Enunciado

Se a = 4 b no exercício 7, temos uma hipociclóide de quatro cúspides ou astróide.

Passo 1

Antes de tudo, vamos utilizar a imagem para criar algumas possíveis visualizações que nos ajudarão daqui em diante:

Passo 2

Além disso, analisando as informações que nós já temos é possível concluir que o raio da circunferência C 2 é igual a R 4 , sendo R o raio da circunferência C 1 (uma vez que a = 4 b , onde a é o raio de C 1 e b é o raio de C 2 ). Sendo assim, tendo como ponto de partida de C 2 para a formação da curva A = P temos que:

a r c o A A ' = a r c o ( P A ' )

t * R = θ * R 4

θ = 4 t

Passo 3

Tendo uma relação para θ é possível obter sobre D C ^ P as seguintes informações:

D C ^ P = θ - D C ^ O - 180

D C ^ P = 4 t - t - 180

D C ^ P = 3 t - 180

Passo 4

Com base naquilo que obtemos nos passos anteriores e com uma breve análise da imagem já somos capazes de identificar uma expressão que define x :

x = O B - - D C -

E ao identificar a diferença entre os raios das duas circunferências:

R - R 4 = 3 R 4

Temos que:

x = 3 R 4 * cos ⁡ t - R 4 * cos ⁡ 3 t - 180

Utilizando-se das relações trigonométricas sabe-se que:

cos ⁡ 3 t - 180 = 3 cos ⁡ t - 4 cos 3 ⁡ t

Aplicando na equação x obtemos o seguinte resultado:

x = 3 R 4 * cos ⁡ t - R 4 * ( 3 cos ⁡ t - 4 cos 3 ⁡ t )

x = 3 R 4 * cos ⁡ t - 3 R 4 cos ⁡ t + R * cos 3 ⁡ t

x = R * cos 3 ⁡ t

Passo 5

Por outro lado, a expressão que define y é:

y = B C - + D P -

Realizando a substituição dos termos por algumas das informações que já conhecemos, chegamos na seguinte expressão:

y = 3 R 4 * sin ⁡ t + R 4 * sin ⁡ ( 3 t - 180 )

Da mesma maneira como no passo anterior, sabe-se a partir das relações trigonométricas que:

sin ⁡ 3 t - 180 = 4 si n 3 ⁡ t - 3 sin ⁡ t

Para finalizar, substituindo na equação original obtemos o seguinte igualdade:

y = 3 R 4 * sin ⁡ t + R 4 * ( 4 sin 3 ⁡ t - 3 sin ⁡ t )

y = 3 R 4 * sin ⁡ t + 4 R 4 * sin 3 ⁡ t - 3 R 4 * sin ⁡ t

y = 4 R 4 * sin 3 ⁡ t

y = R * sin 3 ⁡ t

Resposta

Portanto, as equações:

x = R * cos 3 ⁡ t ,     y = R * sin 3 ⁡ t ,     t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Correspondem a parametrização de uma curva denominada astróide.

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Faça um esboço das curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais:
Dê uma parametrização para cada uma das curvas.
Faça um esboço das curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais:
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Dê uma parametrização para cada uma das curvas.