mesmo, mas esse conceito de reta tangente é muuuuito importante em cálculo e em várias outras disciplinas das ciências exatas, então faz com calma, carinho e atenção para arrasar lá na frente! ;)

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

  1. G ' a = 8 a - 3 a 2
  2. Para o ponto ( 2 ,   8 ) , a reta tangente é y = 4 x

    Para o ponto ( 3 ,   9 ) , a reta tangente é y = - 3 x + 18

  3. O gráfico expressando a curva e as retas tangentes pedidas é o que segue:

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se F x = 5 x 1 + x 2 , encontre F ' ( 2 ) e use-o para encontrar uma equação da reta tangente à curva y = 5 x 1 + x 2 no ponto ( 2 ,2 ) .Ilustre a parte (a) traçando a curva e a reta tangente na mesma
Um peru assado é tirado do forno quando sua temperatura atinge 85 o C e colocado sobre uma mesa na sala, na qual a temperatura é de 24 o C . O gráfico mostra como decresce a temperatura do peru até ap
A tabela mostra a estimativa da porcentagem da população da Europa que usa telefones celulares. (Estimativas dadas para meados do ano.)Encontre a taxa média do crescimento do número de celulares: ( i
O número N de franquias de uma certa cadeia popular de cafeterias é mostrada na tabela. (Dados os números de franquias no dia 30 de junho de cada ano.)Encontre a taxa média do crescimento: ( i ) de 20
Um tanque com capacidade para 1000 litros de água é drenado pela base em meia hora. Os valores na tabela mostram o volume V de água remanescente no tanque (em litros) após t minutos. Se P é o ponto (