Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

  1. Se G x = 4 x 2 - x 3 , encontre G ' ( a ) e use-o para encontrar equações das retas tangentes à curva y = 4 x 2 - x 3 nos pontos ( 2 ,   8 ) e ( 3,9 ) .
  2. Ilustre a parte (a) traçando a curva e as retas tangentes na mesma tela.

Passo 1

E aí, preparado para resolver uma questão sobre derivadas e retas tangentes? Bora lá!

Temos que lembrar, em primeiro lugar, como achamos a derivada de G ' ( a ) . A gente faz isso com essa expressão aqui:

G ' a = lim h → 0 ⁡ G a + h - G a h

Essa é a definição de derivada em um ponto e a gente tem que usar ela para achar a reta tangente no ponto ( 2 ,   8 ) e no ponto ( 3 ,   9 ) . Como estamos trabalhando com mais de um ponto, a gente vai diminuir muuuito o nosso trabalho se a gente resolver o limite de forma genérica e substituir valores só no final! Sacou? Dá uma olhada no que vamos fazer que vais entender direitinho:

  1. A Nossa expressão é assim:
  2. G ' a = lim h → 0 ⁡ G a + h - G a h

    Correto? Mas sabemos que G x = 4 x 2 - x 3 , então a gente pode concluir que:

    G a = 4 a 2 - a 3

    G a + h = 4 ( a + h ) 2 - ( a + h ) 3

    Beleza? A gente pega essas duas expressões e substitui no nosso limite, ficando desse jeitinho aqui:

    G ' a = lim h → 0 ⁡ [ 4 a + h 2 - a + h 3 ] - ( 4 a 2 - a 3 ) h

    Passo 2

    Nós temos a nossa expressão para o limite e podemos resolvé-lo! Temos só que dar mais uma arrumada. Na nossa expressão, temos dois produtos notáveis: o quadrado da soma e o cubo da soma. Vou expandir esses produtos notáveis e vai ficar assim:

    G ' a = lim h → 0 ⁡ [ 4 ( a 2 + 2 a h + h 2 ) - ( a 3 + 3 a 2 h + 3 a h 2 + h 3 ] - ( 4 a 2 - a 3 ) h

    Fazendo as multiplicações necessárias e o jogo de sinal, vai ficar assim:

    G ' a = lim h → 0 ⁡ 4 a 2 + 8 a h + 4 h 2 - a 3 - 3 a 2 h - 3 a h 2 - h 3 - 4 a 2 + a 3 h

    Podemos eliminar a 3 com - a 3 e 4 a 2 com - 4 a 2 , ficando desse jeito aqui:

    G ' a = lim h → 0 ⁡ 8 a h + 4 h 2 - 3 a 2 h - 3 a h 2 - h 3 h

    Prontinho! Agora nosso limite ta arrumadão e pronto para ser resolvido!

    Passo 3

    Se fizermos a substituição h = 0 no limite, vamos ter uma indeterminação 0 0 . A gente consegue eliminar essa indeterminação colocando o h em evindencia no numerador da expressão e cancelando ele com o h do denominador, olha só:

    G ' a = lim h → 0 ⁡ h   .   ( 8 a + 4 h - 3 a 2 - 3 a h - h 2 ) h

    G ' a = lim h → 0 ⁡ ( 8 a + 4 h - 3 a 2 - 3 a h - h 2 )

    Fazendo a substituição h = 0 , agora teremos isso aqui:

    G ' a = 8 a + 4   .   0 - 3 a 2 - 3 a   .   0 - 0 2

    G ' a = 8 a - 3 a 2

    Pronto! Encontramos uma expressão para G ' ( a ) .

    Passo 4

    Agora, vamos encontrar as retas tangentes nos pontos ( 2 ,   8 ) e ( 3 ,   9 ) . A reta tangente é sempre dada por:

    y - G a = G ' a   .   ( x - a )

    Para o ponto ( 2 ,   8 ) , vamos ter a = 2 e G a = G 2 = 8 . Nossa expressão vai ficar assim:

    y - G 2 = G ' 2   .   ( x - 2 )

    y - 8 = G ' 2   .   ( x - 2 )

    A gente calcula o G ’ ( 2 ) substituindo a = 2 na expressão de G ' ( a ) , sacou? Olha só:

    G ' 2 = 8.2 - 3   . 2 2 = 4

    Pronto, temos G ' ( 2 ) e ele vale 4 ! Substituindo na equação da reta tangente:

    y - 8 = 4   .   ( x - 2 )

    y =   4 x - 8 + 8

    y = 4 x

    Achamos a nossa primeira reta!

    Passo 5

    Vamos encontrar agora a reta para o ponto ( 3,9 ) . Olhando o par ordenado, a gente conclui que a = 3 e G a = G 3 = 9 . Nossa reta tangente vai ser essa aqui:

    y - G 3 = G ' 3   .   ( x - 3 )

    y - 9 = G ' 3   .   ( x - 3 )

    Agora, temos que encontrar G ' ( 3 ) . Fazemos o mesmo que no passo anterior e usamos a expressão de derivada no ponto que encontramos, dá uma olhadinha:

    G ' 3 = 8.3 - 3   . 3 2 = - 3

    Substituindo G ' 3 = - 3 na equação da reta tangente:

    y - 9 = - 3   .   ( x - 3 )

    y = - 3 x + 9 + 9

    y = - 3 x + 18

    Uhul! Encontramos a nossa segunda reta tangente!

    Passo 6

  3. Temos, agora, só que desenhar o gráfico da nossa curva y = 4 x 2 - x 3 junto com as duas retas tangentes. Olha como vai ficar:

Em azul é a curva y = 4 x 2 - x 3 , um polinômio de 3 o grau. vermelho, temos a reta   y = 4 x , tangente no ponto ( 2 ,   8 ) . Por último, em amarelo, teremos a reta y = - 3 x + 18 , a qual será tangente no ponto ( 3 ,   9 ) .

Finalizamos nossa questão aqui! Ela é trabalhosa mesmo, mas esse conceito de reta tangente é muuuuito importante em cálculo e em várias outras disciplinas das ciências exatas, então faz com calma, carinho e atenção para arrasar lá na frente! ;)

Resposta

  1. G ' a = 8 a - 3 a 2
  2. Para o ponto ( 2 ,   8 ) , a reta tangente é y = 4 x

    Para o ponto ( 3 ,   9 ) , a reta tangente é y = - 3 x + 18

  3. O gráfico expressando a curva e as retas tangentes pedidas é o que segue:

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre uma equação da reta tangente à curva y = 2 1 + e - x   &
Esboce o gráfico de uma função f para a qual f 0 = 0 ,   f ' 0 =
Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado y = x - 1 x
Encontre a inclinação da tangente à curva y = 3 + 4 x 2 - 2 x 3 no pon