Enunciado

a ) O serviço postal norte-americano aceita caixas para entrega doméstica somente se a soma de seu comprimento e cintura (comprimento ao redor) não exceder 108   p o l . Que dimensões terá uma caixa com base quadrada para ter o mairo volume possível?

b ) Esboce o gráfico do volume de uma caixa de 108   p o l . (comprimento mais cintura) em função de seu comprimento e compare o que observa com a resposta do item a

Passo 1

Olhando o desenho que ele deu,. Temos

Vamos chamar o lado da base de x e o comprimento de y

O volume vai ser:

V = x 2 y

A soma que ele disse vai ser:

S = 4 x + y

Logo:

108 = 4 x + y

y = 108 - 4 x

O volume vai ficar:

V = x 2 108 - 4 x

V = 108 x 2 - 4 x 3

O valor de x pode ir de 0 , até quando a cintura vale 108 , fazendo x ser 27 , porque

4 x = 108

Então:

0 ≤ x ≤ 27

Passo 2

Para acharmos o valor de mínimo ou máximo, temos que comparar o valor da função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo.

Começando por achar os pontos críticos:

V ' = 216 x - 12 x 2

Fazendo isso igual a 0

216 x - 12 x 2 = 0

Colocando o 12 x em evidência:

12 x 18 - x = 0

Vamos ter:

12 x = 0 → x = 0

18 - x = 0 → x = 18

Ambos estão no intervalo.

Passo 3

Vamos achar o valor da função nos pontos críticos e extremos do intervalo:

V = x 2 108 - 4 x

Vamos ter:

x = 0 → V = 0 2 108 - 4 0 = 0

x = 18 → V = 18 2 108 - 4 18 = 11664

x = 27 → V = 27 2 108 - 4 27 = 0

O maior dos 3 valores é quando x = 18

Suas dimensões serão

x = 18

E

y = 108 - 4 18 = 36

Passo 4

Letra b

Isolando o x em vez do y , vamos achar o seguinte volume:

V = 108 - y 4 2 y

Com y indo de 0 até 108 .

O gráfico fica:

O que bate com o que achamos na letra a

Resposta

Lado do quadrado = 18   p o l

Comprimento = 36   p o l

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